專項(xiàng)18-中點(diǎn)四邊形-綜合問題-專題培優(yōu)

中點(diǎn)四邊形-綜合問題-專題培優(yōu)一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（木蘭縣期中）順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形是正方形，則原四邊形可能是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形2．（七星區(qū)校級模擬）如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且E，F(xiàn)，G，H分別是AO，BO，CO，DO的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．EH＝HG B．四邊形EFGH是平行四邊形 C．AC⊥BD D．△ABO的面積是△EFO的面積的2倍3．（順德區(qū)期末）順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形一定是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形4．（樂山期末）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD和DA的中點(diǎn)，連接EF，F(xiàn)G，GH和HE，若EH＝2EF＝2，則菱形ABCD的邊長為（）A．5 B．25 C．2 D．45．（豐臺區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．若AC⊥BD，則四邊形EFGH的形狀為（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形6．（孝義市期中）如圖，依次連接邊長為1的小正方形各邊的中點(diǎn)，得到第二個(gè)小正方形，再依次連接第二個(gè)小正方形各邊的中點(diǎn)得到第三個(gè)小正方形，按這樣的規(guī)律第2019個(gè)小正方形的面積為（）A．122019 B．122018 C．7．（高新區(qū)校級月考）順次連接矩形ABCD各邊中點(diǎn)，所得四邊形的形狀是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形8．（岐山縣期中）如圖，任意四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，連接AC，BD，對于四邊形EFGH的形狀，某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)活動課中，通過動手實(shí)踐，探索出如下結(jié)論，其中錯誤的是（）A．若AC＝BD，則四邊形EFGH為菱形 B．若AC⊥BD，則四邊形EFGH為矩形 C．若AC＝BD，且AC⊥BD，則四邊形EFGH為正方形 D．若AC與BD互相平分，且AC＝BD，則四邊形EFGH是正方形9．（滎陽市期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝60°，點(diǎn)D是斜邊BC的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)A，B為圓心，以12BC的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E，連接EA，EB，ED得到四邊形EBDA，依次連接四邊形EBDA四條邊中點(diǎn)得到四邊形GHIJ，若AC＝2，那么四邊形GHIJA．2+3 B．2+23 C．4+23 D．4+410．（徐州期中）如圖，是一組由菱形和矩形組成的圖案，第1個(gè)圖中菱形的面積為S（S為常數(shù)），第2個(gè)圖中陰影部分是由連接菱形各邊中點(diǎn)得到的矩形和再連接矩形各邊中點(diǎn)得到的菱形產(chǎn)生的，依此類推…，則第2020個(gè)圖中陰影部分的面積可以用含S的代數(shù)式表示為（）（S≥2且S是正整數(shù)）A．S42018 B．S42019 C．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（中山市校級月考）如圖，四邊形ABCD的兩條對角線AC、BD互相垂直，A1、B1、C1、D1是四邊形ABCD的中點(diǎn)．如果AC=6，BD＝43，那么四邊形A1B1C1D1的面積為12．（江陰市期中）若順次連接四邊形ABCD的四邊中點(diǎn)得到的四邊形為菱形，則四邊形ABCD需滿足條件．13．（曲陽縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點(diǎn)，連結(jié)AC、BD，回答問題（1）對角線AC、BD滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形．（2）對角線AC、BD滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形．（3）對角線AC、BD滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是正方形．