湖北省鄂州市部分高中教科研協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年湖北省鄂州市部分高中教科研協(xié)作體高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷及解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）已知直線l經(jīng)過點，（﹣2，0），則直線l的傾斜角為（）A． B． C． D．2．（5分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若＝，＝，＝，點P為A1C1與B1D1的交點，則＝（）A．++ B．+﹣ C．﹣+ D．+﹣3．（5分）若點P（1，1）在圓C：x2+y2﹣x﹣2y﹣k＝0的外部，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1） B． C． D．4．（5分）“五道方”是一種民間棋類游戲，甲，乙兩人進行“五道方”比賽，約定連勝兩場者贏得比賽．若每場比賽，甲勝的概率為，乙勝的概率為，則比賽6場后甲贏得比賽的概率為（）A． B． C． D．5．（5分）直線ax+y﹣a＝0（a∈R）與圓（x﹣2）2+y2＝4的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定6．（5分）已知直線l1：2x﹣y+1＝0，l2：3x+ay+7＝0，l3：bx+2y﹣1＝0，若l1⊥l2且l2∥l3，則a+b的值為（）A．﹣5 B．5 C．﹣7 D．77．（5分）在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2+y2﹣4y+3＝0，若直線y＝kx﹣1上存在點P，使以P點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．8．（5分）如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD＝SA＝SD＝2AB＝2，P為棱AD的中點，且SP⊥AB，，若點M到平面SBC的距離為，則實數(shù)λ的值為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）設(shè)M，N是兩個隨機事件，若P（M）＝，P（N）＝，則下列結(jié)論正確的是（）A．若N?M，則P（M∪N）＝ B．若M∩N＝?，則P（M+N）＝0 C．若P（M∩N）＝，則M，N相互獨立 D．若M，N相互獨立，則（多選）10．（6分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，，則（）A．若x+y＝1，則點P的軌跡為線段AD1 B．若，則點P的軌跡為連接棱AD的中點和棱A1D1中點的線段 C．若x＝y(tǒng)，則三棱錐P﹣A1BC1的體積為定值 D．若，則BP與平面ABCD所成角的余弦值的最大值為（多選）11．（6分）若點P的坐標是（a，b），圓M：x2+y2+2x﹣4y+3＝0關(guān)于直線2ax+by+6＝0對稱，Q（m，n）是圓M上的動點，則下列說法正確的是（）A．點P在直線x﹣y﹣3＝0上 B．2m+n的取值范圍是 C．以PM為直徑的圓過定點R（2，﹣1） D．若直線PA與圓M切于點A，則|PA|＞4三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知向量＝（1，m，﹣1），＝（n，2，﹣2），若∥，則m﹣n＝．13．（5分）若圓C：x2+y2＝r2（r＞0）與曲線y＝|x|﹣2有兩個公共點，則r的取值范圍為．14．（5分）先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，記向上的一面點數(shù)分別為a，b，則函數(shù)f（x）＝x3a﹣2b是定義域為R的偶函數(shù)的概率為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）直線l1：x+2y﹣11＝0與直線l2：2x+y﹣10＝0相交于點P，直線l經(jīng)過點P．（1）若直線l⊥l2，求直線l的方程；（2）若直線l在坐標軸上的截距相等，求直線l的方程．