二項(xiàng)式定理、復(fù)數(shù)-2024年高考數(shù)學(xué)考試易錯題及解析

專題14二項(xiàng)式定理、復(fù)數(shù)

題型一：(a-b)n化解問題￡易一點(diǎn)：忽略了二項(xiàng)式中的負(fù)號而致錯

——題型二：三項(xiàng)展開式的問題三易揩點(diǎn)：三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化不合理導(dǎo)致計(jì)算導(dǎo)煩失誤

二項(xiàng)式定理、復(fù)數(shù)S--題型三：系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)問題又易。點(diǎn)：混淆項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系效致讀

——題型四：求復(fù)數(shù)虛部G；易楂點(diǎn)：混淆虐部定義致楂

——題型五：復(fù)數(shù)有關(guān)模長的求算0易指點(diǎn)：復(fù)數(shù)的幾何意義應(yīng)用錯讀

易錯點(diǎn)一：忽略了二項(xiàng)式中的負(fù)號而致錯((a?b)n化解問題)

I:二項(xiàng)式定理

一般地，對于任意正整數(shù)"，都有：(a+b『=cy+c1b++C，”&+...+C?”(〃eN?)，

這個公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號右邊的多項(xiàng)式叫做(〃+勿”的二項(xiàng)展開式.

nrr

式中的eV"%'做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用4討表示，即通項(xiàng)為展開式的第r+1項(xiàng)：7；+1=C：a-b,

其中的系數(shù)C3=0，1，2,…，，?)叫做二項(xiàng)式系數(shù)，

II：二項(xiàng)式3+〃)"的展開式的特點(diǎn)：

①項(xiàng)數(shù)：共有〃+1項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；

②二項(xiàng)式系數(shù)：第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為。，最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；

③次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的塞指數(shù)〃.字母“降塞排列，次數(shù)由〃到0；字母〃升嘉排列，

次

數(shù)從0到〃，每一項(xiàng)中，。,人次數(shù)和均為〃；

④項(xiàng)的系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)依次是C：,c：,c3…，C；，…，C〉項(xiàng)的系數(shù)是。與人的系數(shù)(包括二項(xiàng)

式系數(shù)).

m：兩個常用的二項(xiàng)展開式：

nnx

①(a-b)'C：：a-C\a-b+-..4-(-1/<>-77+(〃EN*)

②（I+x）"=1+C：x+C；/+…+c；x'+…+x"

IV：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng):乙=C，-7/（r=0,1,2,3n）

公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開式的第廠+1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是口；

②字母》的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；

③《與力的次數(shù)之和為〃.

注意：①二項(xiàng)式（〃+”'的二項(xiàng)展開式的第HI項(xiàng)C/"-'N和S+。）"的二項(xiàng)展開式的第丹1項(xiàng)

c：/-%'是有區(qū)別的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的。和〃是不能隨便交換位置的.

②通項(xiàng)是針對在5+份"這個標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是

7；句=（-l）「CX”「（只需把外看成b代入二項(xiàng)式定理）.

易錯提醒：在二項(xiàng)式定理3-加”的問題要注意b的系數(shù)為-1,在展開求解時(shí)不要忽略.

A.75B.-73C.6D.-6

錯解：心=仁（4廣（已）=C"x'令r=l,可得5a=30,???a=6.

錯因分析：二項(xiàng)式（4-9,中的項(xiàng)為--土，錯解中誤認(rèn)為是五，-卜，忽略了負(fù)號而出

）7Xy]x

現(xiàn)了錯解.

正解：D7]，令，，=1,可得一5。=30,。=-6.

變式1：在的展開式中，x的系數(shù)是.

【詳解】二項(xiàng)式（3/二[展開式的通項(xiàng)為&|=G（3X2門35Tx（其中

0<r<5fireN）,

令10-3/=1,解得r=3,所以n=C；32x（_2），=_720x,

所以展開式中x的系數(shù)是-720.故答案為：-720

變式2：展開式的常數(shù)項(xiàng)為.

【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為九|=C*6-]_±J=（T）*C產(chǎn)3止，

令6-3攵=0,解得女二2,

所以常數(shù)項(xiàng)為《=仁=15,故答案為：15.

變式3：（2x-J]6的展開式中丁的系數(shù)為.

【詳解】設(shè)展開式中的第「+1項(xiàng)含有/項(xiàng)，即晨=（-1）’26-簿"1"

令6-2r=4,解得r=1,

即（4（2人）?[一=-25C^4=-192A4,所以展開式中/的系數(shù)為T92.

【分析】中利用二項(xiàng)式定理可求得x的系數(shù)，從而求解.

【詳解】由題意知鼠-的展開式為加=G（2X）7-1」J=（-1）'C27J72,

令7—2r=l,得r=3,所以/的系數(shù)為（-1）七；27-3=一560,故D項(xiàng)正確.

故選：D.

