第13講 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定直線問(wèn)題（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page圓錐曲線中的定點(diǎn)、定直線問(wèn)題（2類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新Ⅱ卷，第21題,12分雙曲線中的定直線問(wèn)題直線的點(diǎn)斜式方程及辨析根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程2023年全國(guó)乙卷（文科），第21題,12分橢圓中的定點(diǎn)問(wèn)題根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2022年全國(guó)乙卷（文科），第21題,12分橢圓中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題根據(jù)圓過(guò)的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程2021年新Ⅱ卷，第20題,12分橢圓中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓中的弦長(zhǎng)根據(jù)弦長(zhǎng)求參數(shù)2023年全國(guó)甲卷（理科），第20題,12分橢圓中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題無(wú)2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的定點(diǎn)問(wèn)題及其相關(guān)計(jì)算2.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的定直線問(wèn)題及其相關(guān)計(jì)算【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會(huì)作為載體命題，同學(xué)們要會(huì)結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)考點(diǎn)一、圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題1．（2022·全國(guó)·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)【分析】（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.【詳解】（1）解：設(shè)橢圓E的方程為，過(guò)，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.（2），所以，①若過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過(guò)點(diǎn).②若過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時(shí)，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過(guò)定點(diǎn)【點(diǎn)睛】求定點(diǎn)、定值問(wèn)題常見的方法有兩種：①?gòu)奶厥馊胧郑蟪龆ㄖ?，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.2．（2020·全國(guó)·高考真題）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明詳見解析.【分析】（1）由已知可得：，，，即可求得，結(jié)合已知即可求得：，問(wèn)題得解.（2）方法一：設(shè)，可得直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，可表示出直線的方程，整理直線的方程可得：即可知直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線：，直線過(guò)點(diǎn)，命題得證.【詳解】（1）依據(jù)題意作出如下圖象：

由橢圓方程可得：，，，，橢圓方程為：（2）[方法一]：設(shè)而求點(diǎn)法證明：設(shè)，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或?qū)⒋胫本€可得：所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，整理可得：整理得：所以直線過(guò)定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，直線：，直線過(guò)點(diǎn)．故直線CD過(guò)定點(diǎn)．[方法二]【最優(yōu)解】：數(shù)形結(jié)合設(shè)，則直線的方程為，即．同理，可求直線的方程為．則經(jīng)過(guò)直線和直線的方程可寫為．可化為．④易知A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)滿足上述方程，同時(shí)A，B，C，D又在橢圓上，則有，代入④式可得．故，可得或．其中表示直線，則表示直線．令，得，即直線恒過(guò)點(diǎn)．【整體點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及方程思想，還考查了計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力，屬于難題.第二問(wèn)的方法一最直接，但對(duì)運(yùn)算能力要求嚴(yán)格；方法二曲線系的應(yīng)用更多的體現(xiàn)了幾何與代數(shù)結(jié)合的思想，二次曲線系的應(yīng)用使得計(jì)算更為簡(jiǎn)單.3．（2019·全國(guó)·高考真題）已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.（1）證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.【答案】(1)見詳解；(2)3或.【分析】（1）可設(shè)，，然后求出A，B兩點(diǎn)處的切線方程，比如：，又因?yàn)橐灿蓄愃频男问?，從而求出帶參?shù)直線方程，最后求出它所過(guò)的定點(diǎn).（2）由(1)得帶參數(shù)的直線方程和拋物線方程聯(lián)立，再通過(guò)為線段的中點(diǎn)，得出的值，從而求出坐標(biāo)和的值，分別為點(diǎn)到直線的距離，則，結(jié)合弦長(zhǎng)公式和韋達(dá)定理代入求解即可.【詳解】(1)證明：設(shè),,則．又因?yàn)?，所?則切線DA的斜率為，故，整理得.設(shè)，同理得.,都滿足直線方程.于是直線過(guò)點(diǎn)，而兩個(gè)不同的點(diǎn)確定一條直線，所以直線方程為.即，當(dāng)時(shí)等式恒成立．所以直線恒過(guò)定點(diǎn).（2）[方法一]【最優(yōu)解：利用公共邊結(jié)合韋達(dá)定理求面積】設(shè)的中點(diǎn)為G，,則，，．由，得，將代入上式并整理得，因?yàn)?，所以或．由?）知，所以軸，則（設(shè)）．當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，．綜上，四邊形的面積為3或．[方法二]【利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合面積公式求面積】設(shè)，由（1）知拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為．由拋物線的定義，得．線段的中點(diǎn)為．當(dāng)時(shí)，軸，，；當(dāng)時(shí)，，由，得，即．所以，直線的方程為．根據(jù)對(duì)稱性考慮點(diǎn)和直線的方程即可．E到直線的距離為，D到直線的距離為．所以．綜上，四邊形的面積為3或．[方法三]【結(jié)合拋物線的光學(xué)性質(zhì)求面積】圖5中，由拋物線的光學(xué)性質(zhì)易得，又，所以．因?yàn)椋?，所以，所以．同理，所以，即點(diǎn)D為中點(diǎn)．圖6中已去掉坐標(biāo)系和拋物線，并延長(zhǎng)于點(diǎn)H．因?yàn)?，所以．又因?yàn)镚，D分別為的中點(diǎn)，所以，故為平行四邊形，從而．因?yàn)榍?，所以I為的中點(diǎn)，從而．．當(dāng)直線平行于準(zhǔn)線時(shí)，易得．綜上，四邊形的面積為3或．

