【高考數(shù)學(xué) 題型方法解密】專題07“四大妙法”剖析向量的秒殺體系 原卷及答案-高考數(shù)學(xué)常考點(diǎn) 重難點(diǎn)復(fù)習(xí)攻略（新高考專用）

專題07“UI大妙法”，剖析向量的秒殺體系

目錄

一重難點(diǎn)題型方法.........................................................2

＜妙法一:奔馳定理與四心問題〉.............................................2

題型一：奔馳定理.........................................................2

題型二：重心問題.........................................................4

題型三：內(nèi)心問題.........................................................5

題型四：外心問題.........................................................6

題型五：垂心問題.........................................................7

〈妙法二：極化恒等式》.....................................................8

題型六：極化恒等式的應(yīng)用.................................................8

〈妙法三：隱圓〉...........................................................9

題型七：定點(diǎn)定長(zhǎng)；定弦定角；對(duì)角互補(bǔ)；到兩定點(diǎn)數(shù)量積（平方和）定值.....9

題型八：阿波羅尼斯圓....................................................10

〈妙法四：等和線〉........................................................11

題型九：等和線的應(yīng)用....................................................11

二針對(duì)性鞏固練習(xí)........................................................13

重難點(diǎn)題型方法

＜妙法一：奔馳定理與四心問題〉

題型一：奔馳定理

【典例分析】

典例1-1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）“奔馳定理''是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論,

因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地

稱其為“奔馳定理奔馳定理：已知。是/3C內(nèi)的一點(diǎn)，-BOCJOC/O8的面積

分別為S&,Sc，則有&?。4+5屋。8+5（7.0。=0.設(shè)。是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，

ZR4CZ48CZ4CB分別是/BC的三個(gè)內(nèi)角，以下命題不正確的有（）

A.若OA+O8+OC=0,貝l」O為.人8c的重心

B.若OA+2O3+3OC=0,則SA：SB：SC=1：2:3

C.若向卜阿卜240B;期，2OA+3O8+4OC=（b則5枷《

D.若。為工8c的垂心，WOtanABACOA+tanZABC-OB+tan/ACB-OC=0

典例1-2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知。是.ABC內(nèi)的一點(diǎn)，BOC,

AOCf的面積分別為S八，SB，SC，則梟OA+S^08+5。OC=（）“奔馳定理”

是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的log。

很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.設(shè)。為三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：

s,

QA+2OB+30c=3AB+2BC+CA,則既儂=（）

ABC

A

D.

3

【方法技巧總結(jié)】

1.奔馳定理：SAOA-^SBO^+ScOC=則ZMOB、AAOC、ABOC的面積

之比等于4以：4

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?湖南常德?高一臨澧縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖.P為“8C內(nèi)任意一

點(diǎn)，角A民。的對(duì)邊分別為a,b,c,總有優(yōu)美等式S取?A+Sp"P8+S%/C=。成立，

因該圖形酯似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命題的有（）

A.若，是一A8C的重心，則有尸4+P8+PC=0

B.若〃P4+HN+cPC=（）成立，則P是.."C的內(nèi)心

C.若AP=g2AB+m1AC,則％8PsMc=2:5

D.若。是“8C的外心，A=：,PA=mPB+〃PC，則/〃+〃

2.（2023春?浙江嘉興?高一?？茧A段練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美

的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”（Mewedes尻〃z）的logo很相似，故形

象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知。是內(nèi)的一點(diǎn)，BOC,SOC,

的面積分別為另，S&,Sc,則SA04+SBO8+SCOC=6.若。是銳角拉C內(nèi)的一點(diǎn),

A,B,C是ABC的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)。滿足。4.0/3=（用。。=。4.0。.則（）

C.|。眼。喇。q=cosA:cos8:cosCD.tanAOA+tan4cM+tanCOC=0

題型二：重心問題

【典例分析】

典例2-1.（四川省達(dá)州市2023屆高三二模數(shù)學(xué)（理科））如圖，在A8C中，河=3,

=BABC=\S,平面A8C內(nèi)的點(diǎn)。、E在直線4B兩側(cè)，△A3。與q8CE都

4

是以8為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，?？凇?分別是△A8D、,8CE的重心.則。。廣

（）

A.V26B.3GC.5D.6

典例2-2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過點(diǎn)

