科學計算語言Julia及MWORKS實踐 課件 27- 插值與擬合

目錄1、初等數(shù)學與線性函數(shù)2、插值與擬合3、概率統(tǒng)計分布計算14、優(yōu)化問題多項式擬合2在許多實驗中，我們都經(jīng)常要對一些實驗數(shù)據(jù)（離散的點）進行多項式的擬合，其目的是用一個較簡單的函數(shù)去逼近一個復雜的或末知的函數(shù)，即用一條曲線（多項式）盡可能地靠近離散的點，使其在某種意義下達到最優(yōu)．而Syslab曲線擬合的一般方法為最小二乘法，以保證誤差最?。诓捎米钚《朔ㄇ笄€擬合時，實際上是求一個多項式的系數(shù)向量.其命令形式如下：fitobject=fit(fitType,x,y) 運用最小二乘法，求由給定向量x和y對應的數(shù)據(jù)點的fitType擬合模型，fitobject為所求的擬合結果。H=plotfit(fun,x,y)把fun和預測數(shù)據(jù)x、響應數(shù)據(jù)y畫在一起。

多項式擬合3例：現(xiàn)有一組實驗數(shù)據(jù)：x的取值是從1到2之間的數(shù)，間隔為0.1，y的取值為2.1，3.2，2.1，2.5，3.2，3.5，3.4，4.1，4.7，5.0，4.8.要求分別用二次、三次和七次擬合曲線來擬合這組數(shù)據(jù)，觀察這三組擬合曲線哪個效果更好？解：建立jl文件如下：x=1:0.1:2y=[2.1,3.2,2.1,2.5,3.2,3.5,3.4,4.1,4.7,5.0,4.8]p2=fit("poly2",x,y)#多項式擬合，階數(shù)是2p3=fit("poly3",x,y)p7=fit("poly7",x,y)plotfit(p2,"r-",x,y,"m*")hold("on")plotfit(p3,"g--")plotfit(p7,"b-.")xlim([1,2])ylim([2,5.5])hold("off")println("2次多項式擬合系數(shù)\n",p2.params)

#打印擬合多項式系數(shù)println("3次多項式擬合系數(shù)\n",p3.params)println("7次多項式擬合系數(shù)\n",p7.params)多項式擬合4運行得到的結果如下：2次多項式擬合系數(shù)[1.3869463869463816,-1.260839160839144,2.141025641025629]3次多項式擬合系數(shù)[-5.167055167054664,24.638694638692357,-35.21872571872237,18.200233100231507]7次多項式擬合系數(shù)[2865.3127929679335,-30694.44445812015,139660-349771.65050565667,520586.1274204989,-460331.9374781027,223861.60190864195,-46173.03758649385]各次擬合曲線比較圖：多項式擬合5除此之外，還可以點擊查看擬合后得到的相關信息，具體如下：域值method迭代方法iparams迭代初值params迭代結果time迭代時間converged1因xtol收斂2因gtol收斂3因ptol收斂0達到最大迭代次數(shù)，未收斂s_dataR2相關系數(shù)R方sse殘差平方和dfe自由度aR2調(diào)整R方rmse均方根誤差多項式擬合6除此之外，Syslab提供了豐富的擬合模型，具體如下：內(nèi)置模型名稱描述"poly1"線性多項式曲線"poly11"線性多項式曲面"poly2"二次多項式曲線"linearinterp"分段線性插值"cubicinterp"分段三次插值"smoothingspline"平滑樣條（曲線）"lowess"局部線性回歸（曲面）多項式插值7在實際中通常得到的數(shù)據(jù)是離散的，如果想得到這些點之外其他點的數(shù)據(jù)，就要根據(jù)這些已知的數(shù)據(jù)進行估算，即插值．插值的任務是根據(jù)已知點的信息構造一個近似的函數(shù)．最簡單的插值法是多項式插值．插值和擬合有相同的地方，都是要尋找一條“光滑”的曲線將已知的數(shù)據(jù)點連貫起來，其不同之處是：擬合點曲線不要求一定通過數(shù)據(jù)點，而插值的曲線要求必須通過數(shù)據(jù)點。Syslab中常用的插值函數(shù)如表所示.函數(shù)名簡介函數(shù)名簡介interp1一維插值LagrangeInterp拉格朗日插值interp2二維插值NewtonInterp牛頓插值interp3三維插值ConstantInterpolation最鄰近插值interpnn維插值LinearInterpolation線性插值griddedInterpolant網(wǎng)格插值CubicSplineInterpolation三次樣條插值interpolate插值sinc_interpolate一維插值（FFT方法）extrapolate外插mkpp生成分段多項式多項式插值8在實際中通常得到的數(shù)據(jù)是離散的，如果想得到這些點之外其他點的數(shù)據(jù)，就要根據(jù)這些已知的數(shù)據(jù)進行估算，即插值．插值的任務是根據(jù)已知點的信息構造一個近似的函數(shù)．最簡單的插值法是多項式插值．插值和擬合有相同的地方，都是要尋找一條“光滑”的曲線將已知的數(shù)據(jù)點連貫起來，其不同之處是：擬合點曲線不要求一定通過數(shù)據(jù)點，而插值的曲線要求必須通過數(shù)據(jù)點。Syslab中常用的插值函數(shù)如表所示.vq=interp1(x,v,xq,method)

使用線性插值返回一維函數(shù)在特定查詢點的插入值。向量x包含樣本點，v包含對應值v(x)。向量xq包含查詢點的坐標。method為指定備選插值方法,默認方法為‘linear’(線性插值)。其中method的常用方法有：nearest:最近點插值，通過四舍五入取與已知數(shù)據(jù)點最近的值。linear：線性插值，用直線連接數(shù)據(jù)點，插值點的值取對應直線上的值。spline：樣條插值，用三次樣條曲線通過數(shù)據(jù)點，插值點的值取對應曲線上的值。cubic：立方插值，用三次曲線擬合并通過數(shù)據(jù)點。多項式插值9例：用以上4種插值方法對y=cos(x)在[0,6]上的一維插值效果進行比較。解：建立jl文件如下：x=0:6y=cos.(x)xi=0:0.25:6#在兩個數(shù)據(jù)點之間插入3個點yi1=interp1(x,y,xi,"nearest")yi2=interp1(x,y,xi,"linear")yi3=interp1(x,y,xi,"spline")yi4=interp1(x,y,xi,"cubic")plot(x,y,"ro",xi,yi1,"b:.",xi,yi2,"g--",xi,yi3,"c-",xi,yi4,"m-.")legend("原始數(shù)據(jù)","最近點插值","線性插值","樣條插值","立方插值")多項式插值10運行以上程序得到圖形如圖所示。從圖可以看出，在本例中，樣條插值效果最好，之后是立方插值、線性插值，效果最差的是最近點插值。多項式插值11

解：建立jl文件如下：x=-2:4/(11-1):2y=1./(2.+x.^2)x1=-2:0.1:2y1=interp1(x,y,x1,"nearest")y2=interp1(x,y,x1,"linear")y3=interp1(x,y,x1,"spline")y4=interp1(x,y,x1,"cubic")subplot(2,2,1)plot(x,y,"rp",x1,y1),title("nearest")subplot(2,2,2)plot(x,y,"rp",x1,y2),title("linear")subplot(2,2,3