[方法四]【結(jié)合弦長(zhǎng)公式和向量的運(yùn)算求面積】由（1）得直線的方程為.由，可得，于是.設(shè)分別為點(diǎn)到直線的距離，則.因此，四邊形ADBE的面積.設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則，由于，而，與向量平行，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)因此，四邊形的面積為3或.【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：利用公共邊將一個(gè)三角形的面積分割為兩個(gè)三角形的面積進(jìn)行計(jì)算是一種常用且有效的方法；方法二：面積公式是計(jì)算三角形面積的最基本方法；方法三：平穩(wěn)的光學(xué)性質(zhì)和相似、全等三角形的應(yīng)用要求幾何技巧比較高，計(jì)算量較少；方法四：弦長(zhǎng)公式結(jié)合向量體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用.4．（2019·北京·高考真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，直線AP與x軸交于點(diǎn)M，直線AQ與x軸交于點(diǎn)N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn).【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.【分析】(Ⅰ)由題意確定a,b的值即可確定橢圓方程；(Ⅱ)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定OM,ON的表達(dá)式，結(jié)合韋達(dá)定理確定t的值即可證明直線恒過(guò)定點(diǎn).【詳解】（Ⅰ）因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為，所以；因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以，所以，故橢圓的方程為.（Ⅱ）設(shè)聯(lián)立得，，，.直線，令得，即；同理可得.因?yàn)?所以；，解之得，所以直線方程為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．5．（山東·高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，且有.當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，為正三角形.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直線，且和有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，（?。┳C明直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；（ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（I）.（II）（?。┲本€AE過(guò)定點(diǎn).（ⅱ）的面積的最小值為16.【詳解】試題分析：（I）由拋物線的定義知，解得或（舍去）.得.拋物線C的方程為.（II）（?。┯桑↖）知，設(shè)，可得，即，直線AB的斜率為，根據(jù)直線和直線AB平行，可設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，整理可得，直線AE恒過(guò)點(diǎn).注意當(dāng)時(shí)，直線AE的方程為，過(guò)點(diǎn)，得到結(jié)論：直線AE過(guò)定點(diǎn).（ⅱ）由（?。┲?，直線AE過(guò)焦點(diǎn)，得到，設(shè)直線AE的方程為，根據(jù)點(diǎn)在直線AE上，得到，再設(shè)，直線AB的方程為，可得，代入拋物線方程得，可求得，，應(yīng)用點(diǎn)B到直線AE的距離為.從而得到三角形面積表達(dá)式，應(yīng)用基本不等式得到其最小值.試題解析：（I）由題意知設(shè)，則FD的中點(diǎn)為，因?yàn)椋蓲佄锞€的定義知：，解得或（舍去）.由，解得.所以拋物線C的方程為.（II）（?。┯桑↖）知，設(shè)，因?yàn)?，則，由得，故，故直線AB的斜率為，因?yàn)橹本€和直線AB平行，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，由題意，得.設(shè)，則，.當(dāng)時(shí)，，可得直線AE的方程為，由，整理可得，直線AE恒過(guò)點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線AE的方程為，過(guò)點(diǎn)，所以直線AE過(guò)定點(diǎn).（ⅱ）由（?。┲?，直線AE過(guò)焦點(diǎn)，所以，設(shè)直線AE的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線AE上，故，設(shè)，直線AB的方程為，由于，可得，代入拋物線方程得，所以，可求得，，所以點(diǎn)B到直線AE的距離為.則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.所以的面積的最小值為16.考點(diǎn)：拋物線的定義及其幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，基本不等式的應(yīng)用.1．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：，左右頂點(diǎn)分別是，，橢圓的離心率是.點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，直線與分別交橢圓于另外兩點(diǎn)，.(1)求橢圓的方程.(2)若，求出的值.(3)試證明：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）由題意結(jié)合計(jì)算即可得；（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，借助斜率公式計(jì)算即可得；（3）設(shè)出直線方程，聯(lián)立曲線方程，借助韋達(dá)定理與（2）中所得計(jì)算即可得.【詳解】（1）由題意可得，，即，所以，則橢圓；（2）設(shè)，由于，則；（3）顯然MN斜率不為0，設(shè)：，Mx1,y1聯(lián)立方程，則有，，則有，，由于，則，因?yàn)?，故，即，解得或，?dāng)時(shí)，，故舍去，即，適合題意，故:，則直線過(guò)定點(diǎn).2．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，且橢圓過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)的左焦點(diǎn)作弦，這兩條弦的中點(diǎn)分別為，若，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意得出，再根據(jù)橢圓定義得出，再根據(jù)，即可求得橢圓方程；（2）分類討論，當(dāng)直線的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線為，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得出點(diǎn)坐標(biāo)，由同理得出點(diǎn)坐標(biāo)，得出直線方程分類討論的值，即可得出定點(diǎn)；再補(bǔ)充斜率不存在時(shí)的情況即可．