重難點(diǎn)37 圓錐曲線定值問題十三大題型【2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型突破】（解析版）

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2重難點(diǎn)專題37圓錐曲線定值問題十三大題型匯總題型1線段長(zhǎng)度定值問題 1題型2周長(zhǎng)定值問題 14題型3面積定值問題 25題型4向量積定值問題 36題型5角度定值問題 44題型6運(yùn)算關(guān)系定值問題 53◆類型1和關(guān)系 53◆類型2差關(guān)系 57◆類型3積關(guān)系 60◆類型4商關(guān)系 62◆類型5平方關(guān)系 69題型7坐標(biāo)相關(guān)定值問題 74題型8參數(shù)相關(guān)定值問題 85題型9斜率定值問題 95題型10斜率和定值問題 103題型11斜率差定值問題 114題型12斜率積定值問題 119題型13斜率比定值問題 129題型1線段長(zhǎng)度定值問題與線段長(zhǎng)度有關(guān)的定值問題通常是先引入?yún)?shù)，利用距離公式或弦長(zhǎng)公式得到長(zhǎng)度解析式，再對(duì)解析式化簡(jiǎn)，得出結(jié)果為定值【例題1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：x2a2+y(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)過(guò)F的兩條互相垂直的直線分別交C于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，若線段AB，PQ的中點(diǎn)分別為M，N，且過(guò)F作直線MN的垂線，垂足為D，證明：存在定點(diǎn)H，使得DH為定值.【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）解法一，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上及焦點(diǎn)坐標(biāo)求解即可；解法二，根據(jù)離心率和通徑長(zhǎng)即可求解橢圓方程；（2）解法一，分類討論，當(dāng)直線AB，PQ的斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+2k≠0，用A、B坐標(biāo)表示M、N坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線MN恒過(guò)點(diǎn)T-解法二，分類討論，當(dāng)直線AB，PQ的斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+2k≠0，用A、B坐標(biāo)表示M、N坐標(biāo)，用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得直線MN恒過(guò)點(diǎn)T-【詳解】（1）解法一，由題意知c=2，又a2=b把點(diǎn)2,2代入橢圓方程得4b2故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2解法二，因?yàn)闄E圓C的左焦點(diǎn)為F-2,0，所以c=2，設(shè)C的右焦點(diǎn)為F'，則橢圓上點(diǎn)2,2與點(diǎn)F'的橫坐標(biāo)相同，所以點(diǎn)2,2由x=cx2a2+y2b2=1得y=±b2a（2）解法一，當(dāng)直線AB，PQ的斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+2k≠0，Ax由y=kx+2x2則x1+x所以y1+y同理用-1k代換k可得若-4k21+2且直線MN的方程為x=-43，過(guò)點(diǎn)若k≠±1，則直線MN的斜率為2k1+2可得直線MN的方程為y-2k化簡(jiǎn)得y=3k21-當(dāng)直線AB，PQ的斜率一個(gè)不存在，一個(gè)為0時(shí)，直線MN的方程為y=0，直線MN過(guò)定點(diǎn)T-43令H為FT的中點(diǎn)，則H-則由題設(shè)知FT是Rt△FDT的斜邊，故DH若D與T或F重合，則DH=綜上，存在定點(diǎn)H-53解法二，當(dāng)直線AB，PQ的斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+2k≠0，Ax1,y1則x1+x所以y1+y同理用-1k代換k可得若-4k21+2且直線MN的方程為x=-43，過(guò)點(diǎn)T-因?yàn)門M=43所以TM=-2+當(dāng)直線AB，PQ的斜率一個(gè)不存在，一個(gè)為0時(shí)，直線MN的方程為y=0，直線MN過(guò)定點(diǎn)T-43令H為FT的中點(diǎn)，則H-若D與T，F(xiàn)均不重合，則由題設(shè)知FT是Rt△FDT的斜邊，故DH若D與T或F重合，則DH=綜上，存在定點(diǎn)H-53【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法：（1）引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)直線中的參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn)；（2）特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).【變式1-1】1.（2023上·河北滄州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=2pxp>0過(guò)點(diǎn)(1)求拋物線C的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)Q2,0作QH⊥l，垂足為H（不與點(diǎn)Q重合），是否存在定點(diǎn)T，使得HT【答案】(1)y(2)存在定點(diǎn)T1,-1，使得HT為定值，該定值為【分析】（1）將點(diǎn)1,p代入拋物線方程可求出p，從而可求出拋物線方程；（2）設(shè)點(diǎn)My124,y1，Ny224,y【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€C:y2=2pxp>0過(guò)點(diǎn)1,p，所以所以拋物線C的方程為y2（2）設(shè)點(diǎn)My124,y1又因?yàn)辄c(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)G的對(duì)稱點(diǎn)為P，所以點(diǎn)Py由O，N，P三點(diǎn)共線，可得kON=k化簡(jiǎn)得2y設(shè)直線l的方程為x=my+n，聯(lián)立x=my+ny2=4x則Δ=4m2-4×-4n>0，即代入2y1+y2所以直線l的方程：x=my+n，即x=my+2m，則x=my+2所以直線l過(guò)定點(diǎn)E0,-2因?yàn)镼H⊥l，所以點(diǎn)H的軌跡是以EQ為直徑的圓（除去E，Q兩點(diǎn)），圓心為1,-1，半徑為2，所以存在定點(diǎn)T1,-1，使得HT為定值，該定值為2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：此題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線中的定點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是將直線方程代入拋物線方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合O，N，P三點(diǎn)共線的條件表示出直線方程，從而可求得直線過(guò)的定點(diǎn).【變式1-1】2.（2023下·廣東深圳·高二深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C:x(1)點(diǎn)A1，A2為C的左右頂點(diǎn)，P為雙曲線C上異于A1，A(2)點(diǎn)M，N在C上，且kAM?kAN=12，AD⊥MN【答案】(1)12(2)證明見解析.【分析】（1）代入點(diǎn)A(2,1)，得a2=2，從而得雙曲線方程及A1，A2的坐標(biāo)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為x,y，則kP（2）設(shè)直線MN方程為y=kx+m，設(shè)Mx1,y1,Nx2,y2，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理及kAM?kAN【詳解】（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)A2,1在雙曲線C:所以4a2-所以雙曲線C:x22設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為x,y，則kP所以kP因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C上，所以y2所以kP所以kPA1（2）證明：依題意，直線MN的斜率存在，故設(shè)其方程為y=kx+m，設(shè)Mx聯(lián)立x22-y2顯然1-2kΔ=由韋達(dá)定理得x1因?yàn)橹本€AM,AN的斜率之積為12所以y1所以x1即x1所以有2k將韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)得4m2k+m-1而當(dāng)2k+m-1=0，此時(shí)直線l為y=kx+1-2k=kx-2易知l恒過(guò)定點(diǎn)A2,1所以m=0，此時(shí)滿足Δ>0且直線MN過(guò)定點(diǎn)O

又因?yàn)锳D⊥MN,D為垂足，所以△ADO為直角三角形，∠D為直角，所以當(dāng)點(diǎn)Q為斜邊AO的中點(diǎn)1,12時(shí)，DQ為定值綜上所述，存在定點(diǎn)Q1,12，使得DQ【變式1-1】3.（2023·云南曲靖·?？既＃╇p曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左頂點(diǎn)為(1)求雙曲線C的方程；(2)已知M,N是C上不同的兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，且MN的中垂線為直線l，是否存在半徑為1的定圓E，使得l被圓E截得的弦長(zhǎng)為定值，若存在，求出圓E的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)x(2)存在，E:【分析】（1）根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合△ABD是等腰直角三角形的性質(zhì)，列出關(guān)系式即可求解雙曲線方程；（2）首先利用點(diǎn)差法求出直線l所過(guò)的定點(diǎn)，即可求出定圓的方程.【詳解】（1）依題意，∠BAD=90°，焦半徑c=2，當(dāng)x=c時(shí)，c2a2-y所以BF=b2a，由AF=解得：a=1（其中a=-2<0舍去），所以b2故雙曲線C的方程為x2