2.若（6-gj'UeN）的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16,則（五+：）”的展開式中的常

數(shù)項(xiàng)為（）

A.6B.8C.28D.56

【答案】C

【分析】根據(jù)（五-，丫的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和求出〃的值，從而寫出（瓶+■!■［”的

IX）\X）

展開式的通項(xiàng)公式，再令4的指數(shù)為0,即可求解常數(shù)項(xiàng).

【詳解】由（五--；（〃￡N）的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16,得2〃=16,所以〃=4,

則二項(xiàng)式（以+口的展開式的通項(xiàng)公式為&=C；（網(wǎng)『=C二?。?KY8且,-GN）,

令守=0,解得r=2,

所以4=C；=28,故（孤+1J的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為28,

故選：C.

3.（1-生］。+歷6的展開式中史尸的系數(shù)為（）

Iy）

A.55B.-70C.65D.-25

【答案】D

［分析］根據(jù)（x+y）6展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】含%歹的項(xiàng)為'=1xC；x,y—-xC--25”,

y

所以展開式中X4y2的系數(shù)為-25.

故選：D.

4.若（3/--J的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)（非零），則正整數(shù)〃的可能值是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式建立方程，求解即可.

【詳解】由二項(xiàng)式定理知，

&I=C：（3X2）"，（一.）「

=C〉3"-r?（_；）'.42”5，，

因?yàn)槠浜谐?shù)項(xiàng)，即存在〃"WN”，使得2〃二5二

止匕時(shí)〃=;_,所以〃=2時(shí)，n=5,

2

故選：C.

5.(2+/力(1-3，)’的展開式中第的系數(shù)為-1()5,則實(shí)數(shù)〃?=()

\"IJ

C.-1D.-2

【答案】D

【分析】利用二項(xiàng)式的展開式公式展開，再與前面的項(xiàng)相乘求解即可.

【詳解】("—A'的展開式的通項(xiàng)公式為加=(-1)'仁針了，

所以￡j=(-i)y尸尸?

X

6-r=3

令《?…解得r=3,

r+I=4

7-r=3

，%7-，，「(-1)’5/-》.令_解得，=4.

V—4

由題意，可知(一1)、C；+/K-(-l)4C；=-C?+"?=(〃L1)C；=一105,

所以m--2.

故選：D.

6.在(3-4)7的展開式中，/的系數(shù)為()

A.-21B.21C.189D.-189

【答案】B

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可得解.

【詳解】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式得c；37"(-/)，，令;廣=3得r=6,

所以F的系數(shù)為C；3(T)6=21.

故選：B.

7.(2/-3同(2-七)的展開式中含工的項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】960

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式分析運(yùn)算求解.

【詳解】的展開式的通項(xiàng)為7；“=c；27f故令r=°，2,

可得(2/-3同(2-2)的展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為：

(-3)xC?x27+2xC；x25=-384+1344=96().

故答案為：960.

8.已知(or-七)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是672,則。=.

【答案】2

【分析】寫出二項(xiàng)式通項(xiàng)(入整理后讓工的次數(shù)為0,得出，?的值，再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)的值列出等式方

程即可得出。的值.

【詳解】展開式的通項(xiàng)為=C；/，(-l)rJ號，

令9一%=0,得廠一6,

2

所以常數(shù)項(xiàng)是=672,故。=2.

故答案為：2.

9.在(2工一白)的展開式中，x的系數(shù)為

【答案】24

【分析】求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再求出指定項(xiàng)的系數(shù)即得.

【詳解】二項(xiàng)式(2x-%)展開式的通項(xiàng)為乙二C：(2x廣=(-l)r.24-C>4^,rGN,r<4,

由4-乎=1，得廠=2,則】=(T)L22C*=24X,所以x的系數(shù)為24.

故答案為：24.

10.(1-2x)，(l+x)s的展開式中，按x的升鼎排列的第3項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】3

【分析】根據(jù)已知得出按x的升事排列的第3項(xiàng)即含/的項(xiàng).結(jié)合二項(xiàng)式定理，分類討論求解，即

可得出答案.

【詳解】由已知可得，展開式中含有常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)、兩次項(xiàng)，

所以，按工的升幕排列的第3項(xiàng)即含/的項(xiàng).

(1-2”4展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C：xrx(-2x)°=l,(1+4展開式中含Y的項(xiàng)為C；xfxx2=3/；

(1一2刈”展開式中含工的項(xiàng)為。：、1，*(一2力'=一4丫，(l+x)’展開式中含匯的項(xiàng)為C；x/xx=3x；

(l-2x)4展開式中含/的項(xiàng)為C：xl2x(-2x)2=24f,(1+力展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C；xFx.”=1.

所以，(1-21)4(1+幻3的展開式中,含X2的項(xiàng)為1x3/-8工?3人+24./'1=3/.

故答案為：3.

11.在的展開式中的F的系數(shù)是.

【答案】-4072

【分析］根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，可令廠=3求得/的系數(shù).

【詳解】(乎-工

展開式的通項(xiàng)公式為：鼠(￥)'("卜晨㈠)'(何Q"

令3—6=3,解得：r=3,所以/的系數(shù)為c：x(-l)，(夜)’二一40夜.

