第02講 球體的外接與內切問題（學生版）-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫

Page第02講球體的外接與內切問題（11類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2023年新I卷，第12題,5分球體相關計算正棱錐及圓柱體的相關計算2022年新I卷，第8題,5分球的體積的有關計算多面體與球體內切外接問題錐體體積的有關計算由導數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)2022年新Ⅱ卷，第7題,5分球的表面積的有關計算多面體與球體內切外接問題無2021年新Ⅱ卷，第4題,5分球的表面積的有關計算無2020年新I卷，第4題,5分球的截面的性質及計算無2020年新I卷，第16題,5分球的截面的性質及計算無2020年新Ⅱ卷，第4題,5分球的截面的性質及計算無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內容是新高考卷的?？純热荩O題穩(wěn)定，難度較中等或偏上，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握球體的表面積公式和體積公式2.熟練掌握不同模型的球體的外接球和內切球的相關計算3.會利用（二級）結論快速解題【命題預測】本節(jié)內容是新高考卷的?？純热?，一般有特殊幾何體、墻角問題、對棱相等、側棱垂直于底面、側面垂直于底面的外接內切問題，需強化復習.知識講解球的表面積和體積公式球的表面積：S＝4πR2球的體積：V＝eq\f(4,3)πR3球的切接概念空間幾何體的外接球：球心到各個頂點距離相等且等于半徑的球是幾何體的外接球空間幾何體的內切球：球心到各面距離相等且等于半徑的球是幾何體的內切球幾個與球有關的切、接常用結論(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球為正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球為正方體的內切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面體的外接球與內切球的半徑之比為3∶1.墻角模型（三條直線兩兩垂直）補形為長方體，長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).直棱柱外接球之漢堡模型（1）補型：補成長方體，若各個頂點在長方體的頂點上，則外接球與長方體相同（2）作圖：構造直角三角形，利用勾股定理直三校柱內接于一球（棱柱的上下底面為直角三角形）R底面外接圓的半徑r的求法（1）正弦定理（2）直角三角形：半徑等于斜邊的一半（3）等邊三角形：半徑等于三分之二高（4）長（正）方形：半徑等于對角線的一半正棱錐類型h?R2+側棱垂直與底面-垂面型R側面垂直與底面-切瓜模型如圖：平面PAC⊥平面BAC,AB⊥BC(AC為小圓直徑)

（1）由圖知球心O必為△PAC的外心,即△PAC在大圓面上,先求出小圓面直徑AC的長;

（2如圖：:平面PAC⊥平面BAC（1）確定球心O的位置,由圖知P,O,H三點共線;

（2）算出小圓面半徑AH=r,算出棱錐的高PH=?

（內切球如圖：求任意三棱雉的內切球半徑(等體積法)

（1）先求出四個表面的面積和整個椎體的體積;

（2）設內切球半徑為r,建立等式:VP?

（3）解出r結論：若棱錐的體積為V，表面積為S，則內切球的半徑為.考點一、特殊幾何體外接球1．（廣東·高考真題）棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為．2．（天津·高考真題）一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積為．3．（2022·全國·高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．4．（2024高三·全國·專題練習）在一個半徑為2的半球形封閉容器內放入兩個半徑相同的小球，則這兩個小球的表面積之和最大為（

）A． B． C． D．5．（2024·福建泉州·模擬預測）已知一圓臺內切球與圓臺各個面均相切，記圓臺上、下底面半徑為，若r1r2=1A． B． C．2 D．6．（2024·浙江·模擬預測）已知邊長為6的正方體與一個球相交，球與正方體的每個面所在平面的交線都為一個面積為的圓，則該球的表面積為（

）A．96π B． C． D．1．（2023·浙江紹興·模擬預測）已知某正六棱柱的所有棱長均為2，則該正六棱柱的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知某圓錐底面半徑為1，高為2，則該圓錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．3．（2024·寧夏石嘴山·一模）已知正四棱錐的底面邊長為2，高為4，它的所有頂點都在同一球面上，則這個球的表面積是4．（2024·陜西西安·模擬預測）已知圓柱的底面直徑為，它的兩個底面的圓周都在同一個表面積為的球面上，該圓柱的體積為（