G作直線分別與A8,AC兩邊交于M,N兩點(diǎn)，設(shè).x"=4M，yAC=AN則：

?I.V

的值為（）

A.3B.4C.5D.6

【方法技巧總結(jié)】

1.。是AA3c的重心：S^BOC:S^COA:SAA0S=1:1:1<=>OA-i-OB+OC=0.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022春?浙江?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在^ABC中，設(shè)AO=204，BE=2EC,CT=2尸A,

其中％eR.若/>■和4ABe的重心重合，則4=（）

A.gB.1C.-D.2

22

2.（2022春?四川攀枝花?高一攀枝花七中?？茧A段練習(xí)）已知的三個(gè)內(nèi)角分別

為A氏C,。為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

/\

OP=OA+A?磐+|八。，北（0,y）則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡一定經(jīng)過“BC的（）

^|i4B|sinB|.4C|sinC

A.重心B.垂心C.內(nèi)心D.外心

題型三：內(nèi)心問題

【典例分析】

典例3-1.（2003?江蘇?高考真題）。是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三

ARAC

個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+4月+器；，2日0,3），則尸的軌跡一定通過_A8C

（|人8|MC|；

的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

3

典例3-2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在△ABC中，cosA=-,。為AABC的內(nèi)心，

4

若AO=xA8+），AC（.%），eR）,則x+y的最大值為（）

A2R6—\/6r7—y/1n8-25/2

3567

【方法技巧總結(jié)】

a

1.。是△48c的內(nèi)心：S^D0C:^^COA'^^AOD='h:c<=>aOA+hOR+c.OC=0.

2.內(nèi)心在向量信+前所在的直線上：同小+忸斗改+何.尸8=0oP為

△43C的內(nèi)心.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）平面上有58C及其內(nèi)一點(diǎn)O,構(gòu)成如圖所示圖形，

若將QA3,AOBC,4矽的面積分別記作S。,Sb，則有關(guān)系式兒?函+Sy

OB-^-ScOC=0.因圖形和奔馳車的，意。很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理"已

知A8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若滿足內(nèi)。4+。。8+「。。=0,則

O為必的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

2.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知在“BC中，AB=HC=3,AC=4,設(shè)。是

的內(nèi)心，AO=mAB+nAC>貝1J—=(

16

~9

題型四：外心問題

【典例分析】

典例4-1.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知O是平面上的一定點(diǎn)，AB,C是平面上

/\

不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)「滿足。？=竺產(chǎn)+4?+二C八,4c口+⑼，

2（JA^COSB\AC\COSC）

則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡一定通過.AAC的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

典例42（2023?重慶?統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)。是“5c的外心，A3=6,BC=8,B卷,

若BO=xB4+.yBC,則3x+4），=（）

A.5B.6C.7D.8

【方法技巧總結(jié)】

1.。是△ABC的外心：

COA:S》OB=sin2A:sin2B:sin2C<=>sin2AoA+sin2BOB+sin2COC=0.

2.\PA\=\PB\=[PC\<=>P為24BC的外心.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，/5C中，A3=2,AC=3,N8AC=g,。為“3C

外心，且4O=〃?48+〃4C,則加+〃的值為（）

c

/O\

力Z--------、B

A.1B.[C.1D.

318918

2.（2023?北京?北京市八一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知。是乂8C的外心，外接圓半徑

為2,且滿足2Ao=A8+AC，若BA在8C上的投影向量為:近，則AO-8C=（）

4

A.-4B.-2C.0D.2

題型五：垂心問題

【典例分析】

典例5-1.（2020春?天津和平?高一耀華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)。為△ABC所在

平面內(nèi)一點(diǎn)，KOA+BC2=OB2+CA2=OC2+Alf?則。一定為△ABC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.垂心D.重心

典例5-2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)。是58C所在平面上一點(diǎn)，點(diǎn)，是的

垂心，滿足OA+O8+OC=O”，且+則角A的大小是（）

3乃e乃「n、兀

A-TB.彳c.-D.彳

【方法技巧總結(jié)】

1.。是△ABC的垂心：

Sgoc：S“OA:S&OB=tanA:tanB:tanC=tanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

=「為的垂心.

2.PAPB=PBPC=PCPA44867

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?重慶南岸?高一重慶市輔仁中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知O是平面上一定

ABAC

點(diǎn)，A、8、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)。滿足。P=OA+/l?

AB\COSHIACICOSC

則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過SBC的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

i9

2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知”為“8c的垂心，若A〃1/W+wAC,則

sinZBAC=（）

A.區(qū)B.叵C.亞D.?