故答案為：-40&.

12.二項(xiàng)式卜―的展開式中常數(shù)項(xiàng)為

【答案】-20

【分析】根據(jù)給定的條件，利用二項(xiàng)式定理求解作答.

【詳解】的展開式的通項(xiàng)為7川=(-1)'CJ6-2"

令6-2r=0,得r=3,故常數(shù)項(xiàng)為(―1)3或=-20.

故答案為：-20.

13.的展開式的第三項(xiàng)的系數(shù)為135,則〃=

【答案】6

【分析】先寫出展開式的通項(xiàng)公式乙一再令廠=2,列出等式求解即可;

【詳解】1-：j的展開式的通項(xiàng)公式為酊=(-3)'C/L2"

則第三項(xiàng)的系數(shù)為(-3)2(3：=9C；=9x8^4=135,即〃("1)=30,解得〃=-5(舍去)或〃=6.

故答案為：6.

易錯點(diǎn)二：三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化不合理導(dǎo)致計(jì)算麻煩失誤(三項(xiàng)展開式的問題)

求三項(xiàng)展開式式中某些特定項(xiàng)的系數(shù)的方法

第一步：通過變形先把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式，再用二項(xiàng)式定理求解

第二步，兩次利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解

第三步：由二項(xiàng)式定理的推證方法知，可用排列、組合的基本原理去求，即把三項(xiàng)

式看作幾個因式之積，要得到特定項(xiàng)看有多少種方法從這幾個因式中取因式中的量

易錯提醒：對于三項(xiàng)式的展開問題，一般采取轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式再展開的辦法進(jìn)行求解，但在轉(zhuǎn)化為二

項(xiàng)式的時(shí)候，又有不同的處理策略：一是如果三項(xiàng)式能夠化為完全平方的形式，或者能夠進(jìn)行因式

分解，則可通過對分解出來的兩個二項(xiàng)展開式分別進(jìn)行分析?，進(jìn)而解決問題(如本例中的解法二)；

二是不能化為完全平方的形式，也不能進(jìn)行因式分解時(shí)，可直接將三項(xiàng)式加括號變?yōu)槎?xiàng)式，套用

通項(xiàng)公式展開后對其中的二項(xiàng)式再利用通項(xiàng)展開并進(jìn)行分析求解，但要結(jié)合要求解的問題進(jìn)行合理

的變形，以利于求解.

例、(f+3x+2)s的展開式中，x的一次項(xiàng)的系數(shù)為()

A.120B.240C.320D.480

易錯分析：本題易出現(xiàn)的錯誤是盲目套用解決三項(xiàng)式展開的一般方法(轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式處理:

[(r+3x)+2j),而不針對要求解的問題進(jìn)行合理的變通，導(dǎo)致運(yùn)算繁雜并出現(xiàn)錯誤.

正解：解法一由于任+31+2『=[(/+2)+3寸，

展開式的通項(xiàng)為=G(/+2廣'(3x)',0<r<5,

當(dāng)且僅當(dāng)r=l時(shí)，展開式才有x的一次項(xiàng)，此時(shí)心=力=《(/+2)“(3力.

所以展開式中x的一次項(xiàng)為C[C：?24,

它的系數(shù)為C[C：?2-3=240.故選B.

解法二由于(丁+3x+2)5=(x+l)5(x+2)5,

所以展開式中x的一次項(xiàng)為

C；JC?2$+C；-C；J-2'=240x.故x的一次項(xiàng)的系數(shù)為24U.故選B.

變式1：在（。+北+3c）’的展開式中，含a%2c的系數(shù)為.

【詳解】把（。+2匕+3。）5的展開式看成是5個因式（。+北+及）的乘積形式,

展開式中，含a%2c項(xiàng)的系數(shù)可以按如下步驟得到：

第一步，從5個因式中任選2個因式，這2個因式取。，有C；種取法；

第二步，從剩余的3個因式中任選2個因式，都取2以有C；種取法；

第三步，把剩余的1個因式中取3c,有C；種取法；

根據(jù)分步相乘原理，得；含々2〃。項(xiàng)的系數(shù)是C；X22C；X3U=360

故答案為：360.

變式2：（X—）,2—爐展開式中彳2,4的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

【詳解】由于卜-丁-1）5表示5個因式卜-）7-1）的乘積，

故其中有2個因式取-），2,2個因式取工，剩余的一個因式取-I,可得含的項(xiàng),

故展開式中fy1的系數(shù)為C；（-l）2?（-1）=-30,

故答案為：-30.

變式3：在（2x+y+z）s的展開式中，形如兒〃cN）的所有項(xiàng)系數(shù)之和是

【詳解】（2x+），+z）’=[2x+i：y+z）T展開式的通項(xiàng)為4+]=C；（2x）J（），+z）’.