（2）設(shè)Mx1因?yàn)镸,N是C上不同的兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.所以x1①-②得x1當(dāng)kMN存在時(shí)，k因?yàn)镸N的中垂線為直線l，所以y-y0=-所以l過(guò)定點(diǎn)T8,0

當(dāng)kMN不存在時(shí)，M,N關(guān)于x軸對(duì)稱，MN的中垂線l為x軸，此時(shí)l也過(guò)T所以存在以8,0為圓心的定圓E:(x-8)2+y2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與雙曲線相交的綜合應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是求得直線所過(guò)的定點(diǎn)，因?yàn)榘霃綖?，所以定圓圓心為定點(diǎn)，弦長(zhǎng)就是直徑.【變式1-1】4.（2023下·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）過(guò)雙曲線C:x2a2-y2b2(1)求雙曲線C的方程．(2)已知點(diǎn)P2,-1，兩個(gè)不重合的動(dòng)點(diǎn)M，N在雙曲線C上，直線PM，PN分別與y軸交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)Q在直線MN上，OE+OF=0且PQ⊥MN，試問是否存在定點(diǎn)T【答案】(1)x(2)存在；T1,-2，QT為定值【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合c2（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)中點(diǎn)關(guān)系得x1+2y12-x1+x【詳解】（1）雙曲線C的漸近線方程為bx±ay=0，雙曲線C上一點(diǎn)x0,y由題知a2=3，因?yàn)閏2=a2+b2（2）顯然直線MN的斜率存在，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，Mx1,聯(lián)立方程組y=kx+m,x2-則1-k2≠0，Δ=4m直線PM的方程為y=y令x=0，則y=x1+2y1由OE+OF=0，可得所以2k+1=4k+2-2m整理得m2當(dāng)m+2k+1=0，即m=-2k-1時(shí)，直線MN的方程為y=kx-2-1，過(guò)點(diǎn)與PQ⊥當(dāng)m=-3時(shí)，直線MN的方程為y=kx-3，恒過(guò)點(diǎn)G0,-3設(shè)PG的中點(diǎn)為T，則T1,-2，因?yàn)镻Q⊥MN，所以QT故存在T1,-2，使QT為定值2

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn).（2）特殊到一般法：先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).技巧：若直線方程為y-y0=k若直線方程為y=kx+b(b為定值),則直線過(guò)定點(diǎn)0,b【變式1-1】5.（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·文昌中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為π6的直線交拋物線于點(diǎn)M（M在第一象限），MN⊥l，垂足為N，直線NF交x(1)求p的值.(2)若斜率不為0的直線l1與拋物線C相切，切點(diǎn)為G，平行于l1的直線交拋物線C于P,Q兩點(diǎn)，且∠PGQ=π2，點(diǎn)F到直線【答案】(1)p=4(2)是，3【分析】（1）利用圖中的幾何關(guān)系以及拋物線的定義求解；（2）直線PQ的方程為y=kx+mk≠0以及點(diǎn)P,Q,G的坐標(biāo)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立由韋達(dá)定理以及∠PGQ=π2得到k與m的關(guān)系式，利用直線l1與拋物線C相切求出直線l1的方程，用點(diǎn)到直線的距離公式即可求出點(diǎn)F【詳解】（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)F作FA⊥MN，垂足為A,MN交x軸于點(diǎn)E，由題得∠AFM=π6，所以因?yàn)镸F=MN，所以△因?yàn)镺是FB的中點(diǎn)，所以DF=故FM=所以MN=8，AN=4，所以O(shè)F=12

（2）由（1）可知拋物線的方程是x2設(shè)直線PQ的方程為y=kx+mk≠0，P因?yàn)椤螾GQ=π2，所以即x1+x又y'=k=x04聯(lián)立y=kx+mx2=8y，消去y，得x則x1所以-8m+32k2+16設(shè)點(diǎn)F到直線PQ和直線l1的距離分別為d則由l1∥PQ得所以點(diǎn)F到直線PQ與到直線l1【點(diǎn)睛】解決定值問題的途徑就是用部分量去表示所求的量，本題就是利用韋達(dá)定理及其已知條件先找到部分量之間的關(guān)系，再用部分量去表示所求的量，最后用部分量之間的關(guān)系消元,即可得到定值.題型2周長(zhǎng)定值問題【例題2】（2023·云南大理·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)M到定點(diǎn)F3,0的距離和它到直線l：x=253(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)若直線l：y=kx+m與圓x2+y2=16相切，切點(diǎn)N在第四象限，直線l與曲線C交于A【答案】(1)x(2)證明見解析，定長(zhǎng)=10.【分析】（1）根據(jù)條件列方程，求出M點(diǎn)的軌跡方程；（2）根據(jù)題意，設(shè)定N點(diǎn)的參數(shù)，運(yùn)用點(diǎn)斜式直線方程，聯(lián)立橢圓與直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式以及第一問的條件即可求解.【詳解】（1）

設(shè)Mx,y，由條件可知：x-32+（2）

由（1）的結(jié)論知：曲線C是方程為x225+y2則kON=t聯(lián)立方程：x225+設(shè)Ax1,x1AB=由條件可知：BF=35△ABF的周長(zhǎng)=AB綜上，曲線C的方向?yàn)閤225+y2【點(diǎn)睛】本題的第一問是圓錐曲線的第二定義，難點(diǎn)在第二問的計(jì)算上，注意到出現(xiàn)的數(shù)字都是平方數(shù)，不必將所有的數(shù)乘起來(lái)，這樣便于計(jì)算和思考.【變式2-1】1.（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┮阎狿為圓C：x2+y(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程；(2)點(diǎn)M在圓x2+y2=3【答案】(1)x(2)△ABC的周長(zhǎng)為定值4【分析】（1）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知PQ=QN，可得QN+（2）設(shè)Ax1,y1,Bx2,【詳解】（1）由題意得：圓C:x-12+y2設(shè)PN中點(diǎn)為K，則QK為線段PN的垂直平分線，則PQ=所以QN+所以Q點(diǎn)軌跡是以C,N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，即a=2，c=1，則b2所以Q點(diǎn)軌跡方程為：x2

（2）設(shè)Ax1,則x124故AC=同理可得BC=2-因?yàn)锳B⊥OM,OM所以AM=同理可得BM=所以AB+即△ABC的周長(zhǎng)為定值4.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值【變式2-1】2.（2023·上?！ど虾Ｊ衅邔氈袑W(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓Γ：x2a2+y2b2=1(1)若△PFB為直角三角形，求Γ的離心率；(2)若a=2，b=1，點(diǎn)Q，Q'是橢圓Γ上不同兩點(diǎn)，試判斷“PQ=PQ'”是“Q(3)若a=2，b=3，點(diǎn)T為直線x=4上的動(dòng)點(diǎn)，直線TA，TB分別交橢圓Γ于C，D兩點(diǎn)，試問△FCD【答案】(1)5(2)必要不充分條件，理由見解析(3)是，理由見解析【分析】（1）利用△PFB為直角三角形得到PF?PB=0，轉(zhuǎn)化為ac=（2）根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可證必要性，又反例可知不滿足充分性.（3）先證直線CD過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，可得△FCD的周長(zhǎng)為4a=8【詳解】（1）

如圖F-c,0，P0,b，PF=-c,-b，由題意PF?PB=0，即ac=解得離心率e=（2）必要不充分條件.必要性：根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，當(dāng)Q，Q'關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，PQ充分性：橢圓方程為x24+|PQ|2=所以可舉反例：分別取y1=0，即Q(2,0)，Q使得PQ=PQ'=5，但（3）