5533

〈妙法二：極化恒等式〉

題型六：極化恒等式的應(yīng)用

【典例分析】

典例6-1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知正方形力8C。的邊長(zhǎng)為2,MN是它的外接

圓的一條弦，點(diǎn)，為正方形四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦“V的長(zhǎng)度最大時(shí)，PM-PN的取

值范圍是（）

A.[-L0]B.[0,&]C.[1,2]D.[-U]

典例6-2.（2023春?江蘇南京?高一?？计谥校┤鐖D所示，矩形4BCZ）的邊AA=2,4）=1,

以點(diǎn)C為圓心，為半徑的圓與C7）交于點(diǎn)E,若點(diǎn)P是圓弧幼（含端點(diǎn)8、E）上的

一點(diǎn)，則的取值范圍是（）

A.[0,V2-l]B.[l-V2,0]C.[0,2-2>/2]D.[2-2夜,()]

【方法技巧總結(jié)】

1.極化恒等式：i[（a+S）2-（a-S）2]

①平行四邊形模式：a力=；[|ACfTQ同廣

幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角

線'‘平方差的

4

②三角形模式：入〃=河2T網(wǎng)2（M為80的中點(diǎn)）

【變式訓(xùn)練】

1.（2021春?廣東東莞?高一東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校?？茧A段練習(xí)）半徑為2的圓

。上有三點(diǎn)A、8、C滿足OA+AB+AC=0，點(diǎn)P足圓內(nèi)一點(diǎn)，則尸4PO+PBPC的

取值范圍為（）

A.[-4J4）B.[0,4）C.[4,14]D.[4,16]

2.（2023?山東濰坊??？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，AABC是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，P

為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF是以B為圓心，3為半經(jīng)的圓的直徑，則。￡。戶的取值

范圍是（）

A

B.[32,58]C.[39,55]D.[42,60]

＜妙法三：隱圓）

題型七：定點(diǎn)定長(zhǎng)；定弦定角；對(duì)角互補(bǔ)；到兩定點(diǎn)數(shù)量積（平方和）

定值

【典例分析】

典例7-1.（2018秋?江西?高一統(tǒng)考期末）已知向量。/滿足k|=3叫=2,曰/1晨

若向量〃;滿足卜八中2,則帆的取值范圍是

A.[713-2,713+3]B.[713-2,713+2]

C.[2,713+3]D.[2,Vi3+2]

典例7-2.（2020春?四川成都?高三石室中學(xué)校考階段練習(xí)）已知單位向量入〃滿足

|2a-Z?|=2,若存在向量c,使得（。-24）.卜-0）=0,則卜|的取值范圍是（）

A.慘,豹]B.悸T圖C.悸一譯+l]D?

【方法技巧總結(jié)】

1.若問題中給出兩個(gè)運(yùn)動(dòng)著向量的夾角為定值，或者間接給出夾角為定值，或某兩

個(gè)向量的和（或差）的模為定值等條件，求有關(guān)向量?；驃A角的范圍等問題可以試

著通過尋找向量終點(diǎn)所在的“隱藏圓”來解決問題。通常需建立直角坐標(biāo)系，利用

軌跡法來求解方程。

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知單位向量〃與向量匕=（0,2）垂直，若向量°滿足

|a+〃+d=l,則同的取值范圍為（）

A.B.[券，"]C.[V5-1,V5+1]D.[亨』

2.（2020秋?浙江溫州?高三溫州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在等腰梯形A8CO中，

A4=2,CD=4,BC=。，點(diǎn)E,產(chǎn)分別為A。，8C的中點(diǎn).如果對(duì)于常數(shù)義，在等

腰梯形A8C。的四條邊上，有且只有8個(gè)不同的點(diǎn)P使得PEP尸=4成立，那么久的

取值范圍是（）

題型八：阿波羅尼斯圓

【典例分析】

典例8-1.（2022?全國(guó)?高一專題）在“8c中，BC=2,若AB=6AC,則朋的

取值范圍是（）

A.（6-4V2,6+4>/2）B.[6-4應(yīng),6+4忘]

C.（8-4&,8十4夜）D.[8-4衣,8+4&]

【方法技巧總結(jié)】

1.建立直角坐標(biāo)系，利用軌跡法來求解方程。

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知ABCQ是矩形，且滿足AB=3.8C=4.其所在平面

內(nèi)點(diǎn)M，N滿足：3BM=MC,BN=2NC,則人日癡的取值范圍是（）

A.B.1.40c.[田可D.[^0,40]

