第16講 圓錐曲線中的切線方程與切點(diǎn)弦方程（高階拓展、競賽適用）（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page圓錐曲線中的切線方程與切點(diǎn)弦方程（高階拓展、競賽適用）（4類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新Ⅱ卷，第10題,6分過拋物線上的點(diǎn)與圓相切切線長根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)直線與拋物線交點(diǎn)相關(guān)問題2020年新Ⅱ卷，第21題,12分求橢圓的切線方程根據(jù)橢圓過的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓中三角形(四邊形)的面積求橢圓中的最值問題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線切線的定義2.理解、掌握圓錐曲線的切線問題及其相關(guān)計(jì)算【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會作為載體命題，同學(xué)們要會結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)知識講解1過圓x2+y2x

2.設(shè)Px0,y0x

3.設(shè)Px0,yx

4.設(shè)Px0,yy設(shè)Px0,xx0+yy0=r2

6.設(shè)Px0,y0為橢圓x2axx0a2?yyy考點(diǎn)一、橢圓中的切線方程和切點(diǎn)弦方程1．（2022高三·全國·專題練習(xí)）橢圓上點(diǎn)P(1,1)處的切線方程是．【答案】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得切線方程.【詳解】∵橢圓，∴y>0時，，∴，∴x＝1時，，即切線斜率，∴橢圓上點(diǎn)P(1,1)處的切線方程是，即．故答案為：．2．（22-23高三下·河南·階段練習(xí)）已知橢圓，離心率為，過的直線分別與相切于，兩點(diǎn)，則直線方程為（

）A．或 B．C． D．或【答案】A【分析】首先證明橢圓上一點(diǎn)處的切線方程為：，即可得到點(diǎn)是橢圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則切點(diǎn)弦的方程為，再根據(jù)離心率分類討論分別求出橢圓方程，即可得到切點(diǎn)弦方程．【詳解】首先證明橢圓上一點(diǎn)處的切線方程為：，①當(dāng)切線斜率存在時,設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立方程，得，，即，，又，把代入中，得，，化簡得.②當(dāng)切線斜率不存在時，過的切線方程為，滿足上式.綜上，橢圓上一點(diǎn)的切線方程為：.再證明若點(diǎn)是橢圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則切點(diǎn)弦的方程為．這是因?yàn)樵?，兩點(diǎn)處，橢圓的切線方程為和．兩切線都過點(diǎn)，所以得到了和，由這兩個“同構(gòu)方程”得到了直線的方程；因?yàn)闄E圓，離心率為，若焦點(diǎn)在軸，則，，所以，所以，解得，所以橢圓，所以過作橢圓的兩條切線方程，切點(diǎn)弦方程為；若焦點(diǎn)在軸，則，，所以，所以，解得，所以橢圓，所以過作橢圓的兩條切線方程，切點(diǎn)弦方程為，即；綜上可得直線方程為或.故選：A3．（22-23高二上·江西吉安·期末）已知過圓錐曲線上一點(diǎn)的切線方程為.過橢圓上的點(diǎn)作橢圓的切線，則過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題中所給的結(jié)論，求出過的切線方程，進(jìn)而可以求出切線的斜率，利用互相垂直的直線之間斜率的關(guān)系求出過點(diǎn)且與直線垂直的直線的斜率，最后求出直線方程.【詳解】過橢圓上的點(diǎn)的切線的方程為，即，切線的斜率為.與直線垂直的直線的斜率為，過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，即.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了求過點(diǎn)與已知直線垂直的直線方程，考查了數(shù)學(xué)閱讀能力，屬于基礎(chǔ)題.1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）求過橢圓上一點(diǎn)的切線方程．【答案】【分析】令，利用伸縮變換求得橢圓和點(diǎn)M在新坐標(biāo)系下的方程和坐標(biāo)，然后由圓的切線方程和伸縮變換公式可得.【詳解】令，則橢圓在新坐標(biāo)系下的方程是：，點(diǎn)在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是：，設(shè)過圓上的點(diǎn)的切線方程為（易得斜率必存在），即代入整理得由題意可知，，整理得即，所以切線方程為，即：過橢圓上一點(diǎn)的切線的方程是：，即：．2．（22-23高三全國·課后作業(yè)）曲線上點(diǎn)到直線距離的最小值為．【答案】/【分析】求曲線的切線方程，利用平行線的距離公式求所得直線與已知直線的距離，即可知最小距離.【詳解】令與相切，聯(lián)立整理可得，所以，可得，當(dāng)，此時與的距離，當(dāng)，此時與的距離，所以曲線到直線距離的最小值為.故答案為：3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)E和一個焦點(diǎn)F．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過與橢圓相切的直線方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）由橢圓的性質(zhì)求解，（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解【詳解】（1）依題意可知：橢圓焦點(diǎn)在x軸上，直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為：，，∴，F(xiàn)（2，0），∴，c＝2，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）可知橢圓，在橢圓上，求導(dǎo)，整理得：，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知：橢圓在切線方程的斜率，則直線的切線方程為：，整理得：，∴過與橢圓相切的直線方程為．4．（24-25高三上·湖南·開學(xué)考試）已知橢圓過點(diǎn)和.(1)求的離心率；(2)若直線與有且僅有一個交點(diǎn)，求的一般式方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）由橢圓過點(diǎn)和，求得，進(jìn)而求得，即可得到的離心率；（2）聯(lián)立和的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，由，可求得，即可得到的一般式方程.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)和，所以，解得，由，得，所以的離心率.（2）