14．（新泰市期中）如圖，E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點(diǎn)，且AB＝CD，下列結(jié)論：①EG⊥FH；②四邊形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EG=12(BC?AD)；⑤其中正確的是．15．（江干區(qū)校級期末）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝3，BC＝5，分別以AB，AC為邊向外側(cè)作等邊三角形ABM和等邊三角形ACN，連結(jié)MN，D，E，F(xiàn)，G分別是MB，BC，CN，MN的中點(diǎn)，則四邊形DEFG的周長為．16．（高淳區(qū)期末）△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D在△ABC內(nèi)，且BD＝CD，∠BDC＝90°，E、F、G、H分別是AB、AC、BD、CD的中點(diǎn)，則四邊形EFHG的面積為．17．（新樂市期末）對于任意矩形ABCD，若M，N，P，Q分別為邊AB，BC，CD，DA上的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中，①四邊形MNPQ是平行四邊形；②四邊形MNPQ是矩形；③四邊形MNPQ是菱形；④四邊形MNPQ是正方形．所有正確結(jié)論的序號是．18．（通州區(qū)一模）如圖，點(diǎn)A，B，C為平面內(nèi)不在同一直線上的三點(diǎn)．點(diǎn)D為平面內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)．線段AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)分別為M，N，P，Q．在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，有下列結(jié)論：①存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是平行四邊形；②存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是菱形；③存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是矩形；④存在兩個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是正方形．所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（工業(yè)園區(qū)期末）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB與CD不平行，E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BC，BD，AC的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形；（2）①當(dāng)AB與CD滿足條件時(shí)，四邊形EGFH是菱形；②當(dāng)AB與CD滿足條件時(shí)，四邊形EGFH是矩形．20．（伊通縣期末）我們給出如下定義：把對角線互相垂直的四邊形叫做“對角線垂直四邊形”．如圖1，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，四邊形ABCD就是“對角線垂直四邊形”．（1）下列四邊形，一定是“對角線垂直四邊形”的是．①平行四邊形②矩形③菱形④正方形（2）如圖2，在“對角線垂直四邊形”ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH是矩形（3）小明說：“計(jì)算對角線垂直四邊形的面積可以仿照菱形的方法，面積是對角線之積的一半．”小明的說法正確嗎？如果正確，請給出證明；如果錯誤，請給出反例．21．已知△AOB和△COD都是等腰直角三角形固定△AOB，將△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．（1）如果△COD轉(zhuǎn)至如圖①點(diǎn)B、O、D共線的位置，判斷并證明四邊形EFGH是怎樣的四邊形．（2）如果△COD轉(zhuǎn)至如圖②兩邊不共線的位置，以上結(jié)論還成立嗎？請說明理由．22．（龍巖期末）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．（1）求證四邊形EFGH是菱形；（2）若AB＝3，BC＝4，求四邊形EFGH的面積．23．（相城區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F、G、H分別是線段BC、AD、OB、OD的中點(diǎn)，連接EH、HF、FG、GE．（1）求證：四邊形GEHF是平行四邊形；（2）當(dāng)EF和BD滿足條件時(shí)，四邊形GEHF是矩形；（3）當(dāng)EF和BD滿足條件時(shí)，四邊形GEHF是菱形．24．（高新區(qū)期末）（1）如圖1，四邊形ABCD，AC＝BD，M，N，G，H分別為四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，則四邊形MNGH的形狀是發(fā)現(xiàn)：對角線相等的四邊形，連接各邊中點(diǎn)所得四邊形一定是（2）若將（1）中的“AC＝BD”改為“AC⊥BD”，其他條件不變，則四邊形MNGH的形狀是；用文字語言敘述你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論（3）直接利用（1）（2）中的發(fā)現(xiàn)，解決下列問題：如圖2，△APC，△BPD均為等腰直角三角形，PA＝PC，PB＝PD，∠APC＝∠BPD＝90°，連接CD，點(diǎn)M，N，G，H分別是AC，AB，BD，CD的中點(diǎn)，判斷四邊形MNGH的形狀，并證明．

