（講評用卷）2023年河南某鄭州一中三模·數(shù)學

數(shù)學試卷第頁（共頁）2023年河南某鄭州一中三?！?shù)學全卷總分:120分考試時間:100分鐘一、選擇題1.負數(shù)最早出現(xiàn)在我國古代著名的數(shù)學專著《九章算術》中．如果買了兩頭牛記作+2，則賣了三頭?？捎涀?)A．3 B．－3C．|3| D．11.B【解析】買了兩頭牛記作+2，則賣了三頭?？捎涀鳎?.

2.鄭州是我國重要的交通樞紐，也是“國家中心城市”之一．將“國家中心城市”這六個漢字分別寫在某正方體的表面上，如圖是它的一種展開圖，則在原正方體中，與“中”字所在面相對的面上的漢字是()A．“國” B．“心” C．“城” D．“市”2.D【解析】在原正方體中，與“中”字所在面相對的面上的漢字是“市”．3.作為中原大省，河南省是我國的人口大省、農業(yè)大省、經(jīng)濟大省，2022年，河南省憑借6.13萬億元的經(jīng)濟總量占據(jù)全國各省份第五位，占全國的5.0%，將數(shù)據(jù)“6.13萬億”用科學記數(shù)法表示為()A．6.13×108 B．6.13×1010C．6.13×1012 D．6.13×10143.C【解析】6.13萬億＝6130000000000＝6.13×1012，4.如圖，直線l1∥l2，點B，C分別在直線l1和l2上，則下列結論不一定成立的是()A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠1+∠4＝90° D．∠4+∠5＝180°4.C【解析】∵直線l1∥l2，∴∠1＝∠2，∴A選項不符合題意；∵直線l1∥l2，∴∠3＝∠4，∴B選項不符合題意；∵∠2+∠4不一定為90°，且∠1＝∠2，∴∠1+∠4不一定為90°，∴C選項不一定成立，符合題意；∵直線l1∥l2，∴∠4+∠5＝180°，∴D選項不符合題意．5.下列運算正確的是()A．a2+a3＝a5 B．b3?b4＝b7C．(－2c2)3＝－6c6 D．－a8÷a2＝－a45.B【解析】a2與a3不屬于同類項，不能合并，故A不符合題意；b3?b4＝b7，故B符合題意；(－2c2)3＝－8c6，故C不符合題意；－a8÷a2＝－a6，故D不符合題意.6.在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，則下列結論不一定成立的是()A．AB＝BC B．OA＝OCC．AC⊥BD D．AC＝BD6.D【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC，AC⊥BD，但不能得到AC＝BD，∴AC＝BD不一定成立.7.一元二次方程x2+2mx+m2－1＝0的根的情況是()A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．無實數(shù)根 D．無法確定7.A【解析】∵

b2?4ac＝(2m)2－4(m2－1)＝4＞08.近視眼鏡是一種為了矯正視力，讓人們可以清晰看到遠距離物體的凹透鏡片．研究發(fā)現(xiàn)，近視眼鏡的度數(shù)y(度)與鏡片焦距x(m)的函數(shù)關系如圖所示，則下列說法中錯誤的是()A．鏡片焦距x的值越大，近視眼鏡的度數(shù)y的值越小B．圖中曲線是反比例函數(shù)的圖象(其中一支)C．當焦距x為0.3m時，近視眼鏡的度數(shù)y約為200度D．對于每一個鏡片焦距x，都有唯一的近視度數(shù)y與它對應8.C【解析】由圖可知，近視眼鏡的度數(shù)y(度)與鏡片焦距x(m)的關系式為y

=100x，∴當x的值增大時，y的值隨之減小，故A正確，不符合題意；圖中曲線是反比例函數(shù)的圖象的其中一支，故B正確，不符合題意；將x＝0.3．代入y

=100x，y值約為333，故C不正確，符合題意；對于每一個鏡片焦距x，都有唯一的近視度數(shù)y與它對應，故9.小星利用平面直角坐標系繪制了如下風車圖形，他先將△OBA固定在坐標系中，其中A(2，4)，B(2，0)，接著他將△OBA繞原點O逆時針轉動90°至△OB1A1，稱為第一次轉動，然后將△OB1A1繞原點O逆時針轉動90°至△OB2A2，稱為第二次轉動，…那么按照這種轉動方式，轉動2023次后，點A的坐標為()A．(4，－2) B．(?C．(25，?2)

