圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期第二學(xué)期課題圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)目標(biāo)理解用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征.2.會(huì)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.3.能根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能應(yīng)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題.教學(xué)內(nèi)容教學(xué)重點(diǎn)：掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法及應(yīng)用，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.教學(xué)難點(diǎn)：會(huì)根據(jù)已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)情境，引入課題多邊形和圓是平面幾何中的兩類基本圖形.建立直線的方程后，我們可以運(yùn)用它研究多邊形這些“直線形”，解決邊所在直線的平行或垂直、邊與邊的交點(diǎn)以及點(diǎn)到線段所在直線的距離等問題.類似地，為了研究圓的有關(guān)性質(zhì)，解決與圓有關(guān)的問題，我們首先需要建立圓的方程.今天我就和大家一起學(xué)習(xí)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.類似于直線方程的建立過程，為建立圓的方程，我們首先考慮確定一個(gè)圓的幾何要素。探究新知（1）圓的幾何要素圓是平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑確定了，圓就唯一確定了.（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在平面直角坐標(biāo)系中，圓心A的坐標(biāo)為，半徑為r，為圓上任意一點(diǎn)，就是以下點(diǎn)的集合.根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，，兩邊平方，得.對(duì)于以上過程，我們?nèi)菀椎玫?，圓上的點(diǎn)滿足方程；反過來，滿足方程，說明點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，也就是點(diǎn)在圓上。我們把這個(gè)方程稱為圓心為半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.強(qiáng)調(diào)注意：1.與直線的方程相比，它是關(guān)于x，y的二元二次方程，有a,b,r三個(gè)待定參量，也就是知道了圓心坐標(biāo)和半徑，可直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，反之亦對(duì)！2.括號(hào)內(nèi)x,y的系數(shù)都是1, 3.括號(hào)內(nèi)x減的那個(gè)數(shù)為圓心的橫坐標(biāo)，y減的那個(gè)數(shù)為縱坐標(biāo)，括號(hào)與括號(hào)之間是+特別地：圓心在原點(diǎn)時(shí)，a=0,b=0，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為課堂練習(xí)已知圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1.圓心為(1,2)，r=22.圓心為(-1,2)，r=13.圓心為(1,-2),r=21師生活動(dòng)：學(xué)生口答完成，教師點(diǎn)評(píng)總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征.設(shè)計(jì)意圖：初步認(rèn)識(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，了解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).思考交流應(yīng)用方程（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例1求圓心為A（2，-3），半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點(diǎn)M1（5，?7），分析：根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)與圓的方程的關(guān)系，只要判斷一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿足圓的方程，就可以得到這個(gè)點(diǎn)是否在圓上．解：圓心為，半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程的左邊，得，左右兩邊相等，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程，所以點(diǎn)在這個(gè)圓上．把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程的左邊，得，左右兩邊不相等，點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足圓的方程，所以點(diǎn)不在這個(gè)圓上師生活動(dòng)：學(xué)生自主完成，教師適時(shí)點(diǎn)撥.設(shè)計(jì)意圖：為加深對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，教材設(shè)置了例1.例1分為兩部分，首先根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程------從幾何到代數(shù)；然后根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿足圓的方程，來判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系------從代數(shù)到幾何，充分體現(xiàn)了坐標(biāo)法的思想.探究：一、點(diǎn)M0（x（1）（x（2）（x（3）（x二、點(diǎn)在圓內(nèi)的條件是什么？在圓外的條件又是什么？