<妙法四：等和線）

題型九：等和線的應(yīng)用

【典例分析】

典例9-1.（2022春?浙江臺(tái)州?高二校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)P為.工8。的外接圓圓。上一

點(diǎn)（不與4、C重合），且線段的與邊8C相交于一點(diǎn)，若AP=x48+），AC,則x+y的

取值范圍為（）

A.弓,2B.（1,-KC）C.（2,+cc）D.—J

典例9-2.（2018春?安徽蕪湖?高一蕪湖一中?？茧A段練習(xí)）已知A,B,C是圓。上

的三點(diǎn)，CO的延長(zhǎng)線與線段3A的延長(zhǎng)線交于圓。外的點(diǎn)。，若OC=〃?O4+“O8,

則〃?+〃的取值范圍是（）

A.（0J）B.（1,甸C.S，-1）D.（-1,0）

【方法技巧總結(jié)】

1.平面內(nèi)一組基底0A08及任一向量OP,OP=2OA+若點(diǎn)夕在直線

上或者在平行于的直線上，貝IJ4+〃=A（定值），反之也成立，我們把直線

以及與直線AB平行的直線稱為等和線。

①當(dāng)?shù)群途€恰為直線相時(shí)，k=\;

②當(dāng)?shù)群途€在。點(diǎn)和直線A/M之間時(shí)，ke（OA）;

③當(dāng)直線AB在點(diǎn)。和等和線之間時(shí)，&￡（l,+oo）;

④當(dāng)?shù)群途€過。點(diǎn)時(shí)，k=0;

⑤若兩等和線關(guān)于。點(diǎn)對(duì)稱，則定值k互為相反數(shù);

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)。在半徑為2的相上運(yùn)動(dòng)，=?若

OC=m（）A+n（）I3f則〃的最大值為（）

273

A.1B.V2krx■-----D.5/3

3

__2__

2.（2021秋?江西?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在_"。中，點(diǎn)M是A8的中點(diǎn)，AN=-ACf

線段CM與BN交于點(diǎn)0,動(dòng)點(diǎn)/，在H9c內(nèi)部活動(dòng)（不含邊界），且AP=4A4+〃AN,

其中4、〃eR,則％+4的取值范圍是（）

針對(duì)性鞏練習(xí)

練習(xí)一：奔馳定理

1.（2022?高一單元測(cè)試）如圖，尸為，.ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，角ARC的對(duì)邊分別為“，仇c,

則總有優(yōu)美等式S△./A+SNkPB+SjMPCi）成立,此結(jié)論稱為三角形中的奔馳

定理.由此判斷以下命題中，正確的有（）

A.若，是一ABC的重心，則有尸4+P8+PC=0

B.若a.PA+6P8+c-PC=0,則P是-ABC的內(nèi)心

12

C.若4P=gA8+TC,則S詠：S%”S%8=2:2:1

D.若。是..ABC的外心，且A=（，則PA+sin/4PCP3+sine-/APc}pC=0

2.（2022春?江蘇淮安?高一金湖中學(xué)校聯(lián)考期中）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非

常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”矯車（Mercedesbenz）的心”很

相似，故形象地稱其為“奔馳定理''.奔馳定理：己知。是“18C內(nèi)的一點(diǎn)，質(zhì)?C、JOC、

的面積分別為臬、S八S一則S/OA+S8?O5+SLOC=0.若。是銳角一/BC內(nèi)

的一點(diǎn)，/BAC、/ABC、-AC8是.vABC的二個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)O滿足

OAOB=OBOC=OCOA，則（）

A

A.O為的垂心B./ACR=TT-/ACR

C.|同:|08Hoe卜sinN84C:sinZABC:sinZACB

D.tanZ.BACOA+tanZ.ABCOB+tanZ.ACBOC=0

練習(xí)二：重心問題

3.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知A,B,C是不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，。是平

面A8C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若"—O4=2（A3+g4C）,Ae[0,-Ko）,則點(diǎn)尸的軌跡一定過/BC

的（）

A.外心B.重心C.垂心D.內(nèi)心

4.（2022秋?江蘇南通?高二江蘇省如皋中學(xué)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，。是aABC的重

心,D是邊BC上一點(diǎn),且8。=3。。，OO=/M8+“AC,則'=（）

練習(xí)三：內(nèi)心問題

5.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）平面內(nèi)”8c及一點(diǎn)。滿足

AO-ABAO-ACCOCACOCB

百二W下廠可,則點(diǎn)。是"8C的（）

A.重心B.內(nèi)心C.外心D.垂心

6.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）等邊一相。的面積為96,且.."C的內(nèi)心為M,若平

