運籌學 第二章 多目標規(guī)劃

2多目標規(guī)劃題的解2多目標規(guī)劃問題的解法標標模模,許許題題優(yōu)優(yōu)牽牽涉涉往往個個考考、、。。,,題題變變AttributeDecisioMaki大類前者AttributeDecisioMaki大類前者,基基照照變變量量連連還還劃劃OODDn)和和準準n,,產(chǎn)產(chǎn)選選擇擇優(yōu)優(yōu)多標策主要指多目標最優(yōu)化多標策主要指多目標最優(yōu)化多目標規(guī)劃對于某問題可以先用多目標規(guī)劃選出幾個備選方案再用多準則決策方法步處理因此這兩者既有區(qū)別又有聯(lián)系,。些些,然然后后作作進進,,。析最最優(yōu)優(yōu)化化想想萌萌6經(jīng)經(jīng)濟濟學學效效用用6年年法法經(jīng)經(jīng)濟濟研研標標題題,,美美經(jīng)經(jīng)濟濟K和和分分活動分活動分考考慮慮策策題題,標標最最化化題題,將將其其命命“P“Pa””。年年,WW學學規(guī)規(guī)度首度首量量極極值值及有及有。進入20世紀70年代隨著第進入20世紀70年代隨著第次多目標決策研討會召開及這方面專著的問世多目標決策問題工作迅速蓬勃地開到目前為止已取得若干有價值的研究成果一一,,研研展展起起來來、,,。劃劃及及劃劃研研在在集集R,,Xn),。然而，在題中然而，在題中衡量個往往難以用需要用很很一一方方案案好好壞壞,個個指指標標來來判判也也就就說說一個以一個以,標標這這往往,,那那,,相相例例幾幾類類化化。、、糖糖題題場場糖糖及及糖糖,4////““””。。,,5斤斤確確佳佳采采購購。。們們確確題題應應滿滿足足。,xxxx2,)在在研研什什“佳佳”衡衡量量準準“”,,。:f,:ffxxmm212糖糖量量,f3((xx2x==1m,它它劃劃題題,。個項設問題的約束條件為=1個項設問題的約束條件為=1nA萬n。,預預計計益益bb應應A,?iiiiii2,,2,i=,n0iiff所所“最“最佳佳益益””解解“少“少錢錢””變變個個題題,投投,益益:11(ff個個0-劃劃題題?！灸玖涸O計問題把橫截面為圓形干加工成矩形【木梁設計問題把橫截面為圓形干加工成矩形。件件梁梁度度超超,橫橫截截度度其其。,梁梁量量,低低。x2,。x1→2→m矩矩橫橫截截梁梁橫橫截截樹樹干干,。,梁梁低低還還應應2+2x2/422,((x1xm根根據(jù)據(jù)題題應應滿滿足足述述件件:。般般,。,追追追追。,變變量量xx1n11，,xxn)11，,pp若記,,n)表示TFF,,,f)進進化。,,。模?；蚧?P的、一類。,。把把所所考考,,三三個個第第————?！?。其優(yōu)優(yōu)層層在在,基基礎礎在在第2,。。1PPf}P優(yōu)優(yōu)層層記記,。。個個立立層層優(yōu)優(yōu)量投入量投入。三三類類種種供供選選擇擇,其其應應益益表表:復復式食產(chǎn)食產(chǎn)量利利素工量)(/)(/小畝)大大-早1稻稻-梗677022大大-早88448833稻稻-米——油油-玉3米米-菜0料料全全3,斤斤。今今優(yōu)優(yōu)考考潤潤和和糧糧食食,考考投投氮氮。。立立變變量量:12種種畝畝22，3xxxxxx2x,,,,)2x2233223311，22，3)3xxxx311，22，3123,,,:料料xx3:=種種畝畝,2,3。根根據(jù)據(jù)對對排排序序,將將前前個個,,其其,LL1?26x2?,xx1?2x20044PPxxx11+2x3。ff、。。