中點(diǎn)四邊形-綜合問題-專題培優(yōu)（解析版）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（木蘭縣期中）順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形是正方形，則原四邊形可能是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【分析】連接AC、BD，根據(jù)三角形中位線定理得到EF=12AC，EH=12BD，EH∥BD，【解析】如圖，連接AC、BD，∵E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，EH是△ABD的中位線，∴EF=12AC，EH=12BD，EH∥BD，∵四邊形EFGH為正方形，∴EH＝EF，∴AC＝BD，∵EH∥BD，EF∥AC，∠HEF＝90°，∴AC⊥BD，∴四邊形ABCD的對角線相等且互相垂直，∴四邊形ABCD可能是正方形，故選：D．2．（七星區(qū)校級模擬）如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且E，F(xiàn)，G，H分別是AO，BO，CO，DO的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．EH＝HG B．四邊形EFGH是平行四邊形 C．AC⊥BD D．△ABO的面積是△EFO的面積的2倍【分析】根據(jù)題意和圖形，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的結(jié)論是否成立，本題得以解決．【解析】∵E，F(xiàn)，G，H分別是AO，BO，CO，DO的中點(diǎn)，在?ABCD中，AB＝2，AD＝4，∴EH=12AD＝2，HG=∴EH≠HG，故選項(xiàng)A錯誤；∵E，F(xiàn)，G，H分別是AO，BO，CO，DO的中點(diǎn)，∴EH=12AD=12∴四邊形EFGH是平行四邊形，故選項(xiàng)B正確；由題目中的條件，無法判斷AC和BD是否垂直，故選項(xiàng)C錯誤；∵點(diǎn)E、F分別為OA和OB的中點(diǎn)，∴EF=12AB，EF∥∴S△OEF即△ABO的面積是△EFO的面積的4倍，故選項(xiàng)D錯誤，故選：B．3．（順德區(qū)期末）順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形一定是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【分析】可連接平行四邊形的對角線，然后利用三角形中位線定理進(jìn)行求解．【解析】如圖；四邊形ABCD是平行四邊形，E、F、G、H分別是?ABCD四邊的中點(diǎn)．連接AC、BD；∵E、F是AB、BC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線；∴EF∥AC；同理可證：GH∥AC∥EF，EH∥BD∥FG；∴四邊形EFGH是平行四邊形．故順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)的圖形為平行四邊形．故選：A．4．（樂山期末）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD和DA的中點(diǎn)，連接EF，F(xiàn)G，GH和HE，若EH＝2EF＝2，則菱形ABCD的邊長為（）A．5 B．25 C．2 D．4【分析】連接AC、BD交于O，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，根據(jù)三角形中位線定理、矩形的判定定理得到四邊形EFGH是矩形，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【解析】連接AC、BD交于O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD和DA的中點(diǎn)，∴EF=12AC，EF∥AC，EH=12BD，∵EH＝2EF＝2，∴OB＝2OA，∴AB=OB∴AB=5EF=故選：A．5．（豐臺區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．