面內(nèi)的點(diǎn)N滿足=則NA.N3的最小值為（）

A.-5-2x/3B.-5-4>/3C.-6-2石D.-6-4百

練習(xí)四：外心問題

7.（2022春?安徽蕪湖?高一蕪湖一中校考期中）如織，O為.工8C的外心，AB=4,

AC=2,N8AC為鈍角，M是邊BC的中點(diǎn)，則福.前=（）

2

8.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在/8C中,AB=^,ZAC4=45。。是,A8C的外心，則

AC3C+OCAB的最大值為（）

37

A.iB.C.3D.-

22

練習(xí)五：垂心問題

9.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知點(diǎn)。是內(nèi)的一點(diǎn)，若

BOC,.AOC,AOB的面積分別記為S應(yīng)凡,則5O/l+S??04+$3?OC=0.“奔馳定理”

是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo

很相似，故形象地稱其為“奔馳定理如圖，已知。是的垂心，且

OA+2O8+3OC=0，則cosC=()

一

D-T

10.（2022?全國(guó).高三專題練習(xí)）在中，。為邊BC上的一點(diǎn)，H為的垂

心，4小4。=2021,則（）

A.2019B.2020C.2021D.2022

練習(xí)六：極化恒等式的應(yīng)用

11.（2022?海南省直轄縣級(jí)單位.校聯(lián)考一模）圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，

象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的中國(guó)人所崇尚的圖騰.如圖，是圓。

的一條直徑，且|明=4.C,。是圓0上的任意兩點(diǎn)，|。。=2,點(diǎn)P在線段CO上,

則以PA的取值范圍是（）

C.[3,4]D.[1,2]

12.（2023春?福建福州,高一福建省福州格致中學(xué)?？计谥校┢叫兴墓π稳?C。中,

48=4,A￡>=2,ABAD=4>/2t點(diǎn)P在邊CD上,則P4PB的取值范圍是（）

A.[-1,8]B.[-1,4+72]C.[-2,4+4無]D.[-2,0]

練習(xí)七：定點(diǎn)定長(zhǎng)；定弦定角；對(duì)角互補(bǔ)；到兩定點(diǎn)數(shù)量積（平方和）

定值

13.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知向量〃為滿足,卜1,慟=2,a.b=o,若向

量c滿足k+2+1,則用的取值范圍是（）

>/3—1乖t+1

A.[1,75-1]B.

2'2

75+15

C.D.

2'5

14.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）己知〃了=、，,+〃|=2，向量：滿足｛〉?=（）,

則口的取值范圍是（）

■iQ-

A.[U]B.C.[1,3]D.[0,1]

練習(xí)八：阿波羅尼斯圓

15.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若ABC三點(diǎn)不共線，bB|=2,|。卜3|3，則c4cB

取值范圍是（）

A.件3）B.（*）C.停3）D.信,3）

練習(xí)九：等和線的應(yīng)用

16.（2020秋?山東?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）正三角形48c的內(nèi)切圓圓心為Q,點(diǎn)尸為

圓。上任意一點(diǎn).若QP=〃?QC+〃Q4,則〃?+〃的取值范圍（）

A.[-1,1]B.C.-岑岑D.[一夜,&]

17.（2017?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知Rt；.A8C中，44=3,AC=4,4C=5,/是"的內(nèi)

心，P是;./BC內(nèi)部（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，若AP=2AB+〃AC（4〃wR）,則義+〃的取

值范圍是（）

專題07“UI大妙法”，剖析向量的秒殺體系

目錄

一重難點(diǎn)題型方法.....................................................1

〈妙法一：奔馳定理與四心問題〉.............................................1

題型一：奔馳定理.........................................................1

題型二：重心問題.........................................................8

題型三：內(nèi)心問題........................................................12

題型四：外心問題........................................................15

題型五：垂心問題........................................................19

〈妙法二：極化恒等式》....................................................22

題型六：極化恒等式的應(yīng)用................................................22

〈妙法三：隱圓＞..........................................................26

題型七：定點(diǎn)定長(zhǎng)；定弦定角；對(duì)角互補(bǔ)；到兩定點(diǎn)數(shù)量積（平方和）定值....26

題型八：阿波羅尼斯圓....................................................31

〈妙法四：等和線〉........................................................33

題型九：等和線的應(yīng)用....................................................33

二針對(duì)性鞏固練習(xí)....................................................37

重難點(diǎn)題型方法

〈妙法一：奔馳定理與四心問題＞

題型一：奔馳定理

【典例分析】

典例1-1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論,

因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地

稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知。是.A6C內(nèi)的一點(diǎn)，一石0。,_4。。,/。5的面積

