27.2.1 相似三角形的判定 人教版九年級數(shù)學(xué)下冊教學(xué)課件

人教版數(shù)學(xué)九年級下冊第27.2.1相似三角形的判定

在相似多邊形中，最簡單的就是相似三角形.如圖，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，

即三個角分別相等，三條邊成比例，我們就說△ABC與△A′B′C′相似，相似比為k.相似用符號“∽”表示，讀作“相似于”.△ABC與△A′B′C′相似記作“△ABC∽△A′B′C′”.如果k=1，這兩個三角形有怎樣的關(guān)系？互動新授

判定兩個三角形全等時，除了可以驗(yàn)證它們所有的角和邊分別相等外，還可以使用簡便的判定方法(SSS，SAS，ASA，AAS).類似地，判定兩個三角形相似時，是不是也存在簡便的判定方法呢？

在相似多邊形中，最簡單的就是相似三角形.互動新授互動新授

如圖，任意畫兩條直線l1，l2，再畫三條與l1，l2，都相交的平行線l3，l4，l5.分別度量l3，l4，l5在l1上截得的兩條線段AB，BC和在l2上截得的兩條線段DE，EF的長度.與相等嗎？ABCDEFl1l2l3l4l5AB=

,BC=

.DE=

,EF=

.互動新授任意平移l5，與相等嗎？ABCDEFl1l2l3l4l5互動新授任意平移l5，與相等嗎？互動新授

可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)l3∥l4∥l5時，有

，，，

等.

一般地，我們有平行線分線段成比例的基本事實(shí)：

兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.互動新授

把平行線分線段成比例的基本事實(shí)應(yīng)用到三角形中，會出現(xiàn)下面兩種情況.

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例.互動新授

思考

如圖，在△ABC中，DE∥BC，且DE分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，△ADE與△ABC有什么關(guān)系？

分析：我們通過相似的定義證明它，即要證明∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，

.ABCDEABCDE證明：過點(diǎn)E作EF∥AB，交BC于點(diǎn)F.

在△ADE與△ABC中，∠A=∠A∵DE∥BC∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C∵DE∥BC，EF∥AB∴，

∵四邊形DBFE是平行四邊形

∴DE=BF∴∴∴△ADE∽△ABCF互動新授相似三角形的判定定理：

平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.“A”字型

“X”字型.總結(jié)歸納符號語言：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC.

C小試牛刀

D小試牛刀1.如圖，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A＝60°，則∠C等于(

)A．40°B．60°C．80°D．100°C課堂檢測2.直線AB//CD//EF，若AC=3，CE=4，則

，

.

3.直線，若AC=4，CE=6，則BD=3，BF=

.課堂檢測4.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上，DE∥AC，DF∥BC.如果BE＝6cm，EC＝10cm，F(xiàn)A－FC＝3cm，求FC的長．課堂檢測解：∵DE∥AC，BE＝6cm，EC＝10cm，

∴

∵DF∥BC，

∴

∵FA－FC＝3cm，∴FA＝FC＋3cm.∴∴CF＝4.5cm.課堂檢測1.如圖，在△ABC中，F(xiàn)G∥DE∥BC，已知DF＝3，AG＝EC＝2，則下列四個等式中一定正確的是(

)A．FG·DE＝6B．DB·GE＝6C．FG：DE＝2：3D．CE：DB＝3：2B拓展訓(xùn)練2.三角形內(nèi)角平分線定理：三角形任意兩邊之比等于它們夾角的平分線分對邊之比．已知：如圖，在△ABC中，AD是角平分線．求證：拓展訓(xùn)練證明：如圖，過點(diǎn)C作CE∥DA，交BA的延長線于點(diǎn)E.∴∠1＝∠E，∠2＝∠3.∵AD是△ABC的角平分線，

∴∠1＝∠2.∴∠3＝∠E.∴AC＝AE.

∵AD∥CE，∴∴拓展訓(xùn)練一般地，我們有平行線分線段成比例的基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.相似三角形的判定定理：

平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.“A”字型

“X”字型.符號語言：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC.課堂小結(jié)

BC課后作業(yè)思考：還有哪些方法可以判定兩個三角形相似呢？判定兩個三角形全等時，除了可以驗(yàn)證它們所有的角和邊分別相等外，還可以使用簡便的判定方法(SSS，SAS，ASA，AAS)，類似地，判定兩個三角形相似時，是不是也存在簡便的判定方法呢？類似于判定三角形全等的SSS方法，我們能不能通過三邊來判定兩個三角形相似呢？同學(xué)們現(xiàn)在在紙上任意畫一個三角形，再畫一個三角形，使它的各邊長都是原來三角形各邊長的k倍，度量這兩個三角形的角，它們分別相等嗎？這兩個三角形相似嗎？結(jié)論：兩個三角形的角分別相等，通過相似三角形的定義，三個角分別相等，三邊成比例，所以這兩個三角形相似.下面，我們嘗試應(yīng)用上面的定理進(jìn)行證明.已知：如圖，在△ABC和△A'B'C'中，求證：△ABC∽△A'B'C'.

