河北省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁數(shù)學(xué)試卷班級_________姓名_________注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級和考號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效，3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計算即可求得結(jié)果.【詳解】，即，則，所以，，故選：A.2.已知表示不大于的最大整數(shù)，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)表示不大于的最大整數(shù)化簡集合A；利用絕對值不等式化簡集合B，然后根據(jù)交集定義求解即可【詳解】因為表示不大于的最大整數(shù)，且，所以，，所以，故選：C3.已知平面向量滿足，則向量與的夾角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得，然后代入向量夾角公式求解即可【詳解】由，得，代入，得，所以，即向量與的夾角為，故選：C4.《志愿軍：存亡之戰(zhàn)》和《浴火之路》是2024年國慶檔的熱門電影.某電影院在國慶節(jié)的白天、晚上分別可以放映5場和3場電影，若上述兩部影片只放映一次，且不能都在白天放映，則安排放映這兩部電影不同的方式共有（）A.17種 B.32種 C.34種 D.36種【答案】D【解析】【分析】分兩種情況考慮，均在晚上播放，或者白天一場，晚上一場，求得結(jié)果.【詳解】若均在晚上播放，則不同的安排方式有種，若白天一場，晚上一場，則有種，故放映這兩部電影不同的安排方式共有種，故選：D5.如圖，正方體中，點在上，且，點在上，且，過點的平面將正方體分成上、下兩部分，則上、下這兩部分的體積比等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得過點的平面即平面，截面將正方體分成上、下兩部分，其中下部分為一個四棱錐和一個四棱錐，及三棱柱，結(jié)合體積公式分析運(yùn)算【詳解】如圖，設(shè)正方體的棱長為，在上取點，使得，在上取點，使得，連接，易得四邊形為平行四邊形，則，，在上取點，連接，使得，易得四邊形為平行四邊形，所以，，所以，，所以過點的平面即平面，在上取點，使得，則，連接，在上取點，使得，則，連接，所以過點的平面分正方體下部分的體積為一個四棱錐和一個四棱錐，及三棱柱，所以，，所以.故選：A.6.已知定義在上的函數(shù)滿足且是奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.一定不是奇函數(shù) B.一定不是偶函數(shù)C D.【答案】D【解析】【分析】可以根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，驗證各選項是否正確即可.【詳解】設(shè)函數(shù)，則，，所以.又為奇函數(shù).所以滿足題意.又為奇函數(shù)，故A錯誤；為偶函數(shù)，故B錯誤；，故C錯誤；是奇函數(shù)，則，，又因為，所以，故D正確.故選：D7.已知是方程的兩個根，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用韋達(dá)定理和正切的兩角差公式，先求出的值，再利用弦化切思想來求的值即可.【詳解】因為是方程的兩個根，即也是方程的兩個根，所以，且可知，又由，則，再由兩角差的正切公式可得：，因為，所以，即，則，故選：D.8.已知直線，橢圓，直線與橢圓交于點、，點在第三象限，與交于點，設(shè)是坐標(biāo)原點，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】需要聯(lián)立直線和橢圓的方程來求解交點坐標(biāo).根據(jù)已知條件，通過求出相關(guān)線段對應(yīng)的坐標(biāo)關(guān)系來確定的值.【詳解】聯(lián)立與，將代入可得：，則，所以點坐標(biāo)為.求直線與橢圓交點、的坐標(biāo)（設(shè)）聯(lián)立與橢圓，將代入可得：因為在第一象限，所以，，即.由橢圓對稱性和可得.即，轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)即.即，解得.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解題的關(guān)鍵是由橢圓對稱性和得到.從而將線段長度之比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系即可1求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.有個樣本數(shù)據(jù)滿足，去掉后，新樣本的數(shù)字特征可能比原數(shù)據(jù)變小的是（）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.標(biāo)準(zhǔn)差 D.極差【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)的概念判斷A，根據(jù)中位數(shù)的概念判斷B，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的概念判斷C，根據(jù)極差的概念判斷D【詳解】比如取個數(shù)為，，，10，則原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，去掉和10后，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以平均數(shù)可能變小，故A對；當(dāng)為偶數(shù)時，比如，原來和新數(shù)據(jù)的中位數(shù)均為，所以中位數(shù)不變，當(dāng)為奇數(shù)時，比如，原來和新數(shù)據(jù)的中位數(shù)均為，所以中位數(shù)不變，故B錯；去掉后，數(shù)據(jù)波動性變小，所以標(biāo)準(zhǔn)差變小，故C對；由于，所以原來的極差為，新數(shù)據(jù)的極差為，所以極差變小，故D對；故選：ACD10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱 D.