由題意，A(-2,0)，B(2,0)，橢圓方程為x2設(shè)T4,t，則直線AT的斜率為t4--2聯(lián)立橢圓方程得(27+txA+xC=-4t所以C(54-2同理直線BT的方程為：y=t聯(lián)立橢圓方程得(3+txB+xD=4t所以D(2所以kCDCD直線方程為y--6t令y=0，可得x=1，即直線CD恒過(guò)橢圓的右焦點(diǎn).所以△FCD的周長(zhǎng)為定值4a=8.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為x1（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算Δ；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為x1+x2、x1（5）代入韋達(dá)定理求解.【變式2-1】3.（2023·甘肅·統(tǒng)考二模）已知橢圓C:x2a(1)求橢圓C的方程；(2)若P為直線x=4上一點(diǎn)，PA，PB分別與橢圓交于C，D兩點(diǎn)．①證明：直線CD過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F2②橢圓的左焦點(diǎn)為F1，求△C【答案】(1)x(2)①證明見解析；②定值為8.【分析】（1）由題意可得a=2，A-2,0，B2,0，設(shè)Mx（2）①設(shè)P(4,t)(t≠0)，聯(lián)立直線和橢圓方程，求得C54-2t227+t2,【詳解】（1）由已知得：a=2，A-2,0，B設(shè)Mx0,因?yàn)閗MA將①式代入，得4b2-所以橢圓C:x（2）①證明：設(shè)P(4,t)(t≠0)，則kPA=t同理可得kPB=t聯(lián)立方程x=6ty-2x2則C54-2同理聯(lián)立方程x=2ty+2x2則D2又橢圓的右焦點(diǎn)為F2所以F2C=因?yàn)?7-3t說(shuō)明C，D，F(xiàn)1三點(diǎn)共線，即直線CD恒過(guò)F②周長(zhǎng)為定值．因?yàn)橹本€CD恒過(guò)F1根據(jù)橢圓的定義，所以△CF1【變式2-1】4.（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)圓P與圓C1:x+12+y2(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)曲線C的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A1、A2，T為直線l:x=4上的動(dòng)點(diǎn)，且T不在x軸上，直線TA1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為M，直線TA2與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N，【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)動(dòng)圓P的半徑為R，分析可得PC1+（2）設(shè)點(diǎn)T4,tt≠0，設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，寫出直線TA1、TA【詳解】（1）解：設(shè)動(dòng)圓P的半徑為R，由題意可知：圓C1的圓心為C1-1,0，半徑為72；圓C2因?yàn)镃1C2=2，則C1因?yàn)閯?dòng)圓P與圓C1內(nèi)切，且與圓C則PC所以，動(dòng)圓P的圓心的軌跡E是以C1、C設(shè)其方程為x2a2+y所以，a=2，b2=a2-（2）證明：由題意可知A1-2,0、A2設(shè)Mx1,直線A1T的方程為y=t6x+2聯(lián)立方程y=ty=t6x+2x2由韋達(dá)定理可得-2?x1=則y1=t聯(lián)立方程y=t2x-t由韋達(dá)定理可得2x2=則y2=t所以，kMN所以，直線MN的方程為y+6t即y=-6tt2故直線MN過(guò)定點(diǎn)1,0，所以△FMN的周長(zhǎng)為定值8，當(dāng)t=±3時(shí)，M1,32、N1,-3所以，MN過(guò)橢圓E的焦點(diǎn)1,0，此時(shí)△FMN的周長(zhǎng)為定值4a=8，綜上所述，△FMN的周長(zhǎng)為定值8.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．【變式2-1】5.（2023上·北京密云·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的2倍，點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)k=1時(shí)，求△ABF的面積；(3)對(duì)?k≠0，△ABF的周長(zhǎng)是否為定值？若是，給出證明，并求出定值；若不是，說(shuō)明理由.【答案】(1)x(2)12(3)是，定值為8，證明見解析【分析】（1）由a、b、c關(guān)系及點(diǎn)在橢圓上建立方程組即可解得參數(shù)；（2）S△ABF（3）判斷直線恒過(guò)左焦點(diǎn)，由橢圓定義可得周長(zhǎng)為定值.【詳解】（1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的2倍，則a=2c，則b2∴橢圓為x24c2+y2∴橢圓C的方程為x2（2）k=1，則直線為y=x+1，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F1-1，設(shè)Ax1,y1,?y1+y∴y1∴S△ABF（3）△ABF的周長(zhǎng)為定值，理由如下：直線l恒過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F1-1，0，由橢圓定義可知題型3面積定值問題與面積有關(guān)的定值問題通常是利用面積公式把面積表示成某些變量的表達(dá)式，再利用題中條件化簡(jiǎn)，【例題3】（2023上·江西南昌·高三南昌市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)x，y∈R，向量i，j分別為平面直角坐標(biāo)內(nèi)x軸，y軸正方向上的單位向量，若向量a=x+3i(1)求點(diǎn)Mx,y的軌跡C(2)設(shè)橢圓E：x216+y24=1，曲線C的切線y=kx+m交橢圓E【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）利用平面向量的模的幾何意義、橢圓的定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程運(yùn)算即可得解.（2）利用直線與橢圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到的直線距離公式、三角形面積公式運(yùn)算即可得解.【詳解】（1）解：如上圖，由題意，∵a=x+3∴a=x+32+y2b=x-32+y2∴由a+b=4∴由橢圓的定義可知點(diǎn)Mx,y的軌跡C是以F1-且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=4，c=3，則b=∴由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知點(diǎn)Mx,y的軌跡C的方程為x（2）解：如上圖，由題意，直線y=kx+m是曲線C：x2∴由y=kx+mx24則Δ=64k2由題意，直線y=kx+m交橢圓E：x216+y2∴由y=kx+mx216設(shè)Ax1,y1、B∴x1又∵1+4k2=且由y1=kx∴AB=又∵△OAB中邊AB上的高h(yuǎn)即為點(diǎn)O到直線y=kx+m的距離，∴由點(diǎn)到直線距離公式得h=m1+k∴S△OAB即△OAB的面積為定值23【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與橢圓的相交弦長(zhǎng)的求解方法：1.當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.2.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線與橢圓相交于Ax1,（1）AB=（2）AB=1+1【變式3-1】1.（2023上·上海浦東新·高三上海市進(jìn)才中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓E:x24+y23(1)若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C0,3，且OA(2)若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C0,3，且S(3)若kOA?k【答案】(1)A1,3(2)y=32(3)是，3【分析】（1）由題意可得點(diǎn)A在線段OC的中垂線上，然后將y=3（2）由題意設(shè)直線l:y=kx+3，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，方法一，由題意可得點(diǎn)A為線段BC的中點(diǎn)，則（3）由題意可得3x1x【詳解】（1）由OA=AC知點(diǎn)A在線段所以由x24+y2所以A1,3（2）由題，直線l:y=kx+3，設(shè)Ax1,方法一：由S△AOC=S△AOB知點(diǎn)A為線段BC的中點(diǎn)，所以由x124+y所以A1,32所以32=k+3或32=-k+3，解得所以直線l的方程為y=32x+3方法二：由S△AOC=S△AOB得S△AOC由x24+所以Δ=由x1x2=24所以Δ=192k2-288>0所以，直線l的方程為y=32x+3（3）設(shè)Ax1,由kOA?k即3+4k由x24+所以Δ=代入（**）得3+4k所以(4m化簡(jiǎn)得4k因?yàn)锳B=1+點(diǎn)O到直線l的距離d=|m|所以S=2m9-3m2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的面積問題，解題的關(guān)鍵是將直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求解，考查計(jì)算能力，屬于較難題.【變式3-1】2.（2023上·湖北武漢·高三武鋼三中?？茧A段練習(xí)）已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，且AB=1，BC=2，○O1切直線l于點(diǎn)A，又過(guò)B、C作○O(1)求點(diǎn)P的軌跡E方程；(2)設(shè)M、N是P的軌跡E上的不同兩點(diǎn)且不關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，若OM，ON的斜率分別為k1，k2，問：是否存在實(shí)數(shù)λ，使得當(dāng)k1k2【答案】(1)x(2)存在，λ=-【分析】（1）根據(jù)圓切線的性質(zhì)，利用橢圓的定義可判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡為橢圓，適當(dāng)建系可得軌跡方程；（2）假設(shè)直線MN的斜率存在，設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用根于系數(shù)關(guān)系，求得弦MN的長(zhǎng)度，再利用點(diǎn)到直線距離可得O到MN的距離，可得三角形面積，根據(jù)面積為定值可得λ的值，再驗(yàn)證當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)成立.【詳解】（1）如圖所示，設(shè)過(guò)B、C異于l的兩切線分別切○O1于D、E兩點(diǎn)，兩切線交于點(diǎn)由切線的性質(zhì)可知：BA=BD，PD=故PB+PC=故由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以B、C為兩焦點(diǎn)的橢圓，以l所在的直線為x軸，以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：x2（2）設(shè)存在這樣的常數(shù)λ，使k1k2當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+m，Mx1,聯(lián)立直線與橢圓方程y=kx+mx得3+4k2x2+8kmx+4x1+xy1MN=點(diǎn)O到直線MN的距離為d=m所以S=1S2又k1k2即3m2-12所以S2若面積為定值，則-16λ16解得λ=-3此時(shí)S2=現(xiàn)驗(yàn)證當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)，若λ=-3當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)，設(shè)Mx0,則k1k2解得x0=2此時(shí)面積S=2×1綜上所述，存在常數(shù)λ=-34，使k1k2【點(diǎn)睛】(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．【變式3-1】3.（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)為F1,F2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)△PF1F2，△PF1B【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，求得a=2，結(jié)合離心率e=ca=12（2）設(shè)P(x0,y0聯(lián)立方程，得到y(tǒng)0y1=-9【詳解】（1）解：因?yàn)椤鱌F1B的周長(zhǎng)為所以4a=8，可得a=2，由橢圓的離心率e=ca=12所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）證明：設(shè)P(x0,可設(shè)直線PA的方程為x=my-1，其中m=x聯(lián)立方程x=my-1?x2則y0同理可得，y0因?yàn)镾2S3所以S2S3-S2+=y02【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)撥：圓錐曲線中的定值問題的求解方法：1、直接法：根據(jù)題設(shè)條件，直接推理計(jì)算，并在計(jì)算過(guò)程中消去變量，從而得到定點(diǎn)或定值；2、特殊位置法：先從特殊情況入手，求出定點(diǎn)或定值，再證明定點(diǎn)或定值與變量無(wú)關(guān)；3、函數(shù)方程思想：運(yùn)用函數(shù)的思想方法進(jìn)行求解，一般步驟（1）選擇適當(dāng)?shù)淖兞浚唬?）把要求解或證明的是定值的量表示成上述變量的函數(shù)；（3）把是定值的量化成與變量無(wú)關(guān)的形式，從而證明是定值.【變式3-1】4.（2023上·上海嘉定·高三上海市育才中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓Γ方程為x2a2(1)求橢圓的離心率；(2)當(dāng)直線PB1的一個(gè)方向向量是（1，1）時(shí)，求以PB1為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)點(diǎn)R滿足：RB1⊥PB1，R【答案】(1)3(2)x+(3)為定值4，理由見解析【分析】（1）由△B1F1B（2）由直線PB1的一個(gè)方向向量是(1,1)，可得直線PB1所在直線的斜率k=1，得到直線PB1的方程，由橢圓方程聯(lián)立，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，得到PB（3）設(shè)P(x0,y0)，R(x1,y1)求出直線PB1的斜率，進(jìn)一步得到直線RB1的斜率，得到直線RB1的方程，同理求得直線RB【詳解】（1）由△B1F1Bc=a2-b（2）由（1）知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2直線PB1的一個(gè)方向向量是(1,1)，且B直線PB1所在直線的斜率k=1，則直線PB1聯(lián)立y=x+2x216由x≠0解得xP=-165則PB1的中點(diǎn)坐標(biāo)為-8則以PB1為直徑的圓的半徑以PB1為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x+（3）設(shè)P(x0,y0)，直線PB1的斜率為kPB1=y于是直線RB1的方程為：同理，RB2的方程為：聯(lián)立兩直線方程，消去y，得x1∵P(x0,y0)在橢圓從而y02-4=-x0∴S△P題型4向量積定值問題與向量有關(guān)的定值問題常見類型一是求數(shù)量積有關(guān)的定值問題，二是根據(jù)向量共線，寫出向量系數(shù)的表達(dá)式，再通過(guò)計(jì)算得出與向量系數(shù)有關(guān)的定值結(jié)論.【例題4】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x2a2+y2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)圓x2+y2=45的切線交橢圓C于A【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）由離心率為32可以先得到a=2b（2）分直線AB的斜率是否存在進(jìn)行討論，當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，算出AN?NB=45，當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，將其與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理結(jié)合直線AB【詳解】（1）如圖所示：