令5-r=3,得r=2.令y=z=l,

得所求系數(shù)之和為C"23X22=32（）.故答案為：320

【答案】B

【分析】因?yàn)?：+展開式中的項(xiàng)可以看作g個含有三個單項(xiàng)式各取一個相乘而得'

分析組合可能，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)?十上+1展開式中的項(xiàng)可以看作8個含有三個單項(xiàng)式?,一』中各取一個相乘而

得，

若得到常數(shù)項(xiàng)，則有：①8個I；②2個五，1個1，5個1；③4個五，2個,，2個1；

xx

所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為CM18+C；X(4)2MC|MJ_XCX]5+C；X(&)4XC：XxC；xl2-589.

故選：B.

2.在(x+y+2)'的展開式中，孫3的系數(shù)是()

A.24B.32C.36D.40

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，入)?的項(xiàng)為C5C)，3.C；x2,化簡后即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，節(jié)3的項(xiàng)為C5-C33-CX2=40“3,

所以町尸的系數(shù)是40.

故選：D.

3.(也—x+i丫的展開式中的系數(shù)為12,貝l」cos26=()

Ix

A.-B.--C.；D.-

4224

【答案】C

【分析】根據(jù)乘法的運(yùn)算法則，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)、二倍角的余弦公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】j呼-x+lj的展開式中/的系數(shù)可以看成：6個因式(邛-x+lj中選取5個因式提

供”,

余下一個因式中提供竿或者6個因式(W-x+l)中選取4個因式提供工,余下兩個因式中均提

供1,

故V的系數(shù)為C：-C〉sin6=12,

sin夕=一，

2

???cos2。=1-2sin20=1-2X'=',

42

故選：C

4.(x+)」l)6的展開式中孫2的系數(shù)為()

A.-60B.60C.-120D.120

【答案】A

【分析】先把x-1看作整體寫出二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)，再根據(jù)指定項(xiàng)確定x-1的次數(shù)，再寫一次二項(xiàng)

式展開的通項(xiàng)，最后根據(jù)指定項(xiàng)配湊出項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】因?yàn)椤?1+丁)6展開式的通項(xiàng)為乙產(chǎn)黑(X-1)6-'，，

當(dāng)廠=2時(shí)才能出現(xiàn)V，此時(shí)(x—1)4展開的通項(xiàng)為(—1)’,

當(dāng)r=3時(shí)出現(xiàn)x的一次，所以展開式中4的系數(shù)為或C：(-1)，=-60.

故選：A.

5.設(shè)“>(),己知(犬+幺丫的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和

IX)

為256,則(/+2+5)”中*的系數(shù)為()

A.0B.2C.4D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得到〃=8和〃=1,再根據(jù)/項(xiàng)的取法為1個V和1個2再計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)?2+?J的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，

所以展開式一共有9項(xiàng)，即〃=8,

令x=1,得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為(1+。)8=256,所以。=1,

(1\2

/+2+=中一項(xiàng)的取法為1個/和1個2,

I-

所以爐系數(shù)為C：C：x2=4.

故選：C

6.(1-)，+3)5的展開式中，/),的系數(shù)為()

A.8()B.60C.-80D.-60

【答案】D

【分析】由題得。-），+3）5=卜+（3-），）了，再利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)即可得到答案.

【詳解】（x-y+3）5=［x+（3-y）T，則其展開式通項(xiàng)為產(chǎn)Qx5-'（3—y）［OWN,

令廠=2,則@-y+3）5的展開式中含V的項(xiàng)為

C；d（3-y）2=1（I?（9-6y+/）=90%3-60吐+1Ox^y2,

所以工、的系數(shù)為的，

故選：D.

7.已知（x+'+a］（aeR）展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為-1,貝!展開式中/的系數(shù)為（）

A.270B.-270C.330D.-330

【答案】D

【分析】令X=l,得（1+1+。）5=-1,得。=一3.再根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求解.

【詳解】令x=l,則（1+1+。）'=一1,得。=一3.

1.Y-(-3)+C^x+-^-(-3)2+Cj^+-l-(-3)3

所以X4---3=

XJ

+C；1+：）（一3）4+C,（-3）s，

又因?yàn)橹挥衏jx+4［?（—3）,（：：.+，］二（-3）3展開式中有含產(chǎn)的項(xiàng)，

所以/的系數(shù)為c?X（―3）+C；X（―3）3=-330.

故選：D

8.（/+0）的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，若展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為256,則

1+2+9『中產(chǎn)的系數(shù)為（）

A.1B.4或1C.4或（）D.6或0

【答案】C

【分析】展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，可以得到〃的值，然后再賦值法求出所有項(xiàng)的系

數(shù)和的表達(dá)式可解出。的值，再分類求山中f的系數(shù)即可得出答案.

【詳解】展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以總共有9項(xiàng)，.?.，?=&

令％=1，得所有項(xiàng)的系數(shù)和為(1+力=256,「.aul或-3.

當(dāng)。=1時(shí)，(丁+2+與［展開式中V的系數(shù)為：C*-2=4,

Ix')

當(dāng)々=—3時(shí)，仁2+2+與］展開式中不含一項(xiàng).

IxJ

故選：C.