16．（15分）已知圓C：x2+y2﹣4x+2y﹣5＝0和點M（1，﹣5）．（1）過點M作一條直線與圓C交于A，B兩點，且|AB|＝6，求直線AB的方程；（2）過點M作圓C的兩條切線，切點分別為E，F(xiàn)，求EF所在的直線方程．17．（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝AD＝PD＝CD＝1，PA＝，PC＝，點Q為棱PC上一點．（1）證明：PA⊥CD；（2）當(dāng)二面角P﹣BD﹣Q的余弦值為時，求．18．（17分）有4名同學(xué)下課后一起來到圖書館看書，到圖書館以后把書包放到了一起，后來停電了，大家隨機拿起了一個書包離開圖書館，分別計算下列事件的概率．（1）恰有兩名同學(xué)拿對了書包；（2）至少有兩名同學(xué)拿對了書包；（3）書包都拿錯了．19．（17分）球面幾何在研究球體定位等問題有重要的基礎(chǔ)作用．球面上的線是彎曲的，不存在直線，連接球面上任意兩點有無數(shù)條曲線，它們長短不一，其中這兩點在球面上的最短路徑的長度稱為兩點間的球面距離．球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門學(xué)科．如圖1，球O的半徑為R，A，B，C為球面上三點，曲面ABC（陰影部分）叫做球面三角形．若設(shè)二面角C﹣OA﹣B，A﹣OB﹣C，B﹣OC﹣A分別為α，β，γ，則球面三角形ABC的面積為．（1）若平面OAB，平面OAC，平面OBC兩兩垂直，求球面三角形ABC的面積；（2）將圖1中四面體OABC截出得到圖2，若平面三角形ABC為直角三角形，AC⊥BC，設(shè)∠AOC＝θ1，∠BOC＝θ2，∠AOB＝θ3．①證明：cosθ1+cosθ2﹣cosθ3＝1；②延長AO與球O交于點D，連接BD，CD，若直線DA，DC與平面ABC所成的角分別為，，且，λ∈（0，1]，S為AC的中點，T為BC的中點，設(shè)平面OBC與平面EST的夾角為θ，求sinθ的最小值．

2024-2025學(xué)年湖北省鄂州市部分高中教科研協(xié)作體高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）已知直線l經(jīng)過點，（﹣2，0），則直線l的傾斜角為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線l的傾斜角為θ，先求出直線的斜率，結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)直線l的傾斜角為θ，直線l經(jīng)過點，（﹣2，0），則直線l的斜率k＝＝，則有tanθ＝k＝，而0≤θ＜π，則有θ＝．故選：A．2．（5分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若＝，＝，＝，點P為A1C1與B1D1的交點，則＝（）A．++ B．+﹣ C．﹣+ D．+﹣【答案】C【分析】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，各面均為平行四邊形，由此找出共線的向量，再線性計算即可．【解答】解：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，＝＝，＝＝，＝＝＝，∵P是A1C1與B1D1的交點，在平行四邊形A1B1C1D1中，P為A1C1與B1D1的中點，∴＝+＝+＝+（+）＝﹣+．故選：C．3．（5分）若點P（1，1）在圓C：x2+y2﹣x﹣2y﹣k＝0的外部，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1） B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)點在圓外以及圓滿足的條件列出對應(yīng)的不等式組，即可求解結(jié)論．【解答】解：由點P（1，1）在圓C：x2+y2﹣x﹣2y﹣k＝0的外部，可得，解得．故選：B．4．（5分）“五道方”是一種民間棋類游戲，甲，乙兩人進行“五道方”比賽，約定連勝兩場者贏得比賽．若每場比賽，甲勝的概率為，乙勝的概率為，則比賽6場后甲贏得比賽的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用獨立事件的概率乘法公式求解．