因?yàn)闄E圓的離心率為32，所以32=則橢圓C的方程為x2將y=12代入橢圓方程，得則x2=4b所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x=±2將x=±255代入橢圓C的方程x所以|AN|=|NB如圖所示：

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．將y=kx+m與x24+y2由Δ=(8km)2設(shè)Ax1,y1則x1+x2=-則AN?由直線y=kx+m與圓x2+y2=由kON?k結(jié)合x02+又y0得-2kmx0=所以AN=1+綜上，AN?NB=【變式4-1】1.（2023上·四川·高三南江中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓過(guò)點(diǎn)C0,-1(1)求橢圓的方程．(2)設(shè)P是橢圓上一點(diǎn)（異于C,D），直線PC,PD與x軸分別交于M,N兩點(diǎn)．證明在x軸上存在兩點(diǎn)A,B，使得MB?【答案】(1)x2(2)證明見解析，定值為-12.【分析】（1）根據(jù)給定條件，設(shè)出橢圓方程，利用待定系數(shù)法求解即得.（2）設(shè)出點(diǎn)P,A,B的坐標(biāo)，利用向量共線探討出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，再求出MB?NA，并確定【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為px2+qy2所以橢圓的方程為x2（2）設(shè)Px0,則CM=(xM,1),CP=(x0,DN=(xN+85,則NA=(m-MB?令5my0+8y0+3m=-3ny于是MB?所以存在A-4,0和B4,0，使得MB?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）引出變量法，解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡(jiǎn)，得到定值；（2）特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．【變式4-1】2.（2022上·新疆昌吉·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)(1)求橢圓C的方程；(2)已知點(diǎn)M-54【答案】(1)x(2)-【分析】（1）由y2=4x得到其準(zhǔn)線為x=-1，進(jìn)而得到橢圓C的半焦距c=1（2）①當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，l的方程為x=-1，代入橢圓方程求得點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，驗(yàn)證即可；②當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l【詳解】（1）解：由y2=4x可得準(zhǔn)線為所以橢圓C的左焦點(diǎn)F1-1,0，所以橢圓C的半焦距c=1因?yàn)椤鰽BF2的周長(zhǎng)為所以4a=42，故a=所以b2所求橢圓的方程為x2（2）如圖所示：

①當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，l的方程為x=將x=-1代入x所以A-1,22，B-1,-2則MA?②當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，設(shè)Ax1由y=kx+1x2則x1+x2=-4k所以MA?=k=k=-綜上所述，MA?MB為定值，且定值為【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問題在設(shè)直線方程時(shí)，往往忽視斜率不存在的情況，一般來(lái)講，給一個(gè)點(diǎn)，設(shè)直線方程時(shí)用點(diǎn)斜式，分兩種情況，一是斜率不存在時(shí)，二是斜率存在時(shí)求解.【變式4-1】3.（2018·天津·統(tǒng)考一模）已知橢圓C:x2a(1)求橢圓C的方程；(2)已知直線y=kx-1①若MB=AN，求k的值；②若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為74【答案】(1)x(2)①k=2【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積即可求出a2（2）①根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算即可求出；②根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算即可求出．【詳解】（1）∵e=ca=22，∴又橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為2，即12b×2c=2，即以上各式聯(lián)立解得a2=4,b（2）①直線y=kx-1與x軸交點(diǎn)為M1,0，與聯(lián)立x2+2y2=4y=k設(shè)Ax1,y由MB=AN得：x1+②證明：由①知x1+∴QA∴QA

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法①?gòu)奶厥馊胧?，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值【變式4-1】4.（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l:x=-2與x軸交于點(diǎn)A，過(guò)l右側(cè)的點(diǎn)P作PM⊥l，垂足為M，且PA=

