河南省駐馬店市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題（試卷總分：150分考試時(shí)間：120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知直線l的傾斜角滿足，則l的斜率k的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，M為線段FP的中點(diǎn)，若M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為6，則（

）A．6或18 B．18C．8或20 D．223．設(shè)方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．若橢圓的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合，則的值為（

）A． B． C． D．5．若圓與圓交于A，B兩點(diǎn)，則弦長為（

）A． B． C．2 D．46．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在OA上，且為OA上靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則等于（

）A． B．C． D．7．已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)P軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線8．已知橢圓具有知下性質(zhì)：若圓的方程為，則橢圓上一點(diǎn)處的切線方程為.試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題：若橢圓，點(diǎn)為橢圓在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的切線，分別與軸和軸的正半軸交于，兩點(diǎn)，則面積的最小值為（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知雙曲線兩條漸近線的夾角為，則此雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．10．設(shè)a為實(shí)數(shù)，直線，，則（

）A．恒過點(diǎn) B．若，則或C．若，則或0 D．當(dāng)時(shí)，不經(jīng)過第二象限11．過拋物線的焦點(diǎn)的直線與C相交于，兩點(diǎn)，直線PQ的傾斜角為，若的最小值為4，則（

）A．的坐標(biāo)為 B．若，則C．若，則的最小值為3 D．面積的最小值為2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知向量，，則在上的投影向量為.13．點(diǎn)A，B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，M是橢圓上不同于A，B的任意一點(diǎn)，若直線AM，BM的斜率之積為，則橢圓C的離心率為.14．已知圓，M是圓C上的任意一點(diǎn)，P為直線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知空間中三點(diǎn)，，.設(shè)，.(1)求和；(2)若與互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值.16．已知圓E經(jīng)過點(diǎn)，，且與y軸相切，直線l恒過.(1)求圓E的方程；(2)直線l與圓E相交于M，N兩點(diǎn)，且時(shí)，求l的方程.17．已知雙曲線的離心率為，焦點(diǎn)F到漸近線的距離為1.(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與雙曲線E的左支交于不同兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.18．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線C上，且.(1)求拋物線C的方程；(2)過點(diǎn)的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（均與點(diǎn)P不重合），設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.19．動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離比是常數(shù)，(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)若直線l過點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，求直線l的方程.

答案1．C解析：當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí),.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上也單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的取值范圍是.故選：C.2．B解析：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接.由題意得，∵M(jìn)為線段FP的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，∴，由雙曲線定義得，，故.故選：B.3．A解析：因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓，所以，解得.同時(shí)，解得.由于焦點(diǎn)在軸上，所以，即.移項(xiàng)可得，即.解得.綜合前面的條件，和.所以的取值范圍是.故選：A.4．D解析：由題知，橢圓的半焦距為，所以，解得.故選：D5．B解析：圓，圓心，半徑.圓，圓的圓心，半徑.兩圓方程相減可得：，化簡(jiǎn)得，即，此為公共弦所在直線方程.求圓心到直線的距離.根據(jù)勾股定理，弦長的一半，已知，，則，所以.故選：B.6．A解析：因?yàn)辄c(diǎn)M在OA上，且為OA上靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)N為BC中點(diǎn)，所以，所以.故選：A7．C解析：已知，將等式右邊的變形為，即.此時(shí)原等式變?yōu)椋瑑蛇呁瑫r(shí)除以得到.表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，表示點(diǎn)到直線的距離.所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離.點(diǎn)不在直線上，根據(jù)圓錐曲線的定義，到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線.故選：C.8．B解析：設(shè)，由題意可知切線，即，可知，則面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最小值為.故選：B.9．C解析：∵雙曲線的漸近線方程為，∴由雙曲線兩條漸近線的夾角為，可得.∴雙曲線的離心率為.故選：C.10．BD解析：將，代入的方程左邊得.當(dāng)時(shí)才等于，并不是對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，所以不恒過點(diǎn).故A錯(cuò)誤.對(duì)于直線和.因?yàn)?，根?jù)兩直線平行的判定條件，則，整理得，解得或.當(dāng)時(shí)，，，兩直線平行；當(dāng)時(shí)，，，化簡(jiǎn)為，兩直線平行，所以或.故B正確.因?yàn)?，根?jù)兩直線垂直的判定條件，則，整理得.利用求根公式，所以C錯(cuò)誤.直線，當(dāng)時(shí)，，即.，直線不經(jīng)過第二象限.當(dāng)時(shí)，，，直線方程變形為，則，，所以直線不經(jīng)過第二象限，故D正確.

故選：BD11．ACD解析：由題設(shè)有，直線的斜率不為零，故設(shè)直線，則由可得，，所以，所以而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，故，故F1,0，故A若，則，故，故的斜率為，其傾斜角為或，故B錯(cuò)誤；若，則過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為3，故C正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故面積的最小值為2，故D成立.故選：ACD.12．解析：設(shè)向量、的夾角為，因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛椋?，又因?yàn)椋?，，所以，所以在上的投影向量為?故答案為：13．解析：由題意得，.

設(shè)，則，，∴，由得，，∴，即，∴離心率.故答案為：.14．解析：圓的方程可化為，所以圓心，半徑.圓心在直線上方，且圓心到直線的距離，所以圓在直線上方，所以根據(jù)圓的性質(zhì)，，所以，當(dāng)共線且依次順序排列時(shí)取等號(hào).因?yàn)槎紳M足不等式，所以都在直線的上方.設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，，且，解方程組，由得，代入得：，則，所以，則，當(dāng)共線并依次順序排列時(shí)取等號(hào)，，所以的最小值為，故答案為：.15．(1)，2(2).解析：（1）∵，，，，，∴，，于是，，，.（2）∵，，且與互相垂直，∴，即，∴，解得：.16．(1)(2)或解析：（1）設(shè)圓E的方程為，由題意知，解得，，，故圓E的方程為；（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)滿足，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，即，設(shè)圓心到直線l的距離為d，則，則，解得，則直線l的方程為；綜上：直線l的方程為或.17．(1)(2).解析：（1）因?yàn)殡p曲線的離心率，可得，即.又因?yàn)榻裹c(diǎn)到漸近線的距離為，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，而，所以，則.由且，，可得，解得.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）將直線代入雙曲線方程，得到，展開可得，整理得.因?yàn)橹本€與雙曲線左支交于不同兩點(diǎn)，所以.由，解得.對(duì)于，即，解得.由，（結(jié)合），所以，解得.由，解得，即或.綜合以上條件，取交集得.則實(shí)數(shù)k的取值范圍為.18．(1)(2)是，.解析：（1）由拋物線定義可知，所以，則，所以拋物線C的方程為；（2）由在拋物線上，得，即，顯然，過點(diǎn)的直線斜率不為0，故設(shè)直線方程為，，，由，得，，解得或，則，，故，，又，，所以，故為定值.

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