）A． B． C． D．5．（2024·廣西·模擬預測）已知正四棱柱的底面棱長與側棱長之比為1：2，且其外接球的表面積為，則該正四棱柱的側面積為（

）A．12 B．24 C．36 D．486．（2024·全國·模擬預測）已知圓柱的體積為，且圓柱的底面直徑和高都等于球O的直徑，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．考點二、墻角問題1．（2024·陜西咸陽·二模）已知三棱錐中，，，，底面，且，則該三棱錐的外接球的表面積為．2．（2023·天津·?？寄M預測）已知三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，且，則此三棱錐的外接球的體積為A． B． C． D．3．（2021春·廣西柳州·高三柳鐵一中?？茧A段練習）已知三棱錐的四個頂點都在球的表面上，平面，且，則球的表面積為A． B． C． D．1．（2022·四川達州·統(tǒng)考二模）四面體的每個頂點都在球的球面上，兩兩垂直，且，，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·四川成都·石室中學?？既＃┤羧忮FP-ABC的所有頂點都在同一個球的表面上，其中PA⊥平面ABC，，，，則該球的體積為（

）A． B． C． D．考點三、對棱相等問題1．（2023·陜西西安·模擬預測）三棱錐中，，，，那么該三棱錐外接球的表面積是．2．（2024·重慶·模擬預測）已知四面體ABCD中，，若四面體ABCD的外接球的表面積為7，則四面體ABCD的體積為（

）A．1 B．2 C． D．1．（2023·遼寧·鞍山一中校聯(lián)考模擬預測）在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·甘肅張掖·統(tǒng)考模擬預測）在四面體中，，則四面體外接球表面積是（

）A． B． C． D．考點四、側棱垂直底面問題1．（2024·河北·三模）已知三棱錐，平面，，，若三棱錐外接球的表面積為，則此三棱錐的體積為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·湖南常德·一模）已知三棱錐中，平面，4，3，，7，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2024·青海·二模）如圖，已知在四棱錐中，底面四邊形為等腰梯形，，，底面積為，且，則四棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．1．（2024·福建廈門·模擬預測）已知三棱錐中，平面，，，，，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·廣西柳州·柳州高級中學校聯(lián)考模擬預測）在三棱錐P－ABC中，，，且，，，，則此三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．3．（2023·山東德州·三模）在四棱錐中，底面為矩形，平面，點為上靠近的三等分點，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．考點五、側面垂直于底面問題1．（2024·山東泰安·二模）已知四面體的各頂點都在同一球面上，若，平面平面，則該球的表面積是（

）A． B． C． D．2．（2024·四川·模擬預測）已知在三棱錐中，，，，平面平面，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽合肥·模擬預測）已知四棱錐的各頂點在同一球面上，若，為正三角形，且面面，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．1．（2024·寧夏固原·一模）已知四面體的各頂點均在球的球面上，平面平面，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）如圖，邊長為的正方形ABCD所在平面與矩形ABEF所在的平面垂直，，N為AF的中點，，則三棱錐外接球的表面積為（

）

A． B． C． D．3．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知正方體的棱長為1，P為棱的中點，則四棱錐P－ABCD的外接球表面積為（

）A． B． C． D．考點六、二面角與球體綜合1．（2024·全國·模擬預測）在菱形中，，，將沿翻折，使二面角的余弦值為，則四面體的外接球的表面積為.2．（2024·陜西咸陽·二模）已知三棱錐中，，三角形為正三角形，若二面角為，則該三棱錐的外接球的體積為．3．（2024·湖北·模擬預測）已知菱形的邊長為，，沿對角線將菱形折起，使得二面角為鈍二面角，且折后所得四面體外接球的表面積為，則二面角的余弦值為.1．（2024·河北保定·三模）在三棱錐中，已知是邊長為2的正三角形，且.若和的面積之積為，且二面角的余弦值為，則該三棱錐外接球的表面積為.2．（2024·四川南充·二模）已知菱形中，對角線，將沿著折疊，使得二面角為，，則三棱錐的外接球的表面積為.

