江蘇省蘇州市常熟市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源~2023學(xué)年第二學(xué)期期中試卷高一數(shù)學(xué)2023.04一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（）A3 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的概念判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的虛部?

故選：A2.已知向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用投影向量的定義即可得出答案.【詳解】設(shè)與的夾角為，則在上的投影向量為:.故選：B.3.定義：，其中為向量與的夾角，若，，，則等于（）A.8 B. C.8或 D.6【答案】A【解析】【分析】由向量數(shù)量積定義可求得，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系可得，代入定義式即可求得結(jié)果.【詳解】，，又，，.故選：A.4.在平行四邊形ABCD中，E是對角線AC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F在BE上，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量三點(diǎn)共線定理和平面向量基本定理，由對應(yīng)系數(shù)相等列方程求解即可.【詳解】由題可知，∵點(diǎn)F在BE上，∴，∴．∴，．∴．故選：C．5.在中，若，則的形狀為（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和兩角和差的正弦公式、正弦的二倍角公式化簡已知條件，再結(jié)合角的范圍即可求解.【詳解】因?yàn)?，由可得：，即，所以，所以，所以或，因?yàn)?，，所以或，所以的形狀為等腰三角形或直角三角形，故選：D.6.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用兩角和與差的正弦公式，誘導(dǎo)公式化簡已知等式可得，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式，二倍角公式化簡所求即可求解．【詳解】因?yàn)?，所以，故選：D7.在中，內(nèi)角A，B，C，.若對于任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，則，并確定的取值范圍，再由關(guān)于的一元二次不等式恒成立，，求出間的不等量關(guān)系，利用的取值范圍，即可求出結(jié)果.【詳解】在中，，記，則.因?yàn)?，所以，從而，所以可化為，即，恒成立，所以依題有，化簡得，即得恒成立，又由，得或.故選：A．【點(diǎn)睛】本題以一元二次不等式恒成立為背景，考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系，考查不等式的關(guān)系，屬于較難題.8.若，，平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由條件可得，是角平分線，然后由角平分線的性質(zhì)可得，設(shè)，則，然后，即可得出的最大值.【詳解】

由，可得因?yàn)?，所以，即是角平分線所以由角平分線的性質(zhì)可得設(shè)，則，由可得因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，即的最小值為所以的最大值是故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積、余弦定理和利用基本不等式求最值，考查了學(xué)生的分析轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯(cuò)或不選的得0分，部分選對的得2分．9.下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是（）A.已知均為非零向量，若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得B.已知非零向量，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C.若且，則D.若點(diǎn)為的重心，則【答案】AD【解析】【分析】由向量共線定理可判斷選項(xiàng)A；由向量夾角的的坐標(biāo)表示可判斷選項(xiàng)B；由數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C；由三角形的重心性質(zhì)即向量線性運(yùn)算可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對于選項(xiàng)A：由向量共線定理知選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B：，若與的夾角為銳角，則解得，當(dāng)與共線時(shí)，，解得：，此時(shí)，，此時(shí)夾角為，不符合題意，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選項(xiàng)B不正確；對于選項(xiàng)C：若，則，因?yàn)?，則或與垂直，故選項(xiàng)C不正確；對于選項(xiàng)D：若點(diǎn)G為的重心，延長與交于，則為的中點(diǎn)，所以，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：兩個(gè)向量夾角為銳角數(shù)量積大于，但數(shù)量積大于向量夾角為銳角或，由向量夾角為銳角數(shù)量積大于，需要檢驗(yàn)向量共線的情況.兩個(gè)向量夾角為鈍角數(shù)量積小于，但數(shù)量積小于向量夾角為鈍角或.10.歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋．依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)中正確的是（）A.對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 B.