若AC⊥BD，則四邊形EFGH的形狀為（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【分析】證EF是△ABC的中位線，GH是△ACD的中位線，F(xiàn)G是△BCD的中位線，EH是△ABD的中位線，則EF∥GH，F(xiàn)G∥EH，證出四邊形EFGH是平行四邊形，證EF⊥FG，則∠EFG＝90°，即可得出結(jié)論．【解析】∵點(diǎn)E、F、G、H分別為四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，GH是△ACD的中位線，F(xiàn)G是△BCD的中位線，EH是△ABD的中位線，∴EF∥AC，GH∥AC，F(xiàn)G∥BD，EH∥BD，∴EF∥GH，F(xiàn)G∥EH，∴四邊形EFGH是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴EF⊥FG，∴∠EFG＝90°，∴四邊形EFGH是矩形；故選：B．6．（孝義市期中）如圖，依次連接邊長為1的小正方形各邊的中點(diǎn)，得到第二個(gè)小正方形，再依次連接第二個(gè)小正方形各邊的中點(diǎn)得到第三個(gè)小正方形，按這樣的規(guī)律第2019個(gè)小正方形的面積為（）A．122019 B．122018 C．【分析】觀察可得，后一個(gè)正方形的對角線是前一個(gè)正方形的邊長，根據(jù)正方形的面積等于邊長的平方，也可以利用對角線乘積的一半求解，所以后一個(gè)正方形的面積等于前一個(gè)正方形的面積的一半，依此類推即可求解．【解析】第1個(gè)正方形的邊長是1，所以面積是1，第2個(gè)正方形的對角線是第一個(gè)正方形的邊長，是1，所以面積是12×1×1第3個(gè)正方形的對角線是第2個(gè)正方形的邊長，所以面積是12依此類推，后一個(gè)正方形的面積是前一個(gè)正方形的面積的一半，∴第n個(gè)正方形的面積是12∴第2019個(gè)小正方形的面積為12故選：B．7．（高新區(qū)校級月考）順次連接矩形ABCD各邊中點(diǎn)，所得四邊形的形狀是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形【分析】作出圖形，根據(jù)三角形的中位線定理可得EF＝GH=12AC，F(xiàn)G＝EH=12BD，再根據(jù)矩形的對角線相等可得AC＝【解析】如圖，連接AC、BD，∵E、F、G、H分別是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD邊上的中點(diǎn)，∴EF＝GH=12AC，F(xiàn)G＝EH=∵矩形ABCD的對角線AC＝BD，∴EF＝GH＝FG＝EH，∴四邊形EFGH是菱形．故選：B．8．（岐山縣期中）如圖，任意四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，連接AC，BD，對于四邊形EFGH的形狀，某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)活動課中，通過動手實(shí)踐，探索出如下結(jié)論，其中錯誤的是（）A．若AC＝BD，則四邊形EFGH為菱形 B．若AC⊥BD，則四邊形EFGH為矩形 C．若AC＝BD，且AC⊥BD，則四邊形EFGH為正方形 D．若AC與BD互相平分，且AC＝BD，則四邊形EFGH是正方形【分析】連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形必為平行四邊形，根據(jù)中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解析】A．當(dāng)E，F(xiàn)，G，H是四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，且AC＝BD時(shí)，存在EF＝FG＝GH＝HE，故四邊形EFGH為菱形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)E，F(xiàn)，G，H是四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，且AC⊥BD時(shí)，存在∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，故四邊形EFGH為矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、當(dāng)E，F(xiàn)，G，H是四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，且AC＝BD，且AC⊥BD，存在EF＝FG＝GH＝HE，∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，故四邊形EFGH為正方形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、當(dāng)E，F(xiàn)，G，H是四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，且AC與BD互相平分，且AC＝BD，故四邊形EFGH為菱形，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．9．