（試卷）2024年河南洛陽二模·數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)試卷第頁（共頁）2024年河南洛陽二模·數(shù)學(xué)全卷總分:120分考試時(shí)間:100分鐘一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的。1.下列各數(shù)中最大的是（）A．﹣5 B．0C．﹣1 D．

52.榫卯是古代中國建筑、家具及其它器械的主要結(jié)構(gòu)方式，是我國工藝文化精神的傳奇；凸出部分叫榫，凹進(jìn)部分叫卯，如圖是某個(gè)部件“卯”的示意圖，它的俯視圖是（）3.2024年清明節(jié)假期，洛陽地鐵客流刷新歷史最高紀(jì)錄，4月5日地鐵日客運(yùn)量54.32萬人次，創(chuàng)歷史新高．?dāng)?shù)據(jù)“54.32萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．54.32×104 B．5.432×104C．5.432×105 D．5.432×1064.如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心O的光線相交于點(diǎn)P，點(diǎn)F為焦點(diǎn)．若∠1＝155°，∠2＝35°，則∠3的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．55° D．60°5.下列計(jì)算，結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)3﹣a2＝a B．(3a)2＝9a2C．(a+b)2＝a2+b2 D．a(chǎn)6÷a2＝a36.不等式組

x?A．x＜5 B．1≤x＜5C．﹣1≤x＜5 D．x≤﹣17.關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m≥3 B．m＞3C．m≤3 D．m＜38.如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，連接AC，BD，則

ACBDA．

12

B．

2C．

32

D．

9.元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記載了這樣一道題：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬x天可追上慢馬，由題意得（）A．x240B．x240C．240（x﹣12）＝150xD．240x＝150（x+12）10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為AC上一點(diǎn)，

CD=2，動點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿C→B→A勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止，以DP為邊作正方形DPEF．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t（s），正方形DPEF的面積為S，當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)A時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，圖象如圖②所示，則線段ABA．6 B．8C．32

D．二、填空題（每小題3分，共15分）11.若式子

x?5x有意義，則x的取值范圍12.計(jì)算

a2a+1?13.某班準(zhǔn)備從《歌唱祖國》、《我的祖國》、《走進(jìn)新時(shí)代》、《十送紅軍》四首歌曲中選擇兩首進(jìn)行排練，參加即將舉辦的“建國七十五周年”合唱選拔賽，那么該班恰好選中前面兩首歌曲的概率是

．14.如圖，在⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)．過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)D，若∠ACD＝120°，CD＝23，則圖中陰影部分的面積為

.（結(jié)果用含π的式子表示）．15.矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5．將邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE交直線BC于點(diǎn)F（旋轉(zhuǎn)角為α，0°＜α＜180°），當(dāng)點(diǎn)F、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，線段BF的長為

．三、解答題（本大題共8小題，共75分）16.（1）計(jì)算：

|?（2）化簡：（2a﹣b）（2a+b）﹣a（a﹣3b）．17.我市某校為了解九年級學(xué)生體育備考情況，對全校九年級240名男生進(jìn)行了體育測試，并隨機(jī)抽取甲、乙兩個(gè)班（兩班男生人數(shù)相同）各10名男生的跳繩測試成績進(jìn)行整理、描述、分析．【收集數(shù)據(jù)】甲、乙兩班10名男生的跳繩成績（單位：次）如下：甲：135

149

198

150

160

123

155

160

137

186乙：100

132

133

146

146

152

164

173

197

210【分析數(shù)據(jù)】根據(jù)以上數(shù)據(jù)，得到以下統(tǒng)計(jì)量．統(tǒng)計(jì)量班級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲155.3152.5b乙155.3a146根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）表格中的a＝

，b＝

；（2）綜合上表中的統(tǒng)計(jì)量，你認(rèn)為哪一個(gè)班的男生成績較好，并說明理由；（3）洛陽市2024年中招體育考試九年級終結(jié)性評價(jià)評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：跳繩男子滿分標(biāo)準(zhǔn)為150次，估計(jì)該校本次測試成績滿分的男生人數(shù)．18.已知：點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)．（1）尺規(guī)作圖：如圖，以點(diǎn)O′為圓心，OP為直徑作⊙O′交⊙O于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接OP，PE，PF；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）在（1）的條件下，求證：PE，PF是⊙O的切線；（3）在（1）（2）的條件下，若點(diǎn)D在⊙O上（點(diǎn)D不與E，F(xiàn)兩點(diǎn)重合），且∠EPF＝50°，則∠EDF的度數(shù)為