為純虛數(shù)C.的模長等于 D.的共軛復(fù)數(shù)為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)歐拉公式結(jié)合復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的特征、純虛數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的模長公式、以及共軛復(fù)數(shù)的概念逐項(xiàng)分析即可得出結(jié)論.【詳解】對于A：，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為位于第二象限，故A正確；對于B：，為純虛數(shù)，故B正確；對于C：，所以，故C正確；對于D：，所以的共軛復(fù)數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到的圖象，則（）A.在上是減函數(shù)B.由可得是的整數(shù)倍C.是奇函數(shù)D.函數(shù)在區(qū)間上有個(gè)零點(diǎn)【答案】AC【解析】【分析】對于A，確定的取值范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對于B，舉反例即可判斷；對于C，根據(jù)三角函數(shù)的圖象的平移變換確定的解析式，再判斷奇偶性即可；對于D，求出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可判斷.【詳解】由題意知，對于A.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上是減函數(shù)，A正確對于B.當(dāng)，時(shí)，，但不是的整數(shù)倍，B錯(cuò)誤對于C.由題意，得，故奇函數(shù)，C正確對于D.由，可得.當(dāng)時(shí)，，令或，則或，因此在上有兩個(gè)零點(diǎn)，而含有個(gè)周期，因此在區(qū)間上有個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選：AC.12.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車()的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．若是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)滿足，則（）A.為的垂心 B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用數(shù)量積的運(yùn)算律可整理得到，同理，，知A正確；推導(dǎo)得到，由此可證得B正確；由數(shù)量積的定義和B的結(jié)論可求得，同理得，，作比可得到結(jié)果，知C錯(cuò)誤；利用三角形面積公式和B的結(jié)論表示出，同理得到，作比后代入C中推導(dǎo)的結(jié)論可得，由此證得D正確.【詳解】對于A，，，即，同理可證得：，，是的垂心，A正確；對于B，延長交于兩點(diǎn)，由A可知：，，，，，又，，B正確；對于C，由B可得：，同理可得：，，，，C錯(cuò)誤；對于D，由B可得：，同理可得：，，，由C可得：，又，，D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量在三角形中的應(yīng)用，涉及到垂心的向量表示、向量數(shù)量積的定義等知識；解題關(guān)鍵是能夠通過數(shù)量積的定義和運(yùn)算律，將所證內(nèi)容進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到三角形面積或向量模長與角的正余弦值之間的關(guān)系.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．13.若虛數(shù)單位，，則___________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與復(fù)數(shù)的模長公式計(jì)算即可.【詳解】化簡原式，可得，所以，所以.故答案為：14.已知空間向量，滿足，，且，的夾角為，若，則實(shí)數(shù)等于______.【答案】【解析】【分析】運(yùn)用平面向量數(shù)量積乘法分配律計(jì)算.【詳解】依題意有，即，由條件知，，；故答案為：.15.海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島_上取兩點(diǎn)C，D，測得，，，，則A、B兩點(diǎn)的距離為______m．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知的邊和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以，又因?yàn)椋?，，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解得．故答案為?16.如圖，中，，，，為重心，為線段上一點(diǎn)，則的最大值為__________，若、分別是邊、的中點(diǎn)，則的取值范圍是__________．【答案】①.20②.【解析】【分析】利用向量求得的表達(dá)式，由此求得的最大值.利用向量求得的表達(dá)式，由此求得的取值范圍.【詳解】由余弦定理，，由于，所以.設(shè)是中點(diǎn)，則共線，如圖，，.，.因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以的最大值?，其中，即，所以，故.即的取值范圍是.故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于利用向量數(shù)量積運(yùn)算得到，從而轉(zhuǎn)化為求的范圍即可，同理得到，再代入相關(guān)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為求的范圍即可.