(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)B1,0的動(dòng)直線l'交軌跡C于S,T，設(shè)Q-3,0【答案】(1)y(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)提意思，設(shè)P(x,y)，得到M(-2,y)，結(jié)合PA=PM+（2）當(dāng)直線l'的斜率存在，可設(shè)l':y=k(x-1)，聯(lián)立方程組，設(shè)S(x1,y1),T(x2,y2)【詳解】（1）由題意，直線l:x=-2與x軸交于點(diǎn)A，過(guò)l右側(cè)的點(diǎn)P作PM⊥l，可得O(0,0),A(-2,0)，設(shè)P(x,y)，則M(-2,y)，因?yàn)镻A=PM+即(x+2)2+y（2）當(dāng)直線l'的斜率存在，可設(shè)直線l聯(lián)立方程組y=k(x-1)y2=4x+12設(shè)S(x因?yàn)橹本€l'與曲線C交于兩點(diǎn)，則Δ且x1因?yàn)镼-3,0，可得QS所以QS=(1+k當(dāng)直線l'的斜率不存在，此時(shí)直線l聯(lián)立方程組x=1y2=4x+12，解得x=±4此時(shí)QS=(4,4),QT=(4,-4)綜上可得，QS?QT為定值

題型5角度定值問題【例題5】（2023上·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖3所示，點(diǎn)F1，A分別為橢圓E:x2a2+y2b

(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F1作直線l交橢圓E于B，D兩點(diǎn)，連接AB，AD并延長(zhǎng)交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)M，N，求證：∠M【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）由拋物線的方程求出OF的長(zhǎng)，再由OF=2OA=4OF1求出（2）設(shè)直線l為x=ty-1，聯(lián)立直線l與橢圓E的方程，由韋達(dá)定理結(jié)合A,B,M三點(diǎn)共線可求出yM，同理求出yN，由向量的數(shù)量積求出【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)F為拋物線C:y2=16x的焦點(diǎn)，所以p因?yàn)镺F=2OA=4OF1，所以O(shè)F1=1，OA=2，所以a=2所以橢圓E的方程為x2（2）證明：由（1）可知：F1(-1,0)，設(shè)Bx1,y1，D顯然直線l的斜率不為0，故可設(shè)為x=ty-1.由x=ty-1,3x2Δ=36∴y1+∵A，B，M三點(diǎn)共線，∴y同理：yN∴yF1故F1M?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．【變式5-1】1.（2023下·浙江·高二浙江省開化中學(xué)校聯(lián)考期中）已知離心率為2的雙曲線E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左右頂點(diǎn)分別為A，B，頂點(diǎn)到漸近線的距離為3.過(guò)雙曲線E右焦點(diǎn)F的直線l(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記△ABP，△ABQ，△BPQ的面積分別為S1，S2，S3，當(dāng)S(3)若直線AP，AQ分別與直線x=1交于M，N兩點(diǎn)，試問∠MFN是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)x2(2)x=±y+4；(3)定值，π2【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，解之即可求解；（2）根據(jù)題意設(shè)直線l:x=my+4，聯(lián)立方程組將面積的表達(dá)式表示出來(lái)，根據(jù)面積的值進(jìn)而求解；（3）根據(jù)題意設(shè)出直線AP,AQ的方程，求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】（1）設(shè)雙曲線E的焦距為2c，取一條漸近線為bx-ay=0，又A-a,0則由題意可得ca故雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）由題意可得直線l的斜率不為0，設(shè)直線l:x=my+4，Px1,聯(lián)立x=my+4x24-y當(dāng)3m2-1≠0則y1+y當(dāng)l與雙曲線交于兩支時(shí)，S1-S2=當(dāng)l與雙曲線交于一支時(shí)，S1-S則S1-S故l:x=±y+4；（3）直線AP的方程為y=y令x=1，得y=3y1直線AQ的方程為y=y2x2+2x+2，令因?yàn)镕4,0，所以FM=-3,FM?故FM⊥FN，即故∠MFN為定值π2【變式5-1】2.（2023下·北京海淀·高三人大附中?？奸_學(xué)考試）已知橢圓C:x2a2+(1)求C的方程和離心率；(2)過(guò)點(diǎn)13,-1【答案】(1)x23(2)∠DAE是為定值，該定值為π【分析】（1）根據(jù)題目條件，結(jié)合公式a2（2）對(duì)直線l的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，斜率不存在時(shí)，求出點(diǎn)D,E的坐標(biāo)，計(jì)算kAD?kAE=-1；斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為l:y=k(x-【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為23，所以2a=23，得a=3代入點(diǎn)A1,1，得13+1b所以橢圓的方程為x23+（2）當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，l:x=13，代入橢圓方程解得D(1所以kAD?k若∠DAE為定值，則必為π2當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l:y=k(x-13)-聯(lián)立y=k(x-13)-所以x1所以(=2(y所以kAD?k綜上所述，∠DAE的大小為定值π2【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.【變式5-1】3.（2023下·河南安陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于點(diǎn)M，N（異于點(diǎn)A），直線AM，AN分別與直線x=4交于點(diǎn)P，Q．問：∠PFQ的大小是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)x(2)∠PFQ的大小為定值π【分析】（1）根據(jù)題意得到a=22（2）當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，得到P(4,2)，Q(4,-2)，從而得到kPF?kQF=-1，即可得到∠PFQ=π2，當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l:x=my+2,Mx1【詳解】（1）依題意，得a=22∴b=a所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）∠PFQ為定值π2①當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，代入橢圓方程，得M(2,2∴直線AM的方程為y=x+222+2，∴令x=4，得y=2，∴kPF=1,kQF②當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l:x=my+2,Mx聯(lián)立x28+易知Δ=16m2直線AM的方程為y=y令x=4，得y=(4+22)y1∴FP∴FP∴PF綜上所述，∠PFQ的大小為定值π2【變式5-1】4.（2023上·湖北十堰·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2b(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若橢圓C的左頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于B,D（異于點(diǎn)A）兩點(diǎn)，直線AB,AD分別與直線x=8交于M,N兩點(diǎn)，試問∠MFN是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)x(2)是定值，定值為π【分析】（1）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程列方程組求解即可；（2）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，易得∠MFN=π2，當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：x=my+2，Bx【詳解】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c，由題意可得a+c=6a-c=2a2故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）由（1）得A(-4,0)，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，l:x=2，代入橢圓方程x216+y2所以直線AB的方程為y=12x+4，令x=8，得y=6直線AD的方程為y=-12(x+4)，令x=8，得y=-6所以kFM=1，kFN=-1，則若∠MFN為定值，則必為π2當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l:x=my+2，Bx1,聯(lián)立x=my+2,x216Δ=則y1+y直線AB的方程為y=y1x1+4x+4，令直線AD的方程為y=y2x2+4x+4，令因?yàn)镕2,0，所以FM=6,則FM=36+144故FM⊥FN，即綜上，∠MFN為定值π2題型6運(yùn)算關(guān)系定值問題與代數(shù)式有關(guān)的定值問題，一般是依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡(jiǎn)即可得出定值◆類型1和關(guān)系【例題6-1】（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）如圖，已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A為