【詳解】（1）由題設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即，所以，，所以橢圓C的方程為：．（2）證明：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)直線的斜率都存在時(shí)，令為，代入，整理得：，且，所以，則，故．由，即，故為，代入，所以，有，則，故．當(dāng)時(shí)，所以，則為，整理得，所以過(guò)定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，，過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，過(guò)點(diǎn)，當(dāng)一條直線斜率不存在時(shí)，對(duì)應(yīng)，，故即為x軸，也過(guò)點(diǎn)；綜上，直線過(guò)定點(diǎn)．3．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為2，點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A，B在橢圓上，直線PA，PB均與圓：相切，證明：直線AB過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）結(jié)合題意，可得關(guān)于的方程，解之可得橢圓C的方程；（2）先由直線與圓相切可得，再聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理分別求出，，，，代入可得的關(guān)系式，進(jìn)而可得直線AB過(guò)定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意，，

且直線和直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，由題知，所以，所以，同理，，所以是方程的兩根，所以.設(shè)Ax1,y1將代入，得，所以，①，②所以，③，④又因?yàn)?，⑤將①②③④代入⑤，化?jiǎn)得，所以，若，則直線，此時(shí)過(guò)點(diǎn)，舍去.若，則直線，此時(shí)恒過(guò)點(diǎn)，所以直線過(guò)定點(diǎn).4．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）已知橢圓：的離心率為，右頂點(diǎn)與的上，下頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為．(1)求的方程．(2)不過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與交于，兩點(diǎn)，直線與的斜率之積恒為．（i）證明：直線過(guò)定點(diǎn)；（ii）求面積的最大值．【答案】(1)；(2)（i）證明見解析；（ii）.【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及三角形面積，列出方程組求解即得.（2）（i）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用斜率坐標(biāo)公式，結(jié)合韋達(dá)定理推理即得；（ii）由（i）的信息，借助三角形面積建立函數(shù)關(guān)系，再求出最大值.【詳解】（1）令橢圓的半焦距為c，由離心率為，得，解得，由三角形面積為，得，則，，所以的方程是.（2）（i）由（1）知，點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由消去x得：，則，直線與的斜率分別為，，于是，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，不符合題意，因此，直線：恒過(guò)定點(diǎn).（ii）由（i）知，，則，因此的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問(wèn)題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動(dòng)點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.5．（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的焦距為2，不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率為1的直線與交于P，Q兩點(diǎn)，為線段PQ的中點(diǎn)，直線的斜率為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)，直線PB與的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線QB與的另一個(gè)交點(diǎn)為，其中，均不為橢圓的頂點(diǎn)，證明：直線MN過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)焦距求出，再設(shè)Px1,y1，Qx2,y2，A（2）設(shè)直線的方程為，，，表示直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元求出，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，同理得到點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)的斜率為得到，即可求出直線過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由橢圓的焦距為得，，則.設(shè)Px1,y1，Qx2兩式作差得，，所以，即，所以，所以，所以，則，解得，.故橢圓的方程為.（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，，則，直線的方程為，將其代入得，，顯然，則，所以，將代入直線的方程，解得，所以，同理得，所以，得，即，整理得，所以，因此直線的方程為，令，即，則，所以直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.6．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)作軸的垂線與直線交于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為.證明：（i）為定值；（ii）直線過(guò)線段的中點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組求出得解；（2）（i）當(dāng)直線斜率為0時(shí)，.當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，寫出韋達(dá)定理，計(jì)算的值，化簡(jiǎn)后結(jié)果為，由此證明結(jié)論成立.（ii）設(shè)線段的中點(diǎn)為，求出直線的方程，直線的方程，結(jié)合，可得，可證點(diǎn)在直線上.【詳解】（1）由題可知：，解得，所以橢圓的方程為.（2）（i）①當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，則不妨設(shè)，，所以為定值.②當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線，Px1,y1聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去整理得，則，，，所以，所以.綜上，為定值.

