2025屆安徽省蚌埠示范高三第六次模擬考試數(shù)學試卷含解析

2025屆安徽省蚌埠示范高三第六次模擬考試數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù),則方程的實數(shù)根的個數(shù)是（）A． B． C． D．2．小明有3本作業(yè)本，小波有4本作業(yè)本，將這7本作業(yè)本混放在-起，小明從中任取兩本.則他取到的均是自己的作業(yè)本的概率為()A． B． C． D．3．已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為（）（附：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布，則，．）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%4．已知函數(shù)，的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于，則的一條對稱軸是（）A． B． C． D．5．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A． B． C． D．6．1777年，法國科學家蒲豐在宴請客人時，在地上鋪了一張白紙，上面畫著一條條等距離的平行線，而他給每個客人發(fā)許多等質(zhì)量的，長度等于相鄰兩平行線距離的一半的針，讓他們隨意投放.事后，蒲豐對針落地的位置進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)共投針2212枚，與直線相交的有704枚.根據(jù)這次統(tǒng)計數(shù)據(jù)，若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針，則針落地后與直線相交的概率約為（）A． B． C． D．7．若復數(shù)滿足,則()A． B． C． D．8．已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（）A．的虛部為 B．復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限C．的共軛復數(shù) D．9．如圖所示，三國時代數(shù)學家在《周脾算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影），設(shè)直角三角形有一個內(nèi)角為，若向弦圖內(nèi)隨機拋擲200顆米粒（大小忽略不計，?。瑒t落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（）A．20 B．27 C．54 D．6410．設(shè)全集，集合，，則（）A． B． C． D．11．已知雙曲線的焦距為，若的漸近線上存在點，使得經(jīng)過點所作的圓的兩條切線互相垂直，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，當時，恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，向量（4，﹣n），（Sn，n+3）.若⊥，則數(shù)列{}前2020項和為_____14．已知的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等，則__________.15．已知為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上移動時，的內(nèi)心的軌跡方程為__________．16．函數(shù)的極大值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．⑴當時，求函數(shù)的極值；⑵若存在與函數(shù)，的圖象都相切的直線，求實數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知點是拋物線的頂點，，是上的兩個動點，且.（1）判斷點是否在直線上？說明理由；（2）設(shè)點是△的外接圓的圓心，點到軸的距離為，點，求的最大值.19．（12分）如圖,四棱錐,側(cè)面是邊長為2的正三角形,且與底面垂直,底面是的菱形,為棱上的動點,且.(I)求證：為直角三角形；(II)試確定的值，使得二面角的平面角余弦值為.20．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，求的面積的值（或最大值）．已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，三邊，，與面積滿足關(guān)系式：，且，求的面積的值（或最大值）．21．（12分）已知等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，.（1）求數(shù)列{an}的通項an；（2）設(shè)bn＝an?3n，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.22．（10分）如圖在四邊形中，，，為中點，.（1）求；（2）若，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

畫出函數(shù),將方程看作交點個數(shù)，運用圖象判斷根的個數(shù)．【詳解】畫出函數(shù)令有兩解，則分別有3個，2個解，故方程的實數(shù)根的個數(shù)是3+2=5個故選：D【點睛】本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運用，分類思想的運用，數(shù)學結(jié)合的思想判斷方程的根，難度較大，屬于中檔題．2、A【解析】

利用計算即可，其中表示事件A所包含的基本事件個數(shù)，為基本事件總數(shù).【詳解】從7本作業(yè)本中任取兩本共有種不同的結(jié)果，其中，小明取到的均是自己的作業(yè)本有種不同結(jié)果，由古典概型的概率計算公式，小明取到的均是自己的作業(yè)本的概率為.故選：A.【點睛】本題考查古典概型的概率計算問題，考查學生的基本運算能力，是一道基礎(chǔ)題.3、B【解析】試題分析：由題意故選B．考點：正態(tài)分布4、D【解析】