3．（2024·河南·一模）在四棱錐中，已知平面平面，，若二面角的正切值為，則四棱錐外接球的表面積為．考點七、數(shù)學文化與球體綜合1．（23-24高二上·重慶九龍坡·階段練習）蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴“有用腳蹴?踢的含義，“鞠”最早系外包皮革?內飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴?踢皮球的活動，類似今日的踢足球活動.已知某“鞠”的表面上有四個點P?A?B?C，其中平面，，則該球的體積為（

）

A． B． C． D．2．（2024高三·全國·專題練習）三星堆古遺址作為“長江文明之源“，被譽為人類最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一．3號坑發(fā)現(xiàn)的神樹紋玉琮，為今人研究古蜀社會中神樹的意義提供了重要依據(jù)．玉琮是古人用于祭祀的禮器，有學者認為其外方內圓的構造，契合了古代“天圓地方”觀念，是天地合一的體現(xiàn)，如圖，假定某玉琮形狀對稱，由一個空心圓柱及正方體構成，且圓柱的外側面內切于正方體的側面，圓柱的高為12cm，圓柱底面外圓周和正方體的各個頂點均在球O上，則球O的表面積為3．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習）粽子，古時北方也稱“角黍”，是由粽葉包裹糯米、泰米等餡料蒸煮制成的食品，是中國漢族傳統(tǒng)節(jié)慶食物之一，端午食粽的風俗，千百年來在中國盛行不衰，粽子形狀多樣，餡料種類繁多，南北方風味各有不同，某四角蛋黃粽可近似看成一個正四面體，蛋黃近似看成一個球體，且每個粽子里僅包裹一個蛋黃，若粽子的棱長為6cm，則其內可包裹的蛋黃的最大體積為．

4．（2024·遼寧葫蘆島·一模）《九章算術》中記錄的“羨除”是算學和建筑學術語，指的是一段類似隧道形狀的幾何體，如圖，羨除中，底面是正方形，平面，和均為等邊三角形，且．則這個幾何體的外接球的體積為．1．（23-24高一下·浙江·期中）《九章算術》是我國古代的數(shù)學專著，是“算經(jīng)十書”（漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書）中非常重要的一部．在《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．已知“塹堵”的所有頂點都在球的球面上，且．若球的表面積為，則這個三棱柱的表面積是（

）A．2+22 B． C． D．2．（2024·四川成都·模擬預測）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如圖）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《論球與圓柱》中記錄了一個被后人稱作“Archimedes’Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面積（如上圖，這里的表面積不含底面的圓的面積）.某同學制作了一個工藝品，如下圖所示.該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為4的正方體的六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），即一個球去掉了6個球冠后剩下的部分.若其中一個截面圓的周長為，則該工藝品的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2024·四川雅安·模擬預測）如圖是以正方體的各條棱的中點為頂點的多面體，這是一個有八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長為，則該多面體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．4．（2023·浙江溫州·二模）如今中國被譽為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程?高鐵里程雙雙都是世界第一.建設過程中研制出用于基建的大型龍門吊?平衡盾構機等國之重器更是世界領先.如圖是某重器上一零件結構模型，中間最大球為正四面體的內切球，中等球與最大球和正四面體三個面均相切，最小球與中等球和正四面體三個面均相切，已知正四面體棱長為，則模型中九個球的表面積和為（

）A． B． C． D．21π考點八、最值與球體綜合1．（2024·河南·模擬預測）已知體積為的正四棱錐的所有頂點均在球的球面上，則球的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江溫州·模擬預測）不計容器壁厚度的有蓋立方體容器的邊長是1，向其中放入兩個小球，則這兩個小球的體積之和的最大值是.3．（23-24高三上·浙江·階段練習）在四棱錐中，底面是直角梯形，，.若，且三棱錐的外接球的表面積為，則當四棱錐的體積最大時，長為（