分別為工,5外S,，則有.之.。4+58。8+工。。=0.設(shè)。是銳角工BC內(nèi)的一點(diǎn)，

ZR4C,〃8C,4C8分別是A3C的三個(gè)內(nèi)角，以下命題不正確的有（）

A.若。A+O4+OC=0，則。為48c的重心

B.若OA+2OB+3OC=0,則臬：品：S（：=1:2:3

C.若|0A卜阿卜240B=票，204+308+400=0，則i祐

D.若。為aABC的垂心，則tanNB4CQ4+lanNABCO8+ianN4CBOC=（）

【答案】C

【分析】對(duì)于A,假設(shè)D為鉆的中點(diǎn)，連接0。，由己知得O在中線8上，同理可

得。在其它中線上，即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B,利用奔馳定理可直接得出B正確；對(duì)

于C,根據(jù)奔馳定理可得SA：SB：SC=2:3:4,再利用三角形面積公式可求得Sc=1,

o

即可計(jì)算出及的=；,可得C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D,由垂心的性質(zhì)、向量數(shù)量積的運(yùn)算律

OB-AC=OB>OC-OB?OA=0,得到國(guó)：倒：區(qū)卜cosABAC:cosZABC:cosZ.BCA,結(jié)

合三角形面積公式及角的互補(bǔ)關(guān)系得結(jié)論.

【詳解】對(duì)于A：如下圖所示,

假設(shè)。為AB的中點(diǎn)，連接。。，則04+08=200=00,故CO,。共線，即。在中線CO

上，

同理可得O在另外兩邊BC,4c的中線上，故。為的重心，即A正確；

對(duì)于B：

山奔馳定理O是一ABC內(nèi)的一點(diǎn)，-BOC,5OC,508的面積分別為名國(guó),Sc,

則有5?OA+S8-O8+ScOC=0可知，

若。4+203+300=0,可得L：SB：SC=1：2:3,即B正確；

對(duì)于C：

由|OAHO8|=2,4OB=2lE可知，Sc=-x2x2xsin—=1,

626

又20A+308+40C=0,所以臬：：S。=2:3:4

13

由7=1可得，5八=；,叢=全；

139

ABC=SA+SB+Sc=-+-+\=-t即C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：由四邊形內(nèi)加和可知，NBOC+NBAC=n,貝lj

OB-OC=|0用℃|cosZBOC=一卜)訓(xùn)。4cosNZMC,

同理，OB-OA=\o^O^cosZB()A=-\oB^O^cosZBCA,

因?yàn)椤锳BC的垂心，則O8?4C=OB?(OC-OA)=O4?OC-OA?OA=0,

所以|oc|cosN84c=|odcos/BC4,同理得cosZA8C=|oqcos/BCA,

|O/\|cosZA5C=|(?B|COSZBAC,

則|QA|:|OB|:|OC|=COSZMC:COSZABC:COSZBCA,

令04卜wcosNBAC,|o可=/ZZCOSZ4BC,|(?C|=mcosZ.BCA,

s5,4=-|OB||OC|sinZB0C,則

2

SA=-|(9B||0C|sinZBAC=^-cosZABCcosZBCAsinZBAC,

22

[2

同理：SB=：網(wǎng)0。卜in/A4C=gcosNR4CcosN4cAsin/ABC,

Sc=1|O/\||(?B|sinZBCA=^-cosZ^CcosZABCsinZBCA,

公LeersinZBACsinZABCsinZBCA_..__.

綜上，S.:Sf.:Sr=------------:-------------:-------------=tanZBAC:tanZABC:tanZBCA,

'Bccos44ccos48。cosZBCA

根據(jù)奔馳定理得lanN朋COA+lan/48C.OB+um/ACBOC=0,即D正確.

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量數(shù)量積定義、運(yùn)算律和垂心性質(zhì)得到向量模的比例,

結(jié)合三角形面積公式和奔馳定理判斷結(jié)論即可.