（ii）設(shè)線段的中點(diǎn)為，易得，可得直線的方程為，則，直線的方程為，則，所以，由（i）知，，所以，又直線的方程為，所以點(diǎn)在直線上，即直線過(guò)線段的中點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)證明為定值，解題的關(guān)鍵是設(shè)直線與橢圓的方程，解得，代入的式子化簡(jiǎn)得解.考點(diǎn)二、圓錐曲線中的定直線問(wèn)題1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點(diǎn)的坐標(biāo)分別寫出直線與的方程，聯(lián)立直線方程，消去，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得，即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此可證得點(diǎn)在定直線上.【詳解】（1）設(shè)雙曲線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，則由可得，，雙曲線方程為.（2）由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，

直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:求雙曲線方程的定直線問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.2．（安徽·高考真題）設(shè)橢圓過(guò)點(diǎn)，且左焦點(diǎn)為（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【詳解】(1)由題意：，解得，所求橢圓方程為(2)方法一設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為．由題設(shè)知均不為零，記,則且又A，P，B，Q四點(diǎn)共線，從而于是，，從而，（1），（2）又點(diǎn)A、B在橢圓C上，即（1）+（2）×2并結(jié)合（3），（4）得即點(diǎn)總在定直線上方法二設(shè)點(diǎn)，由題設(shè)，均不為零．且又四點(diǎn)共線，可設(shè),于是（1）（2）由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程整理得（3）(4)(4)－(3)得即點(diǎn)總在定直線上3．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的右頂點(diǎn)為，離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)．(1)若C的上頂點(diǎn)為B，直線BM，BN的斜率分別為，，求的值；(2)過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線交直線AN于點(diǎn)Q，證明：線段MQ的中點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)-3(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率和，待定系數(shù)法求出，，，得到橢圓方程，設(shè)直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，，代入兩根之和，兩根之積，求出的值；（2）設(shè)線段MQ的中點(diǎn)為，又Mx1,y1，故，根據(jù)三點(diǎn)共線，得到，計(jì)算出，故，得到線段MQ的中點(diǎn)在定直線上.【詳解】（1）由題意知，解得，，，所以C的方程為，顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：，Mx1,y由，得，由方程的判別式，可得，所以，，易得，所以，，所以，（2）證明：設(shè)線段MQ的中點(diǎn)為，又Mx1,y所以，，即，又A，N，Q三點(diǎn)共線，所以，即，所以，又，又所以，所以，即線段MQ的中點(diǎn)在定直線上．【點(diǎn)睛】定值問(wèn)題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.4．（2024·北京·三模）已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，左、右頂點(diǎn)分別為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)（不與重合），直線與直線交于點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)求證：點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即可得解.（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，再求出直線與直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，并結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算即得.【詳解】（1）依題意，，半焦距，則，所以橢圓的方程為.（2）顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線，由消去x并整理得，，設(shè)Ax1則，且有，直線，直線，聯(lián)立消去y得，即，整理得，即，于是，而，則，因此，所以點(diǎn)在定直線上.5．（2024·山西臨汾·二模）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于P，Q兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線與直線AQ相交于點(diǎn)，證明：線段PM的中點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由題意聯(lián)立方程組解出，代入即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)直曲聯(lián)立，解法一利用整體法求出中點(diǎn)坐標(biāo)與的關(guān)系，進(jìn)而得出結(jié)論；解法二利用根與系數(shù)的關(guān)系尋求與的關(guān)系，進(jìn)而確定與的函數(shù)關(guān)系得以證明.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以的方程為．（2）如圖：設(shè)的中點(diǎn)，則直線AQ方程為，所以，于是，由題可知直線PQ的斜率存在，設(shè)PQ的方程為，聯(lián)立，解法一：消去得，所以，，即．則有，又因?yàn)?，所以，于是，即，即，即，即點(diǎn)在直線上．解法二：，，即故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，即，，即，又因?yàn)?，即，所以，故，同理，所以即，即點(diǎn)在直線上．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：整體思想在圓錐曲線的定直線和定點(diǎn)問(wèn)題中有時(shí)可發(fā)揮出巨大的作用.1．（2024·貴州畢節(jié)·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線在y軸右側(cè)交于不同的兩點(diǎn)M，N，在線段MN上取異于點(diǎn)M，N的點(diǎn)D，滿足．證明：點(diǎn)D在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，根據(jù)斜率乘積為定值化簡(jiǎn)即可；（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立雙曲線方程得到韋達(dá)定理式，化簡(jiǎn)弦長(zhǎng)得，代入韋達(dá)定理式計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由得，化簡(jiǎn)整理得，所以曲線的方程為.（2）若直線l的斜率不存在，則直線l與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，所以直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立方程組，整理得，易知，，解得，，解得或，綜上或，因?yàn)?，同理由得，化?jiǎn)整理得，所以，化簡(jiǎn)整理得，代入，化簡(jiǎn)整理得，所以點(diǎn)D在定直線上．

