第04講 空間中的垂直關(guān)系（線線垂直、線面垂直、面面垂直）（學生版）-2025版高中數(shù)學一輪復(fù)習考點幫

Page第04講空間中的垂直關(guān)系（線線垂直、線面垂直、面面垂直）（10類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2024年新I卷，第17題,15分證明面面垂直證明線面平行由二面角大小求線段長度2024年新Ⅱ卷，第17題,15分證明線面垂直線面垂直證明線線垂直求平面的法向量面面角的向量求法2023年新Ⅱ卷，第20題,12分證明線面垂直線面垂直證明線線垂直面面角的向量求法2021年新I卷，第20題,12分線面垂直證明線線垂直面面垂直證線面垂直錐體體積的有關(guān)計算由二面角大小求線段長度或距離2021年新Ⅱ卷，第10題,5分證明線面垂直線面垂直證明線線垂直求異面直線所成的角2021年新Ⅱ卷，第19題,12分證明面面垂直面面角的向量求法2020年新I卷，第20題,12分證明線面垂直線面角的向量求法2020年新I卷，第20題,12分證明線面垂直線面角的向量求法2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等偏難，分值為5-15分【備考策略】1.熟練掌握線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理及其應(yīng)用2.熟練掌握面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理及其應(yīng)用【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般在解答題中考查線面垂直、面面垂直的判定及其性質(zhì)，需強化鞏固復(fù)習.知識講解空間中的垂直關(guān)系線線垂直①等腰三角形（等邊三角形）的三線合一證線線垂直②勾股定理的逆定理證線線垂直③菱形、正方形的對角線互相垂直線面垂直的判定定理判定定理：一直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，則線面垂直圖形語言符號語言線面垂直的性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：一直線與平面垂直，則這條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線圖形語言符號語言性質(zhì)定理2：垂直于同一個平面的兩條直線平行圖形語言符號語言面面垂直的判定定理判定定理：一個平面內(nèi)有一條直線垂直于另一個平面，則兩個平面垂直（或：一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則面面垂直）圖形語言符號語言面面垂直的性質(zhì)定理性質(zhì)定理：兩平面垂直，其中一個平面內(nèi)有一條直線與交線垂直，則這條直線垂直于另一個平面圖形語言符號語言考點一、線面垂直判定定理（特殊圖形）1．（23-24高三上·上海閔行·期中）正四棱錐中，，，其中為底面中心，為上靠近的三等分點．(1)求證：平面；(2)求四面體的體積．2．（22-23高二下·湖南郴州·期末）如圖，直三棱柱中，是邊長為的正三角形，為的中點．（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成的角的正切值為，求平面與平面夾角的余弦值．1．（22-23高二上·北京·階段練習）如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，為的中點．(1)求證：平面PAC；(2)若點是棱的中點，求證：平面PAE．2．（2024·新疆喀什·三模）如圖，在正四棱臺中，，，是的中點．(1)求證：直線平面BDD1(2)求直線與平面所成角的正弦值考點二、線面垂直判定定理（三線合一）1．（2024·陜西榆林·一模）在三棱錐中，為的中點.(1)證明：⊥平面.(2)若，平面平面，求點到平面的距離.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，點為棱的中點，點為的中點，，，都是正三角形．(1)求證：AO⊥平面；(2)若三棱錐的體積為，求三棱錐的表面積．1．（2024·青海·二模）如圖，在三棱柱中，所有棱長均相等，，，.

(1)證明；AO⊥平面.(2)若二面角的正弦值.2．（2023·陜西西安·三模）如圖，在三棱柱中，平面ABC，D，E分別為AC，的中點，，．(1)求證：平面；(2)求點D到平面ABE的距離．考點三、線面垂直判定定理（勾股定理、余弦定理）1．（2023·北京·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；(2)求二面角的大小．2．（2024·海南·模擬預(yù)測）如圖，已知線段為圓柱OO1的三條母線，AB為底面圓的一條直徑，是母線的中點，且.(1)求證：A1O⊥平面(2)求平面與平面的夾角的余弦值.1．（2024·廣西·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，，，四邊形是菱形，，是棱上的動點，且.