（滎陽市期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝60°，點(diǎn)D是斜邊BC的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)A，B為圓心，以12BC的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E，連接EA，EB，ED得到四邊形EBDA，依次連接四邊形EBDA四條邊中點(diǎn)得到四邊形GHIJ，若AC＝2，那么四邊形GHIJA．2+3 B．2+23 C．4+23 D．4+4【分析】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝2，∠C＝60°，推出BC＝2AC＝4，AB=3AC＝23，由BD＝CD，推出AD＝DB＝DC＝2，由作圖可知，四邊形ADBE是菱形，推出中點(diǎn)四邊形GHIJ是矩形，求出IJ．IH【解析】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝2，∠C＝60°，∴BC＝2AC＝4，AB=3AC＝23∵BD＝CD，∴AD＝DB＝DC＝2，由作圖可知，四邊形ADBE是菱形，∴中點(diǎn)四邊形GHIJ是矩形，∵AD＝AC＝DC，∴∠ADC＝60°，∵AE∥DB，∴∠EAD＝∠ADC＝60°，∵AE＝AD，∴△AED是等邊三角形，∴AD＝DE＝2，∵AJ＝JE，AI＝ID，∴IJ=12∵BH＝DH，AI＝ID，∴IH=12AB∴四邊形GHIJ的周長＝2（1+3）＝2+23故選：B．10．（徐州期中）如圖，是一組由菱形和矩形組成的圖案，第1個(gè)圖中菱形的面積為S（S為常數(shù)），第2個(gè)圖中陰影部分是由連接菱形各邊中點(diǎn)得到的矩形和再連接矩形各邊中點(diǎn)得到的菱形產(chǎn)生的，依此類推…，則第2020個(gè)圖中陰影部分的面積可以用含S的代數(shù)式表示為（）（S≥2且S是正整數(shù)）A．S42018 B．S42019 C．【分析】觀察圖形發(fā)現(xiàn)第2個(gè)圖形中的陰影部分的面積為S4，第3個(gè)陰影部分的面積為S16，依此類推，得到第【解析】觀察圖形發(fā)現(xiàn)：第2個(gè)圖形中的陰影部分的面積為S4第3個(gè)圖形中的陰影部分的面積為S16…第n個(gè)圖形中的陰影部分的面積為S4故第2020個(gè)圖中陰影部分的面積可以用含S的代數(shù)式表示為S4故選：B．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（中山市校級月考）如圖，四邊形ABCD的兩條對角線AC、BD互相垂直，A1、B1、C1、D1是四邊形ABCD的中點(diǎn)．如果AC=6，BD＝43，那么四邊形A1B1C1D1的面積為32【分析】根據(jù)三角形的中位線定理證明四邊形A1B1C1D1是矩形，從而根據(jù)矩形的面積進(jìn)行計(jì)算．【解析】∵A1，B1，C1，D1是四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形，且AC=6，BD＝43∴A1D1是△ABD的中位線，∴A1D1=12BD=12×同理可得A1B1=12AC根據(jù)三角形的中位線定理，可以證明四邊形A1B1C1D1是矩形，那么四邊形A1B1C1D1的面積為A1D1×A1B1=62×23故答案為：32．12．（江陰市期中）若順次連接四邊形ABCD的四邊中點(diǎn)得到的四邊形為菱形，則四邊形ABCD需滿足條件對角線相等．【分析】根據(jù)中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)即可求出答案．【解析】由于順次連接四邊形ABCD的四邊中點(diǎn)得到的四邊形必為平行四邊形，∴該中點(diǎn)四邊形為菱形時(shí)，其四邊形ABCD的對角線必定相等，故答案為：對角線相等．13．（曲陽縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點(diǎn)，連結(jié)AC、BD，回答問題（1）對角線AC、BD滿足條件AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是矩形．（2）對角線AC、BD滿足條件AC＝BD時(shí)，四邊形EFGH是菱形．（3）對角線AC、BD滿足條件AC⊥BD且AC＝BD時(shí)，四邊形EFGH是正方形．【分析】根據(jù)三角形的中位線定理，可以證明所得四邊形的兩組對邊分別和兩條對角線平行，所得四邊形的兩組對邊分別是兩條對角線的一半，再根據(jù)平行四邊形的判定就可證明該四邊形是一個(gè)平行四邊形；（1）所得四邊形要成為矩形，則需有一個(gè)角是直角，故對角線應(yīng)滿足互相垂直；（2）所得四邊形要成為菱形，則需有一組鄰邊相等，故對角線應(yīng)滿足相等；（3）聯(lián)立（1）和（2），所得四邊形要成為正方形，則需對角線垂直且相等．【解析】連接AC、BD．∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點(diǎn)，∴EF∥AC，EF=12AC，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G=12BD，GH∥AC，GH=12AC，EH∥∴EF∥HG，EF＝GH，F(xiàn)G∥EH，F(xiàn)G＝EH．