．19.如圖，菱形OABC的邊OC在x軸正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)（3，4），反比例函數(shù)

y=kx(x＞0)（1）求k的值；（2）AB的垂直平分線交反比例函數(shù)

y=kx(x＞0)的圖象于點(diǎn)E，連接AE20.近年來我市大力實(shí)施河渠綜合治理，水域治理效果顯著，不僅有效改善了環(huán)境，提升城市的防洪能力，同時(shí)也提升了群眾生活的幸福指數(shù)和城市美麗指數(shù)．為了滿足市民健康和休閑的需要，我市某區(qū)在一條東西走向的小河AB的兩側(cè)開辟了兩條健康步道，如圖所示，小河北岸的步道由三個(gè)半圓形組成．經(jīng)數(shù)學(xué)興趣小組勘測，點(diǎn)C在點(diǎn)A的南偏東53°方向5km處，點(diǎn)C在點(diǎn)B的南偏西45°方向．該小組成員小聰認(rèn)為小河北岸健康步道的長度不超過10km．請通過計(jì)算判斷小聰?shù)恼f法是否正確．（結(jié)果精確到1km．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，π取3.14）21.洛邑古城，被譽(yù)為“中原渡口”，截至目前景區(qū)總接待游客量突破2600萬人次，日接待游客量最高突破10萬人次．是集游、玩、吃、住、購于一體的綜合性人文旅游觀光區(qū)，近期被大數(shù)據(jù)評為“第一熱門漢服打卡地”．洛邑古城內(nèi)某商鋪打算購進(jìn)A，B兩種文創(chuàng)飾品對游客銷售．若該商鋪采購9件A種和6件B種共需330元；采購5件A種和3件B種共需175元．兩種飾品的售價(jià)均為每件30元；（1）求A，B飾品每件的進(jìn)價(jià)分別為多少元？（2）該商鋪計(jì)劃采購這兩種飾品共400件進(jìn)行銷售，其中A種飾品的數(shù)量不少于150件，且不大于300件．實(shí)際銷售時(shí)，若A種飾品的數(shù)量超過250件時(shí)，則超出部分每件降價(jià)3元銷售．①求該商鋪售完這兩種飾品獲得的利潤y（元）與購進(jìn)A種飾品的數(shù)量x（件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；②設(shè)計(jì)能讓這次采購的飾品獲利最大的出售方案，并求出最大利潤．22.定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，當(dāng)點(diǎn)N在圖形M上，且點(diǎn)N的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)相等時(shí)，則稱這個(gè)點(diǎn)為圖形M的“夢之點(diǎn)”．（1）點(diǎn)G（-3，-3）是反比例函數(shù)

y1=kx圖象上的一個(gè)“夢之點(diǎn)”，則該函數(shù)圖象上的另一個(gè)“夢之點(diǎn)”H的坐（2）如圖，已知點(diǎn)A，B是拋物線

y=?12x2+x+92上的“夢之點(diǎn)”，點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)，連接（3）在0＜x＜2的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+m2+m的圖象上至少存在一個(gè)“夢之點(diǎn)”，則m的取值范圍是

．23.【綜合與實(shí)踐】在一次綜合實(shí)踐活動課上，張老師組織學(xué)生開展“如何僅通過折紙的方法來確定特殊平行四邊形紙片一邊上的三等分點(diǎn)”的探究活動．【操作探究】“求知”小組的同學(xué)經(jīng)過一番思考和討論交流后，對正方形ABCD進(jìn)行了如下操作：第1步：如圖①所示，先將正方形紙片ABCD對折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，然后展開鋪平，折痕為EF；第2步：將BC邊沿CE翻折到GC的位置；第3步：延長EG交AD于點(diǎn)H，則點(diǎn)H為AD邊的三等分點(diǎn)．證明過程如下：連接CH，∵正方形ABCD沿CE折疊，∴∠D＝∠B＝∠CGH＝90°，①

，又∵CH＝CH，∴△CGH≌△CDH，∴GH＝DH．由題意可知E是AB的中點(diǎn)，設(shè)AB＝2a，DH＝x，則AE＝BE＝EG＝a，在Rt△AEH中，可列方程：②

，（方程不要求化簡）解得，DH＝③

，即H是AD邊的三等分點(diǎn)．“勵志”小組對矩形紙片ABCD進(jìn)行了如下操作：第1步：如圖②所示，先將矩形紙片ABCD對折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，然后展開鋪平，折痕為EF；第2步：再將矩形紙片ABCD沿對角線BD翻折，再展開鋪平，折痕為BD，沿CE翻折得折痕CE交BD于點(diǎn)G；第3步：過點(diǎn)G折疊矩形紙片ABCD，使折痕MN∥AD．【過程思考】（1）“求知”小組