【解答】解：因為約定連勝兩場者贏得比賽，所以比賽6場后甲贏得比賽的情況為：第一場甲勝，第二場乙勝，第三場甲勝，第四場乙勝，第五場甲勝，第六場甲勝，所以所求概率為＝．故選：C．5．（5分）直線ax+y﹣a＝0（a∈R）與圓（x﹣2）2+y2＝4的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定【答案】B【分析】直線ax+y﹣a＝0恒過定點（1，0），判斷出點在圓的內(nèi)部，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系．【解答】解：直線ax+y﹣a＝0恒過定點（1，0），因為（1﹣2）2+02＜4，所以點（1，0）在圓（x﹣2）2+y2＝4的內(nèi)部，所以直線ax+y﹣a＝0與圓（x﹣2）2+y2＝4相交．故選：B．6．（5分）已知直線l1：2x﹣y+1＝0，l2：3x+ay+7＝0，l3：bx+2y﹣1＝0，若l1⊥l2且l2∥l3，則a+b的值為（）A．﹣5 B．5 C．﹣7 D．7【答案】D【分析】根據(jù)題意，由直線平行、垂直的判斷方法求出a、b的值，進而計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，直線l1：2x﹣y+1＝0，l2：3x+ay+7＝0，l3：bx+2y﹣1＝0，若l1⊥l2，則有2×3+（﹣1）×a＝0，解可得a＝6，則l2：3x+6y+7＝0若l2∥l3，則有3×2＝6×b，解可得b＝1，故a+b＝7．故選：D．7．（5分）在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2+y2﹣4y+3＝0，若直線y＝kx﹣1上存在點P，使以P點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圓與圓的位置關(guān)系，結(jié)合點到直線的距離公式求解．【解答】解：圓C的方程化為標準方程為x2+（y﹣2）2＝1，所以圓C是以（0，2）為圓心，1為半徑的圓，又直線y＝kx﹣1上存在點P，使以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，所以只需圓C'：x2+（y﹣2）2＝4與直線y＝kx﹣1有公共點即可，由，解得或．故選：B．8．（5分）如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD＝SA＝SD＝2AB＝2，P為棱AD的中點，且SP⊥AB，，若點M到平面SBC的距離為，則實數(shù)λ的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明SP⊥平面ABCD，以點P為原點，，的方向分別為x，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，利用點到面的距離可求解．【解答】解：由題意得：因為SA＝SD，P為AD中點，所以SP⊥AD，又SP⊥AB，AB與AD交于點A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以SP⊥平面ABCD，以點P為原點，，的方向分別為x，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，則P（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），S（0，0，），故＝（0，﹣1，0），＝（﹣1，0，），所以＝λ＝（﹣λ，0，λ），（0≤λ≤1），所以＝+＝（﹣λ，﹣1，），又＝（1，1，﹣），＝（2，0，0），設(shè)平面SBC的法向量＝（x，y，z），則，令z＝1，則x＝0，y＝，所以＝（0，，1），點M到平面SBC的距離為d＝＝＝，解得或（舍去）．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）設(shè)M，N是兩個隨機事件，若P（M）＝，P（N）＝，則下列結(jié)論正確的是（）A．若N?M，則P（M∪N）＝ B．若M∩N＝?，則P（M+N）＝0 C．若P（M∩N）＝，則M，N相互獨立 D．