由（1）可得的方程為，，聯(lián)立，得，由，得，直線的一般式方程為：.5．（23-24高二下·河南開封·期末）已知橢圓C的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線l與平行，且與C有且只有一個公共點(diǎn)，求l的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓定義得，，再結(jié)合關(guān)系即可得到答案；（2）求出，設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程，利用即可.【詳解】（1）由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由橢圓的定義知，，可得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.（2）已知，所以，設(shè)直線方程為，由方程組消去，得，該方程的判別式，由，得，此時與有且只有一個公共點(diǎn)，所以的方程為:.考點(diǎn)二、雙曲線中的切線方程和切點(diǎn)弦方程1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）求雙曲線在點(diǎn)處的切線方程．【答案】【分析】根據(jù)仿射變換可解.【詳解】設(shè)變換，則，可將雙曲線變換為圓，于是點(diǎn)可化為，顯然在圓上，易得切線方程為，即，雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為.2．（2023高二·全國·專題練習(xí)）過點(diǎn)作雙曲線：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求直線的方程．【答案】【分析】設(shè)的斜率為，得到，聯(lián)立方程組，根據(jù)和雙曲線的方程，求得，得到的方程為，同理的方程為，進(jìn)而得到，進(jìn)而求得過的直線方程.【詳解】設(shè)，易得兩條切線的斜率存在，設(shè)的斜率為，則，聯(lián)立方程，消去得，因?yàn)榕c雙曲線相切，所以，即，即，即，因?yàn)?，所以，代入可得，即，所以，所以，即，同理可得的方程為，因?yàn)樵谇芯€上，所以，所以滿足方程，又由兩點(diǎn)確定一條直線，所以滿足直線方程，所以過的直線方程為.故答案為：.3．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線的一條切線的斜率為2，求這條切線方程．【答案】.【分析】設(shè)出切線方程，與雙曲線方程聯(lián)立后用求出，從而求出切線方程.【詳解】設(shè)出切線方程為，與聯(lián)立得：，由，解得：，代入得切線方程為．1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）（1）求雙曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）已知是雙曲線外一點(diǎn)，過P引雙曲線的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，求直線AB的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由雙曲線上一點(diǎn)的切線方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分別表示出直線的方程，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程為，所以雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為，化簡可得.（2）設(shè)切點(diǎn)，則，，又點(diǎn)在直線上，代入可得，，所以點(diǎn)均在直線上，所以直線的方程為，即.2．（2020高三·江蘇·專題練習(xí)）在雙曲線上求一點(diǎn)，使到直線的距離最短．【答案】【解析】將雙曲線上一點(diǎn)到直線距離的最值問題轉(zhuǎn)化找到平行于直線且與雙曲線相切的直線問題,進(jìn)而求得滿足最值時的點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】設(shè)與直線平行且與雙曲線相切的直線方程為：,聯(lián)立,化簡得,,,則當(dāng)時,到直線的距離最短,此時切線方程為：,代入雙曲線方程中,即,解得,則該點(diǎn)為【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的切線方程,考查已知直線斜率求參問題,考查轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想考點(diǎn)三、拋物線中的切線方程和切點(diǎn)弦方程1．（2022高三·全國·專題練習(xí)）拋物線過點(diǎn)的切線方程為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出切線方程，與拋物線聯(lián)立，結(jié)合判別式，即得解【詳解】由于不為的切線，故切線斜率存在；不妨設(shè)切線的斜率為，故切線的方程為，即故，解得故切線方程為：故選：D2．（2022高三·全國·專題練習(xí)）過點(diǎn)作拋物線：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求直線的方程．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，結(jié)合切線過以及，分析即得解【詳解】拋物線可寫成：且設(shè)，則兩條切線的斜率分別為兩條切線的方程為：又兩條切線過點(diǎn)，所以所以直線AB的方程為：，即.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則.【答案】5【分析】設(shè)切線的方程為，將其代入，由可得

，，同理可得，由此可知是方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系代入MN化簡即可得出答案.【詳解】由題意知，切線的斜率均存在，且不為0.設(shè)切線的方程為，將其代入，得，由，得，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故.設(shè)切線的方程為，同理可得.則是方程的兩根，所以所以.故答案為：5.