ff00,,p使使各各標標可可建建標標)))fXf0)f)fXf0)fXX=記記XX偏偏ff(())0ii,fXX)≤fi0,,ppffi(X偏偏,pp-((f-f0ddddiidd+dd-=ff(())-ff0ii,d+d+iid-i==,=,pRd雖然去掉了絕對這仍然使求解Rd雖然去掉了絕對這仍然使求解于于XX∈∈fi(Xiidd-ifi0it++-idi?did=0ll+≥≥00dd-≥≥ii))i,i,p))值值運運束束條條件件,,式基礎上還,++-~-,,,)),=+=dd+dd+))=-=))1,,,1,p,解解。3)模模。在在此此般般,立立加加權權標標規(guī)規(guī)劃劃。號萬元套小套計劃號~/元市場預萬業(yè)號萬元套小套計劃號~/元市場預萬業(yè),。。全全8生生單單產(chǎn)值潤工時要量要量510套套1機機套萬萬套套////令令性性))2機機00臺萬套萬元/小小((市場預預))零零和和工工業(yè)業(yè)性作性作小小226萬小元元小小//((測測))x今今在在達達計計劃劃前前提提,,4,。,4%,。。,產(chǎn)13數(shù)及其目標值0X→數(shù)及其目標值0X→標標f1(X1號機機11→=0=++0ff2(())1.3f3(Xx123333040f4(X工工f5(X加加過總工時%要f6(X按按市市進行生產(chǎn)22號號00xx200工工業(yè)業(yè)性性作作工時xx3→ff=26,,為非的目而條件根據(jù)決策者標重要性的次序次序可可得該題的分層層劃模型模型L?minin[d++d((d+d?+d?+d((d+d?+d++d+dPP(11P2P234P3P578sxx整整xx≥≥001、+23ldi、idi≥i=i=,8由上例可見見,利用偏差變立規(guī)劃,常常?？刹粐栏駞^(qū)分區(qū)分題題標標與與約約將將些些約約束束考考慮慮作作,較較其其值值確確其其優(yōu)優(yōu)在在所所行行達達優(yōu)優(yōu)優(yōu)優(yōu)解解。個個xxxx,,2其其優(yōu)優(yōu)往往往往進進行行較較。它它們們值值FFF,。,往往往往存存在在個個對對每每個個優(yōu)優(yōu)。將將題題優(yōu)優(yōu)解解概概念念平平題題行行。將將劃劃題題種種解解概概念念及及其其Fi)每i)分量都等于向2對量。即對要至少pfFi)每i)分量都等于向2對量。即對要至少pfF,、先先進進一一,記記f,f)pp222,ffpEpEF1<F2意味著著F每個個分量嚴格的小于量量F2對對應應對對于于,,均有均有ff1<ff2,pp,ii。(2""FF22量F1量都要或或于向F2應的分分于=…pp均有均有ff1≤ff2""""11iiFF意意著著F每每個個要要于于或或F2應的分量,存在存在FF個分量量要嚴小于F2應應分分于于均均f1ff2且且存存,,,ii,個0有fi有<i0i可見FF2"等"F1F2""F1≠FXFXxX義義XXXXRR(())FF(XX),X為問MPMPP)的絕對最優(yōu)解*,對最優(yōu)解集個個,變變量量對對優(yōu)優(yōu)解解例例ff1022X),,f)的,,使12所所有有標標達達最最。但但在在規(guī)劃題這樣樣的存存在在設即定義我們先考查什么叫做劣解個可行20設即定義我們先考查什么叫做劣解個可行20p個目標值壞RM,。X0若存在另若存在另一一R,X0對對于于,,均均有有X0))X0XX0X1來來說說劣劣0。X1ppX0pp,00。X。義義,。2RX,,F((X))FF(MP有有解解)P有有解解RpRp,a((PP)有有解解集集合合。,fff1(x))f200xx*xxR*2*2papa3322xX均均有有個個XX,FF((XX)≤FF(X))。""<,。