在圓內(nèi)，則；在圓外，則（2）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用例2的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，，求的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．分析：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，三角形有唯一的外接圓.雖然已知的三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上，只有確定了，a,b,r,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就確定了.解1：設(shè)所求的方程是.因?yàn)?，，三點(diǎn)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足方程.于是，即.三式兩兩相減，得，解得，代入，得.所以，的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.在解法1中除了學(xué)到待定系數(shù)法的基本步驟外，還應(yīng)該注意運(yùn)算，課堂設(shè)置了如何解這個(gè)方程組的環(huán)節(jié)，注重基礎(chǔ)，及基本的運(yùn)算，盡量避免因?yàn)橛?jì)算問題導(dǎo)致的失分。另外，三角形外接圓的圓心是三角形的外心，即三邊中垂線的交點(diǎn)。分別求直線AB，BC的垂直平分線，垂直平分線的交點(diǎn)O就是圓心坐標(biāo)，線段AO的長就是圓的半徑。法2：因?yàn)锳（5，1），B（7，-3），所以AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，-1），直線AB的斜率k所以線段AB的垂直平分線l1l1:y+1=12(x?6)同理可得線段BC的垂直平分線l2的方程是x+y圓心O的坐標(biāo)是方程組x?2得x=2y=?3所以圓心O的坐標(biāo)是（2，-3）半徑是AO所以，△ABC的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x?2師生活動(dòng)：先思后說，先練后講.教師啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生比較、歸納得出求任意三角形外接圓的方程的兩種方法.在分析過程中，突出圖形在在分析問題中的輔助作用.設(shè)計(jì)意圖：為鞏固圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，教材設(shè)置了例2.用待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合法分別求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，讓學(xué)生比較發(fā)現(xiàn)，借助圖形的輔助作用可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，使學(xué)生體會(huì)數(shù)與形結(jié)合的重要性和優(yōu)越性.因此，我們既要重視“代數(shù)求解”，也要重視“幾何直觀”.教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生先用幾何眼光觀察思考，再用坐標(biāo)法推證求解.對(duì)例2進(jìn)行總結(jié)這就是常用的兩種求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)待定系數(shù)法由三個(gè)獨(dú)立條件得到三個(gè)方程,解方程組以得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù),從而確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.它是求圓的方程最常用的方法,一般步驟是:①設(shè)——設(shè)所求圓的方程為;②列——由已知條件,建立關(guān)于a,b,r的方程組;③解——解方程組,求出a,b,r;④代——將a,b,r代入所設(shè)方程,得所求圓的方程.接下來，類比例2思考例3，進(jìn)一步鞏固兩種方法例3已知圓心為C的圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心C在直線上，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.分析：設(shè)圓心的坐標(biāo)為．由已知條件可知，，且．由此可求出圓心坐標(biāo)和半徑．另外，因?yàn)榫€段AB是圓的一條弦，根據(jù)平面幾何知識(shí)，AB的中點(diǎn)與圓心C的連線垂直于AB，由此可得到另一種解法．解法1：設(shè)圓心C的坐標(biāo)為.因?yàn)閳A心C在直線上，所以.①因?yàn)锳，B是圓上兩點(diǎn)，所以.根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，有，即.②由①②可得，.所以圓心C的坐標(biāo)是.圓的半徑.所以，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.解法2：如圖，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為D.由A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為，直線AB的斜率為.因此，線段AB的垂直平分線的方程是，即.由垂徑定理可知，圓心C也在線段AB的垂直平分線上，所以它的坐標(biāo)是方程組的解.解這個(gè)方程組，得.所以圓心C的坐標(biāo)是.圓的半徑.所以，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.課本中利用了以上兩種方法，在教學(xué)中設(shè)置了第三種方法待定系數(shù)法，即根據(jù)三個(gè)條件列出三個(gè)方程，但要注意的是，除了代入A,B兩點(diǎn)得到兩個(gè)方程之外，第三個(gè)方程a-b+1=0是來自圓心在已知直線上，再一次鞏固了待定系數(shù)法。從例2和例3的解答中我們可以得到啟示，解決平面解析幾何的過程中，要注意綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，代數(shù)方法比較容易想到，但有時(shí)運(yùn)算會(huì)比較復(fù)雜；如果靈活運(yùn)用幾何知識(shí)，往往能減少運(yùn)算量，使問題的解法顯得簡(jiǎn)潔！四、課堂小結(jié)最后