4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知M是直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B（與坐標(biāo)原點(diǎn)O不重合），當(dāng)時，直線AB的方程為．【答案】【分析】根據(jù)，結(jié)合定理1得到AB過定點(diǎn)，再由推論2.1得到頂點(diǎn)M在直線上和點(diǎn)M在上求解.【詳解】解：由，得．因?yàn)?，所以根?jù)專題12中的定理1可知AB過定點(diǎn)，根據(jù)推論2.1可知頂點(diǎn)M在直線上，又點(diǎn)M在上，所以．再由推論1.2即可求得直線AB的方程為，化簡得．故答案為：1．（2023高三·全國·專題練習(xí)）過拋物線上一點(diǎn)的拋物線的切線方程為.【答案】【分析】解法一：設(shè)切線方程為，聯(lián)立切線方程與拋物線方程，由，得，則切線方程可求.解法二：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接可求切線斜率，再由點(diǎn)斜式方程求得答案.【詳解】解法一：由題意，切線方程一定存在，設(shè)切線方程為．由??，由，得，∴.故切線方程為，即.故答案為：.解法二：由得，∴.∴.∴切線方程為，即.故答案為：.2．（21-22高二下·河南新鄉(xiāng)·期末）過點(diǎn)作拋物線的切線，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．【答案】3【分析】設(shè)切線方程為，再聯(lián)立直線于拋物線的方程，令判別式為0求解即可【詳解】設(shè)切線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得，由，解得或代入得．故答案為：33．（2023·山東·模擬預(yù)測）已知拋物線：，過直線：上的動點(diǎn)可作的兩條切線，記切點(diǎn)為，則直線（

）A．斜率為2 B．斜率為 C．恒過點(diǎn) D．恒過點(diǎn)【答案】D【分析】設(shè)，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)幾何意義得到切線方程，設(shè)，將其代入兩切線方程，得到直線的方程為，得到過定點(diǎn).【詳解】設(shè)，則，，由于，故過點(diǎn)的切線方程為，即，即，同理可得過點(diǎn)的切線方程為，設(shè)，過點(diǎn)的兩切線交于點(diǎn)，故，整理得，同理，整理得，故直線的方程為，斜率不為定值，AB錯誤，當(dāng)時，，恒過點(diǎn)，C錯誤，D正確.故選：D4．（24-25高三上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且F與圓上點(diǎn)的距離的最小值為2．(1)求；(2)已知點(diǎn)，，是拋物線的兩條切線，，是切點(diǎn)，求．【答案】(1)2(2)【分析】（1）根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最小距離的求法確定的值.（2）設(shè)過點(diǎn)的切線方程，帶入拋物線方程，由直線與拋物線相切，可求切線斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求AB.【詳解】（1）因?yàn)椋ǎ?，則其到圓心距離減去半徑為2，故.（2）由（1）可知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.如圖：

因?yàn)檫^點(diǎn)的切線一定有斜率，故設(shè)切線方程為：，即，代入得：，整理得：.因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以或.當(dāng)時，由，所以切點(diǎn)；當(dāng)時，由，所以切點(diǎn)B2,1.所以考點(diǎn)四、切線方程及切點(diǎn)弦方程的應(yīng)用1．（2021·天津·高考真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，離心率為，且．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓有唯一的公共點(diǎn)，與軸的正半軸交于點(diǎn)，過與垂直的直線交軸于點(diǎn)．若，求直線的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出的值，結(jié)合的值可得出的值，進(jìn)而可得出橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，分析出直線的方程為，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)可得出，求出、的值，即可得出直線的方程.【詳解】（1）易知點(diǎn)、，故，因?yàn)闄E圓的離心率為，故，，因此，橢圓的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，先證明直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，，因此，橢圓在點(diǎn)處的切線方程為.在直線的方程中，令，可得，由題意可知，即點(diǎn)，直線的斜率為，所以，直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，因?yàn)?，則，即，整理可得，所以，，因?yàn)?，，故，，所以，直線的方程為，即.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：在利用橢圓的切線方程時，一般利用以下方法進(jìn)行直線：（1）設(shè)切線方程為與橢圓方程聯(lián)立，由進(jìn)行求解；（2）橢圓在其上一點(diǎn)的切線方程為，再應(yīng)用此方程時，首先應(yīng)證明直線與橢圓相切.2．（2021·全國·高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為．（1）求；（2）若點(diǎn)在上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，即可解出的值；（2）設(shè)點(diǎn)、、，利用導(dǎo)數(shù)求出直線、，進(jìn)一步可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出以及點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最大值.【詳解】（1）[方法一]：利用二次函數(shù)性質(zhì)求最小值由題意知，，設(shè)圓M上的點(diǎn)，則．所以．從而有．因?yàn)?，所以?dāng)時，．又，解之得，因此．[方法二]【最優(yōu)解】：利用圓的幾何意義求最小值拋物線的焦點(diǎn)為，，所以，與圓上點(diǎn)的距離的最小值為，解得；（2）[方法一]：切點(diǎn)弦方程+韋達(dá)定義判別式求弦長求面積法拋物線的方程為，即，對該函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)點(diǎn)、、，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn)，則，所以，點(diǎn)A、的坐標(biāo)滿足方程，所以，直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，，所以，，點(diǎn)到直線的距離為，所以，，，由已知可得，所以，當(dāng)時，的面積取最大值.[方法二]【最優(yōu)解】：切點(diǎn)弦法+分割轉(zhuǎn)化求面積+三角換元求最值同方法一得到．過P作y軸的平行線交于Q，則．．P點(diǎn)在圓M上，則．故當(dāng)時的面積最大，最大值為．[方法三]：直接設(shè)直線AB方程法設(shè)切點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，．設(shè)，聯(lián)立和拋物線C的方程得整理得．判別式，即，且．拋物線C的方程為，即，有．則，整理得，同理可得．聯(lián)立方程可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即．將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓M的方程，得，整理得．由弦長公式得．點(diǎn)P到直線的距離為．所以，其中，即．當(dāng)時，．