9.(丁+_!_+1的展開式中父項(xiàng)的系數(shù)為

\x)

【答案】80

【分析】只需6個因式中3個因式取/、3個因式取,或2個因式取/、1個因式取工、3個因式

xx

取1,根據(jù)組合知識得到答案.

【詳解】(d+^+ij可以看成6個因式［2+：+］)相乘，

所以+1j的展開式中含的項(xiàng)為3個因式取/、3個因式取一

或2個因式取爐、1個因式取,、3個因式取1,

X

所以12+1+ij的展開式中含丁項(xiàng)的系數(shù)為c：c；+c：c1G=&).

故答案為：80

10.(x+2)，-z『展開式中，尸丁i項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】-2240

【分析】由二項(xiàng)式定理求解.

【詳解】(x+2y—Z)8=［(X+2)，)—ZT，?的指數(shù)是3,???得到C：(x+2j(-z)3,

???y的指數(shù)是2,得到C》3(2)，)2,???/)"項(xiàng)的系數(shù)為c；(_l)p22=—2240.

故答案為：-2240

11.（Y-X+2），y的展開式中V）1項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】-160

【分析】根據(jù)多項(xiàng)式相乘展開方法求解.

【詳解】（Y-x+2），y的展開式中，構(gòu)成w項(xiàng)只能是一個V、一個（一）、3個（2），）相乘,

故此項(xiàng)為.c；（-x）.c^（2y）3=-i60?/.

故答案為：T60.

（1V2

12.在1+x-一—的展開式中,『的系數(shù)為.

【答案】66

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的含義，結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算，求得答案.

【詳解】由題意，（1+x-擊表示12個因式（1+x-+卜勺乘積,

故當(dāng)2個因式取x,其余10人因式取1時(shí)，可得展開式中含《的項(xiàng)，

故f的系數(shù)為C；2XC；；=66.

故答案為：66.

13,卜2一於+））的展開式中，的系數(shù)為10,則〃=

【答案】1

【分析】化卜2_以+>，）'=［（工2sHy;利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求得展開式中心,2的系數(shù)，列

方程求出。的值.

【詳解】（V一"+），）$=［（——公）+亓

其展開式的通項(xiàng)公式為（+1=心12-0￥丫r/,0<r<5,reN,

令廠=2得7；=C；?V（x-a）'?）尸=1Ox5），（丁一3ax~+3a2x-a）

因?yàn)閤'J的系數(shù)為10，則TO/=10,解得a=-l,

故答案為：-1.

14.（x+2—lT展開式中的常數(shù)項(xiàng)為____.（用數(shù)字做答）

VxJ

【答案】49

【分析】利用分類計(jì)數(shù)原理求解即可.

［詳解］(K+Aj=1+?)卜+；7)卜+：7)(x+；T、

展開式中得到常數(shù)項(xiàng)的方法分類如下：

(1)4個因式中都不取％,則不取1,全取-1,相乘得到常數(shù)項(xiàng).

x

常數(shù)項(xiàng)為C：(-l)4=l；

(2)4個因式中有1個取犯則再取1個工，其余因式取-1,相乘得到常數(shù)項(xiàng).

x

常數(shù)項(xiàng)為C；AC；(￡|(T)2=24；

(3)4個因式中有2個取“，則再取2個,，相乘得到常數(shù)項(xiàng).

x

常數(shù)項(xiàng)為C%2G⑶L24.

合并同類項(xiàng)，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為1+24+24=49.

故答案為：49.

15.(x-2y+1)，展開式中含邛3項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】-160

【分析】變形為2)，)+1］:寫出通項(xiàng)公式，求出&=3,，=1,得到答案.

【詳解】(x-2)，+1)5變形為［口-2)，)+1了，

故通項(xiàng)公式得小=G(x-2y廣,

其中(A-2,y)5-r的通項(xiàng)公式為CLE-A(-2y)’，

故通項(xiàng)公式為(3￡；_胃,/(-2)，)人，其中0<,<5，太「eN,

令k=3,5-r-k=l,解得％=3,r=l,

故C；C：x(—2)，y=-160個J

故答案為：-160

16.(1+2X-3/『的展開式中V的系數(shù)為.

【答案】92

【分析】由于(l+2x-3/)5=(17)S(1+3X)5,根據(jù)二項(xiàng)式定埋分別求得(17)‘和(1+3X)’的展開式

的通項(xiàng)，從而分析可得V的系數(shù).

【詳解】(1+2%一3巧'=(17)5(1+3%)5,

又(1-x)s展開式的通項(xiàng)小=d(r),=C；(-1)'Mr=OJ,2,3,4,5,

(1+3x)5展開式的通項(xiàng)SR=C；L(3x)*=C；/=展1234,5,

所以含V的項(xiàng)為串6+T2s5+4,S4+Q5+nS?+(S]

則含N的系數(shù)為

0；(-1)?！?，+《(一1)七；3"+《(—。七式+仁(一1)'C；32+C；(-l)4CK+C(T)'C3°=92.

故答案為：92.