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是采用設(shè)線法聯(lián)立雙曲線方程得到韋達(dá)定理式，再對(duì)化簡(jiǎn)得，代入韋達(dá)定理式計(jì)算即可.2．（2024高三下·河南·專題練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是2，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)，且，若點(diǎn)滿足，證明：點(diǎn)在一條定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意列等式，然后化簡(jiǎn)即可得到的方程；（2）分斜率為0和不為0兩種情況考慮，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)得到，當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，聯(lián)立直線和雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理和得到點(diǎn)在定直線上，又也在直線上，即可證明點(diǎn)在一條定直線上.【詳解】（1）由題意知，所以，所以，化簡(jiǎn)得，的方程為.（2）依題意，設(shè)，①當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，則，因?yàn)?，所以，所以，從而，則，即，解得，即.②當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)的方程為，由消去，得，則且，因?yàn)?，所以，消去，得，所以，從而，又也在直線上.綜上，點(diǎn)在直線上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解動(dòng)點(diǎn)在定直線上的方法：（1）先猜后證：現(xiàn)根據(jù)特殊情況猜想，然后證明；（2）參數(shù)法：用題目中參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，然后消參，即可得到直線方程.3．（2024·貴州遵義·一模）已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，四邊形為矩形，且面積為．(1)求四邊形的外接圓方程；(2)設(shè)，為的左、右頂點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)與交于，兩點(diǎn)（異于，），直線與交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）依題意可得，且，由求出點(diǎn)，再根據(jù)矩形面積及求出、、，即可得到雙曲線方程及、點(diǎn)坐標(biāo)，再求出線段的中點(diǎn)及線段長(zhǎng)，最后求出外接圓的方程；（2）設(shè)直線為，Px1,y1，Qx2,y【詳解】（1）由雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1?c,0，，直線與的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，且四邊形為矩形，所以，且，由，解得或，即，則，又，，解得，，，所以雙曲線的方程為，所以，，，，所以的中點(diǎn)為，又，所以矩形的外接圓的方程為.（2）由（1）知，，依題意知直線的斜率不為零，設(shè)直線為，Px1,y1，Q由，得.當(dāng)且，所以，，所以，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立兩方程可得，所以，，所以，解得，故點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為x1,y（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.4．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn).當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，.(1)求的方程；(2)在線段上取異于點(diǎn)的點(diǎn)，且滿足，試問(wèn)是否存在一條定直線，使得點(diǎn)恒在這條定直線上？若存在，求出該直線；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)點(diǎn)恒在直線上.【分析】（1）先求直線的方程，再與拋物線聯(lián)立組成方程組，利用韋達(dá)定理及兩點(diǎn)距離公式，求弦的長(zhǎng)即可；（2）設(shè)直線方程，再與拋物線聯(lián)立組成方程組，利用韋達(dá)定理及相似三角形求解即可.【詳解】（1）設(shè)Ax若直線的傾斜角為，則直線的方程為.聯(lián)立得，則，且，所以.因?yàn)椋?，故的方程?（2）存在，定直線為.由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，.聯(lián)立得.由，得且，.不妨設(shè)，則，過(guò)點(diǎn)向軸作垂線，垂足分別為點(diǎn)，如圖所示，則，.因?yàn)?，所以，整理得，所?代入直線的方程得.因?yàn)椋渣c(diǎn)恒在直線上.5．（2024·河北保定·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)作互相垂直的直線，分別與交于和兩點(diǎn)（A，D在第一象限），當(dāng)直線的傾斜角等于時(shí)，四邊形的面積為．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線AD與BE交于點(diǎn)Q，證明：點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）由拋物線的對(duì)稱性知，由四邊形的面積求出，又的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理及焦點(diǎn)弦公式求出，即可得解；（2）設(shè)直線的方程為y=kx?1，則直線的方程為，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2【詳解】（1）當(dāng)直線的傾斜角等于時(shí)，直線的傾斜角等于，直線的方程為，由拋物線的對(duì)稱性知，所以，得．聯(lián)立方程組，消去得．設(shè)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則，．又，所以，所以的方程為．（2）由（1）知F1,0，依題意，可設(shè)直線的方程為y=kx?1，則直線的方程為．聯(lián)立方程組消去得，顯然，設(shè)Ax1,y設(shè)，同理可得，所以，同理可得．直線的方程為，即．同理，直線的方程為．兩直線方程聯(lián)立得，解得，即直線與的交點(diǎn)在定直線上．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為x1,y（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.1．（2024·江西九江·二模）已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在上．(1)求雙曲線的方程；(2)直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，，若直線，的斜率互為倒數(shù)，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率及，，的平方關(guān)系得出，再由點(diǎn)在上，可求解，，進(jìn)而可得雙曲線的方程；（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，顯然不滿足條件．當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，與方程聯(lián)立聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線，的斜率，，由，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得與的關(guān)系，從而可證得直線過(guò)定點(diǎn)．【詳解】（1）由已知得，，所以，又點(diǎn)在上，故，解得，，所以雙曲線的方程為：．（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，顯然不滿足條件．當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，與方程聯(lián)立聯(lián)立，消去得，由已知得，且，設(shè)，，則，，直線，的斜率分別為，，由已知，故，即，所以，化簡(jiǎn)得，又已知不過(guò)點(diǎn)，故，所以，即，故直線的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn)．2．（2024·浙江杭州·二模）已知是橢圓的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)與橢圓上的點(diǎn)的距離的最小值為1.