由題，得，由的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于，可得最小正周期，從而求得，得到函數(shù)的解析式，又因為當時，，由此即可得到本題答案.【詳解】由題，得，因為的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于，所以函數(shù)的最小正周期，則，所以，當時，，所以是函數(shù)的一條對稱軸，故選：D【點睛】本題主要考查利用和差公式恒等變形，以及考查三角函數(shù)的周期性和對稱性.5、C【解析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d，由題知，，解得，，所以數(shù)列為，故.故選：C.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，求出頻率，用以估計概率.【詳解】.故選:D.【點睛】本題以數(shù)學文化為背景，考查利用頻率估計概率，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

把已知等式變形，利用復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，再由復數(shù)模的計算公式求解．【詳解】解：由，得，∴．故選C．【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．8、D【解析】

利用的周期性先將復數(shù)化簡為即可得到答案.【詳解】因為，，，所以的周期為4，故，故的虛部為2，A錯誤；在復平面內(nèi)對應的點為，在第二象限，B錯誤；的共軛復數(shù)為，C錯誤；，D正確.故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算，涉及到復數(shù)的虛部、共軛復數(shù)、復數(shù)的幾何意義、復數(shù)的模等知識，是一道基礎(chǔ)題.9、B【解析】

設(shè)大正方體的邊長為，從而求得小正方體的邊長為，設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為，利用概率模擬列方程即可求解?！驹斀狻吭O(shè)大正方體的邊長為，則小正方體的邊長為，設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為，則，解得：故選：B【點睛】本題主要考查了概率模擬的應用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。10、D【解析】

求解不等式，得到集合A，B，利用交集、補集運算即得解【詳解】由于故集合或故集合故選：D【點睛】本題考查了集合的交集和補集混合運算，考查了學生概念理解，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.11、B【解析】

由可得；由過點所作的圓的兩條切線互相垂直可得,又焦點到雙曲線漸近線的距離為,則,進而求解.【詳解】,所以離心率,又圓是以為圓心,半徑的圓,要使得經(jīng)過點所作的圓的兩條切線互相垂直,必有,而焦點到雙曲線漸近線的距離為,所以,即,所以,所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故選:B【點睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質(zhì)的應用.12、A【解析】

分析可得,顯然在上恒成立,只需討論時的情況即可,,然后構(gòu)造函數(shù),結(jié)合的單調(diào)性,不等式等價于,進而求得的取值范圍即可.【詳解】由題意,若,顯然不是恒大于零,故.,則在上恒成立;當時,等價于,因為,所以.設(shè),由,顯然在上單調(diào)遞增,因為,所以等價于,即,則.設(shè),則.令,解得,易得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,從而，故.故選:A.【點睛】本題考查了不等式恒成立問題,利用函數(shù)單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵,考查了學生的推理能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由已知可得?4Sn﹣n（n+3）＝0，可得Sn，n＝1時，a1＝S1＝1.當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1.可得：2（）.利用裂項求和方法即可得出.【詳解】∵⊥，∴?4Sn﹣n（n+3）＝0，∴Sn，n＝1時，a1＝S1＝1.當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1.，滿足上式，.∴2（）.∴數(shù)列{}前2020項和為2（1）＝2（1）.故答案為：.【點睛】本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、數(shù)列遞推關(guān)系、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.14、【解析】

根據(jù)的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等，得到，再利用組合數(shù)公式求解.【詳解】因為的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等，所以，即，所以，即，解得.故答案為：10【點睛】本題主要考查二項式的系數(shù)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

考查更為一般的問題：設(shè)P為橢圓C:上的動點，為橢圓的兩個焦點，為△PF1F2的內(nèi)心，求點I的軌跡方程．解法一：如圖，設(shè)內(nèi)切圓I與F1F2的切點為H，半徑為r，且F1H=y，F(xiàn)2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，，則.直線IF1與IF2的斜率之積：，而根據(jù)海倫公式，有△PF1F2的面積為因此有.再根據(jù)橢圓的斜率積定義，可得I點的軌跡是以F1F2為長軸，離心率e滿足的橢圓，其標準方程為.解法二：令，則．三角形PF1F2的面積：，其中r為內(nèi)切圓的半徑，解得.另一方面，由內(nèi)切圓的性質(zhì)及焦半徑公式得：從而有．消去θ得到點I的軌跡方程為：.本題中：，代入上式可得軌跡方程為：.16、【解析】