）A． B．2 C． D．4．（2023·河南·三模）已知四棱錐的高為，底面為菱形，，分別為的中點，則四面體的體積為；三棱錐的外接球的表面積的最小值為．5．（2024·廣東廣州·二模）用兩個平行平面去截球體，把球體夾在兩截面之間的部分稱為球臺．根據(jù)祖暅原理（“冪勢既同，則積不容異”），推導出球臺的體積，其中分別是兩個平行平面截球所得截面圓的半徑，是兩個平行平面之間的距離．已知圓臺的上、下底面的圓周都在球的球面上，圓臺的母線與底面所成的角為，若圓臺上、下底面截球所得的球臺的體積比圓臺的體積大，則球O的表面積與圓臺的側面積的比值的取值范圍為．1．（23-24高三上·福建龍巖·階段練習）2006年5月20日，蹴鞠作為非物質文化遺產經(jīng)國務院批準列入第一批國家級非物質文化遺產名錄.“蹴”有用腳蹴?踢的含義，“鞠”最早是外包皮革?內飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴?踢皮球的活動.如圖所示，若將“鞠”的表面視為光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四個點，滿足平面，若的面積為2，則制作該“鞠”的外包皮革面積的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2024·河南洛陽·模擬預測）已知圓臺的上、下底面中心分別為，且，上、下底面半徑分別為2，12，在圓臺容器內放置一個可以任意轉動的球，則該球表面積的最大值為（

）A． B． C． D．248π3．（2024·江蘇南通·三模）已知一個正四棱臺的上、下底面邊長分別為2，8，側棱長為，則該正四棱臺內半徑最大的球的表面積為（

）A． B． C． D．4．（2024·河南·模擬預測）在四棱錐中，若，其中是邊長為2的正三角形，則四棱錐外接球表面積的最小值為（

）A．323π27 B． C． D．5．（2023·湖南長沙·模擬預測）已知A，B，C，D是體積為的球體表面上四點，若，，，且三棱錐A－BCD的體積為，則線段CD長度的最大值為（

）A． B． C． D．考點九、內切球綜合1．（2024高三上·全國·競賽）若底面邊長為2的正六棱柱存在內切球，則其外接球體積是.2．（2023·湖北·二模）已知直三棱柱存在內切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2023·湖南長沙·模擬預測）如圖，四邊形為平行四邊形，，，，現(xiàn)將沿直線翻折，得到三棱錐，若，則三棱錐的內切球表面積為．

4．（22-23高一下·安徽·階段練習）棱長為的正四面體內切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球，則這樣一個小球的表面積最大為（

）A． B． C． D．5．（2023·甘肅金昌·模擬預測）在底面是邊長為4的正方形的四棱錐中，點在底面的射影為正方形的中心，異面直線與所成角的正切值為，則四棱錐的內切球與外接球的半徑之比為（

）A． B． C． D．1．（2024·湖北·二模）已知圓錐PO的頂點為P，其三條母線PA，PB，PC兩兩垂直，且母線長為6，則圓錐PO的內切球表面職與圓錐側面積之和為（

）A． B． C． D．2．（22-23高三上·福建·階段練習）已知正三棱錐中，側面與底面所成角的正切值為，，這個三棱錐的內切球和外接球的半徑之比為（

）A． B． C． D．3．（2023·湖南郴州·三模）已知三棱錐的棱長均為4，先在三棱錐內放入一個內切球，然后再放入一個球，使得球與球及三棱錐的三個側面都相切，則球的表面積為.4．（2024·河南開封·二模）已知經(jīng)過圓錐SO的軸的截面是正三角形，用平行于底面的截面將圓錐SO分成兩部分，若這兩部分幾何體都存在內切球（與各面均相切），則上、下兩部分幾何體的體積之比是（

）A． B． C． D．5．（2024·江蘇宿遷·三模）若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個球是這個多面體的內切球．在四棱錐中，側面是邊長為1的等邊三角形，底面為矩形，且平面平面．若四棱錐存在一個內切球，設球的體積為，該四棱錐的體積為，則V1V2的值為（

）A． B． C． D．考點十、球心不確定類型1．（2024·陜西商洛·模擬預測）在三棱錐中，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖所示，在六面體中，，，，則該六面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2024·湖北荊州·模擬預測）三棱錐的四個頂點在球O的球面上，，，，頂點P到的三邊距離均等于4，且頂點P在底面的射影在的內部，則球O的表面積等于（