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo).(2)過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)（與不重合），連接，交于點(diǎn).（?。┳C明：點(diǎn)在定直線上；（ⅱ）是否存在點(diǎn)使得，若存在，求出直線的斜率；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）存在，【分析】（1）設(shè)Px0,y0（2）（?。┰O(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理得，寫出直線，的方程，進(jìn)而求解即可；（ⅱ）由題意點(diǎn)在以為直徑的圓上，代入圓的方程求得，寫出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得答案.【詳解】（1）設(shè)Px0,因?yàn)?，①若，解得（舍去），②若，解得（舍去）或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)位.（2）（?。┰O(shè)直線，由，得，所以，所以，①由，得或，易知直線的方程為y=y1直線的方程為，③聯(lián)立②③，消去，得，④聯(lián)立①④，消去，則，解得，即點(diǎn)在直線上；（ⅱ）由圖可知，，即，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)，則，所以，即.故直線的方程為，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得，因?yàn)?所以，所以,故.3．（2024·遼寧·二模）平面直角坐標(biāo)系xOy中，面積為9的正方形的頂點(diǎn)分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，且，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線l與曲線交于不同的兩點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)Q，滿足．試探究點(diǎn)Q是否在某條定直線上？若是，求出定直線方程；若不是，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)點(diǎn)Q在定直線上，定直線方程為【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平面向量的坐標(biāo)表示消參得，結(jié)合正方形面積得的方程；（2）設(shè)，的坐標(biāo)，與橢圓聯(lián)立并根據(jù)韋達(dá)定理得橫坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)線段乘積關(guān)系化為比值關(guān)系得，化簡(jiǎn)得，代入直線方程即可，從而求出定直線方程.【詳解】（1）設(shè)，由，得，所以，因?yàn)檎叫蜛BCD的面積為，即，所以，整理可得，因此C的軌跡方程為．（2）依題意，直線l存在斜率，設(shè)l：，即，設(shè)點(diǎn)，Mx1,y1由，消y得，即，由，可以得到，所以，可得，，由，得，所以，可得，所以，因?yàn)?，所以點(diǎn)Q在定直線上，定直線方程為．

4．（2024·江西·二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為，且，離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知，是上兩點(diǎn)（點(diǎn)，不同于點(diǎn)），直線，分別交直線于，兩點(diǎn)，若，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明過(guò)程見解析【分析】（1）由題意列出關(guān)于的方程組，解之即可得解；（2）顯然斜率不為0且不過(guò)點(diǎn)，從而可設(shè)的方程為，，將其與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可用表示出，由三點(diǎn)共線、三點(diǎn)共線可用表示出的坐標(biāo)，從而由可得一個(gè)關(guān)于的條件等式，化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）

由（1）知F1?1,0，由題意可知直線的斜率不為0，否則位于軸同側(cè)，，不符合題意；設(shè)的方程為，代入，得，由，設(shè)，則，所以，，直線的方程為，令，得，故，同理可得，

所以，由，得，即，所以，所以，解得或（舍去），所以直線的方程為，故直線過(guò)定點(diǎn).5．（2024·廣西·二模）已知拋物線，過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線交于點(diǎn)P．(1)證明：P在定直線上；(2)若F為拋物線C的焦點(diǎn)，證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)出Ax1,x12，Bx（2）要證．即證FA?FP【詳解】（1）證明：設(shè)Ax1,x1直線的方程為y?x12=又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)E0,2，所以，即，設(shè)直線的方程為y?x12=kx?x1，與拋物線方程又因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以，即，所以直線的方程為y?x12=2同理直線的方程為，由y=2xx1?x1故點(diǎn)P在直線上．（2）證明：∵cos∠PFA=FA?注意到兩角都在0,π內(nèi)，可知要證．即證FA?而FA=x1所以FA?又|FA所以FA?FPFA即有FA?FPFA6．（2024·湖南婁底·一模）若拋物線的方程為，焦點(diǎn)為，設(shè)是拋物線上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn).(1)若，求直線的斜率；(2)設(shè)中點(diǎn)為，若直線斜率為，證明在一條定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)焦半徑公式得到，求出，從而求出斜率；（2）法一：，聯(lián)立拋物線方程，設(shè)，得到兩根之和，兩根之積，得到，求出答案；法二：設(shè)，得到，從而確定，得到，得到答案.【詳解】（1），，將代入得，，所以；（2）法一：設(shè)，，即，代入，得，由韋達(dá)定理，有，故，在定直線上.法二：設(shè)，由題意，，故，故，在定直線上.7．（2024·山東濰坊·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;(2)若過(guò)點(diǎn)作直線與交于不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線分別與直線交于點(diǎn).證明：為線段的中點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見詳解.【分析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直接利用題中的條件列式并化簡(jiǎn)，從而求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）要證為線段的中點(diǎn)，只需證即可，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)Mx1,y1，Nx2,y2，，，聯(lián)立直線與曲線的方程，列出韋達(dá)定理，由直線，可求得點(diǎn)，計(jì)算即可證.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，所以，即，所以?dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：；（2）因?yàn)檩S，所以設(shè)Mx1,y1，N若要證為線段的中點(diǎn)，只需證即可，當(dāng)直線斜率不存在或斜率為0時(shí)，與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意，所以直線斜率存在且不為0，，設(shè)直線：，，由得，，由題意可知，直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，即，所以，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，，由題意得，直線方程，所以，直線方程，所以，所以，所以為線段的中點(diǎn).8．（2024·山西太原·二模）已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F．