【整體點(diǎn)評】（1）方法一利用兩點(diǎn)間距離公式求得關(guān)于圓M上的點(diǎn)的坐標(biāo)的表達(dá)式，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到最小值，進(jìn)而求得的值；方法二，利用圓的性質(zhì)，與圓上點(diǎn)的距離的最小值，簡潔明快，為最優(yōu)解；（2）方法一設(shè)點(diǎn)、、，利用導(dǎo)數(shù)求得兩切線方程，由切點(diǎn)弦方程思想得到直線AB的坐標(biāo)滿足方程，然手與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，，利用弦長公式求得的長，進(jìn)而得到面積關(guān)于坐標(biāo)的表達(dá)式，利用圓的方程轉(zhuǎn)化得到關(guān)于的二次函數(shù)最值問題；方法二，同方法一得到，，過P作y軸的平行線交于Q，則．由求得面積關(guān)于坐標(biāo)的表達(dá)式，并利用三角函數(shù)換元求得面積最大值，方法靈活，計(jì)算簡潔，為最優(yōu)解；方法三直接設(shè)直線，聯(lián)立直線AB和拋物線方程，利用韋達(dá)定理判別式得到，且．利用點(diǎn)在圓上，求得的關(guān)系，然后利用導(dǎo)數(shù)求得兩切線方程，解方程組求得P的坐標(biāo)，進(jìn)而利用弦長公式和點(diǎn)到直線距離公式求得面積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值；1．（2024·四川德陽·三模）已知為拋物線：的焦點(diǎn)，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)，若拋物線在兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，則.【答案】4【分析】設(shè)Ax1,y1，，設(shè)直線，代入拋物線方程，消去得，根據(jù)韋達(dá)定理可得，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出PF的值．【詳解】設(shè)Ax1,y1，，拋物線C在A、

由,且直線AB的傾斜角為，因此，設(shè)直線：，代入拋物線方程，消去得，，則，，，由拋物線，可得對求導(dǎo)數(shù)，得到y(tǒng)′x，則拋物線在兩點(diǎn)處的切線的斜率為，切線的斜率為，直線的方程為，即，①則直線l2的方程為，即，②，由①②解得，，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式：，故答案為：4．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)，拋物線在兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡為拋物線的準(zhǔn)線.2．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）（多選）過點(diǎn)向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)分別為為拋物線的焦點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】設(shè)Ax【詳解】設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)，拋物線的方程為，即，則,設(shè)Ax1,y1,Bx切線方程分別為，將的坐標(biāo)及代入，并整理得，可得為方程的兩個實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得，故A錯誤，B正確；，故C正確；，故D錯誤.故選：BC3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，曲線C：與直線交與M,N兩點(diǎn)，(1)當(dāng)時，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；(2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動時，總有？說明理由.【答案】(1)和．(2)有，理由見解析【分析】（1）先求出M，N的坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出M，N.（2）先作判定，再利用設(shè)而不求思想．將代入曲線C的方程整理成關(guān)于的一元二次方程，設(shè)出M，N的坐標(biāo)和P點(diǎn)坐標(biāo)，利用設(shè)而不求思想，將直線，的斜率之和用表示出來，利用直線，的斜率為0，即可求出關(guān)系，從而找出適合條件的P點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由題設(shè)可得，，或，.∵，故在處的導(dǎo)數(shù)值為，C在處的切線方程為，即.故在處的導(dǎo)數(shù)值為，C在處的切線方程為，即.故所求切線方程為或.（2）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：設(shè)為符合題意的點(diǎn)，，，直線，的斜率分別為.將代入C得方程整理得.∴.∴==.當(dāng)時，有=0，則直線的傾斜角與直線的傾斜角互補(bǔ)，故，所以符合題意.4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，橢圓上的點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的最大面積為1．(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)為直線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線（切點(diǎn)分別為），試證明動直線恒過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)證明見解析，．【分析】（1）根據(jù)條件得到關(guān)于的方程組，即可求解；（2）首先利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示切線方程，并利用兩點(diǎn)確定一條直線，確定直線的方程，再根據(jù)含參直線確定定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）∵橢圓的離心率為，橢圓上的點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的最大面積為1，∴，解得，∴橢圓的方程為．（2）證明：設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，∵兩條切線都過上任意一點(diǎn)，∴得到，∴都在直線上，又，由，得，即對任意的，直線始終經(jīng)過定點(diǎn)．∴動直線恒過一定點(diǎn)．5．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)拋物線，直線與交于，兩點(diǎn)，且．(1)求拋物線的方程；(2)已知點(diǎn)為上一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，設(shè)切點(diǎn)分別為，，試求直線，斜率之積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）聯(lián)立直線與方程可得與橫坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，結(jié)合弦長公式計(jì)算即可得解；（2）借助導(dǎo)數(shù)可得、，從而得到，結(jié)合韋達(dá)定理可表示出，結(jié)合圓的縱坐標(biāo)的范圍即可得解.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由，可得，則，，，解得，即拋物線；（2）設(shè)點(diǎn)Px0,y0，，，其中，由，即，，則，，則有，即，都在直線上，化簡得，將直線的方程代入得，則，，則，又Px0,y0為的一點(diǎn)，則【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的長軸為雙曲線的實(shí)軸，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)已知橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為．