函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】BCD【解析】【分析】首先根據(jù)圖象確定的值，再通過兩個點，算出，結(jié)合周期公式求出的值，最后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)判斷各個選項.【詳解】由圖象可知，函數(shù)的振幅，已知函數(shù)，圖象過點，將，代入函數(shù)，得到，即，因為，且在處的增長趨勢知道，所以，則，圖象還過，則，即，解得.由圖象可知，函數(shù)的周期，根據(jù)周期公式，可得，令滿足題意.故.因此，A錯誤，B正確.當(dāng)，函數(shù)，則取得最小值.所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，C正確.，則，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，D正確.故選：BCD.11.在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是一類與三角函數(shù)類似的函數(shù)，它是工程數(shù)學(xué)中重要的函數(shù)，也是一類很重要的初等函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)．已知雙曲正弦函數(shù)的解析式為，雙曲余弦函數(shù)的解析式為（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)為奇函數(shù)C.若直線與函數(shù)和的圖象共有三個交點，這三個交點的橫坐標(biāo)分別為，則D.若存在，關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)雙曲函數(shù)的加法公式、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)圖象過交點以及不等式能成立問題逐項分析即可求得結(jié)果.【詳解】對于A，，，化簡后得，故A錯誤；對于B，的定義域為R，，所以是偶函數(shù)；的定義域為R，，所以是奇函數(shù)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故B正確；對于C，因為直線與函數(shù)和的圖象共有三個交點，在R上單調(diào)遞增，即直線與函數(shù)只有一個交點，所以直線與函數(shù)有兩個交點，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，即，，解得，所以，則，故C正確；對于D，，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以最小值為1，因為存在，關(guān)于的不等式恒成立，所以，所以的取值范圍為，故D正確；故選：BCD.【點睛】本題考查了雙曲函數(shù)的定義及相關(guān)性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖象交點問題，以及運(yùn)用基本不等式和求導(dǎo)求解，關(guān)鍵點有：（1）判斷奇偶性前先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱；（2）運(yùn)用基本不等式要注意“一正二定三相等”；（3）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求最值；（4）恒成立問題與能成立問題作區(qū)分.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知△的內(nèi)角的對邊分別為，且成等差數(shù)列，，則角__________．【答案】【解析】【分析】由等差中項列出方程，再由正弦定理可得，結(jié)合余弦定理代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，又，不妨設(shè)，則，由余弦定理可得，且，所以.故答案為：13.已知數(shù)列滿足，設(shè)為數(shù)列的前項和，則_________．【答案】【解析】【分析】利用等差數(shù)列的定義求出，再由錯位相減求和可得答案.【詳解】由，得，又，所以是首項為1公差為1的等差數(shù)列，可得，所以，，，兩式相減得，所以.故答案為：.14.若袋子中有大小且形狀完全相同的黑球個，白球個，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取3個球，表示抽到2個黑球1個白球的概率，則取得最大值時__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意表示出，進(jìn)而利用導(dǎo)函數(shù)研究最值即可.【詳解】由題意，，，，設(shè)函數(shù)，則，令，即，解得，，易知，，因此，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減；又，且，，，則，因此，當(dāng)時，有最大值，此時取最大值；故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15.