17.(x+2y-3z)6的展開式中xy?/的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

【答案】-6480

【分析】3+2y-3z)6=[(x+2)，)-3z1然后兩次利用通項(xiàng)公式求解即可；

【詳解】因?yàn)?x+2)，一3z)6=[(x+2y)-3z『，

6-<r6rr

設(shè)其展開式的通項(xiàng)公式為：7；H=C；(.r+2y)?(-3z)=C；(x+2y)-x(-3f.z,()<r<6,rGN,

令，=3,

mmw

得(x+2)，)3的通項(xiàng)公式為C^--(2y)=qx2“'產(chǎn)?/,0<m<3,/WGN,

令〃7=2,

所以(x+2y+3Z)6的展開式中，盯y的系數(shù)為C：x(-3)3x2?=-6480,

故答案為：-6480

易錯點(diǎn)三：混淆項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)致誤(系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)問題)

I：二項(xiàng)式展開式中的最值問題

1.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

①每一行兩端都是1,即C；=c;:其余每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即C；：產(chǎn)c：i+c：.

②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等，即c：=c;m.

③二項(xiàng)式系數(shù)和令a=/?=I,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為C：+C：+C：++C；++C：=2",變形式

C：+C：+…+C：+…+C；=2-L

④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和在二項(xiàng)式定理中，令。=1,匕=-1,

則G；-c+Gc；；=d-ir=o,

從而得到：C+a+C…+c/yc：+c：++c尸+-=；-2"=2i.

⑤最大值：

如果二項(xiàng)式的寡指數(shù)〃是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C：最大；

如果二項(xiàng)式的事指數(shù)〃是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)勺，q+1的二項(xiàng)式系數(shù)C,芋，cf相等且最大.

2.系數(shù)的最大項(xiàng)

求(〃+區(qū))”展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為A，&，…，4川，

設(shè)第1+1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有《廣二；，從而解出廠來.

II：二項(xiàng)式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題

常用賦值舉例：

(1)設(shè)(a+b)"=加+C；a""+C；,an-2b2++C：/"'+.+C?”,

二項(xiàng)式定理是一個恒等式，即對。，〃的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取。，

〃的值.

①令ai=l,可得：2"=《+C：++C；

②令〃=1,0=|,可得：0=仁-C：+C；—C：+(-1)℃>即：

C"C：+…+C：=C：+C：-+C<(假設(shè)〃為偶數(shù))，再結(jié)合①可得：

C"+…+C：=C：+C：+…+.

nn2

(2)若f(x)=anx++d?_2x~++axx+4,則

①常數(shù)項(xiàng)：令x=0,得/=f(0).

②各項(xiàng)系數(shù)和：令X=l,得f(l)=%+4+%++an-\+Cln-

注意：常見的賦值為令x=0,x=l或x=-1,然后通過加減運(yùn)算即可得到相應(yīng)的結(jié)果.

易錯提醒：二項(xiàng)式定理5+與”的問題要注意：項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系(求所有項(xiàng)的系

數(shù)只要令字母值為1）.

三9

例、設(shè)的展開式中，第三項(xiàng)的系數(shù)為36,試求含V的項(xiàng).

錯解：第三項(xiàng)的系數(shù)為C：,依題意得C；=36,化簡得"一〃一72=0,解此方程并舍去不合題意的

負(fù)值.得n=9,設(shè)（x-癡產(chǎn)的展開式中/項(xiàng)為第「+1項(xiàng).則&由9—r=2,得r

=7,故的展開式中含Y的項(xiàng)為4=C12（_?）7=-7776?f.

錯因分析：錯解將“二項(xiàng)展開式中的第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”當(dāng)作了“第三項(xiàng)的系數(shù)”，解答顯然是錯誤

的.

正解：（x—6）"的展開式的第三項(xiàng)為一#六.?.C：（_^）2=36,即〃2—〃一］2=0,解此

方程并舍去不合題意的負(fù)值，得n=4,設(shè)“-指）4的展開式中/項(xiàng)為第r+1項(xiàng)，則

7；產(chǎn)（一指）"由4-r=2,得r=2,即（x-遙）’的展開式中r項(xiàng)為Cjfq#）?二36『.

變式1：求（五+』=］的展開式中第3項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù).

（o\5=禺.（旨），.（五廣，,

【詳解】二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式為

2Q￡2

第三項(xiàng)為：1=C；.（五片（五產(chǎn)=10?H/=90/,

所以第三項(xiàng)系數(shù)為90,第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C；=10.

變式2：計(jì)算（x+2.y）9的展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù).

【詳解】因?yàn)椋▁+2y）9的展開通項(xiàng)為十討=C5i（2y）“=2"《產(chǎn)"爐（0?ZeN）,

所以（x+2），）9的展開式中第5項(xiàng)是1=2七%、4=2016/），4,

故所求第5項(xiàng)的系數(shù)是2016,第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是C：=126.

變式3：求的展開式中常數(shù)項(xiàng)的值和對應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù).

t詳解】因?yàn)?/p>

6-A6-AA

所以展開式中的第&+1項(xiàng)為如=C：[卜一[=c：2j/=c：2—產(chǎn)t

要得到常數(shù)項(xiàng)，必須有3-攵=0,從而有左=3,

因此常數(shù)項(xiàng)是第4項(xiàng)，旦7；=或2-3/-3=160.