若M，N相互獨立，則【答案】ACD【分析】由N?M可得，可得A正確；由互斥事件的概率和可得B錯誤；由獨立事件的概率之積可得C正確；由對立事件和獨立事件的概率和可得D錯誤．【解答】解：對于A，若N?M，則，故A正確；對于B，若M∩N＝?，則M，N事件互斥，所以，故B錯誤；對于C，因為，，所以，則M，N相互獨立，故C正確；對于D，若M，N相互獨立，則，相互獨立，且，，所以P（）＝P（）+P（）﹣P（）＝＝，故D正確．故選：ACD．（多選）10．（6分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，，則（）A．若x+y＝1，則點P的軌跡為線段AD1 B．若，則點P的軌跡為連接棱AD的中點和棱A1D1中點的線段 C．若x＝y(tǒng)，則三棱錐P﹣A1BC1的體積為定值 D．若，則BP與平面ABCD所成角的余弦值的最大值為【答案】BC【分析】以點A為坐標原點，AB、AD、AA1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，求出點P的坐標，可判斷AB選項；利用空間向量法可判斷CD選項．【解答】解：以點A為坐標原點，AB、AD、AA1所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則A（0，0，0）、B（2，0，0）、C（2，2，0）、D（0，2，0）、A1（0，0，2）、B1（2，0，2）、C1（2，2，2）、D1（0，2，2），因為＝x+y＝x（0，2，0）+y（0，0，2）＝（0，2x，2y）（x，y∈[0，1]），對于A選項，當(dāng)x+y＝1時，則點P的軌跡為線段A1D，A錯；對于B選項，若，即點P（0，1，2y），此時，點P的軌跡為連接棱AD的中點和棱A1D1中點的線段，B對；對于C選項，若x＝y(tǒng)，即點P（0，2x，2x），其中0≤x≤1，，＝（2，2，0），設(shè)平面A1BC1的法向量為，則，取x1＝1，可得＝（1，﹣1，1），＝（﹣2，2x，2x），則點P到平面A1BC1的距離為，因為△A1BC1的面積為定值，故三棱錐P﹣A1BC1的體積為定值，C對；對于D選項，若，則，其中0≤x≤1，易知平面ABCD的一個法向量為＝（0，0，1），設(shè)直線BP與平面ABCD所成的角為θ，，當(dāng)x＝1時，sinθ取最小值，此時cosθ取最大值，且sinθ＝，則cosθ＝＝，因此，當(dāng)時，則BP與平面ABCD所成角的余弦值的最大值為，D錯誤．故選：BC．（多選）11．（6分）若點P的坐標是（a，b），圓M：x2+y2+2x﹣4y+3＝0關(guān)于直線2ax+by+6＝0對稱，Q（m，n）是圓M上的動點，則下列說法正確的是（）A．點P在直線x﹣y﹣3＝0上 B．2m+n的取值范圍是 C．以PM為直徑的圓過定點R（2，﹣1） D．若直線PA與圓M切于點A，則|PA|＞4【答案】AC【分析】首先將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，依題意圓心在直線2ax+by+6＝0上，即可求出點P的軌跡方程，從而判斷A；令2m+n＝t，利用圓心到直線的距離不小于半徑求出t的取值范圍，即可判斷B；判斷kMR＝﹣1，且點P、R都在直線x﹣y﹣3＝0上，即可判斷C；求出|PM|min，即可求出|PA|min，即可判斷D．【解答】解：圓M：x2+y2+2x﹣4y+3＝0即（x+1）2+（y﹣2）2＝2，則圓心M（﹣1，2），半徑，由題意可知，圓心M（﹣1，2）在直線2ax+by+6＝0上，所以﹣2a+2b+6＝0，即a﹣b﹣3＝0，所以點P（a，b）在直線x﹣y﹣3＝0上，故A正確；令2m+n＝t，因為Q（m，n）是圓M上的動點，所以，解得，所以2m+n的取值范圍是，故B錯誤；因為，且點R（2，﹣1）的坐標滿足方程x﹣y﹣3＝0，即點P、R都在直線x﹣y﹣3＝0上，當(dāng)P、R不重合時，kPR＝1，所以kPR?kMR＝﹣1，則以PM為直徑的圓過定點R（2，﹣1），當(dāng)P、R重合時，也滿足題意，故以PM為直徑的圓過定點R（2，﹣1），故C正確；圓M：x2+y2+2x﹣4y+3＝0即（x+1）2+（y﹣2）2＝2，半徑，則|AM|＝2，由直線PA與圓M相切，所以，所以要使|PA|取最小，只要|PM|最小，又|PM|的最小值就是點M到直線x﹣y﹣3＝0的距離，所以，即|PA|≥4，故D錯誤．