典例1-2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知。是."C內(nèi)的一點(diǎn)，B0C，

“0C,y07?的面積分別為梟，SR,SJ貝lJS,rOl+S8-OB+Sc-0C=0.“奔馳定理”

是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳''轎車的log。

很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.設(shè)。為三角形A8C內(nèi)一點(diǎn)，且滿足:

則19

OA+2OB+3OC=3AB+2BC+CA,()

S/SABC

【答案】D

【分析】直接根據(jù)向量的基本運(yùn)算得到3QA+O4+2OC=0,再結(jié)合“奔馳定理”即

可求解結(jié)論.

【詳解】解：為一角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，旦滿足Q4+2OK+3OC=3AB+2AC+G4，

OA+2013+3OC=3(OB-OA)+2(OC-OB)+(OA-OC)=>3OA+013+2OC=0,

SAOA+SHOB+SeOC=0.

.S&0B_SgQB________Sc_2

S'AABCS“OB+S^g0c+S'.*0cSA+SH+Sc3

故選：D.

【方法技巧總結(jié)】

1.奔馳定理：SAOA-^SBOB+ScOC=Of則ZMOB、AAOC、△8OC的面積

之比等于

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?湖南常德?高一臨澧縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖.P為必〃。內(nèi)任意一

點(diǎn)，角4BC的對(duì)邊分別為,總有優(yōu)美等式sPRCPA+Sp?PB+S外/。=0成立，

因該圖形酯似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命題的有（）

A

A.若。是一ABC的重心，則有0A+尸8+PC=0

R.若a/M+8PA+c/C=0成立，貝UP是"M的內(nèi)心

21一

C.^AP=-AB+-ACt則S-：&t=2：5

JJ

D.若尸是..ABC的外心，A=(,PA=mPB+nPC則，〃+〃￡1-a,I)

【答案】AB

【分析】對(duì)于A：利用重心的性質(zhì)5△詠=S△咖=Sjw代入

SPliCPA+SPACPB+S巧wPC=O即可；

對(duì)于B：利用三角形的面積公式結(jié)合S詠尸A+S詠PB+S尸A/C=O與

aQ4+AP8+cPC=0可知點(diǎn)P至IJ48、BC、C4的距離相等.

對(duì)于C：利用A3、AC將PA、P8、PC表示出來，代入S/cPA+S尸ACP8+S.PC=0，化

簡(jiǎn)即可表示出S.PBC、SAPAC、的關(guān)系式,用$皿將5^ABP、S^ABC表示出來即可得

處其比值.

對(duì)于D：利用三角形的圓心角為圓周角的兩倍，再將PA=〃?P8+〃PC兩邊平方，化

簡(jiǎn)可得〃/+〃2=i,結(jié)合，爪〃的取值范圍可得出答案.

【詳解】對(duì)于A：如圖所示：因?yàn)椤?、E、產(chǎn)分別為CA、AB、3C的中點(diǎn)，

1?1

=

所以CP=2PE,SAEC~^ARC^APC=鼻S八EC=鼻SABC,

同理可得S”8=§S48C、SBPC=)SABC，

所以pBC-S△PACpAB,

又因?yàn)镾PK,PA+SPACPB+SPABPC=0,

所以以+歸年=6.正確；

對(duì)于B：記點(diǎn)P到AB、BC、C4的距離分別為九、F%，

SAPBC_3a,S△PAC=3,%,S&PAB,

因?yàn)?pxBA+Sp?PB+SPARPC=O,

則ga也PA+JaaPB+gc/RPCnO,

即a%PA+b%PB+c也PC=O,

又因?yàn)閍PA+bP8+cPC=O,所以4成成，所以點(diǎn)P是ABC的內(nèi)心，正確;

2rl.

對(duì)于C：因?yàn)锳P=-48+-AC,

55

213I

所以2人=一+八^l^PB=PA+AB=-AB--AC,

5555

一2一4

所以PC=%+AC=-=/lB+-/4C,

55

所以s\-^AB-AC+S尸AC［1AB-14C)+S^~AB+^AC

PBCPAB=0,

(732(\-

化簡(jiǎn)得：［--SPBC^S..AC--S?AffAB+——SAC=0,

I5

又因?yàn)槿岁?duì)AC不共線,

十%一］s=0

PBCPACPAB

5SPBC=2SPA3

所以4，所以，Q二，Q

--5+《s=0"人。一44PA3

PBC5PACPAB

Vqi

所以盧~―一二，錯(cuò)誤；

對(duì)于D：因?yàn)槭?ABC的外心，A七，所以㈤C=,網(wǎng)=|網(wǎng)=同

所以P3?PC=|PB|x|pc|xcos/BPC=0,

因?yàn)镻人=〃田8InPC,則網(wǎng),一,〃2081+2〃〃?尸"PC"/阿卜

化簡(jiǎn)得：>+/=],由題意知孫〃同時(shí)為負(fù)，

[〃7=cosa371]^/z.(

尼〈，n<a<一,n貝liUm+〃=cosa+sina=，2sina+—,

n=sina2k4J

因?yàn)?<a+巴〈X,所以—i〈sin(a+二]v—交，

444I4j2

/\

所以-2K&sina+—<-l,

k4，

所以m+[-&,-1),錯(cuò)誤.