(1)求橢圓C1(2)若橢圓C2的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為F1,F2，且C2與C1的離心率相等，P為AB與C2異于F1【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）由△ABF2的周長(zhǎng)為8和△AF1F2面積的最大值為2，有（2）由已知求出橢圓C2的方程，設(shè)AB,MN的方程，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，表示出AB和MN，化簡(jiǎn)|AB|+|MN|【詳解】（1）∵△ABF2的周長(zhǎng)為8，由橢圓的定義得4a=8，即又△AF1F2面積的最大值為2，∵a2=b2+c∴橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為x（2）由（1）可知F1-2,0，F(xiàn)2設(shè)橢圓C2的方程為x2a'2+y橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x設(shè)P(x0,y0)，A(x1,y1依題意，可設(shè)直線AB，MN的斜率分別為k1則AB,MN的方程分別為y=k1x+于是k1聯(lián)立方程組y=k1(x+2)∴x1+∴|AB|=1+同理可得：|MN|=4∵k2=-∴|AB|+|MN|=4【點(diǎn)睛】解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．【變式6-1】（2022上·浙江嘉興·高二?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，已知橢圓E的焦點(diǎn)為F1-3,0，F(xiàn)23,0，且滿足______，橢圓E的上、下頂點(diǎn)分別為A,B，右頂點(diǎn)為D條件①；橢圓過(guò)點(diǎn)3,1請(qǐng)從上述兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在橫線上，并完成解答.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)Q在橢圓E上（且在第一象限），直線AQ與l交于點(diǎn)N，直線BQ與x軸交于點(diǎn)M.試問：OM+2【答案】(1)x2(2)是，2.【分析】（1）選①，利用橢圓定義求出長(zhǎng)軸長(zhǎng)即可求解作答；選②，利用橢圓離心率的定義求出長(zhǎng)半軸長(zhǎng)即可作答.（2）設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，求出點(diǎn)N、M的坐標(biāo)，計(jì)算OM+2【詳解】（1）選擇①，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=-則a=2，短半軸長(zhǎng)b=a所以橢圓E的方程為x2選擇②，由橢圓半焦距c=3，離心率e=32，得長(zhǎng)半軸a=所以橢圓E的方程為x2（2）由（1）知A0,1，B0,-1，D2,0，設(shè)Qx0,y直線l的方程為x=2，直線AQ的方程為y=y0-1x0于是得N(2,2y0-2x0+1)則OM+2所以O(shè)M+2DN為定值◆類型2差關(guān)系【例題6-2】（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線x24-(1)若點(diǎn)N2,9(2)過(guò)點(diǎn)M且與直線l垂直的直線分別交x軸于A(x1,0)，y軸于B(0,y1【答案】(1)y=(2)存在定點(diǎn)G-13136,0【分析】（1）雙曲線與直線聯(lián)立方程組，由判別式為0和點(diǎn)N2,9在直線l上，解得k,m（2）雙曲線與直線聯(lián)立方程組，求出點(diǎn)M坐標(biāo)，表示出過(guò)點(diǎn)M且與直線l垂直的直線，解得A(x1,0)，B(0,【詳解】（1）點(diǎn)N2,9在直線l:y=kx+m上，則有9=2k+m

聯(lián)立x24-由9-4k2≠0，則Δ所以：9-2k2=4k當(dāng)k=52時(shí)，m=4（2）聯(lián)立x24-因?yàn)閗≠±3所以Δ=64k2解得點(diǎn)M的坐標(biāo)為4km9-4k2于是，過(guò)點(diǎn)M且與l垂直的直線為y+9

可得A13k-m,0，B0,-13m，于是x1即P的軌跡方程為：x2存在定點(diǎn)G-13136,0【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與雙曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．要強(qiáng)化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．【變式6-2】（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E:x22+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)T(2,0)的直線l(1)求直線AF2，(2)設(shè)AF1與BF2交于點(diǎn)【答案】(1)0(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)直線l:x=my+2，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理計(jì)算斜率之和即可；（2）取A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C(x1,-y1【詳解】（1）由已知得F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)，設(shè)當(dāng)直線斜率為0時(shí)，易得kA當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l:x=my+2，與橢圓方程聯(lián)立x=my+2，即(m由韋達(dá)定理可知:y1+y故kAkAF2綜上，kA（2）設(shè)P(x0,y0由（1）可知，B,F設(shè)直線BF2:x=1-x=1-x1y1y+1x=又x1=1因?yàn)閤12+2y1所以P的軌跡是焦距為2，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的雙曲線右支的一部分，所以|PF◆類型3積關(guān)系【例題6-3】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2-y2(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)設(shè)Q是C上任意一點(diǎn)，過(guò)Q作與C的兩條漸近線平行的直線，與x軸分別交于點(diǎn)M，N，判斷x軸上是否存在點(diǎn)G，使得GMGN【答案】(1)x(2)存在【分析】（1）由頂點(diǎn)A2,0得a=2，由D,E對(duì)稱性設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為Dx0,y0，（2）假設(shè)存在G(m,0)，設(shè)出點(diǎn)Q(s,t)，由QM,QN分別平行于漸近線，可得M,N的坐標(biāo)，用s,t,m表示GMGN，利用曲線方程s24-t【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線C的一個(gè)頂點(diǎn)為A2,0，所以a=2設(shè)Dx0,所以x024整理得y0因?yàn)橹本€AD，AE的斜率之積為y0所以b=1，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）假設(shè)x軸上存在點(diǎn)Gm,0，使得GM設(shè)Qs,t，則s24設(shè)Mx1,0因?yàn)镃的兩條漸近線的斜率為±1不妨設(shè)kQM=t則x1=s-2t，所以GMGN所以當(dāng)m=0，即G0,0時(shí)，GM【點(diǎn)睛】解決是否存在某點(diǎn)使得與線段長(zhǎng)度有關(guān)的式子為定值的問題，一般先假設(shè)此點(diǎn)存在，根據(jù)點(diǎn)的特點(diǎn)設(shè)出其坐標(biāo)（含參數(shù)），根據(jù)給定的曲線方程求出相關(guān)代數(shù)式，對(duì)參數(shù)賦值，判斷是否可得到定值，若可得定值，則也可得到存在的該點(diǎn)坐標(biāo)【變式6-3】（2021上·遼寧大連·高二大連八中校考階段練習(xí)）已知雙曲線x2a2-y2=1的漸近線傾斜角分別為30°(1)求雙曲線方程．(2)過(guò)點(diǎn)P分別作兩漸近線的垂線，垂足分別為Q,R，求證：|PQ|?|PR|為定值．【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）由漸近線方程求解b，即可得雙曲線方程；（2）設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)，由點(diǎn)線距離公式用【詳解】（1）雙曲線漸近線方程為y=±33x，又b=1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）設(shè)P(x0,則|PQ|?|PR|=又x023-y◆類型4商關(guān)系【例題6-4】（2023上·廣西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線x2a2-y(1)求雙曲線的離心率；(2)過(guò)M0,1的直線與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F且與PQ平行的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，試問MP【答案】(1)3(2)是，定值為65【分析】（1）代入點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)立方程可得雙曲線方程，進(jìn)而由離心率公式即可求解.（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式分別求解AB,【詳解】（1）將點(diǎn)3,52和點(diǎn)4,15得9a2所以雙曲線的離心率e=1+（2）依題意可得直線PQ的斜率存在，設(shè)PQ：y=kx+1．聯(lián)立y=kx+1,x24設(shè)Px1,y1，Q所以MP?MQ=F3,0，直線AB：y=kx-3．設(shè)Ax聯(lián)立y=kx-3,x則x3+x則AB=1+所以MP?MQAB=24

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍或者定值問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等或者等量關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.【變式6-4】1.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2-y2a2(1)求C的方程；(2)證明：MF【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，直接列出方程求解a，可得答案.（2）根據(jù)題意，分類討論當(dāng)l垂直于x軸和l不垂直于x軸時(shí)的情況，對(duì)于l垂直于x軸的情況，直接列方程計(jì)算；對(duì)于l不垂直于x軸時(shí)的情況，直線與雙曲線聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理，計(jì)算化簡(jiǎn)可證明成立.【詳解】（1）根據(jù)題意有F22a,0將x=2a代入C的方程有M2所以M，N到直線y=x的距離之和為2a-a所以a=2，C的方程為x（2）

方法1：當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，由（1）可知，MF且由雙曲的定義可知MF1=當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，由雙曲線的定義可知MF1=故MF設(shè)l:y=kx-2，代入C的方程有：1-設(shè)Mx1,y1，N所以1MF2所以MF綜上，MF方法2：當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，由（1）可知，MF且由雙曲的定義可知MF故MF當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l:y=kx-2代入C的方程有：1-k設(shè)Mx1,y1，N所以MF1M綜上，MF【變式6-4】2.（2023上·四川成都·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左，右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為12，點(diǎn)P是橢圓C上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，射線(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：PF【答案】(1)x(2)見解析【分析】（1）利用橢圓的定義及性質(zhì)計(jì)算即可；（2）假設(shè)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可表示出y0y1和y0y2，代入PF【詳解】（1）令，由題意得：c2=a∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2（2）設(shè)Px0,y0設(shè)直線PF1，PF2的直線方程分別為由x=m1y-1∴y0∵x0=即m1=x∴y0同理由x=m2y+1x2∴PF