(XRX(XRXf義義33RR,若若存存在在XX∈,使使FFXXFF((稱稱題題VMP))((P))弱弱有有解解全全體體記記X*Rp,p稱稱其其VMPMP)解解弱解解合f1(x)ff2xx00RR*44xx,*Rpp任任x。個個x,滿滿足足……R、較較,pff((x))ff((x)集集RR1,,p)((PP)優(yōu)優(yōu)解解集集記記Ri,……,。RR*R*之之,,wp,,p。11定理R是顯然的，只需證用反證法證之。效解w均有p滿足定理R是顯然的，只需證用反證法證之。效解w均有p滿足證畢**22paRRwp?RR證證R*RRR*pawpX∈R*,X。根根據(jù)據(jù)有有存存在在Y∈R,使papFFY)<F(X),對對,……,,fi(YfiX)此此YY**此此推推得得X劣劣解解,X?RpaR,盾盾。而而證證X∈wpRwp,RR*RR*pawpwp。。??XRXRYRp盾**理理33Ri,pii=………,pp**i0i,w,p,有有于于均均有有,,?……,,,ii=i0iXX∈,RR*?R*,。。iiiiwp定理證若，故不妨設RRa均有在p0定理證若，故不妨設RRa均有在p0畢*44RRabpaRR*=??論論顯顯然然成成立立*≠≠??ab。ab。X∈R*b*b，但但XX,必必存存在在某某YYR,papaF(Y(XX)…………少少存存i≤有有00說說X但但盾盾故故必必0i0,,**有有b。證證。xxRf1ff2((x))00x12**,RRx1,2=2x2*RRpa=RwRwp=2x2(R(Rfff1(f2x)R00**xpaR2*圖6*RR**,R,R,R(f*例子中并且(f*例子中并且ff1xx)f20*RabR==Rpa*pax*RR2778*在這個在這個,ab≠≠?,*=R***=R*pa22abab22事實上事實上?,≠≠aab,pp))RRpp=Ri。1解解8,9。RR2Rpa**R*RRRR3RR1wpp,*RabR?圖ab=ab=RR*R*pa**2RR3pRRab≠≠?圖99單dd、←評評值值dd單單方案djjdjdjjffdj)…,fp(djd)全全序序idijdj之之iiddj;ddi==djdiiddj三三種種情情之之單目標（絕對最單目標（絕對最絕對最優(yōu)有效解(Par弱、策策優(yōu)解優(yōu)解解解有有下下面面種種解解有效解有效解、、數(shù)外語語專業(yè)業(yè)解的型dd1d3d5的意圖選擇適得模型有效解本章將介用的多特求求解解標標最最,要要根根據(jù)據(jù)題題和和策策者者,解解法法,求求效效解解或或弱弱。一些些優(yōu)優(yōu)化化。進行如下處理令規(guī)范化處理,p個個標標先先把把每每然然后后再再。如如,可可把把標fX=…………,p),所所討討論論。是用評價函數(shù)h是用評價函數(shù)hFhf)(hFX)、:(())(()),ffp((P))單單標標題題((Ph[F((XX)]們們。,(())得得PP))((MP有有解解若若連連有有解解,,下面我們將指出當評價某種下面我們將指出當評價某種單調以保F的F)定義上的函數(shù)若對于任函數(shù)數(shù)數(shù)hh())有有“,””,可可證證XX*（或（或XXR為此,先pawp兩兩個個義義義義4設h(F)E上上,若若對于任對于任pF22E,pFF22Ep,均有:hh(()hh(F2))F嚴嚴格格單單調調函數(shù)。函數(shù)。hh(FF義義在在EEp,F1E,FF2E,均有:pp22pp((F))<hh(F))hh(F單單調調。6若在上的嚴格單調函數(shù)E6若在上的嚴格單調函數(shù)EXp)反證法若則XRFX為問題的最優(yōu)解單調XX理理hhFF義義p,規(guī)規(guī)劃劃問題()minh[F(X)]R的最優(yōu)則X∈∈R*。