故答案為：AB.

2.(2023春?浙江嘉興?高一校考階段練習(xí))“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美

的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳"(M"C"/e.s7?e〃z)的log。很相似，故形

象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：己知。是以”內(nèi)的一點(diǎn)，BOC,_AOC,MOB

的面積分別為最，SB,Sc,則SAOA+SR-OB+SC?0。=0.若。是銳角.."C內(nèi)的一點(diǎn)，

A,B,C是/BC的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)。滿足O4O6=CMOC=OAOC.則()

A.O為以次？的外心

B.NBOC+A=TT

c.|o/l|::|oc|=cosX:cos13:cosC

D.tanA-OA+tanB-OB-tanCOC=0

【答案】BCD

【分析】山根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可得甌G4=OoO"J_G4,可.得O為A5C的垂心；結(jié)

合NOBC+C+NOC8+B=5與三角形內(nèi)角和等于乃可證明B選項(xiàng)；結(jié)合B選項(xiàng)結(jié)論證

明8SA:COSB=QVO"即可證明C選項(xiàng)，利用奔馳定理證明品況=34：38可證明D

選項(xiàng).

【詳解】解：S^JOAOB=OB-OC^OB(OA-OC)=OoOB-CA=0^>OB1CA,

同理OAJLC8,OC±ABf故。為/BC的垂心，故A錯(cuò)誤；

4OBC+C=￡,/OCB+B=+,所以NOBC+C+NOC8+3=%,

乂NOBC+NOCB+/BOC=尸,所以N8OC=C+A,

又A+B+C=;r,所以/BOC+A=;r,故B正確；

故A=〃-N6OC,同理8=4一4"，

延長(zhǎng)CO交4B與點(diǎn)P,則

OPOP

cosA:cos=cos(乃-ZBOC):8sg-ZAOC)=cos/BOP:cosZAOP=—:—=OA:013,

同理可得8SA：COSC=04:OC,所以COSA:COS3:COSC=OVQ3:OC,故C正確：

S/S"=goC.BP):(.^OC-AP)=BP:AP=OPtanZPOB:OPlanZAOP

=lanZ.BOC:lanZAOC=tan(^-A):tan(乃-8)=tanA:tanB,

同理可得SA：Sc=tanA:tanC,所以SA:SH:SC=tanA:tanB:tanC,

又邑0+58。5+51久=0,所以tanAQ4+tan8Q8+tanCOC=0,故D正確.

故選：BCD.

題型二：重心問題

【典例分析】

典例2-1.（四川省達(dá)州市2023屆高三二模數(shù)學(xué)（理科））如圖，在乂8C中，AB=3,

=848C=18,平面ABC內(nèi)的點(diǎn)。、E在直線4B兩側(cè)，△430與&8CE都

4

是以8為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，0八Q分別是△48。、“CE的重心.則。。2=

()

A.V26B.36C.5D.6

【答案】A

【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義可求得A3,求出BO-BO?、N0或利用余

弦定理可求得OG的長(zhǎng).

【詳解】由平面向量數(shù)量積的定義可得朋解得

|?c|=6>/2,

延長(zhǎng)3a交A。于點(diǎn)G,延長(zhǎng)8。2交CE于點(diǎn)〃，則G、，分別為A。、CE的中點(diǎn)，

因?yàn)椤?8￡>、8CE均是以點(diǎn)8為百角頂點(diǎn)的等腰百角?:角形.FlAB=3,RC=6五、

所以，AD=>/2AB=35/2，CE=yp2BC=12>則BG——AD=——，BH=—CE=6,

222

因?yàn)閍、Q分別是△48。、&8C石的重心，

則8a=|86=’乎=夜，BO2=-|fiH=4,

又因?yàn)?BG=4NA5O=4,同理可得NCBH=烏，

244

所以，ZO,