過橢圓的左焦點(diǎn)作直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)分別作橢圓的切線，兩切線交于點(diǎn)．求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意得到的值，從而得到橢圓方程；（2）根據(jù)題意設(shè)出直線的方程，點(diǎn)的坐標(biāo)，由題干提示得到橢圓在點(diǎn)處的切線方程，聯(lián)立方程得到點(diǎn)的坐標(biāo).根據(jù)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，進(jìn)一步證明與垂直.【詳解】（1）由題意得解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)直線的斜率為0時，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，此時切線平行無交點(diǎn)，故不符合題意．當(dāng)直線的斜率不為0時，由（1）知F1?1,0設(shè)直線，則橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，在點(diǎn)處的切線方程為．由，得，代入①得，所以．當(dāng)時，直線的斜率不存在，直線的斜率為0，；當(dāng)時，直線的斜率為，直線的斜率為，所以．綜上，．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的設(shè)線技巧：（1）當(dāng)題干中直接或者隱含直線過定點(diǎn)時，可設(shè)點(diǎn)斜式局限性：不能表示垂直于x軸的直線，需要單獨(dú)討論；（2）當(dāng)題干中含有過y軸上一定點(diǎn)時，或者在解題步驟中需要或，需要消掉y保留x時，設(shè)會簡化解題步驟和計(jì)算量局限性：不能表示垂直于x軸的直線，需要單獨(dú)討論；（3）當(dāng)題干含有過x軸上一定點(diǎn)時，或者在解題步驟中需要或，需要消掉x保留y時，設(shè)會簡化解題步驟和計(jì)算量局限性：不能表示垂直于y軸的直線，需要單獨(dú)討論.1．（2022高三·全國·專題練習(xí)）求過橢圓上一點(diǎn)的切線方程．【答案】【分析】令，利用伸縮變換求得橢圓和點(diǎn)M在新坐標(biāo)系下的方程和坐標(biāo)，然后由圓的切線方程和伸縮變換公式可得.【詳解】令，則橢圓在新坐標(biāo)系下的方程是：，點(diǎn)在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是：，設(shè)過圓上的點(diǎn)的切線方程為（易得斜率必存在），即代入整理得由題意可知，，整理得即，所以切線方程為，即：過橢圓上一點(diǎn)的切線的方程是：，即：．2．（2022高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)雙曲線：上點(diǎn)．求雙曲線在點(diǎn)處的切線的方程．【答案】.【分析】將雙曲線在某點(diǎn)的切線方程轉(zhuǎn)化為曲線在某點(diǎn)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)求出在某點(diǎn)的切線斜率，進(jìn)一步求出切線的方程.【詳解】由可得，根據(jù)題目條件，可知求曲線在點(diǎn)P處的切線的方程，∴曲線在點(diǎn)P處的切線斜率為∴曲線在點(diǎn)P處的切線方程為化簡得∴雙曲線C在點(diǎn)P處的切線的方程為．3．（2021高三·全國·專題練習(xí)）求與雙曲線有共同的漸近線，且與直線相切的標(biāo)準(zhǔn)雙曲線方程.【答案】【分析】解法一：設(shè)所求雙曲線的方程為，根據(jù)雙曲線與直線相切，且該直線與其漸近線不平行，聯(lián)立，利用判別式求解；解法二：設(shè)所求雙曲線的方程為，設(shè)其與直線相切的切點(diǎn)為，得到切線方程為，再根據(jù)與直線相切，由求解；解法三：設(shè)所求雙曲線方程為，雙曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，得到切線方程為，再根據(jù)與直線相切，由兩直線重合求解.【詳解】解法一：設(shè)所求雙曲線的方程為.此雙曲線與直線相切，且直線與漸近線顯然不平行，由方程組消去x，得，其判別式，解得.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即.解法二：設(shè)所求雙曲線的方程為，即，設(shè)其與直線相切的切點(diǎn)為，則切線方程為，，，.代入雙曲線方程中并化簡得，又，，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.解法三：設(shè)所求雙曲線方程為，雙曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，以此點(diǎn)為切點(diǎn)的雙曲線的切線方程為，化簡得.它和直線重合，，即，由等比定理得，即，，所以雙曲線方程為.4．（22-23高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知圓的方程為，拋物線的方程為，則兩曲線的公共切線的其中一條方程為．【答案】【分析】設(shè)切線方程，分別與圓的方程以及拋物線方程進(jìn)行聯(lián)立，利用各自的，即可求解.【詳解】設(shè)切線方程為：，分別聯(lián)立方程得到和，得和，得和，解得和，解得或，所以，兩曲線的公共切線的其中一條方程可為：故答案為：5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的一條切線方程為，則的準(zhǔn)線方程為．【答案】【分析】由，消去得，由求出p，從而求得準(zhǔn)線方程．【詳解】由，消去得，由題意，解得，則拋物線方程為：，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為：，即．故答案為：．6．（24-25高三上·浙江·開學(xué)考試）已知拋物線與斜率為的直線恰有一個公共點(diǎn)，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程即可求解.【詳解】題述直線斜率為，所以切點(diǎn)不可能是原點(diǎn)（否則切線斜率不存在，與題意矛盾），也不可能是斜率為0的直線與拋物線的交點(diǎn)（因?yàn)轭}述直線斜率為，它不等于0），或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上所述，若切點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有，解得.故選：B.7．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知是雙曲線外一點(diǎn)，過P引雙曲線的兩條切線，為切點(diǎn)，求直線的方程．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的切線方程（或切點(diǎn)弦方程）的結(jié)論直接代入即可得直線的方程.【詳解】如下圖所示：方法一：根據(jù)題意，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為Ax根據(jù)結(jié)論：若點(diǎn)在雙曲線上，則過點(diǎn)的雙曲線的切線方程是．則可得切線的方程分別為，；又因?yàn)樵谇芯€上，可得，；因此Ax1,可知直線的方程為，也即.方法二：可直接利用結(jié)論：若點(diǎn)在雙曲線外，過點(diǎn)作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)為點(diǎn)，則切點(diǎn)弦的直線方程是；可得直線的方程為，也即8．（2020·陜西西安·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為．【答案】【解析】求出與已知直線平行且與橢圓相切的直線方程，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得兩條切線中與已知直線距離較遠(yuǎn)的那條直線上的點(diǎn)到直線的最大值．【詳解】解：設(shè)直線與橢圓相切聯(lián)解消去，得，解得或與直線平行且與橢圓相切的直線方程為其中與直線距離較遠(yuǎn)的是，且距離為，到直線的最大距離為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式、橢圓的簡單幾何性質(zhì)和直線與圓錐曲線的關(guān)系等知識，屬于中檔題．9．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）已知拋物線，為直線上一點(diǎn)，過作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的值為（