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（1）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，，且，求z；（2）已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)模長公式以及復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算，結(jié)合對應(yīng)的象限得出z；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及純虛數(shù)的定義得出m的值.【詳解】解：（1）設(shè)，由題意每，解得，，∵復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，∴，∴.（2），由題意得，解得18.已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三點(diǎn)、、在一條直線上，滿足，，，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）設(shè)的重心為，且，求的值.【答案】（1），或.（2）【解析】【分析】（１）依據(jù)題設(shè)運(yùn)用向量的垂直與平行建立方程組求解；（２）借助題設(shè)及向量的數(shù)量積公式分析求解：【詳解】解：（1）因?yàn)槿c(diǎn)，，在一條直線上，所以，又，，所以，①因?yàn)?，所以，即，②由①、②解得，?（2）因?yàn)闉榈闹匦?，且，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，.所以，，因此.19.已知向量，，且函數(shù).（1）若，且，求的值；（2）若將函數(shù)的圖像上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來的，再將所得圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像，求函數(shù)在的值域.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）先根據(jù)已知條件求出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件以及角的范圍即可求出結(jié)論；（2）先求出的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可求解．【詳解】（1）由條件可得：；；．因?yàn)?，，．?）函數(shù)的圖像上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來的，得，再將所得圖像向左平移個(gè)單位，得；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在的值域是．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)及圖像變換，考查邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，求函數(shù)的值域時(shí)注意整體思想的運(yùn)用．20.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工且，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用，明朝科學(xué)家徐光啟所著《農(nóng)政全書》中描繪了筒車的工作原理.如圖，一個(gè)半徑為3m的筒車，按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)一周的時(shí)長為2min，筒車的軸心O距離水面的高度為1.5m.筒車上均勻分布了12個(gè)盛水筒，設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒Р到水面的距離為y（單位：m）（在水面下則y為負(fù)數(shù)），若以盛水筒P剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，則y與時(shí)間t（單位：min）之間的關(guān)系為.（1）求，，，的值；（2）盛水筒出水后至少經(jīng)過多少時(shí)間就可以到達(dá)最高點(diǎn)；（3）在筒車運(yùn)行的過程中，求相鄰兩個(gè)盛水筒距離地面的高度差h（單位：m）關(guān)于t的函數(shù)解析式，并求出高度差的最大值.【答案】（1），，；（2）；（3）h，，最大值為.【解析】【分析】（1）直接由題意求出，，，的值；（2）求出函數(shù)解析式，由函數(shù)最大值為，可得，即，取得答案；（3）設(shè)兩個(gè)相鄰的盛水筒分別用和表示（不妨設(shè)領(lǐng)先于，則，分別求出經(jīng)過相鄰兩個(gè)盛水筒距離水面的高度，作差后利用三角函數(shù)求最值．【詳解】解：（1）由題知，得，由題意得，，.（2）由，得，所以，即，當(dāng)時(shí)，盛水筒出水后第一次到達(dá)最高點(diǎn)，此時(shí).（3）設(shè)兩個(gè)相鄰的盛水筒分別用A和B表示（A領(lǐng)先于B），則經(jīng)過相鄰兩個(gè)盛水筒距離水面的高度分別和，所以，，所以的最大值為.21.在三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面橫線上，并加以解答.在中，角的對邊分別為，為的面積，且選條件：（1）求（2）作使得四邊形滿足，，求的取值范圍.【答案】（1）條件選擇見解析，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)所選條件，采用正余弦定理或者三角形面積公式一一計(jì)算即可（2）設(shè)，根據(jù)題意，利用正弦定理將表示成關(guān)于的代數(shù)表達(dá)式，通過表達(dá)式的值域從而確定的取值范圍【小問1詳解】選①：，由正弦定理可得：，整理得：即，選②：，由正弦定理可得：，整理得：即，選③：，，綜上，無論選擇哪個(gè)條件，【小問2詳解】設(shè)，則在中，由正弦定理得可得在中，由正弦定理得可得，當(dāng)時(shí)，即，可得當(dāng)時(shí)，即，可得的取值范圍是22.對于函數(shù)，，任意，，且，，，都有，，是一個(gè)三角形的三邊長，則稱函數(shù)為上的“完美三角形函數(shù)”．（1）