(1)證明：平面.(2)是否存在實數(shù)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

2．（2024·重慶·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面為等邊三角形，，點為棱上的動點．(1)證明：DC⊥平面；(2)當二面角的大小為時，求線段的長度．3．（23-24高一下·浙江寧波·期中）如圖，已知三棱臺的體積為，平面平面，是以為直角頂點的等腰直角三角形，且，

(1)證明：平面；(2)求點到面的距離；(3)在線段上是否存在點，使得二面角的大小為，若存在，求出的長，若不存在，請說明理由.考點四、線面垂直判定定理（全等與相似）1．（2023·北京房山·一模）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面ABCD，，M為BC的中點.(1)求證：平面PBD；(2)求平面ABCD與平面APM所成角的余弦值；(3)求D到平面APM的距離.1．（2024·寧夏銀川·一模）如圖，在四棱錐中，已知是的中點.(1)證明：平面；(2)若，點是的中點，求點到平面的距離.考點五、線面垂直判定定理（空間向量）1．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，已知正三棱柱分別為棱的中點．

(1)求證：A1B⊥平面(2)求二面角的正弦值．2．（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，，，.(1)當時，求證：平面；(2)設(shè)二面角的大小為，求cosθ的取值范圍.3．（2024·湖南岳陽·三模）已知四棱錐的底面是邊長為4的菱形，，，，是線段上的點，且．

(1)證明：平面；(2)點在直線上，求與平面所成角的最大值．1．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）如圖，為菱形，，∠ACB=120°，平面平面，點F在上，且，分別在直線上．(1)求證：平面；(2)把與兩條異面直線都垂直且相交的直線叫做這兩條異面直線的公垂線，若，MN為直線的公垂線，求的值.2．（2024·重慶·三模）如圖，在圓錐PO中，AC為圓錐底面的直徑，為底面圓周上一點，點在線段BC上，，.(1)證明：平面BOP；(2)若圓錐PO的側(cè)面積為18π，求二面角的余弦值.3．（23-24高三下·河北滄州·階段練習）如圖，在直三棱柱中，△為邊長為2的正三角形，為中點，點在棱上，且.(1)當時，求證平面；(2)設(shè)為底面的中心，求直線與平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值時的值.考點六、線面垂直性質(zhì)定理1．（2022·全國·高考真題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．2．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，AB//DC，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．3．（2023·全國·高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．(1)證明：；(2)點F滿足，求二面角的正弦值．4．（2024·全國·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．1．（2024·河北保定·二模）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，分別為的中點，且．

(1)證明：．(2)若，求平面與平面夾角的余弦值．2．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，已知斜三棱柱的側(cè)面是菱形，，．(1)求證：；(2)求平面與平面夾角的余弦值．3．（2024·山東煙臺·一模）如圖，在三棱柱中，，為的中點，A1O⊥平面.

(1)求證：AA(2)若AA1=24．（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖，在四棱臺中，底面為正方形，為等邊三角形，為的中點．(1)證明：；(2)若，，求直線與平面所成角的余弦值．5．（2022·陜西·一模）如圖，已知直三棱柱，，，分別為線段，，的中點，為線段上的動點，，.(1)若，試證；(2)在（1）的條件下，當時，試確定動點的位置，使線段與平面所成角的正弦值最大.考點七、面面垂直判定定理1．（2021·全國·高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且PB⊥AM．（1）證明：平面PAM⊥平面；（2）若PD=DC=1，求四棱錐的體積．2．（2021·全國·高考真題）在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．3．（2022·全國·高考真題）如圖，四面體中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E為AC的中點．(1)證明：平面平面ACD；(2)設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60°，點F在BD上，當?shù)拿娣e最小時，求三棱錐F?ABC的體積．4．（2023·全國·高考真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，求四棱錐的高．5．（2023·全國·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，.