）A．0 B．1 C．-2 D．-1【答案】A【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得直線與直線的方程，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)在直線上，得，即,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡后即可得解．【詳解】設(shè)，由求導(dǎo)得，則直線方程為，即，同理可得直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得，由點(diǎn)在直線上，得，即故選：A．10．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)P（x，y）是橢圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：的最大距離為.【答案】/【分析】求出與直線平行的直線方程，離直線較遠(yuǎn)的直線與的距離即為所求．【詳解】設(shè)直線y＝x＋m與橢圓相切，由得13x2＋18mx＋9m2－36＝0，∴Δ＝（18m）2－4×13（9m2－36）＝0，解得m＝±，切線方程為y＝x＋和y＝x－，與l距離較遠(yuǎn)的是y＝x－，∴所求最大距離為d＝＝.故答案為：1．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，則該雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為．【答案】/【分析】依題意，注意到點(diǎn)在橢圓上，由此得到橢圓在點(diǎn)處的切線方程；再結(jié)合上述性質(zhì)得到橢圓與雙曲線在其公共點(diǎn)處的斜率間的關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率．也可以利用結(jié)論6直接得到答案．【詳解】根據(jù)結(jié)論6，由題意得橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，即，該直線的斜率為，由結(jié)論5得知，該雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為．故答案為：.2．（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測）已知拋物線：，定點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，過作拋物線的兩條切線，，，是切點(diǎn)，則面積的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)出過點(diǎn)M的切線方程，得出切線斜率之間的關(guān)系，求出直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合面積公式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，的斜率分別為，且過點(diǎn)M的切線方程為，聯(lián)立，解得，所以，即，所以，設(shè)切點(diǎn)Ax1,所以，，所以直線，即：且，所以：，直線恒過定點(diǎn)，其到的距離為1，聯(lián)立得，∴，，即，∴，故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線相交問題，往往需聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理，利用弦長公式，斜率公式，向量平行于垂直的等價條件轉(zhuǎn)化求解.3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）（多選）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y2=2pxp>0上有異于原點(diǎn)的，兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，以A，B為切點(diǎn)的拋物線的切線分別記為PA，PB，則（

A．若，則A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線 B．若，則A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線C．若，則A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線 D．若，則A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線【答案】BC【分析】設(shè)直線AB的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，化簡整理為一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，進(jìn)而得到，，根據(jù)四個選項(xiàng)中的條件，逐一判斷選項(xiàng)．【詳解】設(shè)直線AB的方程為，代入拋物線方程得，則，，，所以，．選項(xiàng)A：若，則，得，故直線AB不一定經(jīng)過焦點(diǎn)F，所以A錯誤．選項(xiàng)B：若，則，得，故直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)F，所以B正確．選項(xiàng)C：設(shè)在點(diǎn)Ax1,y1與拋物線方程聯(lián)立得，，即，解得，所以，即，即切線PA的方程為，同理切線PB的方程為，由，得，得，由B知直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)F，所以C正確．選項(xiàng)D：因?yàn)?，則，整理得，則，故直線AB不一定經(jīng)過焦點(diǎn)F，所以D錯誤．故選：BC.4．（24-25高三上·河北邢臺·開學(xué)考試）已知是拋物線上任一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，記動點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程；(2)過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求點(diǎn)到直線的距離的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，再根據(jù)點(diǎn)是拋物線上任一點(diǎn)，代入方程，整理可得；（2）設(shè)Px0,y0，Mx1,y1，【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)是拋物線上任一點(diǎn)，所以，整理得，即的方程為；（2）設(shè)Px0,y0，Mx1,y由拋物線的方程為，即，則，所以的方程為，即，所以，同理可得，所以直線的方程為，則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為.5．（24-25高三上·甘肅白銀·階段練習(xí)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，離心率為，拋物線的焦點(diǎn)為．(1)記橢圓與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，若，求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)的直線與拋物線相切于第一象限，切點(diǎn)為，證明：直線經(jīng)過點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）聯(lián)立拋物線與橢圓方程可得,進(jìn)而根據(jù)拋物線的焦半徑公式可得，即可根據(jù)橢圓定義求解，（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)判別式為0，解得斜率為1，進(jìn)而根據(jù)的斜率得直線經(jīng)過點(diǎn)，根據(jù)向量的坐標(biāo)相等可證線段相等，即可求證中點(diǎn)關(guān)系.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以拋物線．因?yàn)殡x心率為，所以，即．聯(lián)立得，解得舍去，所以．因?yàn)?，所以，解得，所以拋物線的方程為．