先求函的定義域，再對函數(shù)進行求導，再解不等式得單調(diào)區(qū)間，進而求得極值點，即可求出函數(shù)的極大值．【詳解】函數(shù)，，，令得，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)取到極大值，極大值為.故答案為：．【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運算求解能力，求解時注意定義域優(yōu)先法則的應用．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當時，函數(shù)取得極小值為，無極大值；（2）【解析】試題分析：（1），通過求導分析，得函數(shù)取得極小值為，無極大值；（2），所以，通過求導討論，得到的取值范圍是．試題解析：（1）函數(shù)的定義域為當時，，所以所以當時，，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得極小值為，無極大值；（2）設(shè)函數(shù)上點與函數(shù)上點處切線相同，則所以所以，代入得：設(shè)，則不妨設(shè)則當時，，當時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，代入可得：設(shè)，則對恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又所以當時，即當時,又當時因此當時，函數(shù)必有零點；即當時，必存在使得成立；即存在使得函數(shù)上點與函數(shù)上點處切線相同．又由得：所以單調(diào)遞減，因此所以實數(shù)的取值范圍是．18、（1）不在，證明見詳解；（2）【解析】

（1）假設(shè)直線方程，并于拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理，計算，可得，然后驗證可得結(jié)果.（2）分別計算線段中垂線的方程，然后聯(lián)立，根據(jù)（1）的條件可得點的軌跡方程，然后可得焦點，結(jié)合拋物線定義可得，計算可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)直線方程，根據(jù)題意可知直線斜率一定存在，則則由所以將代入上式化簡可得，所以則直線方程為，所以直線過定點，所以可知點不在直線上.（2）設(shè)線段的中點為線段的中點為則直線的斜率為，直線的斜率為可知線段的中垂線的方程為由，所以上式化簡為即線段的中垂線的方程為同理可得：線段的中垂線的方程為則由（1）可知：所以即，所以點軌跡方程為焦點為，所以當三點共線時，有最大所以【點睛】本題考查直線于拋物線的綜合應用，第（1）問中難點在于計算處，第（2）問中關(guān)鍵在于得到點的軌跡方程，直線與圓錐曲線的綜合常常要聯(lián)立方程，結(jié)合韋達定理，屬難題.19、（1）見解析；(II).【解析】

試題分析：（1）取中點,連結(jié),以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明為直角三角形；（2）設(shè)，由，得，求出平面的法向量和平面的法向量，，根據(jù)空間向量夾角余弦公式能求出結(jié)果.試題解析：(I)取中點,連結(jié)，依題意可知均為正三角形，所以,又平面平面，所以平面，又平面，所以,因為,所以，即,從而為直角三角形.(II)法一：由(I)可知,又平面平面,平面平面,平面，所以平面.以為原點，建立空間直角坐標系如圖所示,則,由可得點的坐標所以,設(shè)平面的法向量為，則,即解得，令，得，顯然平面的一個法向量為,依題意，解得或（舍去），所以，當時，二面角的余弦值為.法二：由(I)可知平面,所以,所以為二面角的平面角，即,在中，,所以，由正弦定理可得，即解得，又,所以,所以，當時，二面角的余弦值為.20、見解析【解析】

若選擇①，結(jié)合三角形的面積公式，得，化簡得到，則，又，從而得到，將代入，得．又，∴，當且僅當時等號成立．∴，故的面積的最大值為，此時．若選擇②，，結(jié)合三角形的面積公式，得，化簡得到，則，又，從而得到，則，此時為等腰直角三角形，.若選擇③，，則結(jié)合三角形的面積公式，得，化簡得到，則，又，從而得到，則．21、（1）.（2）【解析】

（1）先設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d（d＞0），然后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及已知條件可列出關(guān)于d的方程，解出d的值，即可得到數(shù)列{an}的通項an；（2）先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計算出數(shù)列{bn}的通項公式，然后運用錯