第18講 圓錐曲線中的極點(diǎn)極線問題（高階拓展、競(jìng)賽適用）（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page圓錐曲線中的極點(diǎn)極線問題（高階拓展、競(jìng)賽適用）（2類核心考點(diǎn)精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.理解、掌握?qǐng)A錐曲線極點(diǎn)極線的定義2.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的極點(diǎn)極線問題及其相關(guān)計(jì)算【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，小題和大題都會(huì)作為載體命題，同學(xué)們要會(huì)結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)知識(shí)講解極點(diǎn)極線的定義如圖,設(shè)P是不在圓雉曲線上的一點(diǎn),過P點(diǎn)引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)E,F,G,H,連接EH,FG交于N,連接EG,FH交于M,則直線MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線.若P為圓雉曲線上的點(diǎn),則過P點(diǎn)的切線即為極線.

同理,PM為點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的極線,PN為點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的極線.因而將△MNP稱為自極三點(diǎn)形.設(shè)直線MN其他定義對(duì)于圓錐曲線C:Axl:Ax0x+B?x0y+y0x2+C替換原則x0x極點(diǎn)極線的幾何意義(以橢圓為例)

已知橢圓方程:x2a2+y2b2=1,設(shè)點(diǎn)Px(2)當(dāng)點(diǎn)P在橢圓外時(shí),極線l與橢圓相交,且為由P點(diǎn)向橢圓所引切線的切點(diǎn)弦所在直線。(3)當(dāng)點(diǎn)P在橢圓內(nèi)時(shí),極線l與橢圓相離,極線l為經(jīng)過點(diǎn)P的弦在兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡,且極線l與以點(diǎn)P為中點(diǎn)的弦所在的直線平行。特別地:

(1)對(duì)于橢圓x2a2+y2b2=1,與點(diǎn)Px0,y0對(duì)應(yīng)的極線方程為x0考點(diǎn)一、極點(diǎn)極線初步學(xué)習(xí)1．（2024·全國·一模）如圖，已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合.點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn).

(1)求常數(shù)的取值范圍，并求橢圓的方程.(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結(jié)論進(jìn)行解答)極點(diǎn)與極線是法國數(shù)學(xué)家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對(duì)于橢圓，極點(diǎn)Px0,y0（不是原點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的極線為，且若極點(diǎn)在軸上，則過點(diǎn)作橢圓的割線交于點(diǎn)，則對(duì)于上任意一點(diǎn)，均有（當(dāng)斜率均存在時(shí)）.已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.連接交軸于點(diǎn).連接分別交橢圓于兩點(diǎn).①設(shè)直線、分別交軸于點(diǎn)、點(diǎn)，證明：點(diǎn)為、的中點(diǎn)；②證明直線：恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).2．（22-23高二上·貴州貴陽·期末）閱讀材料：（一）極點(diǎn)與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：，則稱點(diǎn)P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對(duì)極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程.特別地，對(duì)于橢圓，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于雙曲線，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于拋物線，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為.即對(duì)于確定的圓錐曲線，每一對(duì)極點(diǎn)與極線是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.（二）極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)?定理①當(dāng)P在圓錐曲線G上時(shí)，其極線l是曲線G在點(diǎn)P處的切線；②當(dāng)P在G外時(shí)，其極線l是曲線G從點(diǎn)P所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）；③當(dāng)P在G內(nèi)時(shí)，其極線l是曲線G過點(diǎn)P的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：(1)已知橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線方程；(2)已知Q是直線l：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，是否存在定點(diǎn)T恒在直線MN上，若存在，當(dāng)時(shí)，求直線MN的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.1．（23-24高二下·廣東深圳·期中）閱讀材料：（一）極點(diǎn)與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線：，則稱點(diǎn)和直線：是圓錐曲線的一對(duì)極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換；以替換，以替換，即可得到對(duì)應(yīng)的極線方程.特別地，對(duì)于橢圓，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于雙曲線，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于拋物線，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為.即對(duì)于確定的圓錐曲線，每一對(duì)極點(diǎn)與極線是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.（二）極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)?定理：①當(dāng)在圓錐曲線上時(shí)，其極線是曲線在點(diǎn)處的切線；②當(dāng)在外時(shí)，其極線是從點(diǎn)向曲線所引兩條切線的切點(diǎn)所在的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）；③當(dāng)在內(nèi)時(shí)，其極線是曲線過點(diǎn)的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：已知橢圓：.(1)點(diǎn)是直線：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為，，是否存在定點(diǎn)恒在直線上，若存在，當(dāng)時(shí)，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.(2)點(diǎn)在圓上，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求面積的最大值.2．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為上頂點(diǎn)，離心率為，直線與圓相切.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)橢圓方程，平面上有一點(diǎn).定義直線方程是橢圓在點(diǎn)處的極線.①若在橢圓上，證明:橢圓在點(diǎn)處的極線就是過點(diǎn)的切線;②若過點(diǎn)分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點(diǎn)為，割線交橢圓于兩點(diǎn)，過點(diǎn)分別作橢圓的兩條切線，且相交于點(diǎn).證明:三點(diǎn)共線.考點(diǎn)二、極點(diǎn)極線在圓錐曲線中的應(yīng)用1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．2．（北京·高考真題）已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)和點(diǎn)都在橢圓上，直線交軸于點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程，并求點(diǎn)的坐標(biāo)（用，表示）；（Ⅱ）設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，直線交軸于點(diǎn)．問：軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．3．（全國·高考真題）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.4．（全國·統(tǒng)考高考真題）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn).1．（24-25高三上·北京·開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A、B，左、右焦點(diǎn)分別為．過右焦點(diǎn)的直線l交橢圓于點(diǎn)M、N，且的周長(zhǎng)為16．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記直線AM、BN的斜率分別為，證明：為定值．2．（2023·遼寧·二模）已知橢圓的離心率為，直線，左焦點(diǎn)F到直線l的距離為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．C，D是橢圓T上異于A，B的任意兩點(diǎn)，且直線AC，BC，AD，BD的斜率都存在．直線AC，BD相交于點(diǎn)M，直線AD，BC相交于點(diǎn)N．設(shè)直線AC，BC的斜率為，．①求的值；②求直線MN的斜率．3．（2023·湖北·三模）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓C上一點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)是橢圓C上且處于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，直線與橢圓C分別相交于兩點(diǎn)，直線，相交于點(diǎn)N，試求的最大值．4．（23-24高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知橢圓過和兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在定直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線，分別交橢圓于兩點(diǎn)P和Q.（i）證明：點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi)；（ii）求四邊形面積的最大值.5．（24-25高三上·上海嘉定·階段練習(xí)）如圖，橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為、，設(shè)Px0,y0是第一象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn)，、的延長(zhǎng)線分別交橢圓于點(diǎn)，