∴四邊形EFGH是平行四邊形；（1）要使四邊形EFGH是矩形，則需EF⊥FG，由（1）得，只需AC⊥BD；（2）要使四邊形EFGH是菱形，則需EF＝FG，由（1）得，只需AC＝BD；（3）要使四邊形EFGH是正方形，綜合（1）和（2），則需AC⊥BD且AC＝BD．故答案是：AC⊥BD；AC＝BD；AC⊥BD且AC＝BD．14．（新泰市期中）如圖，E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點(diǎn)，且AB＝CD，下列結(jié)論：①EG⊥FH；②四邊形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EG=12(BC?AD)；⑤其中正確的是①③⑤．【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半與AB＝CD可得四邊形EFGH是菱形，然后根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分，并且平分每一組對角的性質(zhì)對各小題進(jìn)行判斷．【解析】∵E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點(diǎn)，∴EF=12CD，F(xiàn)G=12AB，GH=12∵AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四邊形EFGH是菱形，∴①EG⊥FH，正確；②四邊形EFGH是矩形，錯誤；③HF平分∠EHG，正確；④當(dāng)AD∥BC，如圖所示：E，G分別為BD，AC中點(diǎn)，∴連接CD，延長EG到CD上一點(diǎn)N，∴EN=12BC，GN=∴EG=12（BC﹣AD），只有AD∥BC時(shí)才可以成立，而本題AD與⑤四邊形EFGH是菱形，正確．綜上所述，①③⑤共3個(gè)正確．故答案為：①③⑤15．（江干區(qū)校級期末）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝3，BC＝5，分別以AB，AC為邊向外側(cè)作等邊三角形ABM和等邊三角形ACN，連結(jié)MN，D，E，F(xiàn)，G分別是MB，BC，CN，MN的中點(diǎn)，則四邊形DEFG的周長為14．【分析】連接BN、CM，作NP⊥BC于P，證△CAM≌△NAB（SAS），得CM＝NB，由三角形中位線定理證出四邊形DEFG是菱形，得DE＝DG＝EF＝FG=12BN，由直角三角形的性質(zhì)得PC=12CN=32，PN=3PC【解析】連接BN、CM，作NP⊥BC于P，如圖所示：∵△ABM和△ACN是等邊三角形，∴AB＝AM，AN＝AC＝CN＝3，∠BAM＝∠CAN＝∠ACN＝60°，∴∠BAM+∠BAC＝∠CAN+∠BAC，即∠CAM＝∠NAB，在△CAM和△NAB中，AC=AN∠CAM=∠NAB∴△CAM≌△NAB（SAS），∴CM＝NB，∵D，E，F(xiàn)，G分別是MB，BC，CN，MN的中點(diǎn)，∴DG是△BMN的中位線，EF是△BCN的中位線，DE是△BCM的中位線，∴DG∥BN，DG=12BN，EF∥BN，EF=12BN，∴DG∥EF，DG＝EF，DG＝DE，∴四邊形DEFG是平行四邊形，又∵DG＝DE，∴四邊形DEFG是菱形，∴DE＝DG＝EF＝FG=12∵∠BAC＝60°，∴∠NCP＝180°﹣∠ACB﹣∠ACN＝60°，∵NP⊥BC，∴∠CNP＝90°﹣60°＝30°，∴PC=12CN=32，PN∴BP＝BC+PC＝5+3∴BN=B∴DE＝DG＝EF＝FG=12BN∴四邊形DEFG的周長＝4×7故答案為：14．16．（高淳區(qū)期末）△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D在△ABC內(nèi)，且BD＝CD，∠BDC＝90°，E、F、G、H分別是AB、AC、BD、CD的中點(diǎn)，則四邊形EFHG的面積為352【分析】連接AD并延長交BC于點(diǎn)P，根據(jù)線段垂直平分線的定義得到BP＝CP＝5，AP⊥BC，根據(jù)勾股定理求出AP，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出PD，得到AD的長，根據(jù)三角形中位線定理、矩形的判定定理得到四邊形EFHG為矩形，根據(jù)矩形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解析】連接AD并延長交BC于點(diǎn)P，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AP是線段BC的垂直平分線，∴BP＝CP＝5，AP⊥BC，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，BP＝CP，∴DP=12在Rt△APB中，AP=A∴AD＝12﹣5＝7，∵E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF=12BC＝5，EF∥同理，GH=12BC，GH∥BC，EG=12BC＝3.5，∴GH＝EF，GH∥EF，∴四邊形EFHG為平行四邊形，∵EF∥BC，EG∥AD，AP⊥BC，∴四邊形EFHG為矩形，∴四邊形EFHG的面積＝5×7故答案為：35217．