第05講 雙曲線方程及其性質(zhì)（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點幫

Page第05講雙曲線方程及其性質(zhì)（6類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2024年新I卷，第12題,5分求雙曲線的離心率無2024年新Ⅱ卷，第19題,17分求直線與雙曲線的交點坐標(biāo)由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列向量夾角的坐標(biāo)表示2023年新I卷，第16題,5分利用定義解決雙曲線中集點三角形問題求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍無2023年新Ⅱ卷，第21題,12分根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程直線的點斜式方程及辨析雙曲線中的定直線問題2022年新I卷，第21題,12分求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線中三角形(四邊形)的面積問題根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)2022年新Ⅱ卷，第21題,12分根據(jù)雙曲線的漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線中的弦長由中點弦坐標(biāo)或中點弦方程、斜率求參數(shù)根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)2021年新I卷，第21題,12分求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線中的軌跡方程雙曲線中的定值問題2021年新Ⅱ卷，第13題,5分根據(jù)a,b,c齊次式關(guān)系求漸近線方程由雙曲線的離心率求參數(shù)的取值范圍2020年新I卷，第9題,5分判斷方程是否表示雙曲線二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系判斷方程是否表示橢圓2020年新Ⅱ卷，第10題,5分判斷方程是否表示雙曲線二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系判斷方程是否表示橢圓2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.熟練掌握雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，會基本量的求解2.熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，并會相關(guān)計算3.能熟練計算雙曲線的離心率4.會求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，會雙曲線方程簡單的實際應(yīng)用5.會求雙曲線中的相關(guān)最值【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，常?？疾闃?biāo)準(zhǔn)方程的求解、基本量的計算及離心率的求解，需重點強(qiáng)化訓(xùn)練知識講解雙曲線的定義數(shù)學(xué)表達(dá)式：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程為：標(biāo)準(zhǔn)方程為：雙曲線中，，的基本關(guān)系雙曲線的幾何性質(zhì)焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍頂點坐標(biāo)，，，，實軸實軸長，實半軸長虛軸虛軸長，虛半軸長焦點，，焦距焦距，半焦距對稱性對稱軸為坐標(biāo)軸，對稱中心為漸近線方程離心率離心率對雙曲線的影響越大，雙曲線開口越闊越小，雙曲線開口越窄離心率與漸近線夾角的關(guān)系通徑：（同橢圓）通徑長：，半通徑長：雙曲線的焦點到漸近線的距離為考點一、雙曲線的定義及其應(yīng)用1．（2024·河北邢臺·二模）若點P是雙曲線C：上一點，，分別為C的左、右焦點，則“”是“”的（

）A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．充分不必要條件2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點分別為，過的直線交雙曲線左支于兩點，且，若雙曲線的實軸長為8，那么的周長是（

）A．5 B．16 C．21 D．263．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若動點Px,y滿足方程，則動點P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．1．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）設(shè)，是雙曲線的左，右焦點，過的直線與軸和的右支分別交于點，，若是正三角形，則（

）A．2 B．4 C．8 D．162．（23-24高三下·山東青島·階段練習(xí)）雙曲線的兩個焦點分別是與，焦距為是雙曲線上的一點，且，則．3．（23-24高二上·四川涼山·期末）已知點，，動點滿足條件，則動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．考點二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）雙曲線方程為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或2．（2023高三上·湖北孝感·專題練習(xí)）過點且與橢圓有相同焦點的雙曲線方程為（

）A． B． C． D．3．（22-23高二下·甘肅武威·開學(xué)考試）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)，經(jīng)過點；(2)焦點軸上，且過點，.1．（23-24高三上·河北張家口·開學(xué)考試）“”是“表示雙曲線”的（

）．A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·遼寧·二模）已知雙曲線C：的焦點為，則C的方程為（

）A． B． C． D．3．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知某雙曲線的對稱軸為坐標(biāo)軸,且經(jīng)過點,求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．考點三、雙曲線的幾何性質(zhì)1．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）以為漸近線的雙曲線可以是（

）A． B．C． D．2．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）雙曲線的一個頂點到漸近線的距離為（