(1)若軸，求的面積；(2)若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求的最小值.1．（23-24高二上·山東日照·期中）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)M，N為C上且在x軸上方的兩點(diǎn)，，與的交點(diǎn)為P，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．2．（23-24高二上·湖北武漢·期中）如圖所示，橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別是和，離心率，，是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求四邊形面積的最大值；(3)試判斷直線與的斜率之積是否為定值，若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由.3．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線交于點(diǎn)，，如圖．

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)時(shí)，求弦AB的長(zhǎng)；(3)已知點(diǎn)，直線，分別與拋物線交于點(diǎn)，．證明：直線過定點(diǎn)．4．（23-24高二下·四川成都·期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)別為，，離心率為，過點(diǎn)的動(dòng)直線l交E于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上方，且l不與x軸垂直，的周長(zhǎng)為，直線與E交于另一點(diǎn)C，直線與E交于另一點(diǎn)D，點(diǎn)P為橢圓E的下頂點(diǎn)，如圖．(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過定點(diǎn)．5．（24-25高三上·遼寧鞍山·開學(xué)考試）已知橢圓，右焦點(diǎn)為且離心率為，直線，橢圓的左右頂點(diǎn)分別為為上任意一點(diǎn)，且不在軸上，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為.

(1)直線和直線的斜率分別記為，求證：為定值；(2)求證：直線過定點(diǎn).6．（22-23高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右頂點(diǎn)為，離心率為，P是直線上任一點(diǎn)，過點(diǎn)且與PM垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線PA，PM，PB的斜率分別為，，，問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．7．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知圓心為H的圓和定點(diǎn)，B是圓上任意一點(diǎn)，線段AB的中垂線l和直線BH相交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)B在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡記為曲線C．(1)求C的方程．(2)如圖所示，過點(diǎn)A作兩條相互垂直的直線分別與曲線C相交于P，Q和E，F(xiàn)，求的取值范圍8．（23-24高二上·湖北·期中）已知橢圓C的方程為，其離心率為，，為橢圓的左右焦點(diǎn)，過作一條不平行于坐標(biāo)軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為．

(1)求橢圓C的方程；(2)過B作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)D．①試討論直線AD是否恒過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．②求面積的最大值．9．（23-24高三上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)，離心率為，過作兩條互相垂直的弦，設(shè)的中點(diǎn)分別為．(1)求橢圓的方程；(2)證明：直線必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；(3)若弦的斜率均存在，求面積的最大值．10．（23-24高二上·陜西渭南·期末）如圖，過點(diǎn)C0,1的橢圓的離心率為，橢圓與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)；(1)當(dāng)直線過橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)異于點(diǎn)時(shí)，求證：為定值．1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選）已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切2．（北京·高考真題）已知拋物線C：y2＝2px過點(diǎn)P(1,1)．過點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn)．(1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證：A為線段BM的中點(diǎn)．3．（四川·高考真題）橢圓有兩頂點(diǎn)A（﹣1，0）、B（1，0），過其焦點(diǎn)F（0，1）的直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P．直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q．（Ⅰ）當(dāng)|CD|=時(shí)，求直線l的方程；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P異于A、B兩點(diǎn)時(shí)，求證：為定值．4．（北京·高考真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，直線AP與x軸交于點(diǎn)M，直線AQ與x軸交于點(diǎn)N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過定點(diǎn).5．（全國·高考真題）在直角坐標(biāo)系中，曲線C：y=與直線交與M,N兩點(diǎn)，（Ⅰ）當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；（Ⅱ）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.6．（北京·高考真題）已知橢圓的離心率為，焦距為.斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）設(shè)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.若、和點(diǎn)共線，求.7．（北京·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓過點(diǎn)，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn),直線分別交直線于點(diǎn)．求的值．8．（四川·高考真