D

EA'B'C'ABC分析:在AB上截取AD=A′B′,再過D作DE∥BC,得到△ADE∽△ABC,再證明△A′B′C′≌△ADE,則可得到△ABC∽△A′B′C′.已知：如圖，在△ABC和△A'B'C'中，求證：△ABC∽△A'B'C'.證明：在AB上取AD=A'B'，過點(diǎn)D作DE//BC，交AC于點(diǎn)E∴DE=B'C',AE=A'C'.∵DE//BC又∵AD=A'B'，∴∴△ABC∽△ADE∴△ADE≌△A'B'C'∴△ABC∽△A'B'C'A'B'C'ABC

D

E△ADE是證明的中介,它把△ABC與△A′B′C′聯(lián)系起來.歸納總結(jié)相似三角形的判斷定理1：三邊成比例的兩個三角形相似.符號語言：AA'BCB'C'∵∴△ABC∽△A'B'C'.注意：類似于判定兩個三角形全等的SAS的方法,能不能通過兩邊和夾角來判定兩個三角形相似呢？利用刻度尺和量角器畫△ABC和△A′B′C′,使∠A=∠A′,,△ABC∽△A′B′C′嗎?在△ABC與△A1B1C1中，已知∠A=∠A1,.求證：△ABC∽△A1B1C1BACB1A1C1證明：在△A1B1C1的邊A1B1

上截取點(diǎn)D，使A′D=AB．過點(diǎn)D作DE∥B1C1，交A1C1于點(diǎn)E.DE∵DE∥B1C1，∴△A1DE∽△A1B1C1.∴∴A1E=AC.

∴△A1B1C1∽△ABC.∴△A1DE≌△ABC，又∠A1=∠A.∴∵A1D=AB，,歸納總結(jié)相似三角形的判斷定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.符號語言：AA'BCB'C'∵∴△ABC∽△A'B'C'.思考：在△ABC與△A′B′C′中,如果

那么△ABC與△A′B′C′一定相似嗎?不一定相似回顧“兩邊對應(yīng)相等,且其中一邊的對角也相等的兩個三角形不一定全等”時所舉出的反例,試著畫出兩個三角形說明這兩個三角形不一定相似如圖,兩個三角形兩邊對應(yīng)成比例,且其中一邊的對角也相等,這兩個三角形不相似注意：兩邊對應(yīng)成比例并且必須是夾角對應(yīng)相等兩三角形才一定相似例題鞏固：根據(jù)下列條件，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似，并說明理由：(1)AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm，A′B′＝12cm，B′C′＝18cm，A′C′＝24cm.(2)∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A′＝120°，A′B′＝3cm，A′C′＝6cm.例題鞏固：根據(jù)下列條件，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似，并說明理由：(1)AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm，A′B′＝12cm，B′C′＝18cm，A′C′＝24cm.(2)∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A′＝120°，A′B′＝3cm，A′C′＝6cm.觀察兩副三角尺如圖所示，其中有同樣兩個銳角(30°與60°，或45°與45°)的兩個三角尺大小可能不同，但它們看起來是相似的．思考：如果兩個三角形有兩組角對應(yīng)相等，它們一定相似嗎？如圖所示,已知在△ABC和△A′B′C中，∠A=∠A′,∠B=∠B′.求證△ABC∽△A′B′C′.思路：

如圖所示,已知在△ABC和△A′B′C中，∠A=∠A′,∠B=∠B′.求證△ABC∽△A′B′C′.證明:在線段A′B′上截取A′D=AB,過點(diǎn)D作DE∥B′C′,交A′C′于點(diǎn)E,則可得△A′DE∽△A′B′C′.∵DE∥B′C′,∴∠A′DE=∠B′,又∠B=∠B′,∴∠B=∠A′DE,又∵∠A=∠A′,A′D=AB,∴△A′DE≌△ABC,∴△ABC∽△A′B′C′.歸納總結(jié)相似三角形的判斷定理3：兩角分別相等的兩個三角形相似.符號語言：AA'BCB'C'∵∴△ABC∽△A'B'C'.例題鞏固：如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8.E是AC上一點(diǎn)，AE＝5，ED⊥AB，垂足為D.求AD的長．解：∵ED⊥AB，∴∠EDA＝90°又∠C＝90°，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC,∴∴由三角形相似的條件可知，如果兩個直角三角形滿足一個銳角相等，或兩組直角邊成比例，那么這兩個直角三角形相似．思考：我們知道，兩個直角三角形全等可以用“HL”來判定．那么，滿足斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似嗎？如圖所示,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=90°,∠C′=90°