（新樂市期末）對于任意矩形ABCD，若M，N，P，Q分別為邊AB，BC，CD，DA上的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中，①四邊形MNPQ是平行四邊形；②四邊形MNPQ是矩形；③四邊形MNPQ是菱形；④四邊形MNPQ是正方形．所有正確結(jié)論的序號是①③．【分析】連接AC、BD，由三角形中位線定理得出MN∥AC，MN=12AC，PQ∥AC，PQ=12AC，MQ∥BD，MQ=12BD，則MN∥PQ，MN＝PQ，MN＝MQ，證出四邊形MNPQ是平行四邊形，四邊形MNPQ是菱形；①③正確；當(dāng)AC⊥BD時(shí)，MN⊥MQ，四邊形【解析】連接AC、BD，如圖：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∵M(jìn)，N，P，Q分別為邊AB，BC，CD，DA上的中點(diǎn)，∴MN是△ABC的中位線，PQ是△ACD的中位線，MQ是△ABD的中位線，∴MN∥AC，MN=12AC，PQ∥AC，PQ=12AC，MQ∥BD，∴MN∥PQ，MN＝PQ，MN＝MQ，∴四邊形MNPQ是平行四邊形，∴四邊形MNPQ是菱形；故①③正確；當(dāng)AC⊥BD時(shí)，MN⊥MQ，四邊形MNPQ是矩形，四邊形MNPQ是正方形．故②④不正確；故答案為：①③．18．（通州區(qū)一模）如圖，點(diǎn)A，B，C為平面內(nèi)不在同一直線上的三點(diǎn)．點(diǎn)D為平面內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)．線段AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)分別為M，N，P，Q．在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，有下列結(jié)論：①存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是平行四邊形；②存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是菱形；③存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是矩形；④存在兩個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是正方形．所有正確結(jié)論的序號是①②③④．【分析】連接AC、BD，根據(jù)三角形中位線定理得到PQ∥AC，PQ=12AC，MN∥AC，MN=【解析】①當(dāng)AC與BD不平行時(shí)，中點(diǎn)四邊形MNPQ是平行四邊形；故存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是平行四邊形；②當(dāng)AC與BD相等且不平行時(shí)，中點(diǎn)四邊形MNPQ是菱形；故存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是菱形；③當(dāng)AC與BD互相垂直（B，D不重合）時(shí)，中點(diǎn)四邊形MNPQ是矩形；故存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是矩形；④如圖所示，當(dāng)AC與BD相等且互相垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形MNPQ是正方形．故存在兩個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是正方形．故答案為：①②③④．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（工業(yè)園區(qū)期末）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB與CD不平行，E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BC，BD，AC的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形；（2）①當(dāng)AB與CD滿足條件AB＝CD時(shí)，四邊形EGFH是菱形；②當(dāng)AB與CD滿足條件AB⊥CD時(shí)，四邊形EGFH是矩形．【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得到EG=12AB，EG∥AB，F(xiàn)H=12AB，（2）①根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形解答；②根據(jù)矩形的判定定理解答．