湖南省岳陽市臨湘市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024年上期臨湘市一中高二數(shù)學(xué)期中考試時量:90分鐘滿分:120分一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.已知集合，，則（）A．B．C．D．2.若復(fù)數(shù)，則（）A．B．C．D．3.設(shè)，，若向量，滿足，，且，則（）A．B．C．D．4.若函數(shù)在單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．5.若橢圓：與雙曲線：的離心率之和為，則（）A．B．C．D．6.設(shè)圓：和不過第三象限的直線：，若圓上恰有三點(diǎn)到直線的距離均為，則實(shí)數(shù)（）A．B．C．D．7.設(shè)且，命題甲：為等比數(shù)列；命題乙：.則命題甲是命題乙的（）A．充分且不必要條件B．必要且不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件8.若，且，，則（）A．B．C．D．二、選擇題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．若成等差數(shù)列(公差不為零)的一組樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為,標(biāo)準(zhǔn)差為，中位數(shù)為；數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，中位數(shù)為，則（）A．B．C．D．10.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，是上一點(diǎn)，則（）A．B．的最大值為C．的取值范圍是D．的取值范圍是11．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，則（）A．B．C．D．三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）12.已知為正整數(shù)，若，則.13.已知，，，則的最小值為.14.已知橢圓：，雙曲線：．若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個交點(diǎn)及橢圓的兩個焦點(diǎn)恰為一個正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓與雙曲線的離心率之和為__________________.四、解答題（本大題共3個小題，共47分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.(13分)不透明的盒中有四個除所標(biāo)數(shù)字外均相同的球，它們分別標(biāo)有數(shù)字，，，，現(xiàn)從中隨機(jī)取個球.(1)求取到個標(biāo)有數(shù)字的球的概率；(2)設(shè)為取出的個球上的數(shù)字之和，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.16.(17分)從4名男生和3名女生中各選2人.(1)共有多少種不同的選法？(2)如果男生甲與女生乙至少要有1人被選中，那么有多少種不同選法？(3)選出的4人參加百米接力賽，男生甲和女生乙同時被選中參賽，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少種不同的安排方法？（用數(shù)字作答）17.(17分)已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.附加題（注：不作考試要求，不計(jì)入總分）18．（單選題）點(diǎn)、分別是函數(shù)，圖象上的點(diǎn)，若點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對稱，則稱點(diǎn)、是一對“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.已知，，則函數(shù)，圖象上的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”有（）對A．B．C．D．19．（單選題）若函數(shù)與的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A．B．C．D．20．(多選題)如圖，已知四邊形中，為邊上的一列點(diǎn)，連接交于，點(diǎn)滿足，其中數(shù)列是首項(xiàng)為的正項(xiàng)數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．D．21．（多選題）已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，則關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．為偶函數(shù)B．在上單調(diào)遞增C．在上恰有三個零點(diǎn)D．的最大值為22．若實(shí)數(shù)，，，滿足，則的最小值為．23．在銳角中，若，則的最小值為__________.2024年上期臨湘市一中高二數(shù)學(xué)期中考試答案時量:90分鐘滿分:120分一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.已知集合，，則（B）A．B．C．D．2.若復(fù)數(shù)，則（A）A．B．C．D．3.設(shè)，，若向量，滿足，，且，則（C）A．B．C．D．4.若函數(shù)在單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（B）A．B．C．D．5.若橢圓：與雙曲線：的離心率之和為，則（A）A．B．C．D．6.設(shè)圓：和不過第三象限的直線：，若圓上恰有三點(diǎn)到直線的距離均為，則實(shí)數(shù)（C）A．B．C．D．7.設(shè)且，命題甲：為等比數(shù)列；命題乙：.則命題甲是命題乙的（D）A．充分且不必要條件B．必要且不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件8.若，且，，則（D）A．B．C．D．二、選擇題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．若成等差數(shù)列(公差不為零)的一組樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為,標(biāo)準(zhǔn)差為，中位數(shù)為；數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，中位數(shù)為，則（ABCD）A．B．C．D．10.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，是上一點(diǎn)，則（CD）A．B．的最大值為C．的取值范圍是D．的取值范圍是11．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，則（AC）A．B．C．D．三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）12.已知為正整數(shù)，若，則.13.已知，，，則的最小值為______.14.已知橢圓：，雙曲線：．若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個交點(diǎn)及橢圓的兩個焦點(diǎn)恰為一個正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓與雙曲線的離心率之和為______.四、解答題（本大題共3個小題，共47分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.(13分)不透明的盒中有四個除所標(biāo)數(shù)字外均相同的球，它們分別標(biāo)有數(shù)字，，，，現(xiàn)從中隨機(jī)取個球.(1)求取到個標(biāo)有數(shù)字的球的概率；(2)設(shè)為取出的個球上的數(shù)字之和，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：(1)抽到個標(biāo)有數(shù)字的球的可能情況共有種，從個球中任取個共有種取法，∴取到個標(biāo)有數(shù)字的球的概率.(2)的所有可能取值為，，，，，，，，所以的分布列為∴.16.(17分)從4名男生和3名女生中各選2人.(1)共有多少種不同的選法？(2)如果男生甲與女生乙至少要有1人被選中，那么有多少種不同選法？(3)選出的4人參加百米接力賽，男生甲和女生乙同時被選中參賽，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少種不同的安排方法？（用數(shù)字作答）解:（1）根據(jù)題意，從4名男生和3名女生中各選2人，男生有種選法，女生有種選法，故選法有種.（2）根據(jù)題意，分3種情況討論：男生甲被選中，女生乙沒有被選中，有種．男生甲沒有被選中，女生乙被選中，有種，男生甲和女生乙被選中，有種，則共有種選法.（3）男生甲和女生乙同時被選中的選法為種，4人參加百米接力賽的總安排方法為種，甲跑第一棒的安排方法為種，乙跑最后一棒的安排方法為種，甲跑第一棒且乙跑最后一棒的安排方法為種，甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法為種．17.(17分)已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：(1)等比數(shù)列的公比為，則，，兩式相除得，所以，，所以.(2)由(1)得，所以，所以.18．（單選題）點(diǎn)、分別是函數(shù)，圖象上的點(diǎn)，若點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對稱，則稱點(diǎn)、是一對“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.已知，，則函數(shù)，圖象上的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”有（C）對A．B．C．D．解析：（法一）根據(jù)題意，設(shè)為，圖象上的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則，即.設(shè)，則，解得或（舍去）由，得，其，則方程有個不同實(shí)根，故函數(shù)，圖象上的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”有對.（法二）令，則，該方程表示圓心為，半徑為的半圓（軸上方）.先作出這個半圓，再作出函數(shù)的圖象，由圖可知，滿足條件的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”有對.19．（單選題）若函數(shù)與的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)的最小值為（A）A．B．C．D．解析：（法一）設(shè)公切線與，圖象分別切于點(diǎn)，，則圖象在處的切線方程為：，即，圖象在處的切線方程為：，即，由上述兩直線重合得，消元可得：，令，則，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即有，得，故選.（法二）由圖象易知：，分別為上凸和下凸函數(shù)，要使，存在公切線，只需在上恒成立即可，即恒成立，則.20．(多選題)如圖，已知四邊形中，為邊上的一列點(diǎn)，連接交于，點(diǎn)滿足，其中數(shù)列是首項(xiàng)為的正項(xiàng)數(shù)