9.A【解析】∵△OBA每次繞點O逆時針旋轉90°，∴第4次旋轉后△OBA回到初始位置，又∵2023÷4＝505……3，∴當△OBA旋轉2023次后的位置與旋轉第3次后的位置重合，即此時點A與點A3重合，∵點A(2，4)，∴點A3(4，－2)，∴轉動2023次后，點A的坐標為(4，－2)．10.在學習過一次函數(shù)后，小星準備利用已有知識探索函數(shù)y＝|x+1|的圖象與性質，通過列表、描點、連線，他得到了此圖象，圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點，則下列說法正確的有()①點A的坐標是(1，0)；②函數(shù)圖象是一個軸對稱圖形；③y隨著x的增大而增大；④該函數(shù)有最小值，最小值為0；⑤∠BAO＝45°.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10.C【解析】①當y＝0時，x＝－1，∴點A的坐標是(－1，0)，故①錯誤；②函數(shù)圖象是一個軸對稱圖形，對稱軸為直線x＝－1，故②正確；③當x＞－1時，y隨x的增大而增大，故③錯誤；④由圖象可知，該函數(shù)有最小值，最小值為0，故④正確；⑤∵函數(shù)y＝x+1的圖象過A(－1，0)，B(0，1)，∴OA＝OB＝1，∴∠BAO＝45°，故⑤正確．綜上所述，正確的說法有②④⑤共3個.二、填空題11.若二次根式

x+1有意義，則實數(shù)x的取值范圍是11.x

≥－1【解析】根據(jù)題意得x+1≥0，解得x

≥－1，即x的取值范圍為x

≥－1．12.不等式組

x+1＞12.－1＜x

≤

2【解析】x+1＞0①3x?1≤5②，解不等式①，得x＞－1，解不等式②，得13.已知關于x的一元二次方程x2+kx－6＝0的一個根是2，則另一個根是

．13.－3【解析】設另一個根為m，由根與系數(shù)之間的關系得，m×2＝－6，∴m＝－3.14.如圖，在矩形ABCD中，以點D為圓心，AD長為半徑畫弧，以點C為圓心，CD長為半徑畫弧，兩弧恰好交于BC邊上的點E處，現(xiàn)從矩形內部隨機取一點，若AB＝1，則該點取自陰影部分的概率為

．14.2【解析】如圖，在矩形ABCD中，CD＝CE＝1，∴DE

=12+12=2，∠ADC＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝1，∴AD＝BC

=2，∠ADE＝45°，∴S2

=14π×12

?12×1×1

=π4?12，S扇形ADE

=45π?(215.如圖，在△ABC中，AB＝AC

=3+1，∠BAC＝120°，P、Q是邊BC上兩點，將△ABP沿直線AP折疊，△ACQ沿直線AQ折疊，使得B、C的對應點重合于點R．當△PQR為直角三角形時，線段AP的長為15.2或

6【解析】如圖，過點A作AD⊥BC于點D，設AR與BC交于點E，由翻折可知，∠ARQ＝∠C，∠ARP＝∠B，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC

=3+1，∴∠B＝∠C＝30°，AD

=12AB

=3+12，BD＝CD

=32AB

=3+32，∴∠PRQ＝∠B+∠C＝60°.當∠RPQ＝90°時，如圖①，由題意得RP∥AD，∴∠EAD＝∠ERP＝∠B＝30°，在Rt△ADE中，AD

=3+12，∠EAD＝30°，∴DE

=33AD

=3+36.設BP＝a，則PR＝a，PE＝BD－BP－DE

=3+32?a

?3+36=3+33?a，在Rt△PRE中，∠PRE＝30°，∴PR

=3PE，即a

=3×(

3當∠RQP＝90°時，如圖②，由①同理可得，CQ＝QR＝1，DQ＝AD

=3+12，設PD＝b，則BP＝PR＝BD－PD

=3+32?b，在Rt△PQR中，由勾股定理得，PR2－PQ2＝QR2，即(

3+32?b)2－(

3+12+b)2＝1，解得b

=3?12，即PD

=3?12，在Rt△APD中，由勾股定理得，AP2＝AD2+PD2＝(

3

圖①

圖②三、解答題16.(1)計算：?8(2)化簡：

(116.解：(1)原式＝－2+1+＝－1+=?(2)原式==x+1x=117.【問題背景】書法展現(xiàn)人文修養(yǎng)、道德追求和精神氣度，書法特別強調書品與人品的統(tǒng)一，“茍非其人，雖工不貴”(蘇軾語)；“高韻深情，堅質浩氣，缺一不可為書”(劉熙載)．某校特別重視中學生的書法養(yǎng)成教育，為了檢測效果，從全校學生中隨機抽取20%的學生進行測評．【評分標準】評委會依據(jù)書寫、結構、字形、效果等方面制定了標準：90分及以上為優(yōu)秀；80－89分為良好(含80分)；60－79(含60分)分為及格；60分以下為不及格，并將測評成績制成圖表．【圖表信息】成績頻數(shù)頻率優(yōu)秀16m良好n0.24及格180.36不及格40.08【數(shù)據(jù)分析】(1)m＝

，n＝

；(2)參加本次測試學生的平均成績?yōu)?/p>

；(3)已知“良好”組的數(shù)據(jù)如下：81，83，84，85，85，81，80，86，87，88，82，85，則所抽取的這些學生測試成績的中位數(shù)是

；(4)【數(shù)據(jù)應用】請估計該校書法測評成績達到“良好”及“優(yōu)秀”級別的學生總人數(shù)．17.解：(1)0.32，12；【解法提示】(1)由題意得，m＝1－(0.08+0.36+0.24)＝0.32，n

=40.08×0.24(2)78.4分；【解法提示】參加本次測試學生的平均成績(92×16+84×12+70×18+45×4)÷50＝78.4(分)．(3)81.5；【解法提示】將“80－89”這組的學生測試成績重新排列為80，81，81，82，83，84，85，85，85，86，87，88，不及格和及格段的學生一共有4+18＝22(人)，優(yōu)秀的學生有16人，∴所抽取的50名學生測試成績從低到高位于第25、26位的是81、82，∴所抽取的50名學生測試成績的中位數(shù)應該是(81+82)÷2＝81.5．(4)(16+12)÷20%＝140(人)，答：估計該校書法測試成績達到“良好”及“優(yōu)秀”級別的學生數(shù)大約是140人．18.一次函數(shù)y＝－x+1的圖象與反比例函數(shù)

y=kx的圖象交于A(－1，m)(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)請在如圖所示的坐標網(wǎng)格xOy中畫出這兩個函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象回答下列問題．①點B的坐標為

；②不等式

?x+1≤18.解：(1)∵一次函數(shù)y＝－x+1的圖象過A(－1，m)，∴m＝1+1＝2，∴A點坐標為(－1，2)，又∵反比例函數(shù)圖象過A點，∴k＝－1×2＝－2，∴反比例函數(shù)解析式為y

=?(2)畫出圖象如圖所示，①點B(2，－1)；【解法提示】①如圖，聯(lián)立一次函數(shù)和反比例函數(shù)表達式得

y=解得

x=2y=即點B(2，－1)；②－1≤x＜0或x≥2．【解法提示】②由圖象得，不等式

?x+1≤kx的解集為－1≤x19.一天小明和小亮一起到湖邊游玩，他們發(fā)現(xiàn)小湖對岸有一座美麗的古塔，為了測量塔的高度，他們選擇了一座建筑物CD(建筑物的底部D與古塔的底部F在同一水平線上)，在建筑物頂端C處測得古塔頂端A的仰角為11.5°，測得塔頂A在水中的倒影點B的俯角為18.7°，已知建筑物CD的高度為18m，求古塔AF的高度．(結果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin11.5°≈0.20，cos11.5°≈0.98，tan11.5°≈0.20，sin18.7°≈0.32，cos18.7°≈0.95，tan18.7°≈0.34．)19.解：如圖，延長CE交AB于點G，由題意得，CG⊥AB，AF＝BF，CD＝GF＝18m，設CG＝x

m，在Rt△ACG中，∠ACG＝11.5°，∴AG＝CG?tan11.5°≈0.2x

m，∴AF＝AG+GF＝(0.2x+18)m，在Rt△CBG中，∠BCG＝18.7°，∴BG＝CG?tan18.7°≈0.34xm，∴BF＝BG－FG＝(0.34x－18)m，∴0.2x+18＝0.34x－18，解得x≈257.1，∴AF＝0.2x+18≈69m，∴古塔AF的高度約為69m．20.端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購進A、B兩種品牌的粽子，兩次進貨時，兩種品牌粽子的進價不變．第一次購進A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，總費用為7000元；第二次購進A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，總費用為8100元．(1)求A、B兩種品牌粽子每袋的進價各是多少元；(2)該超市計劃一次購進兩種品牌粽子共300袋，且A品牌粽子的進貨量不超過B品牌粽子的2倍，則該超市應怎樣進貨才能使總費用最低？20.解：(1)A種品牌粽子每袋的進價是x元，B種品牌粽子每袋的進價是y元，根據(jù)題意得，