從而可知常數(shù)項(xiàng)的值為160,其對應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C：=20.

1.在二項(xiàng)式（6--!-丫的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的是（

)

I2.」

A.第3項(xiàng)B.第4項(xiàng)

C.第5項(xiàng)D.第3項(xiàng)和第4項(xiàng)

【答案】B

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)分析求解.

【詳解】二項(xiàng)式丫的展開式共有7項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的是第4項(xiàng).

故選:B.

2.已知二項(xiàng)式（2x-l）”的展開式中僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則〃為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【分析】分析可知，二項(xiàng)式（2x-l）”的展開式共7項(xiàng)，即可求出〃的值.

【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式（2x-l）”的展開式中僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，

則二項(xiàng)式（2x7）”的展開式共7項(xiàng)，即〃+1=7,解得“=6.

故選：A.

3.在二項(xiàng)式（6-4）6的展開式中，下列說法正確的是（）

2x

A.常數(shù)項(xiàng)是二13B.各項(xiàng)系數(shù)和為士1

464

C.第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大D.奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為32

【答案】BD

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式理及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】二項(xiàng)式（）的展開式的通項(xiàng)為=晨

6-56-小工1=0,1,2,,6

當(dāng)r=2時(shí)，得常數(shù)項(xiàng)為二"，故A不正確；

6I2；4

當(dāng)x=l時(shí)，可得展開式各項(xiàng)系數(shù)和為（0-〈）6=],故B正確；

264

由于〃=6,則二項(xiàng)式系數(shù)最大為C：=20為展開式的第4項(xiàng)，故C不正確;

奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為C+C+C+C：=1+15+15+1=32,故D正確.

故選：BD.

4.在二項(xiàng)式（2x7嚴(yán)的展開式中，下列說法正確的是（）

A.第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大B.第6項(xiàng)的系數(shù)最大

C.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2山D.所有項(xiàng)的系數(shù)之和為I

【答案】ACD

【分析】由系數(shù)和二項(xiàng)式的系數(shù)的性質(zhì)可判斷A,B,C；由賦值可判斷D.

【詳解】通項(xiàng)公式為卻=C；c,（2x嚴(yán)，（T）—（-l）rr=0,1,2,???/（），

其二項(xiàng)式系數(shù)為C；0,二項(xiàng)式（2x-l嚴(yán)的展開式共11項(xiàng)，中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，

故第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C；。是最大的，故A正確；

二項(xiàng)式系數(shù)和為2%所以C正確；

令x=l得所有項(xiàng)的系數(shù)和為1,故D正確；

因?yàn)檎归_式中第六項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，所以第六項(xiàng)的系數(shù)不可能為最大，故B選項(xiàng)錯誤，

故選：ACD.

5.已知2,小8成等差數(shù)列，則在（2x-gJ的展開式中，下列說法正確的是（）

A.二項(xiàng)式系數(shù)之和為32B.各項(xiàng)系數(shù)之和為1

C.常數(shù)項(xiàng)為40D.展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為80x

【答案】ABD

【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)可得〃=5.對于A：根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和的結(jié)論直接運(yùn)算求解；對于B：利

用賦值法運(yùn)算求解；對于C、D：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得：2〃=2+8=10,則〃=5,

對于選項(xiàng)A：二項(xiàng)式系數(shù)之和為牙—32,故A正確;

對于選項(xiàng)B：令x=l,可得各項(xiàng)系數(shù)之和為（2-1）'=1,故B正確;

對于選項(xiàng)C、D：因?yàn)椋?X-」丫的展開式的通項(xiàng)公式為：

IX）

5-rf

*=G(2x)f--|=(-l)G.2f/,r=03,2,3,4,5,

Ix/

（1\5

所以2x--=32爐-80.?+80x-40x-'+10A-3-x-5,

Ix）

展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，故C錯誤；

展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為80尤，故D正確；

故選：ABD.

6.下列關(guān)于6-2人）的展開式的說法中正確的是（）

A.常數(shù)項(xiàng)為一160

B.第4項(xiàng)的系數(shù)最大

C.第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大

D.所有項(xiàng)的系數(shù)和為1

【答案】ACD

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解.

1\6

【詳解】--2x展開式的通項(xiàng)為=C：，（―2x）=（—2）七一六

對于A,令2%-6=0,解得A=3,???常數(shù)項(xiàng)為（-2），C：=—8x20=760,A正確;

對于B,由通項(xiàng)公式知，若要系數(shù)最大，攵所有可能的取值為0,2,4,6,

???？；="、￡=4C：X-2=60X-2,7；=（-2）*QX2=240X2,7；=（-2『.F=64巴

，展開式第5項(xiàng)的系數(shù)最大，B錯誤；

對于C,展開式共有7項(xiàng)，得第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，C正確；

對于D,令x=l,則所有項(xiàng)的系數(shù)和為（「2）6=1,D正確.

