陜西省西安市長安區(qū)第二中學(xué)2025屆高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析

陜西省西安市長安區(qū)第二中學(xué)2025屆高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若集合，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．2．已知，，，則（）A． B．C． D．3．已知的內(nèi)角的對邊分別是且，若為最大邊，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．在等差數(shù)列中，若為前項和，，則的值是（）A．156 B．124 C．136 D．1805．已知雙曲線的右焦點為為坐標(biāo)原點，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點及點，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．6．定義在上的函數(shù)滿足，則（）A．-1 B．0 C．1 D．27．已知正方體的棱長為2，點為棱的中點，則平面截該正方體的內(nèi)切球所得截面面積為（）A． B． C． D．8．已知命題：R，；命題：R，，則下列命題中為真命題的是（）A． B． C． D．9．函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點（設(shè)點位于第一象限），過點，分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點，，拋物線的準(zhǔn)線交軸于點，若，則直線的斜率為A．1 B． C． D．11．若雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．12．已知雙曲線的右焦點為，過的直線交雙曲線的漸近線于兩點，且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，在邊長為4的正方形紙片中，與相交于.剪去，將剩余部分沿，折疊，使、重合，則以、、、為頂點的四面體的外接球的體積為________.14．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則_____.15．已知盒中有2個紅球，2個黃球，且每種顏色的兩個球均按，編號，現(xiàn)從中摸出2個球（除顏色與編號外球沒有區(qū)別），則恰好同時包含字母，的概率為________.16．某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中，抽取人進(jìn)行問卷調(diào)查.已知高一被抽取的人數(shù)為，那么高三被抽取的人數(shù)為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）對于很多人來說，提前消費的認(rèn)識首先是源于信用卡，在那個工資不高的年代，信用卡絕對是神器，稍微大件的東西都是可以選擇用信用卡來買，甚至于分期買，然后慢慢還！現(xiàn)在銀行貸款也是很風(fēng)靡的，從房貸到車貸到一般的現(xiàn)金貸．信用卡“忽如一夜春風(fēng)來”，遍布了各大小城市的大街小巷．為了解信用卡在市的使用情況，某調(diào)查機構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了問卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中隨機抽取了100人進(jìn)行抽樣分析，得到如下列聯(lián)表（單位：人）經(jīng)常使用信用卡偶爾或不用信用卡合計40歲及以下15355040歲以上203050合計3565100（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為市使用信用卡情況與年齡有關(guān)？（2）①現(xiàn)從所抽取的40歲及以下的網(wǎng)民中，按“經(jīng)常使用”與“偶爾或不用”這兩種類型進(jìn)行分層抽樣抽取10人，然后，再從這10人中隨機選出4人贈送積分，求選出的4人中至少有3人偶爾或不用信用卡的概率；②將頻率視為概率，從市所有參與調(diào)查的40歲以上的網(wǎng)民中隨機抽取3人贈送禮品，記其中經(jīng)常使用信用卡的人數(shù)為，求隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63518．（12分）某學(xué)生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計了一個實驗，并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時間的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理（如下表），得到了散點圖（如下圖）.表中，.（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個更適宜作燒水時間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型？（不必說明理由）（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；（3）若單位時間內(nèi)煤氣輸出量與旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)成正比，那么，利用第（2）問求得的回歸方程知為多少時，燒開一壺水最省煤氣？附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計值分別為，19．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若正數(shù)、滿足，求證：.20．（12分）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）如果對所有的≥0，都有≤，求的最小值；（Ⅲ）已知數(shù)列中，，且，若數(shù)列的前n項和為，求證：.21．（12分）已知分別是的內(nèi)角的對邊，且．（Ⅰ）求．（Ⅱ）若，，求的面積．（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求的值．22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為（）.（1）求拋物線C的極坐標(biāo)方程；（2）若拋物線C與直線l交于A，B兩點，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由題意，分析即得解【詳解】由題意，故，故選：D【點睛】本題考查了元素和集合，集合和集合之間的關(guān)系，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

利用二倍角公式,和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系式,化簡可得,即可求得結(jié)果.【詳解】，所以，即.故選:C.【點睛】本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應(yīng)用和弦化切化簡三角函數(shù),難度較易.3、C【解析】