【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的定值問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于x或y的一元二次方程的形式；②利用Δ>0③結(jié)合韋達(dá)定理表示出所求量，將所求量轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的函數(shù)的形式；④化簡(jiǎn)所得函數(shù)式，消元可得定值.【變式6-4】3.（2023·山東德州·三模）已知F1,F2分別為雙曲線C:x2a2-(1)求雙曲線C的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)F2且斜率為k的直線l交雙曲線C的右支于A,B兩點(diǎn)，Q為x軸上一點(diǎn)，滿足QA=QB【答案】(1)x(2)AF1【分析】（1）將點(diǎn)P2,26代入雙曲線上，結(jié)合雙曲線漸近線與圓相切得到方程組，求出（2）設(shè)直線方程為y=kx-3，與雙曲線C的的方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，求出A,B的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出AB的垂直平分線的方程，求出Q【詳解】（1）由題意點(diǎn)P2,26在雙曲線C上，可得圓x2+y所以1=31+解得a2故雙曲線方程為x2（2）AF設(shè)直線方程為y=kx-3，由于直線交雙曲線C的右支于A,B兩點(diǎn)，故k≠0聯(lián)立x2-y當(dāng)k2故k2≠8，此時(shí)

設(shè)Ax1,則x1即A,B的中點(diǎn)坐標(biāo)為3k因?yàn)镼為x軸上一點(diǎn)，滿足QA=QB，故Q為AB的垂直平分線與AB的垂直平分線的方程為：y-24k令y=0，則得x=27k2所以QF又AB=又因?yàn)锳,B在雙曲線的右支上，故AF故AF1+故AF即AF1+【點(diǎn)睛】定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.◆類型5平方關(guān)系【例題6-5】（2023上·福建廈門·高三廈門一中?？茧A段練習(xí)）已知A,B分別是橢圓C:x2a2+y2(1)求橢圓的方程；(2)直線l//AB，與x軸交于點(diǎn)M，與橢圓相交于點(diǎn)C,D，求證：【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)Aa,0,B0,b，因?yàn)锳B=5（2）設(shè)直線l的方程為y=-12x+m，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)C【詳解】（1）A,B分別是橢圓C:x可得Aa,0,B0,b，因?yàn)锳B直線AB的斜率為-12，所以0-ba-0所以橢圓的方程為x2（2）設(shè)直線l的方程為y=-12x+m與橢圓方程聯(lián)立y=-12x+m由2m2-42設(shè)Cx1,CM2所以CM2

【變式6-5】1.（2023上·河南焦作·高三博愛縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知半橢圓y2a2+x2b2=1(y>0,a>b>0)和半圓x

(1)求曲線Γ的方程；(2)連接PC，PD分別交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，求證：|AE|【答案】(1)y22+(2)證明見解析.【分析】（1）把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入半圓方程求出b即可；由面積最大可得半圓在點(diǎn)M處的切線與直線AG平行，借助斜率求出a值作答.（2）設(shè)點(diǎn)P(x0,y0【詳解】（1）由點(diǎn)M在半圓上，得b2=(63當(dāng)半圓在點(diǎn)M處的切線與直線AG平行時(shí)，△AGP的面積最大，此時(shí)OM⊥AG，直線OM的斜率kOM=-22，則直線AG的斜率所以曲線Γ的方程為y22+（2）由（1）及已知得C(1,2)，D(-1,2則直線PC方程為y-2y0-2=x-1直線PD方程為y-2y0-2=x+1又A(-1,0)，B(1,0)，x0所以|AE=(【變式6-5】2.（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2-(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；(2)已知過(guò)點(diǎn)Gx1,y1的直線l1:x1【答案】(1)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24(2)證明見解析，6【分析】（1）由雙曲線過(guò)點(diǎn)M和離心率求得a,b,c的值，從而寫出雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；（2）由點(diǎn)N在l1和l2上，得出直線GH的方程，然后聯(lián)立直線GH與漸近線方程得到P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用N,P,Q坐標(biāo)表示出【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線C:x2a2-又因?yàn)閑=ca=52所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24-（2）設(shè)點(diǎn)Nx0,y0因?yàn)镹x0,y0所以x1x0+4y所以GH所在的直線方程為x0將直線GH與漸近線方程聯(lián)立得x0x+4y即P4x0所以4ON2-因?yàn)?=-201x0所以4ON2-所以4ON【點(diǎn)睛】求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．題型7坐標(biāo)相關(guān)定值問題【例題7】（2023上·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線C：y2＝4x，圓M：(x(1)求圓M的方程；(2)設(shè)P為x=-7上一點(diǎn)，P的縱坐標(biāo)不等于±2．過(guò)點(diǎn)P作圓M的兩條切線，分別交拋物線C于兩個(gè)不同的點(diǎn)A(x1,y1)，【答案】(1)x-32(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，由兩點(diǎn)間距離公式可得MN=x0-12+8（2）根據(jù)題意，設(shè)切線方程為y-y0=k【詳解】（1）設(shè)拋物線上的點(diǎn)Nx0,所以MN=x0-32+y0當(dāng)且僅當(dāng)x0所以MN的最小值22所以圓M上的點(diǎn)到拋物線上的點(diǎn)距離最小值為22所以r=2，所以圓M的方程為x-3（2）設(shè)P-7,y0設(shè)切線方程為y-y0=k又圓M：x-32+y整理得：14+67依題意知Δ1>0，所以聯(lián)立y-y0=k依題意知Δ2>0，設(shè)點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)為則y1y2所以y＝16y0[【變式7-1】1.（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線T的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過(guò)-2,1，1,14，-2,-2，(1)求拋物線T的方程：(2)已知圓x2+y-22=3，過(guò)點(diǎn)Pm,-1m≠±3作圓的兩條切線，分別交拋物線T于【答案】(1)x(2)是定值16．【分析】（1）由題意，根據(jù)對(duì)稱性可知點(diǎn)-2,1和點(diǎn)-2,-2不可能同時(shí)在拋物線T上，點(diǎn)-2,-2和點(diǎn)3,-2也不可能同時(shí)在拋物線T上，分別設(shè)拋物線的方程為x2=2pyp>0（2）設(shè)出直線AB的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出k1的表達(dá)式，同理得到k2的表達(dá)式，易知k1,k2是方程m2-3k2+6mk+6=0的兩個(gè)根，利用韋達(dá)定理得到k【詳解】（1）拋物線T的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過(guò)-2,1，1,14，-2,-2，由對(duì)稱性，點(diǎn)-2,1和點(diǎn)-2,-2不可能同時(shí)在拋物線T上，點(diǎn)-2,-2和點(diǎn)3,-2也不可能同時(shí)在拋物線T上，則拋物線只可能開口向上或開口向右，設(shè)T:x2=2pyp>0，若過(guò)點(diǎn)-2,1，則∴x2=4y，拋物線過(guò)點(diǎn)1,設(shè)T:y2=2pxp>0，若過(guò)點(diǎn)1,∴y2=1綜上，拋物線T的方程為x2（2）Pm,-1，設(shè)直線AB:y=k1由AB與圓相切得3+k1m

設(shè)CD:y=k2x-m∴k1,k2是方程聯(lián)立y=k1x-m-1x同理x3∴x=166m2【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與拋物線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，強(qiáng)化有關(guān)直線與拋物線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．【變式7-1】2.（2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C1的方程為y(1)若M是C1上的一點(diǎn)，點(diǎn)N在C1的準(zhǔn)線l上，C1的焦點(diǎn)為F，且FM⊥FN，MF(2)設(shè)Px0,y0x0≠m±r,y0≠±m(xù)為圓C【答案】(1)5(2)證明見解析【分析】（1）先求得M點(diǎn)的坐標(biāo)，求得直線MF的斜率，進(jìn)而求得直線NF的斜率，由直線NF的方程求得N點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得NF.（2）設(shè)出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑列方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，聯(lián)立切線的方程和拋物線的方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，由A,B,C,D四點(diǎn)的縱坐標(biāo)乘積為定值求得m2【詳解】（1）由題意可得，拋物線C1:y2=8x不妨設(shè)點(diǎn)Ma,ba>0,b>0，則即a=8，可得b2=64，即所以M8,8，則直線MF的斜率k為FM⊥FN，所以直線NF的斜率kNF所以直線NF的方程為y=-3令x=-2，解得y=3，即N-2,3故NF=

