安徽省合肥市普通高中六校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期期中聯(lián)考試題 數(shù)學(xué) 含解析

合肥市普通高中六校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中聯(lián)考高三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）命題學(xué)校：合肥三中命題教師：蔡開(kāi)根審題教師：孟凡慧一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知：，：，若是必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.2,+∞ C. D.?∞,12.已知集合，，則（）A B. C. D.3.已知，則（）A. B. C. D.4.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)有（）A. B.C. D.5.已知，則（）A. B. C. D.6.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)與的圖象如圖所示，則函數(shù)（）A.在區(qū)間上是減函數(shù) B.在區(qū)間上是減函數(shù)C.在區(qū)間上是減函數(shù) D.在區(qū)間上是減函數(shù)8.定義：如果函數(shù)在區(qū)間上存在，滿足，，則稱函數(shù)是在區(qū)間上的一個(gè)雙中值函數(shù)，已知函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.9.已知奇函數(shù)定義域?yàn)?，若，則（）A. B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C. D.的一個(gè)周期為10.函數(shù)滿足，則正確的是（）A. B.C D.11.已知，則（）A.的最小值為 B.的最大值為C.的最小值為 D.的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)對(duì)任意滿足，則______.13.若函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是______.14.已知點(diǎn)A是函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，則的最小值為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）求最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）若函數(shù)在存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．16.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，.17.在銳角中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知．（1）求角B的值；（2）若，求的周長(zhǎng)的取值范圍．18.已知函數(shù)，.（1）若，求的極值；（2）設(shè)函數(shù)在處的切線方程為，若函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)，求的值；（3）函數(shù)的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線重合，若存在則求出的取值范圍，若不存在則說(shuō)明理由.19.在平面直角坐標(biāo)系中，利用公式①（其中，，，為常數(shù)），將點(diǎn)Px,y變換為點(diǎn)的坐標(biāo)，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標(biāo)變換公式，該變換公式①可由，，，組成的正方形數(shù)表唯一確定，我們將稱為二階矩陣，矩陣通常用大寫(xiě)英文字母，，…表示．（1）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)（到原點(diǎn)距離不變），求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)Px,y繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)（到原點(diǎn)距離不變），求坐標(biāo)變換公式及對(duì)應(yīng)的二階矩陣；（3）向量（稱為行向量形式），也可以寫(xiě)成，這種形式的向量稱為列向量，線性變換坐標(biāo)公式①可以表示為：，則稱是二階矩陣與向量的乘積，設(shè)是一個(gè)二階矩陣，，是平面上的任意兩個(gè)向量，求證：．合肥市普通高中六校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中聯(lián)考高三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）命題學(xué)校：合肥三中命題教師：蔡開(kāi)根審題教師：孟凡慧一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知：，：，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.2,+∞ C. D.?∞,1【答案】D【解析】【分析】解不等式確定集合，然后由必要不充分條件得是的真子集可得結(jié)論．【詳解】∵且或，，又是的必要不充分條件，∴，∴，故選：D.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查由必要不充分條件求參數(shù)，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：命題對(duì)應(yīng)集合，命題對(duì)應(yīng)的集合，則（1）是的充分條件；（2）是的必要條件；（3）是的充分必要條件；（4）是的既不充分又不必要條件集合之間沒(méi)有包含關(guān)系．2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)偶次根下大于等于零，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得集合；根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得集合，結(jié)合交集的運(yùn)算可得答案.【詳解】由題意且，故，解得，故；由得，故；綜上.故選：D.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化對(duì)數(shù)式為指數(shù)式判斷，判斷，化指數(shù)式為對(duì)數(shù)式判斷，則答案可求.【詳解】由，得；由，得；由，得.∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)式、對(duì)數(shù)式中的大小比較，一般可利用中介值和函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行大小比較，是基礎(chǔ)題.4.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)有（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，設(shè)，則，，再變形可得函數(shù)解析式.【詳解】解：設(shè)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，又函數(shù)是上的奇函數(shù)故當(dāng)時(shí)有故選：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由平方差公式化簡(jiǎn)已知條件并結(jié)合二倍角的余弦公式得，進(jìn)而得，從而結(jié)合二倍角正弦公式即可計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，即，所以由得，所?故選：A.6.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析可知，在R上恒成立，分、兩種情況討論，在時(shí)，直接驗(yàn)證即可；在時(shí)，可得出，綜合可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)镽，等價(jià)于在R上恒成立，若，則在R上恒成立，滿足條件；若，則，解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：A．7.已知函數(shù)與的圖象如圖所示，則函數(shù)（）A.在區(qū)間上是減函數(shù) B.在區(qū)間上是減函數(shù)C.在區(qū)間上是減函數(shù) D.在區(qū)間上是減函數(shù)【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合圖象求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求解．【詳解】因?yàn)?，由圖象知，時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)A、C和D錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確，故選：B．8.定義：如果函數(shù)在區(qū)間上存在，滿足，，則稱函數(shù)是在區(qū)間上的一個(gè)雙中值函數(shù)，已知函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】，∵函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，