由，化簡得到的值，根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，可得，通分得，整理得，所以，因為為三角形的最大角，所以，又由余弦定理，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，即，又由，所以的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題主要考查了代數(shù)式的化簡，余弦定理，以及基本不等式的綜合應(yīng)用，試題難度較大，屬于中檔試題，著重考查了推理與運算能力.4、A【解析】

因為，可得，根據(jù)等差數(shù)列前項和，即可求得答案.【詳解】，，.故選：A.【點睛】本題主要考查了求等差數(shù)列前項和，解題關(guān)鍵是掌握等差中項定義和等差數(shù)列前項和公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程：，再將點代入可得，連接，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，從而可求出，再由即可求解.【詳解】由雙曲線，則漸近線方程：，，連接，則，解得，所以，解得.故雙曲線方程為.故選：C【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，需掌握雙曲線的漸近線求法，屬于中檔題.6、C【解析】

推導(dǎo)出，由此能求出的值．【詳解】∵定義在上的函數(shù)滿足，∴，故選C．【點睛】本題主要考查函數(shù)值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用，屬于中檔題.7、A【解析】

根據(jù)球的特點可知截面是一個圓，根據(jù)等體積法計算出球心到平面的距離，由此求解出截面圓的半徑，從而截面面積可求.【詳解】如圖所示：設(shè)內(nèi)切球球心為，到平面的距離為，截面圓的半徑為，因為內(nèi)切球的半徑等于正方體棱長的一半，所以球的半徑為，又因為，所以，又因為，所以，所以，所以截面圓的半徑，所以截面圓的面積為.故選：A.【點睛】本題考查正方體的內(nèi)切球的特點以及球的截面面積的計算，難度一般.任何一個平面去截球，得到的截面一定是圓面，截面圓的半徑可通過球的半徑以及球心到截面的距離去計算.8、B【解析】

根據(jù)，可知命題的真假，然后對取值，可得命題的真假，最后根據(jù)真值表，可得結(jié)果.【詳解】對命題：可知，所以R，故命題為假命題命題：取，可知所以R，故命題為真命題所以為真命題故選：B【點睛】本題主要考查對命題真假的判斷以及真值表的應(yīng)用，識記真值表，屬基礎(chǔ)題.9、C【解析】

顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),由的一個零點在區(qū)間內(nèi),則,即可求解.【詳解】由題,顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),因為的一個零點在區(qū)間內(nèi),所以,即,解得,故選:C【點睛】本題考查零點存在性定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)拋物線定義，可得，，又，所以，所以，設(shè)，則，則，所以，所以直線的斜率．故選C．11、B【解析】

由題中垂直關(guān)系，可得漸近線的方程，結(jié)合，構(gòu)造齊次關(guān)系即得解【詳解】雙曲線的一條漸近線與直線垂直．∴雙曲線的漸近線方程為．，得．則離心率．故選：B【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率，考查了學(xué)生綜合分析，概念理解，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.12、B【解析】

先求出直線l的方程為y（x﹣c），與y＝±x聯(lián)立，可得A，B的縱坐標(biāo)，利用，求出a，b的關(guān)系，即可求出該雙曲線的離心率．【詳解】雙曲線1（a＞b＞0）的漸近線方程為y＝±x，∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，∴kl，∴直線l的方程為y（x﹣c），與y＝±x聯(lián)立，可得y或y，∵，∴2?，∴ab，∴c＝2b，∴e．故選B．【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查向量知識，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

將三棱錐置入正方體中，利用正方體體對角線為三棱錐外接球的直徑即可得到答案.【詳解】由已知，將三棱錐置入正方體中，如圖所示，，故正方體體對角線長為，所以外接球半徑為，其體積為.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐外接球的體積問題，一般在處理特殊幾何體的外接球問題時，要考慮是否能將其置入正（長）方體中，是一道中檔題.14、【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的定義列方程，化簡求得的值.【詳解】由于為偶函數(shù)，所以，即，即，即，即，即，即，即，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查運算求解能力，屬于中檔題.15、【解析】