（2）證明：由題意可知直線有斜率，設(shè)直線，聯(lián)立得①．令，解得（舍去）．直線的斜率為，與直線的斜率相等，所以直線與直線重合，直線經(jīng)過點(diǎn)．將代入①，解得．將代入直線的方程可得，所以，所以，所以為線段的中點(diǎn)．綜上，直線經(jīng)過點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)．6．（23-24高三下·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，漸近線方程為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)作雙曲線的切線與軸交于點(diǎn)，試判斷與的大小關(guān)系，并給予證明．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）由題意可列出方程組，解出方程組即可得解；（2），首先求出直線的方程，進(jìn)一步作關(guān)于的對稱點(diǎn)為，只需證明，，三點(diǎn)共線即可得證.【詳解】（1）由已知，解之得，所以雙曲線的方程為.（2）.證明如下：令，由，得，由得，所以.令關(guān)于的對稱點(diǎn)為，且與直線的交點(diǎn)為，則，解之得，即，又因?yàn)椋?，所以，，三點(diǎn)共線，因?yàn)闉榫€段的垂直平分線，所以，所以，.7．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過與軸垂直的直線交于兩點(diǎn)，且，離心率為.(1)求的方程；(2)已知圓上點(diǎn)處的切線方程是，利用類比思想可知雙曲線上點(diǎn)處的切線方程為.過點(diǎn)分別作雙曲線的左?右兩支的切線，切點(diǎn)分別為，連接，并過線段的中點(diǎn)分別再作雙曲線左?右兩支的切線，切點(diǎn)分別為，證明：點(diǎn)在同一條直線上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由已知先表示AB，結(jié)合已知及雙曲線性質(zhì)即可求解；（2）由已知直線與圓相切可求得直線與雙曲線相切的方程，可求出的直線方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，進(jìn)而可求出直線的方程，可得直線經(jīng)過點(diǎn)，即可求解.【詳解】（1）在中，令，得，所以AB=則，解得.所以的方程為.（2）由類比思想可知雙曲線在處的切線方程為，同理，在處的切線方程為，又因?yàn)閮汕芯€的交點(diǎn)為，所以滿足，從而得到直線的方程為.聯(lián)立方程，整理可得，需滿足所以，即可得線段的中點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)已知可得在兩點(diǎn)處的切線方程分別為又兩切線交點(diǎn)為，所以，可得直線的方程為，整理得，即，直線恒過點(diǎn)，所以點(diǎn)在同一條直線上.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了直線與雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了方程思想的應(yīng)用，屬于中檔題.解題關(guān)鍵是把雙曲線在處的切線方程設(shè)出來，結(jié)合兩切線的交點(diǎn),可把直線的方程求出來，聯(lián)立雙曲線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理可求出中點(diǎn)的坐標(biāo).同理把雙曲線在處的切線方程設(shè)出來，結(jié)合交點(diǎn)可求出直線的方程，根據(jù)直線的方程，即可判斷直線恒過點(diǎn)，即點(diǎn)在同一條直線上.8．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)與的焦點(diǎn)間的距離為.(1)求與的方程；(2)過坐標(biāo)軸上的點(diǎn)可以作兩條與的公切線.（i）求點(diǎn)的坐標(biāo).（ii）當(dāng)點(diǎn)在軸上時，是否存在過點(diǎn)的直線，使與均有兩個交點(diǎn)？若存在，請求出的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)（i）或或或；（ii）不存在，理由見解析【分析】（1）由題意可得，求解即可求與的方程；（2）（i）顯然公切線的斜率存在且不為0，設(shè)公切線，分別與與的方程聯(lián)立方程組，利用判別式等于0可求公切線方程，公切線的交點(diǎn)即點(diǎn)的坐標(biāo).（ii）假設(shè)存在直線與均有兩個交點(diǎn)，由（i）知，判斷方程組有無解即可.【詳解】（1）由題意可得，解得.所以.（2）（i）顯然公切線的斜率存在且不為0，設(shè)公切線，聯(lián)立得，則，即①聯(lián)立得，則，即②聯(lián)立①②得，所以公切線為或.公切線的交點(diǎn)即點(diǎn)的坐標(biāo)，由，解得，由，解得，由，解得，，解得，綜上所述：或或或.（ii）當(dāng)點(diǎn)在軸上時，，假設(shè)存在直線與均有兩個交點(diǎn)，由（i）知，不等式組無解，所以不存在過點(diǎn)的直線與均有兩個交點(diǎn).9．（23-24高二上·湖南衡陽·期末）已知曲線上的動點(diǎn)滿足，且.(1)求的方程；(2)已知直線與交于兩點(diǎn)，過分別作的切線，若兩切線交于點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，證明：經(jīng)過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義即可求解，（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)相切得判別式為0，可得，進(jìn)而可得坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)可得直線的方程，即可根據(jù)交點(diǎn)在直線化簡求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以曲線是以為焦點(diǎn)，以2為實(shí)軸長的雙曲線，所以實(shí)半軸長，半焦距，虛半軸長，所以曲線的方程為.（2）由題知切線斜率均存在，所以設(shè)過點(diǎn)所作的切線分別為，由題意知且，由得，因?yàn)榕c相切，所以，且，整理得.此時可得，即.同理.由得.直線的斜率為，所以的方程為，令，得，即經(jīng)過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點(diǎn).（2）特殊到一般法：先根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).技巧：若直線方程為,則直線過定點(diǎn);若直線方程為(為定值),則直線過定點(diǎn)10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓上僅存在個點(diǎn)，使得為直角三角形，且面積的最大值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)是橢圓上一動點(diǎn)，且點(diǎn)在軸的左側(cè)，過點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為、.求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）分析可知，當(dāng)時，存在兩個點(diǎn)，使得為直角三角形，設(shè)點(diǎn)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出，再利用面積的最大值可得出、的值，可得出的值，由此可得出橢圓的方程；（2）證明出拋物線在點(diǎn)Ax1,y1處的切線方程為，可得出拋物線在點(diǎn)處的切線方程，聯(lián)立兩切線方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，其中，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】（1）解：當(dāng)軸時，存在兩個點(diǎn)，使得為直角三角形，當(dāng)軸時，存在兩個點(diǎn)，使得為直角三角形，當(dāng)時，由題意可知，存在兩個點(diǎn)，使得為直角三角形，設(shè)點(diǎn)，其中，則，可得，且，，則，可得，由題意可知，，則，當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸的頂點(diǎn)時，到軸的距離最大，此時，的面積取最大值，即，則，故，因此，橢圓的方程為.