∴區(qū)間上存在，

滿足∴方程在區(qū)間有兩個(gè)不相等的解，

令，

則，解得∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:A．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.9.已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則（）A. B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C. D.的一個(gè)周期為【答案】AD【解析】【分析】由奇函數(shù)可得，再根據(jù)函數(shù)的周期性與對(duì)稱性分別判斷.【詳解】由函數(shù)為奇函數(shù)，則，A選項(xiàng)正確；又，即，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由可知，即，函數(shù)的一個(gè)周期為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確；故選：AD.10.函數(shù)滿足，則正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)，再比較大小即得.【詳解】依題意，令函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在R上遞減，對(duì)于A，，，則，A正確；對(duì)于B，，，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，則，C正確；對(duì)于D，，，則，D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知，則（）A.的最小值為 B.的最大值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算，結(jié)合基本不等式即可判斷A；結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，利用基本不等式可判斷B；將化為關(guān)于x的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可判斷是C；通過(guò)變量代換，令，得到，根據(jù)“1”的巧用，將變形后，利用基本不等式，即可判斷D..【詳解】對(duì)于A，由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，A正確；對(duì)于B，由于，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，即的最大值為，B正確；對(duì)于C，又，得，故由于，而對(duì)稱軸為，則在上單調(diào)遞減，在上無(wú)最值，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，故，由于，故，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最小值為，D正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了基本不等式的應(yīng)用，主要是求最值問(wèn)題，難點(diǎn)是選項(xiàng)D的判斷，解答時(shí)要通過(guò)變量代換，令，得到，根據(jù)“1”的巧用，將變形后，利用基本不等式，即可求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)對(duì)任意滿足，則______.【答案】【解析】【分析】采用方程組法消去，得出的解析式即可.【詳解】因?yàn)椋源娴茫?，得?故答案為：.13.若函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由題知函數(shù)為偶函數(shù)且在單調(diào)遞增，由此抽象出不等式，解出即可【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?所以函數(shù)為偶函數(shù)當(dāng)時(shí)，與為單調(diào)遞增函數(shù)所以在單調(diào)遞增所以所以解得：故答案為：14.已知點(diǎn)A是函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線的焦半徑公式可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為到上一點(diǎn)的最小距離即可，根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距離公式，得，利用導(dǎo)數(shù)求解最小值即可.【詳解】由于是焦點(diǎn)在軸上的拋物線，故設(shè)其焦點(diǎn)為，則,所以,故求到上一點(diǎn)的最小距離即可，設(shè)，則，記，則由于函數(shù)在0,+∞單調(diào)遞增，且，故當(dāng)x∈0,1時(shí)，因此在0,1單調(diào)遞減，當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，因此在1,+∞故，因此，故，故答案：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）若函數(shù)在存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為方程在上有解，以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)圖象運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】對(duì)于函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期為，令，則，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】令，即，則，∵在存在零點(diǎn)，則方程在上有解，若時(shí)，則，可得，∴，得故實(shí)數(shù)的取值范圍是．16.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類(lèi)討論即可得解；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用二次導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的最值情況，證得，從而得證.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，令，則，令，則，因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，即.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：恒成立問(wèn)題：（1）恒成立；恒成立．（2）恒成立；恒成立．（3）恒成立；恒成立；（4），，．17.在銳角中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知．（1）求角B的值；（2）若，求的周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理得到，再利用余弦定理求出；（2）根據(jù)正弦定理得到，從而得到，求出，得到，，從而求出周長(zhǎng)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】，由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，因?yàn)?，所以；【小?wèn)2詳解】銳角中，，，由正弦定理得：，故，則，因?yàn)殇J角中，，則，，解得：，故，，則，故，所以三角形周長(zhǎng)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】解三角形中最值或范圍問(wèn)題，通常涉及與邊長(zhǎng)，周長(zhǎng)有關(guān)的范圍問(wèn)題，與面積有關(guān)的范圍問(wèn)題，或與角度有關(guān)的范圍問(wèn)題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值18.已知函數(shù)，.（1）若，求的極值；（2）設(shè)函數(shù)在處的切線方程為，若函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)，求的值；（3）函數(shù)的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線重合，若存在則求出的取值范圍，若不存在則說(shuō)明理由.【答案】（1）的極大值為，極小值為（2）（3）不存，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）令，列極值表，即可求得極值；（2）求出切線方程，設(shè)，轉(zhuǎn)化為在恒成立，再由基本不等式成立可得答案；（3）假設(shè)存在符合題意的直線，設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為，，分別代入切線方程和整理得，設(shè)，轉(zhuǎn)化為，設(shè)，由導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性可得答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，令，解得：x=1或x=2，列表如下：?jiǎn)握{(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由表可知，當(dāng)x=1時(shí)，的極大值為，當(dāng)x=2時(shí)，的極小值為；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，所以處切線方程為，整理得：，設(shè)，則：，由題意可知，恒成立.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以應(yīng)有，而，，所以只有即時(shí)，，即成立，所以.【小問(wèn)3詳解】由（2）可知，曲線y=f(x)在處切線方程為：，假設(shè)存在符合題意的直線，設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為，，則：，由①式可得：，代入②式，則：，整理得：，設(shè)，則，設(shè)，則，所以單調(diào)遞減，因?yàn)椋缘慕鉃?即，解得，此時(shí)，所以不存在符合題意的兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線重合.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性與極值，切線問(wèn)題，轉(zhuǎn)化與化歸能力，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，第三問(wèn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程的關(guān)系是難點(diǎn)，是較難的題目.19.在平面