(1)求拋物線C的方程；(2)若A，B是拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)M（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O），使得當(dāng)直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí)，滿足？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線方程，即可求解焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得，（2）聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達(dá)定理，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.【詳解】（1）由題意過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線方程為，即，令，則，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為1,0，∴，∴．拋物線C的方程為．（2）由（1）得拋物線C：，假設(shè)存在定點(diǎn)，設(shè)直線AB的方程為（），Ax1,y1由，得，∴，，，∵，∴，∴，∴或（舍去），當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，滿足，，∴存在定點(diǎn)．9．（2024·山西·一模）已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為，且直線是的一條漸近線.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)是上任意一點(diǎn)，直線.證明：與雙曲線相切于點(diǎn)；(3)設(shè)直線與相切于點(diǎn)，且，證明：點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)(2)證明過(guò)程見解析(3)證明過(guò)程見解析【分析】（1）由題意得，解出的值即可；（2）一方面是上任意一點(diǎn)，從而可得出它也在直線上面，聯(lián)立橢圓方程，消元后得到一個(gè)一元二次方程，證明判別式等于0即可；（3）由（2）中結(jié)論，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得，由向量數(shù)量積公式化簡(jiǎn)得，說(shuō)明即可得證.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A3,2，且直線是的一條漸近線，所以，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）首先設(shè)是上任意一點(diǎn)，所以有，這表明了點(diǎn)也在直線上，也可以得到，聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程有，化簡(jiǎn)并整理得，而，且，這也就是說(shuō)與雙曲線相切于點(diǎn)；（3）不妨設(shè)，由（2）可知過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，即有，又，從而，所以，若，則，整理得，因?yàn)?，所以，也就是說(shuō)，從而，所以點(diǎn)在定直線上上.10．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別是，直線與交于兩點(diǎn)（不與重合），設(shè)直線的斜率分別為，且.(1)判斷直線是否過(guò)軸上的定點(diǎn).若過(guò)，求出該定點(diǎn)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)若分別在第一和第四象限內(nèi)，證明：直線與的交點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)過(guò)定點(diǎn).(2)證明過(guò)程見解析【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得出韋達(dá)定理的等式，再通過(guò)斜率之間的關(guān)系即可得出，即可得出定點(diǎn)坐標(biāo).（2）根據(jù)題意得出兩條直線方程，再聯(lián)立化簡(jiǎn)得到關(guān)于的等式，從而得到定直線方程.【詳解】（1）由題意可知，設(shè)直線的方程為.由消去，可得，則，，即，.因?yàn)?，所以，故直線的方程為，恒過(guò)點(diǎn).（2）由題可知，直線的方程為，直線的方程為，因?yàn)椋?，故點(diǎn)在定直線上.

11．（2024·河南南陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)是上一點(diǎn).(1)求的方程；(2)設(shè)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，分別是的左?右頂點(diǎn)，且直線分別與的右支交于兩點(diǎn)（均異于點(diǎn)），證明：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意可得，，計(jì)算可求的方程；（2）設(shè)，設(shè)直線，聯(lián)立方程組可得，利用點(diǎn)共線可得，，消去，得，計(jì)算可得或，進(jìn)而判斷可得，可得直線過(guò)定點(diǎn).【詳解】（1）易知，所以，則①，將點(diǎn)代入的方程，得②，聯(lián)立①②，解得，則的方程為.（2）如圖，由（1）知，，設(shè)，根據(jù)題意，直線不垂直于軸，設(shè)直線，聯(lián)立，消去得，有，則，于是，由三點(diǎn)共線得直線的斜率滿足，同理，由三點(diǎn)共線得，消去，得，即，整理得，即，則，因此或，若，又，得，結(jié)合，從而，即，不成立，即，因此，滿足，所以直線過(guò)定點(diǎn).12．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的焦距為，點(diǎn)在C上．(1)求C的方程；(2)直線與C的右支交于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)在軸上的投影為.①求的取值范圍；②求證：直線過(guò)點(diǎn)．【答案】(1)(2)①；②證明見解析【分析】（1）由題可得，解方程即可得到答案；（2）①設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，聯(lián)立，消去得，由于與的右支交于，兩點(diǎn)，雙曲線的漸近線方程為，可得，以及，解不等式可得的取值范圍；②由①得，，由題可得，利用向量關(guān)系可得，從而可得，，三點(diǎn)共線，即可證明.【詳解】（1）由已知得，解得，所以的方程為.（2）①設(shè)Ax1,y1聯(lián)立，消去得，則，，解得，且.又與的右支交于，兩點(diǎn)，的漸近線方程為，則，即，所以的取值范圍為.②由①得，，又點(diǎn)在軸上的投影為，所以，，所以，，所以，又，有公共點(diǎn)，所以，，三點(diǎn)共線，所以直線過(guò)點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：（1）直線與雙曲線一支相交于兩點(diǎn)，可利用韋達(dá)定理、根的判別式以及直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系進(jìn)行求解；（2）證明直線過(guò)定點(diǎn)，可利用向量平行關(guān)系進(jìn)行證明.13．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)的面積為2．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線與交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線與直線的交點(diǎn)為，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可求解；（2）設(shè)出直線并與橢圓聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，再根據(jù)題意求出的方程，直線的方程，進(jìn)而令，利用韋達(dá)定理計(jì)算即可得定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)的半焦距為，由題意知，所以①．因?yàn)榈拿娣e為2，所以②，又③，由①②③解得，所以的方程為；（2）設(shè)，直線，由，得，則，所以．由，得，令，解得，所以．