為了解某校男生1000米測試成績與身高的關(guān)系，從該校2000名男生中隨機(jī)抽取100人，得到測試成績與身高的數(shù)據(jù)如下表所示：身高范圍（cm）測試成績合格312182215不合格29559（1）該校2000名男生中身高在175cm及以上的人數(shù)約為多少？（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，分析體育成績合格與身高在范圍內(nèi)是否有關(guān)．附：．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）1020（2）有關(guān).【解析】【分析】（1）利用樣本的頻率估計總體概率，計算相應(yīng)的頻數(shù)即可.（2）列出列聯(lián)表，計算，進(jìn)行判斷即可.【小問1詳解】樣本中，身高在175cm及以上的頻率為：，用該頻率估計該校男生身高在175cm及以上的概率，則該校2000名男生中身高在175cm及以上的人數(shù)約為：（人）.【小問2詳解】列列聯(lián)表如下：身高在身高不在合計合格403070不合格102030合計5050100所以，因為，所以依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，體育成績合格與身高在范圍內(nèi)有關(guān).16.已知拋物線的焦點為，過點的直線交于、兩點，點在拋物線上，且，直線交直線于點（其中是坐標(biāo)原點）．（1）求拋物線的方程；（2）求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義，拋物線上一點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離.利用已知條件建立方程求出，從而得到拋物線方程.（2）方程聯(lián)立求出交點坐標(biāo)，再求出直線MF的方程，進(jìn)而得到點N的坐標(biāo)，最后通過計算各線段的長度或表達(dá)式來證明等式，變形即可.小問1詳解】已知拋物線，其焦點的坐標(biāo)為.因為點在拋物線上，所以.根據(jù)兩點間距離公式，，.由可得.把代入上式，.兩邊同時平方，展開括號得.即，化簡得，解得.所以拋物線的方程為.【小問2詳解】在拋物線中，所以焦點的坐標(biāo)為.不妨設(shè)A，B在第一象限，設(shè)過點的直線的方程為（存在且不為），當(dāng)時，沒有交點，不滿足題意.將代入，得到，即，需滿足；設(shè)，，根據(jù)韋達(dá)定理，，.根據(jù)兩點間距離公式，，.因為，，所以（這里利用了，所以與同號）.由點在拋物線上，得，運(yùn)用拋物線對稱性，可取來證明.，則直線MF的方程為.直線的方程為，因為，所以的方程為.聯(lián)立與，可得點縱坐標(biāo).根據(jù)兩點間距離公式及坐標(biāo)運(yùn)算，，.（因為，所以）.綜上所得，知道，即.原命題得證.17.如圖，正六邊形的邊長為2，將梯形沿翻折至，是的中點．（1）若平面平面，求三棱錐的體積；（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)找到三棱錐的一個高，根據(jù)錐體的體積公式得到結(jié)果；（2）根據(jù)二面角以及正六邊形的性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】取的中點，連接，，因為正六邊形的邊長為2，所以，則，所以，因為平面平面，，平面平面，所以平面，所以是三棱錐的一個高，所以，所以三棱錐的體積為1；【小問2詳解】過點作，以點為原點，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：，因為正六邊形邊長為2，是的中點，二面角的大小為60°，所以，則,,，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）證明：．【答案】（1）在和上都是減函數(shù)；（2）；（3）證明見解析．【解析】【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)得，對的分母再引入函數(shù)，求導(dǎo)確定單調(diào)性與極值，確定定義域內(nèi)，得的單調(diào)性；（2）不等式變形為，引入新函數(shù)，求得導(dǎo)數(shù)，然后按，，分類討論確定的正負(fù)，得的單調(diào)性，從而完成證明；（3）在（2）恒成立的不等式中令，得，再令，并讓分別取，相加即可得證．【小問1詳解】定義域是，時，，則，令，則，時，，遞增，時，，遞減，所以，即，所以在和上都是減函數(shù)；【小問2詳解】對任意恒成立，即在上，恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時，，，是增函數(shù)，所以，當(dāng)時，時，遞減，，與已知矛盾，當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，則，與已知矛盾，綜上所述，的取值范圍是；【小問3詳解】由（2）知時，，即，令，則，，讓從1取到，所得個不等式相加得：，所以【點睛】方法點睛：不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，一般有兩種思路，一是分離參數(shù)，不等式轉(zhuǎn)化為，求得的最大值即可得，另一種，是直接對求導(dǎo)，然后根據(jù)參數(shù)的不同范圍計算的正負(fù)，得出的單調(diào)性極值，觀察不等式是否恒成立確定出單調(diào)性，這類題中證明不等式問題，一般是題設(shè)已證的結(jié)論上，令參數(shù)為某個特定值，再令取一些特殊值，相加后可得到證明．19.若數(shù)列對任意都有成立，則稱數(shù)列為“等距”數(shù)列，設(shè)為數(shù)列的前項和．（1）寫出一個滿足，且