）A． B． C． D．1．（2024·山西朔州·一模）在三棱錐中，，若是等邊三角形，則三棱錐的外接球的體積是（

）A． B．86π C． D．2．（2024·陜西安康·模擬預測）如圖，在三棱錐中，，，為的中點，，與平面所成的角為，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2023·河北秦皇島·校聯(lián)考二模）已知正方體的棱長為2，P，Q分別是，的中點，則經(jīng)過點，Q，C，D，C1的球的表面積為（

）A． B． C． D．考點十一、球體多選題綜合1．（2023·云南·一模）已知正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則下列結論正確的是（

）A．正四棱錐的體積為 B．正四棱錐的側面積為16C．外接球的表面積為 D．外接球的體積為2．（2023·安徽合肥·模擬預測）已知半徑為R的球與圓臺的上下底面和側面都相切.若圓臺上下底面半徑分別為r1和r2，母線長為l，球的表面積與體積分別為S1和V1，圓臺的表面積與體積分別為S2和V2.則下列說法正確的是（

）A．l=r1+C． D．的最大值為3．（2023·河北·模擬預測）已知正三棱錐的側面均為等腰直角三角形，動點在其內切球上，動點在其外接球上，且線段長度的最小值為，設該正三棱錐內切球的球心為，外接球的球心為，則（

）A．，，三點共線B．平面C．正三棱錐外接球的體積為D．正三棱錐內切球的表面積為4．（2023·安徽淮南·二模）如圖，棱長為2的正四面體中，，分別為棱，的中點，為線段的中點，球的表面與線段AD相切于點，則下列結論中正確的是（

）

A．平面B．球的體積為23C．球被平面截得的截面面積為D．球被正四面體表面截得的截面周長為8335．（2023·全國·模擬預測）與那些英雄們的墓志銘相比，大概只有數(shù)學家的墓志銘最為言簡意賅．他們的墓碑上往往只是刻著一個圖形或寫著一個數(shù)，這些形和數(shù)，展現(xiàn)著他們一生的執(zhí)著追求和閃光的業(yè)績．古希臘數(shù)學家阿基米德就是這樣，他的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱里內切著一個球．這個球的直徑恰與圓柱的高相等．這個稱為“等邊圓柱”的圖形如圖所示，記內切球的球心為，圓柱上、下底面的圓心分別為，，四邊形是圓柱的一個軸截面，為底面圓的一條直徑，若圓柱的高為4，則（

）

A．內切球的表面積與圓柱的表面積之比為2：3B．圓柱的外接球的體積與圓柱的體積之比為4：3C．四面體的體積的最大值為D．平面截得球的截面面積的取值范圍為1．（23-24高三上·全國·階段練習）如圖，球的半徑為，球面上的三個點的外接圓為圓，且，則下列說法正確的是（

）A．球的表面積為B．若的面積為C．若，則三棱錐的體積是D．三棱錐體積的最大值為2．（2023·廣東·二模）如圖所示，四邊形是邊長為4的正方形，分別為線段上異于點的動點，且滿足，點為的中點，將點沿折至點處，使平面，則下列判斷正確的是（

）

A．若點為的中點，則五棱錐的體積為B．當點與點重合時，三棱錐的體積為C．當點與點重合時，三棱錐的內切球的半徑為D．五棱錐體積的最大值為3．（23-24高三下·江西·開學考試）化學中經(jīng)常碰到正八面體結構（正八面體是每個面都是正三角形的八面體），如六氟化硫（化學式SF6）?金剛石等的分子結構.將正方體六個面的中心連線可得到一個正八面體（如圖1），已知正八面體的（如圖2）棱長為2，則（

）A．正八面體的內切球表面積為B．正八面體的外接球體積為C．若點為棱上的動點，則的最小值為D．若點為棱上的動點，則三棱錐的體積為定值4．（2023·湖南長沙·一模）如圖圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，為圓柱上下底面的圓心，為球心，為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則下列各選項正確的是（

）A．球與圓柱的體積之比為B．四面體的體積的取值范圍為C．平面截得球的截面面積最小值為D．若為球面和圓柱側面的交線上一點，則的取值范圍為5．（2024·江西上饒·一模）空間中存在四個球，它們半徑分別是2，2，4，4，每個球都與其他三個球外切，下面結論正確的是（