故選：AC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知向量＝（1，m，﹣1），＝（n，2，﹣2），若∥，則m﹣n＝﹣1．【答案】﹣1．【分析】直接利用向量坐標運算求出結(jié)果．【解答】解：向量＝（1，m，﹣1），＝（n，2，﹣2），若∥，故，故n＝2，m＝1．故m﹣n＝﹣1．故答案為：﹣1．13．（5分）若圓C：x2+y2＝r2（r＞0）與曲線y＝|x|﹣2有兩個公共點，則r的取值范圍為．【答案】．【分析】根據(jù)圓的標準方程、曲線y＝|x|﹣2的對稱性，可知射線y＝x﹣2（x≥0）與圓C：x2+y2＝r2（r＞0）只有一個公共點，然后分相切與相交兩種情況加以計算，即可得到本題的答案．【解答】解：根據(jù)題意，圓C：x2+y2＝r2（r＞0）的圓心為O（0，0），關(guān)于y軸對稱，因為曲線y＝|x|﹣2的圖象也關(guān)于y軸對稱，所以射線y＝x﹣2（x≥0）與圓C：x2+y2＝r2（r＞0）只有一個公共點．①當(dāng)y＝x﹣2（x≥0）與圓C：x2+y2＝r2（r＞0）相切時，可知；②當(dāng)y＝x﹣2（x≥0）與圓C：x2+y2＝r2（r＞0）相交時（只有一個交點），可知r＞2．綜上所述，半徑r的取值范圍為．故答案為：．14．（5分）先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，記向上的一面點數(shù)分別為a，b，則函數(shù)f（x）＝x3a﹣2b是定義域為R的偶函數(shù)的概率為．【答案】．【分析】根據(jù)題意，由分步計數(shù)原理分析（a，b）的可能情況，由冪函數(shù)的性質(zhì)分析滿足“函數(shù)f（x）＝x3a﹣2b是定義域為R的偶函數(shù)”的（a，b）的數(shù)目，由古典概型公式計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，記向上的一面點數(shù)分別為a，b，則a、b都有6種情況，故（a，b）的可能情況有6×6＝36種，若函數(shù)f（x）＝x3a﹣2b是定義域為R的偶函數(shù)，則3a﹣2b為正偶數(shù)，則符合題意的（a，b）有（2，1），（2，2），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共13種情況，故要求概率P＝．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）直線l1：x+2y﹣11＝0與直線l2：2x+y﹣10＝0相交于點P，直線l經(jīng)過點P．（1）若直線l⊥l2，求直線l的方程；（2）若直線l在坐標軸上的截距相等，求直線l的方程．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）聯(lián)立，解得交點P，根據(jù)l⊥l2，不妨設(shè)直線l的方程為x﹣2y+λ＝0，將點P坐標代入上述方程解得λ，即可得出直線l的方程．（2）分類討論：當(dāng)直線l經(jīng)過坐標原點時，直接得出直線l的方程；當(dāng)直線l不經(jīng)過坐標原點時，設(shè)直線l的方程為，將點P（3，4）代入解得a，即可得出直線l的方程．【解答】解：（1）聯(lián)立，解得，即P（3，4）．∵l⊥l2，不妨設(shè)直線l的方程為x﹣2y+λ＝0，將點P（3，4）代入x﹣2y+λ＝0，得λ＝5，∴直線l的方程為x﹣2y+5＝0．（2）當(dāng)直線l經(jīng)過坐標原點時，直線l的方程是，即4x﹣3y＝0；當(dāng)直線l不經(jīng)過坐標原點時，設(shè)直線l的方程為，將點P（3，4）代入，得a＝7，∴直線l的方程為，即x+y﹣7＝0．綜上所述，直線l的方程是4x﹣3y＝0或x+y﹣7＝0．16．（15分）已知圓C：x2+y2﹣4x+2y﹣5＝0和點M（1，﹣5）．（1）過點M作一條直線與圓C交于A，B兩點，且|AB|＝6，求直線AB的方程；（2）過點M作圓C的兩條切線，切點分別為E，F(xiàn)，求EF所在的直線方程．【答案】（1）x＝1或15x﹣8y﹣55＝0；（2）x+4y+12＝0．