【解析】（1）證明：∵E，G分別是AD，BD的中點(diǎn)，∴EG是△DAB的中位線，∴EG=12AB，EG∥同理，F(xiàn)H=12AB，F(xiàn)H∥∴EG＝FH，EG∥FH，∴四邊形EGFH是平行四邊形；（2）①∵F，G分別是BC，BD的中點(diǎn)，∴FG是△DCB的中位線，∴FG=12CD，F(xiàn)G∥當(dāng)AB＝CD時(shí)，EG＝FG，∴四邊形EGFH是菱形；②∵HF∥AB，∴∠HFC＝∠ABC，∵FG∥CD，∴∠GFB＝∠DCB，∵AB⊥CD，∴∠ABC+∠DCB＝90°，∴∠HFC+∠GFB＝90°，∴∠GFH＝90°，∴平行四邊形EGFH是矩形，故答案為：①AB＝CD；②AB⊥CD．20．（伊通縣期末）我們給出如下定義：把對角線互相垂直的四邊形叫做“對角線垂直四邊形”．如圖1，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，四邊形ABCD就是“對角線垂直四邊形”．（1）下列四邊形，一定是“對角線垂直四邊形”的是③④．①平行四邊形②矩形③菱形④正方形（2）如圖2，在“對角線垂直四邊形”ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH是矩形（3）小明說：“計(jì)算對角線垂直四邊形的面積可以仿照菱形的方法，面積是對角線之積的一半．”小明的說法正確嗎？如果正確，請給出證明；如果錯誤，請給出反例．【分析】（1）根據(jù)“對角線垂直四邊形”的定義求解；（2）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到HG∥EF，HE∥GF，則可判斷四邊形EFGH是平行四邊形，再證明∠EHG＝90°，然后判斷四邊形EFGH是矩形；（3）利用三角形面積公式可判斷小明的說法正確．【解析】（1）解：菱形和正方形是“對角線垂直四邊形”．故答案為③④；（2）證明：∵點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．∴HG∥AC，EF∥AC，∴HG∥EF，同理可得HE∥GF，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵DB⊥AC，∴HE⊥HG，∴∠EHG＝90°，∴四邊形EFGH是矩形；（3）解：小明的說法正確．S四邊形ABCD＝S△ADC+S△BAC=12?AC?OD+12?AC?BO=12?AC（OD+OB）即對角線垂直四邊形的面積是對角線之積的一半．21．已知△AOB和△COD都是等腰直角三角形固定△AOB，將△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．（1）如果△COD轉(zhuǎn)至如圖①點(diǎn)B、O、D共線的位置，判斷并證明四邊形EFGH是怎樣的四邊形．（2）如果△COD轉(zhuǎn)至如圖②兩邊不共線的位置，以上結(jié)論還成立嗎？請說明理由．【分析】（1）根據(jù)△AOB和△COD都是等腰直角三角形，點(diǎn)B、O、D共線，得出AC＝BD，AC⊥BD，再根據(jù)三角形中位線定理，得到四邊形EFGH是菱形，且∠EFG＝90°，最后得出四邊形EFGH是正方形；（2）先連接AC、BD，交于點(diǎn)P，BD與CO交于點(diǎn)Q，根據(jù)SAS判定△AOC≌△BOD，得出AC＝BD，且AC⊥BD，再運(yùn)用（1）中的方法，判定四邊形EFGH是正方形即可．【解析】（1）如圖，四邊形EFGH是正方形．理由：∵△AOB和△COD都是等腰直角三角形，∴CO＝DO，BO＝AO，∠COD＝∠AOB＝90°，又∵點(diǎn)B、O、D共線，∴點(diǎn)A、O、C共線，∴AC＝BD，AC⊥BD，∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴根據(jù)三角形中位線定理，可得EF＝GH=12AC=12BD＝EH＝FG，且EF∥AC，∴四邊形EFGH是菱形，∠EFG＝90°，∴四邊形EFGH是正方形；（2）△COD轉(zhuǎn)至兩邊不共線的位置，四邊形EFGH是正方形．理由：如圖，連接AC、BD，交于點(diǎn)P，BD與CO交于點(diǎn)Q，∵△AOB和△COD都是等腰直角三角形，∴CO＝DO，BO＝AO，∠COD＝∠AOB＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∠PCQ＝∠ODQ，又∵∠CQP＝∠DQO，∴∠CPQ＝∠DOQ＝90°，∴AC⊥BD，∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴根據(jù)三角形中位線定理，可得EF＝GH=12AC=12BD＝EH＝FG，且EF∥AC，∴四邊形EFGH是菱形，∠EFG＝90°，∴四邊形EFGH是正方形．22．（龍巖期末）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．（1）求證四邊形EFGH是菱形；（2）若AB＝3，BC＝4，求四邊形EFGH的面積．【分析】（1）連接AC、BD，由三角形中位線定理和矩形的性質(zhì)證出EF＝FG＝GH＝HE，即可得出結(jié)論；（2）連接EG、HF，則EG＝BC＝4，HF＝AB＝3，由菱形面積公式即可得出答案．【解析】（1）證明：如圖1，連接AC，BD，∵點(diǎn)E，F(xiàn)是AB，BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，EF=1同理可證HG∥AC，HG=1∴EF=HG=1同理