所以直線的方程為，令，得，將代入，得，所以，故直線過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在圓錐曲線解答題中遇到涉及的不同系數(shù)的代數(shù)式的應(yīng)算，比如求，就相對(duì)較難地轉(zhuǎn)化到應(yīng)用韋達(dá)定理來(lái)處理了，可以利用進(jìn)行代換后化簡(jiǎn).14．（2024·河南鄭州·三模）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為和，離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直軸于點(diǎn)．在軸上存在一點(diǎn)（異于），使得．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)過(guò)點(diǎn)作一條垂直于軸的直線，在上任取一點(diǎn)，直線和直線分別交橢圓于兩點(diǎn)，證明：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)相切，證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由題意列出含的方程組解出即可.（2）設(shè)，由題意解出值，聯(lián)立方程組求出只有唯一一組解即可.（3）設(shè)，由三點(diǎn)共線得出，設(shè)出直線方程，得到，直線方程和橢圓方程聯(lián)立得出代入即可.【詳解】（1）由題意得，將代入橢圓方程得，聯(lián)立方程組，解得，所以橢圓的方程為.（2）直線與橢圓相切.理由如下：設(shè)，由，得，解得，此時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓:消得，，解得.由方程組只有一組解，直線與橢圓相切．（3）如圖：設(shè)，由三點(diǎn)共線，得，由三點(diǎn)共線，得，得，又，得，得，即．設(shè)直線的方程為，即，①聯(lián)立直線與橢圓：，消得，則有，②將②式代入①式，得，解得（舍）或.直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三點(diǎn)共線得出關(guān)系式，直線曲線聯(lián)立完善關(guān)系式并得出結(jié)論是圓錐曲線的一種重要解題方法.15．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為，記點(diǎn)M的軌跡為曲線.若為上的點(diǎn)，且.(1)求曲線的軌跡方程；(2)已知，，直線交曲線于兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方.①求證：為定值；②若，直線是否過(guò)定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)①證明見解析；②定點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)求軌跡方程的方法列式化簡(jiǎn)即可求得.（2）①根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式，結(jié)合Px0,②直線：，根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式和條件，結(jié)合韋達(dá)定理，求得的值，從而確定定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)Mx,y，動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F1,0的距離與它到直線的距離之比為，則，化簡(jiǎn)得，所以M的軌跡曲線的軌跡方程.（2）①Px0,y0為上的點(diǎn)，則因?yàn)锳?2,0，，則（定值），所以為定值.②直線恒過(guò)定點(diǎn)1,0，理由如下：由①知，，因?yàn)?，所以，設(shè)直線：，，，將直線與曲線聯(lián)立方程得，則，，，因?yàn)锳?2,0，，，，所以，即，所以，由題知，，所以.即直線恒過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.1．（陜西·高考真題）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8.(Ⅰ)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程;(Ⅱ)已知點(diǎn)B(－1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若x軸是的角平分線,證明直線l過(guò)定點(diǎn).【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)見解析【詳解】(Ⅰ)設(shè)動(dòng)圓圓心C的坐標(biāo)為（x,y）則所以，所求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為(Ⅱ)證明：設(shè)直線l方程為，聯(lián)立得（其中）設(shè),若x軸是的角平分線，則，即故直線l方程為，直線l過(guò)定點(diǎn).（1,0）本題考查軌跡方程求法、直線方程、圓方程、直線與圓的位置關(guān)系及直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.第一問(wèn)曲線軌跡方程的求解問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)題型之一，準(zhǔn)確去除不滿足條件的點(diǎn)是關(guān)鍵.第二問(wèn)對(duì)角平分線的性質(zhì)運(yùn)用是關(guān)鍵，對(duì)求定值問(wèn)題的解決要控制好運(yùn)算量，同時(shí)注意好判別式的條件，以防多出結(jié)果.圓錐曲線問(wèn)題經(jīng)常與向量、三角函數(shù)結(jié)合，在訓(xùn)練中要注意.本題無(wú)論是求圓心的軌跡方程，還是求證直線過(guò)定點(diǎn)，計(jì)算量都不太大，對(duì)思維的要求挺高；設(shè)計(jì)問(wèn)題背景，彰顯應(yīng)用魅力.【考點(diǎn)定位】本題考查跡曲線方程求法、直線方程、圓方程、直線與圓的位置關(guān)系及直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題.2．（山東·高考真題）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切，其中．(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；(2)設(shè)、是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)、變化且，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)【分析】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為，則，由此能導(dǎo)出所求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程．（2）設(shè)，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，由得，由此能求出直線過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：設(shè)動(dòng)圓圓心為，依題意可得，整理得，所求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程是.（2）證明：設(shè)，，由題意得（否則，且，，所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，顯然，．即，，把代入得，由韋達(dá)定理知，，①，由得把①代入上式，整理化簡(jiǎn)得，，此時(shí)，直線的方程可表示為：，即，令，解得，直線恒過(guò)定點(diǎn)．3．（廣東·高考真題）已知橢圓的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且軸，求證：直線經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)．【答案】見解析【分析】欲證直線經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)，分兩類討論：①若垂直于軸，②若不垂直于軸，對(duì)于第一種特殊情況比較簡(jiǎn)單，直接驗(yàn)證即可；對(duì)于第二種情況，記，和，，求出直線，的斜率看它們是不是相等，若相等，則可得、、三點(diǎn)共線．即可證得直線經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)．【詳解】由知，，故右焦點(diǎn)為，故右準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的中點(diǎn)為，若垂直于軸，則，，，中點(diǎn)為，，即