）A．以四個球球心為頂點的四面體體積為B．以四個球球心為頂點的四面體體積為C．若另一小球與這四個球都外切，則該小球半徑為D．若另一小球與這四個球都內切，則該小球半徑為一、單選題1．（2024·安徽安慶·三模）已知圓錐的軸截面是等邊三角形，則其外接球與內切球的表面積之比為（

）A． B． C． D．2．（2024·山東棗莊·模擬預測）已知圓柱的底面半徑為1，母線長為2，它的兩個底面的圓周在同一個球的球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2024·內蒙古呼和浩特·二模）已知某圓臺的母線長為，母線與軸所在直線的夾角是，且上、下底面的面積之比為，則該圓臺外接球的表面積為（

）A． B． C． D．4．（2024·青海海西·模擬預測）如圖，圓柱形容器內部盛有高度為的水，若放入3個相同的鐵球（球的半徑與圓柱底面半徑相等）后，水恰好淹沒最上面的鐵球，則一個鐵球的表面積為（

）A． B． C． D．5．（2024·山西太原·二模）已知圓錐的頂點為P，底面圓的直徑，，則該圓錐內切球的體積為（

）A． B． C． D．6．（2024·廣東廣州·模擬預測）如圖所示，某同學制作了一個工藝品.該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為8的正方體的六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合）.若其中一截面圓的周長為，則球的體積為（

）A． B． C． D．7．（2024·安徽合肥·模擬預測）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓面叫做球冠的底，垂直于圓面的直徑被截得的一段叫做球冠的高．球冠也可看作圓弧繞過它的一個端點的直徑旋轉一周所成的曲面．假設球面對應球的半徑是R，球冠的高是h，那么球冠的表面積公式為．據(jù)中國載人航天工程辦公室消息，北京時間2023年12月21日21時35分，經(jīng)過約7.5小時的出艙活動，航天員湯洪波、唐勝杰已安全返回天和核心艙，神舟十七號航天員乘組第一次出艙活動取得圓滿成功．若航天員湯洪波出倉后站在機械臂上，以背后的地球為背景，如圖所示，面向鏡頭招手致意，此時湯洪波距離地球表面約為400km（圖中的點A處），設地球半徑約為Rkm，則此時湯洪波回望地球時所能看到的地球的表面積為（

）A． B． C． D．二、填空題8．（2024·山東菏澤·模擬預測）已知正方體棱長為2，若點是線段的中點，則三棱錐的外接球的表面積為.9．（2024·貴州貴陽·三模）在三棱錐中，面，則三棱錐的外接球的表面積為.10．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）圓臺中，圓的半徑是圓半徑的2倍，且恰為該圓臺外接球的球心，則圓臺的側面積與其外接球的表面積的比值為．一、單選題1．（2024·江西南昌·三模）已知三棱錐中，是邊長為2的正三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別是線段的中點，若，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2024·四川內江·模擬預測）如圖，四邊形是一個角為且邊長為的菱形，把沿BD折起，得到三棱錐.若，則三棱錐的外接球的表面積為（

）

A． B． C． D．3．（2024·江西鷹潭·三模）在菱形中，，，將沿對角線折起，使點到達的位置，且二面角為直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．4．（2024·陜西銅川·模擬預測）已知正方形ABCD的頂點均在表面積為的球O的球面上，則當四棱錐的體積取得最大值時，點O到平面ABCD的距離為（

）A． B． C． D．二、填空題5．（2024·山東泰安·模擬預測）圓臺內有一個球，該球與圓臺的側面和上下底面均相切，球的球心為.已知圓臺上底面圓的半徑為1，下底面圓的半徑為，母線與底面所成的角為，且.若該圓臺的上下兩個底面都在同一個球的球面上，該球的球心為，記圓臺的表面積為，體積為，球的表面積為，則V=，.6．（2024·湖北武漢·模擬預測）在三棱錐中，，且.記直線，與平面所成角分別為，，已知，當三棱錐的體積最小時，則三棱錐外接球的表面積為.7．（2024·青海海南·二模）已知直四棱柱的側棱長為3，底面ABCD是邊長為2的菱形，為棱上的一點，且，若以為球心的球經(jīng)過