(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.1．（2024·河南·三模）如圖，在四棱錐中，平面平面，且．

(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的正弦值．2．（2024·河北滄州·二模）如圖，在三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，四邊形為菱形，，三棱柱的體積為3．

(1)證明：平面平面；(2)若為棱的中點，求平面與平面的夾角的正切值．3．（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，為棱上一點，且．

(1)證明：平面平面；(2)求二面角的大小．4．（2024·四川德陽·三模）如圖，在三棱柱中，底面是等邊三角形，，D為的中點，過的平面交棱于E，交于F.(1)求證：平面平面；(2)設(shè)M為的中點，平面交于P，且.若，且，求四棱錐的體積.5．（2023·黑龍江佳木斯·三模）如圖，在四棱錐中，平面平面，，底面為等腰梯形，，且．(1)證明：平面平面；(2)若點A到平面PBC的距離為，求平面與平面夾角的余弦值．考點八、面面垂直性質(zhì)定理1．（2021·全國·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.2．（2024·湖南衡陽·三模）如圖所示，在三棱柱中，已知平面平面，，，.(1)證明：平面；(2)已知E是棱的中點，求平面與平面夾角的余弦值.3．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，，，，點是棱的中點，，.(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的余弦值.1．（2024·安徽蕪湖·三模）如圖，三棱錐中，平面平面，平面平面，平面平面，(1)求證：兩兩垂直；(2)若為中點，為中點，求與平面所成角的正弦值．2．（2024·陜西西安·三模）在四棱錐中，平面平面，，，，．(1)證明：．(2)若為等邊三角形，求點C到平面的距離．3．（2024·四川·模擬預(yù)測）如圖，在以為頂點的五面體中，四邊形為正方形，四邊形為等腰梯形，，且平面平面．(1)證明：；(2)求三棱錐的體積．考點九、翻折問題綜合1．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）如圖，在直角梯形中，，，，是的中點，是與的交點．將沿折起到的位置，如圖．(1)證明：平面平面；(2)若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．2．（2024·安徽合肥·三模）如圖一：等腰直角中且，分別沿三角形三邊向外作等腰梯形使得，沿三邊折疊，使得，重合于，如圖二(1)求證：．(2)求直線與平面所成角的正弦值．3．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）如圖所示，在等腰梯形中，，，，E為CD中點，AE與BD相交于點O，將沿AE折起，使點D到達點P的位置（平面）．(1)求證：平面平面PBC；(2)若，試判斷線段PB上是否存在一點Q（不含端點），使得直線PC與平面所成角的正弦值為，若存在，求Q在線段PB上的位置；若不存在，說明理由．1．（2024·江西南昌·三模）如圖1，四邊形為菱形，，，分別為，的中點，如圖2．將沿向上折疊，使得平面平面，將沿向上折疊．使得平面平面，連接.(1)求證：，，，四點共面：(2)求平面與平面所成角的余弦值.2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖1，在矩形中，，，將沿矩形的對角線進行翻折，得到如圖2所示的三棱錐，且.(1)求翻折后線段的長；(2)點滿足，求與平面所成角的正弦值.3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）如圖（1），在平面五邊形中，，將沿折起得到四棱錐，如圖（2），滿足，且.(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.考點十、補全條件及圖形證空間中的垂直關(guān)系1．（2023·貴州銅仁·二模）如圖，在直三棱柱中，，．(1)試在平面內(nèi)確定一點H，使得平面，并寫出證明過程；(2)若平面與底面所成的銳二面角為60°，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．2．（2021·河南·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AA1＝1，，點D，E分別為AC和B1C1的中點．(1)棱AA1上是否存在點P使得平面PBD⊥平面ABE？若存在，寫出PA的長并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．(2)求點A到平面BDE的距離．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，四邊形為圓臺的軸截面，，圓臺的母線與底面所成的角為45°，母線長為，是的中點．(1)已知圓內(nèi)存在點，使得平面，作出點的軌跡（寫出解題過程）；(2)點是圓上的一點（不同于，），，求平面與平面所成角的正弦值．1．（2024·上?！つM預(yù)測）如圖，多面體是由一個正四棱錐A?BCDE與一個三棱錐拼接而成，正四棱錐A?BCDE的所有棱長均為，且．(1)在棱上找一點，使得平面平面，并給出證明；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．2．（21-22高三上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，四邊形為正方形，若平面，，，．(1)在線段上是否存在點，使平面平面，請說明理由；(2)求多面體的體積．3．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，AA1=4，且底面ABCD，點P、Q分別是棱、的中點．