【分析】（1）計算出圓心C到直線AB的距離，對直線AB的斜率是否存在進行分類討論，在直線AB的斜率不存在時，直接檢驗即可；在直線AB的斜率存在時，設(shè)出直線AB的方程，利用點到直線的距離公式求出參數(shù)值，綜合可得出直線AB的方程；（2）求出以點M為圓心，半徑為|ME|的圓的方程，將該圓方程與圓C的方程作差，即可得出直線EF的方程．【解答】解：（1）圓C的標準方程為（x﹣2）2+（y+1）2＝10，圓心為C（2，﹣1），半徑為，所以圓心C到直線AB的距離為，當(dāng)直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x＝1，此時圓心C到直線AB的距離為|2﹣1|＝1，符合題意；當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y+5＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣5＝0，由題意可得，解得，此時直線AB的方程為，即15x﹣8y﹣55＝0，綜上所述，直線AB的方程為x＝1或15x﹣8y﹣55＝0；（2）因為，則，所以以點M為圓心，|ME|為半徑為圓的方程為（x﹣1）2+（y+5）2＝7，聯(lián)立，兩式相減整理可得：x+4y+12＝0，即EF所在的直線方程為x+4y+12＝0．17．（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝AD＝PD＝CD＝1，PA＝，PC＝，點Q為棱PC上一點．（1）證明：PA⊥CD；（2）當(dāng)二面角P﹣BD﹣Q的余弦值為時，求．【答案】（1）證明見解答；（2）．【分析】（1）先證CD⊥平面PAD，再利用線面垂直的性質(zhì)定理即可得證；（2）建立空間直角坐標系D﹣xyz，分別求出平面BDQ和平面BDP的一個法向量，利用向量法求解即可．【解答】解：（1）證明：因為，所以PD2+CD2＝PC2，所以CD⊥PD，又CD⊥AD，且AD∩PD＝D，AD，PD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又PA?平面PAD，所以PA⊥CD．（2）因為，所以AD2+PD2＝PA2，則PD⊥AD，由（1）可知PD，AD，DC兩兩垂直，以D為原點，以DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系D﹣xyz，則D（0，0，0），B（1，1，0），P（0，0，1），C（0，2，0），由，設(shè)，則，設(shè)平面BDQ的一個法向量，則，則，即，令y1＝1﹣λ，解得x1＝λ﹣1，z1＝﹣2λ，故，設(shè)平面BDP的一個法向量為，則，則，得，令y2＝﹣1，解得x2＝1，z2＝0，故，所以，即，整理，得8λ2+2λ﹣1＝0，解得或（舍去），故．18．（17分）有4名同學(xué)下課后一起來到圖書館看書，到圖書館以后把書包放到了一起，后來停電了，大家隨機拿起了一個書包離開圖書館，分別計算下列事件的概率．（1）恰有兩名同學(xué)拿對了書包；（2）至少有兩名同學(xué)拿對了書包；（3）書包都拿錯了．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)題意列出全部事件，再從中找出恰有兩名同學(xué)拿對了書包的基本事件即可；（2）根據(jù)題意列出全部事件，再從中找出至少有兩名同學(xué)拿對了書包的基本事件即可；（3）根據(jù)題意列出全部事件，再從中找出書包都拿錯了的基本事件即可．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)四名同學(xué)的書包為A，B，C，D，則全部基本事件有：（A，B，C，D），（A，B，D，C），（A，C，B，D），（A，C，D，B），（A，D，B，C），（A，D，C，B），（B，A，C，D），（B，A，D，C），（B，C，A，D），（B，C，D，A），（B，D，A，C），（B，D，C，A），（C，A，B，D），（C，A，D，B），（C，B，A，D），（C，B，D，A），（C，D，A，B），（C，D，B，A），（D，A，B，C），（D，A，C，B），（D，B，A，C），（D，B，C，A），（D，C，A，B），（D，C，B，A），共24種，（1）其中恰有兩名同學(xué)拿對了書包有6種，則恰有兩名同學(xué)拿對了書包的概率為；（2）至少有兩名同