pa證證用用RR*存存在在YY有有FF(YY)≤≤((。,a∈∈,由h(F)的嚴格的嚴格單單調調,FF(YY)]<hh[FX(()])]*與X((pp),X∈RpaR。定理7hh(FF)為定義在EE上上數(shù)數(shù)題p((p))minRinRFF(X)])]最最優(yōu)優(yōu)證明方法方法與定與定雷同。下面介紹兩種用的評價函數(shù)方法該方法就為各目標權和其中下面介紹兩種用的評價函數(shù)方法該方法就為各目標權和其中……為相應目標系數(shù)線性加下重要…i。法法是是取取評評價價數(shù)數(shù)函數(shù)函數(shù)線線性性加加,λλλλ,p權權。權權和和法法步步驟驟如如程度程度系系數(shù)數(shù)λλλλ,p,p其其0=1,,λiλ將轉化為單目標問題(2VM(可以證將轉化為單目標問題(2VM(可以證明是的弱有進一數(shù)均為，MP0……事實上當時為嚴格單ihF))((PP))求解(Pλ)得最優(yōu)X。)),XXVV))解解,XXRR。p步即λ>ipp則**iXpaRpa。,λi>λ00=……,p,(())調,X而而λλ,,pphh(F)ii為單,R。wp*。wp用設其中者認為重量兩個標各為用設其中者認為重量兩個標各為和0.7==線性加權和)xx例例性性例例3。W=3,3HH==,成本成本權權0033λλλ2。木木梁梁計計,立立模模。mm0xx07(7(22.2.12最優(yōu)化方法可解最優(yōu)化方法可解是3)標標,性性束束得得其其最最優(yōu)優(yōu)權權X標標題題表表,在在標標本本標標,應應x1()=()x2x))=0理是指pf然很這最近的點理是指pf然很這最近的點即可取評價函數(shù)為與的距離，hFf22想想法法、理想點想點一般一般標最優(yōu)最優(yōu)f1，,fp組成組成的點F((f*……T。若F*相應的自變量X*pX么當么當理理。我們知道知道,樣樣X往是不存在在（見)。于是自然想到找然想到找一一F它它(())FFFF*,體體構造構造FF(RR)F*=(f**f2*)T0f平方和加權法是原問題的弱有效解若0V平方和加權法是原問題的弱有效解若0V最小偏差法取取解解標標題題(p)hhF(XX)]λi≥,,X(())MPMP。λiλ,,pp,XP))))標標題題pminhhF(XX)]為避免絕對值運算一般將其轉化X為避免絕對值運算一般將其轉化XVM給)ff,之之等等價價量量模模p((PP)有有效效p。F*=(f*,,f*),先先求求解解pp,也也可可憑憑經(jīng)經(jīng)驗驗標標0000)')FF=((11，p,((p標標規(guī)規(guī)劃劃模模。最后介紹兩種確系數(shù)的方法的技工干部等）請他如何取權系數(shù)發(fā)表意見設邀請老手最后介紹兩種確系數(shù)的方法的技工干部等）請他如何取權系數(shù)發(fā)表意見設邀請老手設第老手pjjp權權。(:邀邀“老“老”家家、、、,們們對對。k位位=k))位,,,,,,標f標(j=,)λ,標標權權。=,ffX)老λffX)老λ與均值偏ff))數(shù)數(shù)12手手λλλλ22pp22………kk然然后后計計算算差差λλjj,,pp“”后后再再重重上上述述步步驟驟。(α)if(α)ifR方方法法優(yōu)解記優(yōu)解記標標題題fj(X)最最XXii((XXi構構組組,,,ffjj,ii=,ppj=*ab=?=?