故選：ACD.

7.若（五-的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16,則（板+；『的展開式中-T的系數(shù)為

【答案】56

【分析】通過二項(xiàng)式系數(shù)和求出〃=4,然后求出（派+工丫展開式的通項(xiàng)公式，最后求出指定項(xiàng)的

IX）

系數(shù)即可.

【詳解】由（加一口的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16,得2"=16,所以〃=4,

IX）

/.\8/.y8-4r

則（五十；J的展開式的通項(xiàng)公式為（弧「8=c；x.，

令?。?-4,解得-5,故,+：『的展開式中子的系數(shù)為c；=56.

故答案為：56

8.已知常數(shù)。>0,在（五-/j的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15,設(shè)

5234y

（1-2ar）=%+?|X+a2x+u3x+?4x+a5x,則a0+as=.

【答案】-31

【分析】先求出。=1，再由二項(xiàng)式的展開式進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：］"一"的展開式為：乙產(chǎn)C；=葭?（一。）'/丁，

令6-3/=（）,得r=2,

則=15,因?yàn)閍>0,所以。=1,

則（1—2辦門=（1-24的展開式為：lx=C5\-2x）k=C；?（—2）。/,

5

得為=C.（-2）。=1,a5=C；（-2）=-32,

貝lj4+q=1+（-32）=-31,

故答案為：-31.

9.在（取-：）”的二項(xiàng)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則各項(xiàng)的系數(shù)的絕對值之和為

【答案】729/36

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和求出〃的值，進(jìn)而設(shè)出各項(xiàng)的系數(shù)，然后采用賦值法即可求得答案.

【詳解】由題意（五的二項(xiàng)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,

即T=64,/.n=6,

設(shè)正-2)的各項(xiàng)的系數(shù)為％嗎M”,6，

則各項(xiàng)的系數(shù)的絕對值之和為I4I+14I+1生I++14I，

即為(五+中各項(xiàng)的系數(shù)的和，

令x=l,|/|+|q|+&1+…+141=(1+2)6=3°,

即各項(xiàng)的系數(shù)的絕對值之和為36=729,

故答案為：729

10.二項(xiàng)式(2/+(j的展開式中常數(shù)項(xiàng)為(用數(shù)字作答).

【答案】60

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式即可求得正確答案.

(\\

【詳解】二項(xiàng)式2/+_1展開式的通項(xiàng)公式為C〉(2/廣彳口=晨"一.上,

kX)

由題意令12-3r=0,解得1=4,

所以二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C：X2'7=C；X22=MX4=60.

2x1

故答案為：60.

11.已知0+24)”(〃cN')的展開式中第9項(xiàng)、第10項(xiàng)、第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，則

n=.

【答案】14或23

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的定義列出等式，解方程即可求得〃=14或23.

【詳解】由題意可得c：,c：C°成等差數(shù)列，則2c=c+c：。,

n\_n\n\

即“9!(/L9)!—8!(/i-8)!+10!(/z-10)!，

2_11

即9Q—9)=(〃-9)(〃_8)+10x9'即J"?-37〃+322=°'

解得〃=14或23.

故答案為：14或23

12.(2-￡|(1-2X)4的展開式中含V項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】-70

【分析】先對第一個括號中選取單項(xiàng)式進(jìn)行分類，然后再在每一類中分步，結(jié)合計(jì)數(shù)原理以及組合

數(shù)即可求解.

【詳解】要得到的展開式中含有/的項(xiàng)，分以下兩種情形：

情形一：先在第一個括號中選取“2”，然后在后面四個括號中選取3個“-2%”和1個“「，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知此時(shí)“產(chǎn)'的系數(shù)為2xC：x(-2)\1=2X4X(-8)=-64；

情形二：先在第一個括號中選取“一：”，然后在后面四個括號中選取2個“-2工”和2個“1”，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知此時(shí)“戶的系數(shù)為-；xC：x(-2)2＞『=-；X6X4=-6.

zX

綜上所述：由分類加法計(jì)數(shù)原理可知2-?(1-24的展開式中含.一項(xiàng)的系數(shù)為(-64)+(-6)=-70.

故答案為：-70.

13.若1-：)”展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64,則展開式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.

【答案】15

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和得到〃=6,再計(jì)算第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)即可.

【詳解】1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為2"=64,故〃=6,

展開式中第三項(xiàng)的一項(xiàng)式系數(shù)為C；=15.

故答案為：15.

14.若卜X-夫)的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是.

【答案】胃135

【分析】先求得"的值，然后根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.

【詳解】依題意，2"=64,〃=6,

(?\6/1_iY(\_1Y

則二項(xiàng)式3x—-=3x--/2展開式的通項(xiàng)公式為C；?(3X)612一

3

令6—；〃=0,解得廠=4,

所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)是3f田；C：=9XL15=空.

\2)61616

故答案為：空135

16

15.已知(3x-2)”=%+%(x-l)+%(x-l)2+an(x-\y,若(3x-2)。展開式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和

為1024,則4的