(1)在底面內(nèi)是否存在點M，滿足平面CPQ?若存在，請說明點M的位置，若不存在，請說明理由；(2)設(shè)平面CPQ交棱于點T，平面CPTQ將四棱臺，分成上、下兩部分，求上、下兩部分的體積比．1．（2024·黑龍江·三模）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點.(1)證明：平面；(2)若二面角的余弦值為，求點到平面的距離.2．（2024·貴州貴陽·三模）如圖，在三棱錐中，，平面平面.(1)證明:平面PAC；(2)若為棱上靠近的三等分點，求直線與平面所成角的正弦值.3．（2024·安徽安慶·三模）如圖，在四棱錐中，，，連接．(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角正弦值的大?。?．（23-24高三下·河南·階段練習）如圖所示，在三棱錐中，與AC不垂直，平面平面，．(1)證明：；(2)若，點M滿足，求直線與平面所成角的正弦值．5．（2024·上?！と＃┤鐖D，在四棱錐中，平面平面，，，，，，，點是的中點．

(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．6．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）在四棱錐中，．

(1)求證：(2)當點到平面的距離為時，求直線與平面所成的角的正弦值．7．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，E為邊CD的中點，沿AE把折起，使點D到達點P的位置，且．(1)求證：平面；(2)求三棱錐的表面積8．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖所示，斜三棱柱的各棱長均為，側(cè)棱與底面所成角為，且側(cè)面底面．

(1)證明：點在平面上的射影為的中點；(2)求二面角的正切值．9．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，點E在棱PD上，，．(1)證明：點是的中點；(2)求直線與平面所成角的正弦值．10．（2024·天津南開·二模）在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，，，O為CD的中點，二面角A-CD-P為直二面角.(1)求證：；(2)求直線PC與平面PAB所成角的正弦值；(3)求平面POB與平面PAB夾角的余弦值.1．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測）如圖（1），在中，，，點為的中點．將沿折起到的位置，使，如圖（2）．

(1)求證：PB⊥PC．(2)在線段上是否存在點，使得？若存在，求二面角的正弦值；若不存在，說明理由．2．（2024·湖南邵陽·三模）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，且，，.，分別為，的中點..(1)若.求證：平面平面；(2)若，PE=2.求直線與平面所成角的正弦值.3．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）在如圖所示的多面體中.四邊形是邊長為的正方形，其對角線的交點為，平面，，.點是棱的中點.(1)求證：平面；(2)求多面體的體積.4．（2024·山東青島·三模）如圖所示，多面體，底面是正方形，點為底面的中心，點為的中點，側(cè)面與是全等的等腰梯形，，其余棱長均為2.(1)證明:平面；(2)若點在棱上，直線與平面所成角的正弦值為，求.5．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，為線段的中點，平面底面．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．6．（2024·山東·二模）如圖所示，直三棱柱，各棱長均相等.，，分別為棱，，的中點.(1)證明：平面平面；(2)求直線與所成角的正弦值.7．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，，且，.(1)證明：平面平面；(2)若，，求與平面所成角的大小.8．（2024·江蘇·三模）如圖，在三棱錐中，底面為上一點，且平面平面，三棱錐的體積為.(1)求證：為的中點；(2)求直線與平面所成角的正弦值.9．（2024·江西新余·二模）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，且，.

(1)若為的中點，證明：平面平面；(2)若，，線段上的點滿足，且平面與平面夾角的余弦值為427，求實數(shù)的值.10．（2023·江西·二模）正四棱錐中，，E為中點，，平面平面，平面.(1)證明：當平面平面時，平面(2)當時，T為表面上一動點（包括頂點），是否存在正數(shù)m，使得有且僅有5個點T滿足，若存在，求m的值，若不存在，請說明理由.1．（2023·全國·高考真題）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平