第9章-9.2.3-第2課時(shí)-向量的數(shù)量積(二)-課件

9.2.3第二課時(shí)向量數(shù)量積(二)第九章平面向量1.掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律及常用的公式.2.會(huì)利用向量數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算或證明.學(xué)習(xí)目標(biāo)內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE知識(shí)點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律對于向量a，b，c和實(shí)數(shù)λ，有(1)a·b＝____(交換律).(2)(λa)·b＝_____＝______＝λa·b(數(shù)乘結(jié)合律).(3)(a＋b)·c＝

(分配律).b·aa·(λb)λ(a·b)a·c＋b·c知識(shí)梳理思考

若a·b＝b·c，是否可以得出結(jié)論a＝c?答案

不可以.已知實(shí)數(shù)a，b，c(b≠0)，則ab＝bc?a＝c，但是a·b＝b·c推不出a＝c.理由如下：如圖，a·b＝|a||b|cosβ＝|b||OA|，b·c＝|b||c|cosα＝|b||OA|.所以a·b＝b·c，但是a≠c.知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)類比多項(xiàng)式的乘法公式，寫出下表中的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì).多項(xiàng)式乘法向量數(shù)量積(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)2＝______________(a－b)2＝a2－2ab＋b2(a－b)2＝a2－2a·b＋b2(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a＋b)·(a－b)＝________(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·aa2＋2a·b＋b2a2－b2知識(shí)梳理1.a·0＝0.(

)2.λ(a·b)＝λa·b.(

)4.若a與b同向，則(a－b)2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2.(

)5.向量的數(shù)量積運(yùn)算滿足(a·b)·c＝a·(b·c).(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√××√√知識(shí)梳理2題型探究PARTTWO一、求兩向量的數(shù)量積例1

(多選)設(shè)a，b，c是任意的非零向量，且它們相互不共線，給出下列結(jié)論，正確的是A.a·c－b·c＝(a－b)·cB.(b·c)·a－(c·a)·b不與c垂直C.|a|－|b|<|a－b|D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2√√√題型探究解析

根據(jù)數(shù)量積的分配律知A正確；∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b與c垂直，B錯(cuò)誤；∵a，b不共線，∴|a|，|b|，|a－b|組成三角形，∴|a|－|b|<|a－b|成立，C正確；D正確.故正確結(jié)論的選項(xiàng)是ACD.題型探究向量的數(shù)量積a·b與實(shí)數(shù)a，b的乘積a·b有聯(lián)系，同時(shí)也有許多不同之處.例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特別是向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.反思感悟②跟蹤訓(xùn)練1給出下列結(jié)論：①若a·b＝a·c，則b＝c；②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；③(a＋b)2＝|a|2＋2|a||b|＋|b|2.其中正確的是_____.(填序號(hào))解析

由向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律知，①③錯(cuò)誤，②正確.題型探究二、求向量的模和向量的夾角例2

(1)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________.題型探究方法二

(數(shù)形結(jié)合法)由|a|＝|2b|＝2知，以a與2b為鄰邊可作出邊長為2的菱形OACB，如圖，又∠AOB＝60°，題型探究題型探究解

因?yàn)閨a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1.題型探究(1)求解向量模的問題就是要靈活應(yīng)用a2＝|a|2，即|a|＝

，勿忘記開方.(2)求向量的夾角，主要是利用公式cosθ＝

求出夾角的余弦值，從而求得夾角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以尋找|a|，|b|，a·b三者之間的關(guān)系，然后代入求解.反思感悟跟蹤訓(xùn)練2

已知向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，且|3a－2b|＝

，求a，b的夾角.題型探究解

設(shè)a與b的夾角為θ，由題意得(3a－2b)2＝7，∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，題型探究三、與垂直有關(guān)的問題√題型探究因?yàn)閚·(tm＋n)＝0，所以tm·n＋n2＝0，所以t＝－4.題型探究解決有關(guān)垂直問題時(shí)利用a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量).反思感悟解

設(shè)a與b的夾角為θ，由已知得(a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2＝3＋10cosθ－8＝0，所以θ＝60°，即a與b的夾角為60°.跟蹤訓(xùn)練3