）．A． B．4 C． D．3．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）雙曲線的實軸長為4，則.4．（2024·湖南益陽·模擬預(yù)測）已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．95．（2022·福建三明·模擬預(yù)測）已知雙曲線與共焦點，則的漸近線方程為（

）.A． B． C． D．6．（2024·貴州·模擬預(yù)測）我們把離心率為的雙曲線稱為“黃金雙曲線”．已知“黃金雙曲線”，則的虛軸長為．1．（24-25高三上·江蘇南通·開學(xué)考試）過點的等軸雙曲線的方程為.2．（2024·安徽合肥·一模）雙曲線的焦距為4，則的漸近線方程為（

）A． B．C． D．3．（23-24高三上·河南漯河·期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，則的焦距為.4．（24-25高三上·山東泰安·開學(xué)考試）若雙曲線的一個焦點，一條漸近線方程為，則．5．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）（多選）已知，則雙曲線與有相同的（

）A．焦點 B．焦距 C．離心率 D．漸近線考點四、雙曲線的離心率1．（2023·北京·高考真題）已知雙曲線C的焦點為和，離心率為，則C的方程為．2．（2024·上海·高考真題）三角形三邊長為，則以邊長為6的兩個頂點為焦點，過另外一個頂點的雙曲線的離心率為.3．（2024·全國·高考真題）已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（

）A．4 B．3 C．2 D．4．（2022·浙江·高考真題）已知雙曲線的左焦點為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點，交雙曲線的漸近線于點且．若，則雙曲線的離心率是．5．（2022·全國·高考真題）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．6．（2024·廣東江蘇·高考真題）設(shè)雙曲線的左右焦點分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點，若，則C的離心率為．1．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）已知雙曲線的焦距與其虛軸長之比為3：2，則的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）雙曲線的一條漸近線為，則其離心率為（

）．A． B． C． D．3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則此雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．4．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過的直線與的右支交于，兩點，且，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．5．（2024·福建泉州·一模）O為坐標(biāo)原點，雙曲線的左焦點為，點P在E上，直線與直線相交于點M，若，則E的離心率為．考點五、雙曲線中的最值問題1．（22-23高三上·湖北黃岡·階段練習(xí)）P為雙曲線左支上任意一點，為圓的任意一條直徑，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．92．（22-23高三下·江蘇淮安·期中）已知分別為雙曲線的左?右焦點，為雙曲線右支上任一點，則最小值為（

）A．19 B．23 C．25 D．853．（22-23高二上·浙江湖州·期末）雙曲線的離心率是2，左右焦點分別為為雙曲線左支上一點，則的最大值是（

）A． B．2 C．3 D．41．（22-23高三下·福建泉州·階段練習(xí)）雙曲線C：的左、右頂點分別為A，B，P為C上一點，直線PA，PB與分別交于M，N兩點，則的最小值為.2．（2022高三·全國·專題練習(xí)）長為11的線段AB的兩端點都在雙曲線的右支上，則AB中點M的橫坐標(biāo)的最小值為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知分別是雙曲線的左、右頂點，是雙曲線上的一動點，直線，直線與分別交于兩點，記，的外接圓面積分別為，則的最小值為（

）A． B． C． D．考點六、雙曲線的簡單應(yīng)用1．（23-24高三上·江西·期末）阿波羅尼斯（約公元前262年～約公元前190年），古希臘著名數(shù)學(xué)家﹐主要著作有《圓錐曲線論》、《論切觸》等.尤其《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，此書集前人之大成，進(jìn)一步提出了許多新的性質(zhì).其中也包括圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，通過雙曲線的反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過其另一個焦點.已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，其離心率，從發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線C的右支上一點E的反射，反射光線為EP，若反射光線與入射光線垂直，則（

