離散系統(tǒng)的極小值原理

極小值原理離散系統(tǒng)的極小值原理目錄離散歐拉公式離散極小值原理隨著數(shù)字計(jì)算機(jī)日益普及，計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)日益增多，因此，離散系統(tǒng)最優(yōu)控制問題的研究顯的十分重要，其原因是，一方面許多實(shí)際問題本身就是離散的，另一方面，即時(shí)實(shí)際系統(tǒng)是連續(xù)的，但為了對(duì)連續(xù)系統(tǒng)采用計(jì)算機(jī)控制，需要把時(shí)間整量化，從而得到一離散化系統(tǒng)。1離散歐拉方程當(dāng)控制序列不受約束時(shí)，可以采用離散變分法求解離散系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題，得到離散極值的必要條件——離散歐拉方程。設(shè)描述離散系統(tǒng)的狀態(tài)差分方程為：

（3-1）

式中是離散時(shí)刻的維狀態(tài)；是的維控制向量；是維向量函數(shù)序列，對(duì)于等間隔采樣，，為采樣周期；為數(shù)據(jù)窗口長(zhǎng)度。離散最優(yōu)控制問題中，性能指標(biāo)取為如下：（3-2）式中是第個(gè)采樣周期內(nèi)性能指標(biāo)的增量。設(shè)式（3-1）和式（3-2）構(gòu)成的離散最優(yōu)控制問題存在極值解，記為和，則在極值解附近的容許軌線和容許控制可以表示為（3-3）式中、和分別是、和的變分。將式（3-3）代入式（3-2）得離散性能泛函：（3-4）當(dāng)不考慮式（3-1）所示的等式約束時(shí)，為了求得上述離散拉格朗日問題的極值解，對(duì)式（3-4）取離散一次變分：（3-5）……可得離散泛函極值的必要條件：（3-6）以及（3-7）式（3-6）為向量差分方程，常稱為離散歐拉方程。而式（3-7）則是相應(yīng)的離散橫截條件。[例]設(shè)一階離散系統(tǒng)及其邊界條件為：性能指標(biāo)試求使性能指標(biāo)為極小的最優(yōu)控制序列和相應(yīng)的最優(yōu)狀態(tài)序列。[解]應(yīng)用拉格朗日乘子函數(shù)，構(gòu)造廣義離散泛函：則原泛函在狀態(tài)差分方程等式約束下的條件極小問題化為廣義泛函的無條件極小問題。這時(shí)：因?yàn)椋核杂呻x散歐拉方程（3-6）可得：其中為待定的常數(shù)。將代入狀態(tài)差分方程，有用迭代法求解上述差分方程，有：代入已知邊界條件，解得：因此，該離散系統(tǒng)的最優(yōu)控制與最優(yōu)軌線分別為：總結(jié)應(yīng)用離散歐拉方程求解等式約束和不等式約束的離散極值問題比較麻煩，而用離散極小值原理處理這種約束問題卻很方便。特別是，當(dāng)控制序列受約束時(shí)，離散變分法不再適用，只能用離散極小值原理或離散動(dòng)態(tài)規(guī)劃來求解離散極小值問題。2離散極小值原理龐特里亞金發(fā)表極小值原理時(shí)，只討論了連續(xù)系統(tǒng)的情況。為了獲得離散系統(tǒng)的極小值原理，有人曾經(jīng)從離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)比較接近這一事實(shí)出發(fā)，設(shè)想把連續(xù)極小值原理直接推廣到離散系統(tǒng)中去，但除了采樣周期足夠小的情況外，結(jié)果是失敗的。離散極小值原理的普遍論述比較復(fù)雜，證明過程也十分冗長(zhǎng)。為了簡(jiǎn)單起見，下面介紹控制向量序列不受約束情況下的離散極小值原理，然后不加證明地推廣到控制向量序列受約束的情況。離散極小值原理可以敘述如下：

[定理3-7]（關(guān)于離散系統(tǒng)末端狀態(tài)受約束）

[定理3-8]（關(guān)于離散系統(tǒng)末端狀態(tài)自由）[定理3-7]（關(guān)于離散系統(tǒng)末端狀態(tài)受約束）設(shè)離散系統(tǒng)狀態(tài)方程（3-8）性能指標(biāo)（3-9）式中、和都是其自變量的連續(xù)可微函數(shù)，，?？刂朴胁坏仁郊s束：，其中為容許控制域。末端狀態(tài)受下列等式約束限制：（3-10）式中

若是使性能指標(biāo)（3-9）為最小的最優(yōu)控制序列，是相應(yīng)的最優(yōu)狀態(tài)序列，則必存在維非零常向量和維向量函數(shù)，使得、和滿足如下必要條件：①和滿足下列差分方程（3-11）（3-12）式中離散哈密頓函數(shù)（3-13）②和滿足邊界條件（3-14）（3-15）（3-16）③離散哈密頓函數(shù)對(duì)最優(yōu)控制取極小值（3-17）若控制變量不受約束，即可以在整個(gè)控制空間中取值，則極值條件為（3-18）[定理3-8]（關(guān)于離散系統(tǒng)末端狀態(tài)自由）設(shè)離散系統(tǒng)狀態(tài)方程性能指標(biāo)式中、和都是其自變量的連續(xù)可微函數(shù)，，?？刂朴胁坏仁郊s束：，其中為容許控制域。末端狀態(tài)自由。若是使性能指標(biāo)為最小的最優(yōu)控制序列，是相應(yīng)的最優(yōu)狀態(tài)序列，則必存在維向量函數(shù)，使得、和滿足如下必要條件：①和滿足下列差分方程式中離散哈密頓函數(shù)②和滿足邊界條件③離散哈密頓函數(shù)對(duì)最優(yōu)控制取極小值若控制變量不受約束，即可以在整個(gè)控制空間中取值，則極值條件為例已知離散系統(tǒng)性能指標(biāo)求使性能指標(biāo)達(dá)到極小的最優(yōu)控制序列。[解]本例，末態(tài)自由，可用定理3-8求解。令離散哈密頓函數(shù)因?yàn)樗约矗阂虼耍焊鶕?jù)狀態(tài)方程可得：根據(jù)已知的，最后求得最優(yōu)軌線、最優(yōu)控制和最優(yōu)性能指標(biāo)為：離散與連續(xù)極小值原理的比較離散系統(tǒng)最優(yōu)