已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，求向量a與b夾角的大小.題型探究3隨堂演練PARTTHREE12345√√√隨堂演練解析

因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量e1，e2的夾角為θ，則|e1|＝|e2|＝1，則e1在e2上的投影向量為|e1|cosθe2＝cosθe2，故A正確；(e1＋e2)·(e1－e2)＝e－e＝0，故(e1＋e2)⊥(e1－e2)，故C正確；e1·e2＝|e1||e2|cosθ＝cosθ，故D錯(cuò)誤.12345隨堂演練解析

因?yàn)閨e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.2.設(shè)e1和e2是互相垂直的單位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，則a·b等于A.－2 B.－1 C.1 D.212345√隨堂演練解析

∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1×cos60°＋16×12＝12，∴|a－4b|＝.3.已知|a|＝2，|b|＝1，a與b之間的夾角為60°，那么向量a－4b的模為A.2 B. C.6 D.1212345√隨堂演練12345√解析

由題意知(3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，即3m×32＋(5m－3)×3×2cos60°－5×22＝0，隨堂演練123455.已知向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，則向量a與a－b的夾角為_____.隨堂演練1.知識(shí)清單：(1)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律.(2)利用向量的數(shù)量積求向量的模和夾角.(3)向量垂直的應(yīng)用.2.方法歸納：類比法.3.常見誤區(qū)：忽視向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.課堂小結(jié)4課時(shí)對點(diǎn)練PARTFOUR12345678910111213141516√解析

由題意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3.基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√解析

設(shè)向量a與b的夾角為θ.因?yàn)閍·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cosθ＝3，基礎(chǔ)鞏固3.已知向量a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，則|2a＋3b|等于A.16 B.256 C.8 D.6412345678910111213141516√解析

方法一

∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16.方法二

由題意知2a＝b，∴|2a＋3b|＝|4b|＝4|b|＝16.基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√解析

|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，

①|(zhì)a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，

②由①－②得4a·b＝4，∴a·b＝1.基礎(chǔ)鞏固5.若向量a與b的夾角為60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，則|a|等于A.2 B.4 C.6 D.1212345678910111213141516解析

因?yàn)?a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－|a|·|b|cos60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72.所以|a|2－2|a|－24＝0.解得|a|＝6或|a|＝－4(舍去).√基礎(chǔ)鞏固解析

設(shè)a與b的夾角為θ，則θ＝120°，所以(－3a)·(a＋b)＝－3|a|2－3a·b＝－3－3×1×1×cos120°6.若向量a的方向是正南，向量b的方向是北偏東60°，且|a|＝|b|＝1，則(－3a)·(a＋b)＝________.12345678910111213141516基礎(chǔ)鞏固7.已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b與λa－b垂直，則λ＝_______.12345678910111213141516解析

∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415169基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415169.已知向量a，b的夾角為60°，且|a|＝2，|b|＝1，若c＝2a－b，d＝a＋2b，求：(1)c·d；解

c·d＝(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516(2)|c＋2d|.解

|c＋2d|2＝(4a＋3b)2＝16a2＋9b2＋24a·b基礎(chǔ)鞏固1234567891011121314151610.已知單位向量e1與e2的夾角為α，且cosα＝

，向量a＝3e1－2e2與b＝3e1－e2的夾角為β，求β的余弦值.基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516解

因?yàn)閍2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3，因?yàn)閎2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cosα＋1＝8，基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√√綜合運(yùn)用解析

由題意，得|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角是120°，故B結(jié)論錯(cuò)誤；∵(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3，∵(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos120°＋4＝0，∴(4a＋b)⊥b，故C結(jié)論正確；∵a·b＝1×2×cos120°＝－1，故D結(jié)論正確.12345678910111213141516綜合運(yùn)用12345678910111213141516√綜合運(yùn)用12345678910111213141516綜合運(yùn)用1234567891011121314151613.已知a是平面內(nèi)的單位向量，若向量b滿足b·(a－b)＝0，則|b|的取值范圍是________.[0,1]解析

∵b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cosθ－|b|2＝0，∴|b|＝|a|cosθ＝cosθ(θ為a與b的夾角)，θ∈[0，π]，∴0≤|b|≤1.綜合運(yùn)用12