）A． B． C． D．2．（22-23高二上·山東德州·期末）3D打印是快速成型技術(shù)的一種，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體.如圖所示的筆筒為3D打印的雙曲線型筆筒，該筆筒是由離心率為3的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該筆筒的上底直徑為6cm，下底直徑為8cm，高為8cm（數(shù)據(jù)均以外壁即筆筒外側(cè)表面計算），則筆筒最細(xì)處的直徑為（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江杭州·二模）費馬定理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，在數(shù)學(xué)中可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì)．例如，點P為雙曲線（，為焦點）上一點，點P處的切線平分．已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點，l是點處的切線，過左焦點作l的垂線，垂足為M，則．1．（2024·全國·模擬預(yù)測）在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計中，人們利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點射出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上．如圖，已知雙曲線的離心率為2，則當(dāng)入射光線和反射光線互相垂直時（其中為入射點），的值為（

）A． B． C． D．2．（2024·吉林延邊·一模）祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r期偉大的科學(xué)家，他于5世紀(jì)末提出了“冪勢既同，則積不容異”的體積計算原理，即“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等”．某同學(xué)在暑期社會實踐中，了解到火電廠的冷卻塔常用的外形可以看作是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面（如圖）．現(xiàn)有某火電廠的冷卻塔設(shè)計圖紙，其外形的雙曲線方程為（），內(nèi)部虛線為該雙曲線的漸近線，則該同學(xué)利用“祖暅原理”算得此冷卻塔的體積為．

3．（2023·廣東茂名·三模）我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：，是雙曲線的左?右焦點，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點，經(jīng)點反射后，反射光線的反向延長線過；當(dāng)異于雙曲線頂點時，雙曲線在點處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．射線所在直線的斜率為，則B．當(dāng)時，C．當(dāng)過點時，光線由到再到所經(jīng)過的路程為13D．若點坐標(biāo)為，直線與相切，則一、單選題1．（23-24高三下·重慶·期中）已知雙曲線的焦距為8，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南邵陽·模擬預(yù)測）若點在雙曲線的一條漸近線上，則的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)雙曲線的一個頂點坐標(biāo)為，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．4．（2024高三上·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別是是雙曲線上的一點，且，則雙曲線的離心率是（）A．7 B． C． D．5．（2024·全國·模擬預(yù)測）若雙曲線的右焦點到其漸近線的距離為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．26．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知，分別為雙曲線C的左、右焦點，過的直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點，若，，則（

）A． B． C． D．7．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、填空題8．（2024·湖南岳陽·三模）已知雙曲線過點，且漸近線方程為，則的離心率為．9．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點、，點的軌跡為，則的方程為.三、解答題10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）求適合下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)過點和點的橢圓；(2)焦點在x軸上，離心率為，且過點的雙曲線．一、單選題1．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知，分別是雙曲線（，）的左、右焦點，過的直線交雙曲線左支于A，B兩點，，，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．2．（2024·山西太原·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A坐標(biāo)為，若動點P位于y軸右側(cè)，且到兩定點，的距離之差為定值4，則周長的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知雙曲線：（，）的右焦點為，一條漸近線的方程為，直線與在第一象限內(nèi)的交點為.若，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2024·湖南長沙·二模）已知分別為雙曲線的左、右頂點，過雙曲線的左焦點作直線交雙曲線于兩點(點異于)，則直線的斜率之比（

）A． B．?23 C． D．5．（2024·河北·三模）已知是坐標(biāo)原點，是雙曲線右支上任意一點，過點作雙曲線的切線，與其漸近線交于A，兩點，若的面積為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．26．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點.若，且，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．37．（2024·寧夏銀川·二模）已知雙曲線，點的坐標(biāo)為，若上存在點使得成立，則的離心率取值范圍是（

）A． B．C． D．二、填空題8．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，為雙曲線漸近線上的點，且，若，則該雙曲線的離心率.9．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）設(shè)O為坐標(biāo)原點，為雙曲線的兩個焦點，點P在C上，，則10．（2024·廣西來賓·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左?右焦點分別為，若雙曲線的左支上一點滿足，以為圓心的圓與的延長線相切于點1．（2024·天津·高考真題）雙曲線的左、右焦點分別為是雙曲線右支上一點，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高考真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（

）A． B． C． D．4．（2023·天津·高考真題）已知雙曲線的左、右焦