根據(jù)組合數(shù)得出所有情況數(shù)及兩個球顏色不相同的情況數(shù)，讓兩個球顏色不相同的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率．【詳解】從袋中任意地同時摸出兩個球共種情況，其中有種情況是兩個球顏色不相同；故其概率是故答案為：．【點睛】本題主要考查了求事件概率，解題關(guān)鍵是掌握概率的基礎(chǔ)知識和組合數(shù)計算公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】由分層抽樣的知識可得，即，所以高三被抽取的人數(shù)為，應(yīng)填答案．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）不能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為市使用信用卡情況與年齡有關(guān)；（2）①；②分布列見解析，，【解析】

(1)計算再對照表格分析即可.(2)①根據(jù)分層抽樣的方法可得經(jīng)常使用信用卡的有人,偶爾或不用信用卡的有人,再根據(jù)超幾何分布的方法計算3人或4人偶爾或不用信用卡的概率即可.②利用二項分布的特點求解變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差即可.【詳解】（1）由列聯(lián)表可知,,因為,所以不能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為市使用信用卡情況與年齡有關(guān).（2）①依題意,可知所抽取的10名40歲及以下網(wǎng)民中,經(jīng)常使用信用卡的有（人）,偶爾或不用信用卡的有（人）.則選出的4人中至少有3人偶爾或不用信用卡的概率.②由列聯(lián)表,可知40歲以上的網(wǎng)民中,抽到經(jīng)常使用信用卡的頻率為,將頻率視為概率,即從市市民中任意抽取1人,恰好抽到經(jīng)常使用信用卡的市民的概率為.由題意得,則,,,.故隨機變量的分布列為：0123故隨機變量的數(shù)學(xué)期望為,方差為.【點睛】本題主要考查了獨立性檢驗以及超幾何分布與二項分布的知識點,包括分類討論以及二項分布的數(shù)學(xué)期望與方差公式等.屬于中檔題.18、（1）選取更合適；（2）；（3）時，煤氣用量最小.【解析】

（1）根據(jù)散點圖的特點，可得更適合；（2）先建立關(guān)于的回歸方程，再得出關(guān)于的回歸方程；（3）寫出函數(shù)關(guān)系，利用基本不等式得出最小值及其成立的條件.【詳解】（1）選取更適宜作燒水時間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型；（2）由公式可得：，，所以所求回歸直線方程為：；（3）根據(jù)題意，設(shè)，則煤氣用量，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即時，煤氣用量最小.【點睛】此題考查根據(jù)題意求回歸方程，利用線性回歸方程的求法得解，結(jié)合基本不等式求最值.19、（1）；（2）見解析【解析】

（1）等價于（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ），分別解出，再求并集即可；（2）利用基本不等式及可得，代入可得最值.【詳解】（1）等價于（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）由（Ⅰ）得：由（Ⅱ）得：由（Ⅲ）得：.原不等式的解集為；（2），，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，.【點睛】本題考查分類討論解絕對值不等式，考查三角不等式的應(yīng)用及基本不等式的應(yīng)用，是一道中檔題.20、（Ⅰ）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析．【解析】

（Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)g（x）＝f（x）﹣ax，先求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出a的最小值；（Ⅲ）先求出數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，，，問題轉(zhuǎn)化為證明：，通過換元法或數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可．【詳解】解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（﹣1，+∞），，當(dāng)時，f′（x）＜2，當(dāng)時，f′（x）＞2，所以函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（Ⅱ）設(shè)，則，因為x≥2，故，（?。┊?dāng)a≥1時，1﹣a≤2，g′（x）≤2，所以g（x）在[2，+∞）單調(diào)遞減，而g（2）＝2，所以對所有的x≥2，g（x）≤2，即f（x）≤ax；（ⅱ）當(dāng)1＜a＜1時，2＜1﹣a＜1，若，則g′（x）＞2，g（x）單調(diào)遞增，而g（2）＝2，所以當(dāng)時，g（x）＞2，即f（x）＞ax；（ⅲ）當(dāng)a≤1時，1﹣a≥1，g′（x）＞2，所以g（x）在[2，+∞）單調(diào)遞增，而g（2）＝2，所以對所有的x＞2，g（x）＞2，即f（x）＞ax；綜上，a的最小值為1．（Ⅲ）由（1﹣an+1）（1+an）＝1得，an﹣an+1＝an?an+1，由a1＝1得，an≠2，所以，數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，故，，