（2）解：設(shè)點(diǎn)Ax1,y1、Bx2聯(lián)立可得，即，解得，所以，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，同理可知，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立可得，所以，，則，即點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在軸左側(cè)，則，即，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，設(shè)，其中，則，，所以，，因?yàn)椋瑒t，則，所以，，因此，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.1．（福建·高考真題）如圖，直線與拋物線相切于點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求以點(diǎn)為圓心，且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，根據(jù)相切可知聯(lián)立化簡后的方程，即可求得的值；（2）將（1）中所得的值代入聯(lián)立后的方程，可求得切點(diǎn)坐標(biāo)，由與拋物線的準(zhǔn)線相切可得圓的半徑，進(jìn)而可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1）直線與拋物線相切于點(diǎn).則，得，（*）因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以，解得.（2）由（1）可知，故方程（*）即為，解得，代入，得.故點(diǎn)，因?yàn)閳A與拋物線的準(zhǔn)線相切，所以圓的半徑等于圓心到拋物線的準(zhǔn)線的距離，即，所以圓的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查由直線與拋物線相切求參數(shù)，拋物線定義的簡單應(yīng)用及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法，屬于基礎(chǔ)題.2．（安徽·高考真題）設(shè)是拋物線的焦點(diǎn)．（Ⅰ）過點(diǎn)作拋物線的切線，求切線方程；（Ⅱ）設(shè)為拋物線上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足，延長分別交拋物線于點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）32.【分析】（Ⅰ）可設(shè)切線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式等于零列方程即可得結(jié)果；（Ⅱ）直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、弦長公式可求得的值，從而可得四邊形面積，利用基本不等式可得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）由題意可設(shè)切線方程為,聯(lián)立方程得由可得:所求切線方程為:或（Ⅱ）設(shè),不妨設(shè)直線的斜率為,則方程為由:得∴∴又，∴直線的斜率為:，同理可得：∴∴當(dāng)時，等號成立，四邊形面積的最小值為32【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解.3．（陜西·高考真題）已知拋物線，直線交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過作軸的垂線交于點(diǎn).（Ⅰ）證明：拋物線在點(diǎn)處的切線與平行；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，說明理由.【答案】（Ⅰ）證明見解析．（Ⅱ）存在，使．【詳解】（Ⅰ）如圖，設(shè).把代入得，由韋達(dá)定理得.∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)拋物線在點(diǎn)處得切線的方程為，將代入上式得，∵直線與拋物線相切，∴，∴，即.（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則.又∵是的中點(diǎn)，∴.由（Ⅰ）知.∵軸，∴.又.∴，解得，即存在，使.點(diǎn)睛：本題考查的是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與拋物線的位置關(guān)系，以及運(yùn)用所學(xué)知識去分析問題解決問題的能力．求解第一問時聯(lián)立直線與拋物線的方程組，運(yùn)用斜率相等證明命題的成立；第二問求解的思路是先假設(shè)符合題設(shè)條件的參數(shù)存在，然后再依據(jù)題設(shè)條件進(jìn)行分析探求，最終求出滿足題設(shè)條件的在，使得問題獲解．4．（廣東·高考真題）已知橢圓的一個焦點(diǎn)為，離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）；（2）.【詳解】試題分析：（1）利用題中條件求出的值，然后根據(jù)離心率求出的值，最后根據(jù)、、三者的關(guān)系求出的值，從而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分兩種情況進(jìn)行計(jì)算：第一種是在從點(diǎn)所引的兩條切線的斜率都存在的前提下，設(shè)兩條切線的斜率分別為、，并由兩條切線的垂直關(guān)系得到，并設(shè)從點(diǎn)所引的直線方程為，將此直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于的一元二次方程，利用得到有關(guān)的一元二次方程，最后利用以及韋達(dá)定理得到點(diǎn)的軌跡方程；第二種情況是兩條切線與坐標(biāo)軸垂直的情況下求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并驗(yàn)證點(diǎn)是否在第一種情況下所得到的軌跡上，從而得到點(diǎn)的軌跡方程.（1）由題意知，且有，即，解得，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①設(shè)從點(diǎn)所引的直線的方程為，即，當(dāng)從點(diǎn)所引的橢圓的兩條切線的斜率都存在時，分別設(shè)為、，則，將直線的方程代入橢圓的方程并化簡得，，化簡得，即，則、是關(guān)于的一元二次方程的兩根，則，化簡得；②當(dāng)從點(diǎn)所引的兩條切線均與坐標(biāo)軸垂直，則的坐標(biāo)為，此時點(diǎn)也在圓上.綜上所述，點(diǎn)的軌跡方程為.考點(diǎn)：本題以橢圓為載體，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系以及動點(diǎn)的軌跡方程，將直線與二次曲線的公共點(diǎn)的個數(shù)利用的符號來進(jìn)行轉(zhuǎn)化，計(jì)算量較大，從中也涉及了方程思想的靈活應(yīng)用.5．（廣東·高考真題）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為．設(shè)為直線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時，求直線的方程；(3)當(dāng)點(diǎn)在直線上移動時，求的最小值．【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)【詳解】試題分析：（1）設(shè)拋物線的方程為，利用點(diǎn)到直線的距離,求出,得到拋物線方程；（2）對拋物線方程求導(dǎo),求出切線的斜率,用點(diǎn)斜式寫出切線方程,化成一般式,找出共同點(diǎn),得到直線的方程；（3）由拋物線定義可知，聯(lián)立直線與拋物線方程,消去,得到一個關(guān)于的一元二次方程,由韋達(dá)定理求得的值,還有,將表示成的二次函數(shù)的形式,再求出最值.試題解析:解：（1）依題意，設(shè)拋物線的方程為，由結(jié)合，解得，所以拋物線的方程為.（2）拋物線的方程為，即，求導(dǎo)得，設(shè)(其中)則切線的斜率分別為，所以切線的方程為，即，即，同理可得切線的方程為，因?yàn)榍芯€均過點(diǎn)，所以，，所以為方程的兩組解，所以直線的方程為.（3）由拋物線定義可知，聯(lián)立方程，消去整理得