100x解得

x=答：A種品牌粽子每袋的進價是25元，B種品牌粽子每袋的進價是30元；(2)設超市購進B種品牌的粽子m袋，A種品牌的粽子(300－m)袋，總費用為W元，依題意，得W＝25(300－m)+30m＝5m+7500，∵5＞0，∴W隨m的增大而增大，∵300－m≤2m，∴m

≥100，∴m＝100時，W有最小值，此時購進B種品牌的粽子100袋，A種品牌的粽子200袋，W＝5×100+7500＝8000(元)．答：購進B種品牌的粽子100袋，A種品牌的粽子200袋，能使總費用最低．21.【材料】自從《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》實施以來，九年級的晏老師通過查閱新課標獲悉：切線長定理由“選學”改為“必學”，并新增“會過圓外的一個點作圓的切線”，在學習完《切線的性質與判定》后，她布置一題：“已知：如圖所示，⊙O及⊙O外一點P．求作：直線PQ，使PQ與⊙O相切于點Q．李蕾同學經(jīng)過探索，給出了如下的一種作圖方法：(1)連接OP，分別以O、P為圓心，以大于

12OP

的長為半徑作弧，兩弧分別交于A、B兩點(A、B分別位于直線OP的上下兩(2)作直線AB，AB交OP于點C；(3)以點C為圓心，CO為半徑作⊙C，⊙C交⊙O于點Q(點Q位于直線OP的上側)；(4)連接PQ，PQ交AB于點D，則直線PQ即為所求．【問題】(1)請按照步驟完成作圖，并準確標注字母(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡)；(2)結合圖形，說明PQ是⊙O切線的理由；(3)若⊙O半徑為2，OP＝6．依據(jù)作圖痕跡求QD的長．21.解：(1)按照步驟完成作圖如下;(2)由題意得：OP為⊙C的直徑，∴∠OQP＝90°

(直徑所對的圓周角為

90°

)，∴OQ⊥PQ，∵OQ為⊙O的半徑，∴直線PQ為⊙O的切線;(3)如圖，連接OD．∵OQ＝2，OP＝6，在Rt△OPQ中，PQ

=O由圖知AB為OP的垂直平分線，∴OD＝PD，設QD＝x，則

OD＝PD＝4

2?x在Rt△OQD中，OD2＝OQ2+QD2，∴

(4解得x=7∴QD的長為7222.一座拋物線型拱橋如圖所示，當橋下水面寬度AB為20米時，拱頂點O距離水面的高度為4米．如圖，以點O為坐標原點，以橋面所在直線為x軸建立平面直角坐標系．(1)求拋物線的解析式；(2)汛期水位上漲，一艘寬為5米的小船裝滿物資，露出水面部分的高度為3米(橫截面可看作是長為5m，寬為3m的矩形)，若它恰好能從這座拱橋下通過，求此時水面的寬度(結果保留根號)．22.解：(1)設拋物線解析式為y＝ax2，∵橋下水面寬度AB為20米，拱頂距離水面高度OC為4米，∴點A(－10，－4)，∴－4＝100a，解得a

=?∴該拋物線的解析式y(tǒng)

=?125(2)將x

=52代入y

=?125x2∵

?14?3∴水面所在直線為y

=?將y

=?134代入y

=?125x2解得x

=5132或x∵

5132?(

?5132)∴此時水面的寬度為5

13m．23.綜合與實踐【問題背景】如圖①，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，點E為邊BC上一點，沿直線DE將矩形折疊，使點C落在AB邊上的點C′處．(1)【問題解決】填空：AC′的長為

；(2)如圖②，展開后，將△DC′E沿線段AB向右平移，使點C′與點B重合，得到△D′BE′，D′E′與BC交于點F，求線段EF的長．(3)【拓展探究】如圖③，在△DC′E沿射線AB向右平移的過程中，設點C′的對應點