組組有有((λλλλ,pp，αα此此即得權系λλ1,λp,λ確數(shù)還可層次分析見本將針對第紹的分目標最優(yōu)模型本將針對第紹的分目標最優(yōu)模型介紹般的標分為個優(yōu)先則可首先束集R對第行按價法進只層選用、一一節(jié)節(jié)節(jié)節(jié)層層化化,分分評價法價法和適于分層型層單形設設將將LL層層在在約約上上一一優(yōu)優(yōu)先先層進層進,行行標極標極,然后在后在一一優(yōu)化所化所弱上對第對第二二層層行優(yōu)然然在第二層優(yōu)所得的)有效解解集上第三層進三層進優(yōu)優(yōu)化化可可證明證明,分分層層評評行行求求解時解時,要要每每一評評價函價函數(shù)數(shù)是嚴格增的,則最后所得解必為相應不分層最小化模小化模型型有農(nóng)題mn[27?43≤農(nóng)題mn[27?43≤:用用層層法法解解4中的4中的植植ii((0046462082082727LLP.x1x.xx2.xx3，0x?x?3x),22332(50(502+03x3)])]44s.)3))3)f)優(yōu)優(yōu)先先層層含含有有利利,求求先先對對作作統(tǒng)統(tǒng)一量量綱綱理理。+=利利潤潤標標,+/0=24糧糧食食產(chǎn)產(chǎn)量量標標數(shù)數(shù),可可得得1f(X=5x2-xx33333fX=xx2-x311設設該該農(nóng)農(nóng)戶戶認認兩兩個個標標12F1((X=f11((X0f(X=4x2求解線性可得最中m3xx由第一優(yōu)的最優(yōu)值構造第求解線性可得最中m3xx由第一優(yōu)的最優(yōu)值構造第先層的可行域上R0X規(guī)規(guī)劃劃[[FX)])]XXinin優(yōu)優(yōu)解解X1=0?00xx))T其其12≤≤333最最優(yōu)優(yōu)值值hFX=先先層層二二優(yōu)優(yōu)1=XR3xxxx3xx2233在在R'極小極小先先層層()((484844ff3=xx11+xx22+xx3得得解解XX2=(7(7TTXX2有有表表:利潤和和糧糧在中度度004他他應應選選擇擇.方:植方方種種植植方:植還還算算,潤=糧糧食食產(chǎn)產(chǎn)量量=量=470=470量=用用量量=)P、將將普普通通適適推推廣廣,用用解解層層權權和和)用用解解層層應應劃劃LL,,1L。（迭代方驗數(shù)滿足法同單（迭代方驗數(shù)滿足法同單檢驗數(shù)為行檢檢下下往往上上先先調調P行行,純純形形法法直直至至P行行檢檢最最優(yōu)優(yōu)性性要要求求,,1(驗驗數(shù)數(shù),,22下下行行數(shù)數(shù),“”放放。這這樣樣進進直直至至無無全全檢檢驗驗數(shù)數(shù)有有某某但但其其)例0:層層劃劃LLmin[PPx11?x22(?x2x2P3Px22x2x33)]t解引入松弛變量將問題轉化為標準形式解引入松弛變量將問題轉化為標準形式Lm,,x6,iin[n[Pxxxx))xx2xx))12,,P2P2,,3P3(x+xx)]2233t建初始單純2看行令檢驗數(shù)應的進基3為樞軸得下一張單純建初始單純2看行令檢驗數(shù)應的進基3為樞軸得下一張單純立立表表XXB123456xx44x]x664-1133P1調調整整?對對xxP1P,2,確確5x5,交交叉叉元元元進元進行單行單純純形形迭迭代代。形形表表1324樞軸1324樞軸單代張單純形表Xbxxxxxx66xxxx66P行行仍仍檢檢驗數(shù)數(shù)??1應應x,44,以其以其行行純純。。一一下下xxxx這時行已滿足最優(yōu)性要求開始調整行令單純形迭代到下XXBxxx2233446630199163121PPP,2,2對對3進x,其其交交叉叉元元1樞樞軸軸形形表表002x0030此時雖然行還有負檢