（2）設(shè)Pt,y0，由t≠m±r知過(guò)P所作圓C2的切線的斜率k存在且非零，每條切線都與C設(shè)切線方程為y-y0=k故km+y0-kt則過(guò)P所作的兩條切線PA，PC的斜率k1，k故有k1+k聯(lián)立y-y0=k設(shè)點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，y3由③得y1同理可得y3于是得y1設(shè)y02-t把②式代入整理得y0要使上式與y0的取值無(wú)關(guān)，則當(dāng)且僅當(dāng)常數(shù)λ=0且mA,B,C,D四點(diǎn)的縱坐標(biāo)乘積為定值64t

【點(diǎn)睛】求解與拋物線焦半徑有關(guān)的問題，可以利用拋物線的定義來(lái)列方程進(jìn)行求解.求解有關(guān)直線和圓位置關(guān)系有關(guān)問題，可利用圓心到直線的距離來(lái)建立等量關(guān)系式.要求直線和圓錐曲線的交點(diǎn)，可通過(guò)聯(lián)立方程組來(lái)求解.【變式7-1】3.（2023·河南信陽(yáng)·信陽(yáng)高中?？既＃┮阎獟佄锞€C1:y

(1)求a，p的值；(2)設(shè)P為直線x=-1上除-1,-3，-1,3兩點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，過(guò)P作圓C2:x-22+y2=3的兩條切線，分別與曲線C1相交于點(diǎn)A，【答案】(1)a=±22，(2)定值為64【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義求出p，利用兩點(diǎn)距離公式求出a；（2）設(shè)切線方程，聯(lián)立方程韋達(dá)定理，結(jié)合直線與圓相切得到斜率關(guān)系，從而求解縱坐標(biāo)之積為定值.【詳解】（1）根據(jù)拋物線的定義，Q1,a到準(zhǔn)線x=-∴1+p2=3∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為2,0，∴1+a2=3（2）設(shè)P-1,y0，過(guò)點(diǎn)P由y2=8xy-若直線AB，CD的斜率分別為k1，k2，設(shè)A，B，C，D的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，∴y1y2∵C2到l的距離d=3k+y∴k1+k∴y1y2∴A，B，C，D四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為定值，且定值為64.【變式7-1】4.（2023·上海長(zhǎng)寧·上海市延安中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓Γ:x24+y2(1)求橢圓Γ的方程；(2)設(shè)圓C:x2+y2+8x-23(3)若點(diǎn)M是橢圓Γ上不與橢圓頂點(diǎn)重合且異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)N，直線MP?NP分別交x軸與點(diǎn)Em,0?點(diǎn)F【答案】(1)x(2)P85(3)定值為4，理由見解析【分析】（1）根據(jù)離心率得到b2（2）確定圓心和半徑，設(shè)出直線，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑得到斜率，解得答案.（3）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三點(diǎn)共線得到m=x1y【詳解】（1）橢圓Γ:x24+故橢圓方程為：x2（2）圓C:x2+故圓心C-4,3，半徑R=23設(shè)直線AP的方程為y=kx+3，即kx-y+直線與圓相切，則-4k1+k2當(dāng)k=3時(shí)，y=3x+3x24當(dāng)k=-3時(shí)，y=-3x+3x24故P-8（3）設(shè)Mx1,y1M,P,E三點(diǎn)共線，則ME=λMP，即解得m=x1ym?n=x【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了橢圓方程，直線和圓的位置關(guān)系，定點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用三點(diǎn)共線確定m=x1y【變式7-1】5.（2022·安徽淮南·統(tǒng)考二模）已知離心率為22的橢圓C:x2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)試判斷xMxN

是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)x(2)是，定值為85【分析】（1）根據(jù)條件，列出關(guān)于a,b,c的方程組，即可求橢圓方程；（2）首先設(shè)直線PQ方程，與橢圓方程聯(lián)立，并求得根與系數(shù)的關(guān)系，分別利用點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)表示直線AP,AQ的方程，并利用韋達(dá)定理表示xM【詳解】（1）由條件可知ca=2所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）由條件設(shè)直線PQ的方程為y=kx+3,Px聯(lián)立y=kx+3x28則Δ=(12k)2根據(jù)韋達(dá)定理得x根據(jù)題意，直線AP:y=y1+2x1于是xM?所以xM?x

【變式7-1】6.（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓x2a2+y(1)求橢圓方程；(2)若直線y=kx+m交橢圓于Ax1,y1，B【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）由題意設(shè)a=2t，c=tt>0（2）直線方程聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示x1+x2,【詳解】（1）由橢圓的離心率為22，可設(shè)a=2t，c=t四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為菱形，其面積為S=1即t=1，即橢圓的方程為：x2（2）S△AOB聯(lián)立直線y=kx+m與橢圓x22+Δ=(4km)2得S△AOB整理得2m而x1所以x1題型8參數(shù)相關(guān)定值問題（1）引出變量法，解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡(jiǎn)，得到定值；（2）特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．【例題8】（2023上·貴州貴陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：y2a2+x(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，與定直線l1：y=9交于點(diǎn)D，設(shè)DP=λPF，DQ=μ【答案】(1)y2(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，列式求出a,b,c即可.（2）按直線l的斜率存在與否探討，利用韋達(dá)定理，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算推理即得.【詳解】（1）令橢圓C：y2a2+所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2（2）由（1）知，F(xiàn)0,1當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：x=0，不妨令P(0,3),Q(0,-3)，而D(0,9)，則DP=3PF，DQ=-3當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=kx+1k≠0由y=kx+1y29易知Δ>0，設(shè)Px1,y則x1+x2=y1由DP=λPF，得x1同理由DQ=μQF，得則λ+μ=y所以λ+μ為定值0.

【變式8-1】1.（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)校考三模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)為F(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若PF1=λ1【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）利用橢圓的定義及性質(zhì)計(jì)算即可；（2）設(shè)直線PA的方程為x=my-1，設(shè)Px0,y0,Ax【詳解】（1）∵C△PF1∴4a=8，a=2由離心率為12得c=1，從而b=所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）

設(shè)Px0,y0可設(shè)直線PA的方程為x=my-1，其中m=x聯(lián)立x=my-1x24則y0y1因?yàn)镻F1=所以λ=y所以λ1+λ【變式8-1】2.（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）已知橢圓C：x2a2+y(1)求橢圓C的方程；(2)已知經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P1,1的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且與直線y=-34x相交于點(diǎn)Q，如果AQ=λ【答案】(1)x2(2)245【分析】（1）由已知結(jié)合橢圓的性質(zhì)可求a，b，進(jìn)而可求橢圓方程；（2）先對(duì)直線l的斜率是否存在分類討論，然后聯(lián)立直線l與已知橢圓方程，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系及向量的線性坐標(biāo)表示可求．【詳解】（1）由題意得b=3解得a2=4，故橢圓C的方程為x2（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，A1,32，B1,-3則AQ=0,-94，AP=此時(shí)AQ=92AP，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則直線l的方程為y=kx-1聯(lián)立y=kx-1+1y=-設(shè)Ax1,聯(lián)立y=kx+1-k3x2則x1+x因?yàn)锳Q=λAP，所以λ=xQ-所以λ+μ=x

【點(diǎn)睛】圓錐曲線中的范圍或最值以及定值問題，可根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范圍或由判別式求解，解題中注意函數(shù)單調(diào)性和基本不等式的作用．另外在解析幾何中還要注意向量的應(yīng)用，如本題中根據(jù)向量的共線得到點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而為消去變量起到了重要的作用【變式8-1】3.（2023·云南·云南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的離心率是3，實(shí)軸長(zhǎng)是2，O為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)點(diǎn)Px0,y0為雙曲線C上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)(1)當(dāng)l的方程為x0xa(2)設(shè)MP=λPN，求證：【答案】(1)S=(2)證明見解析【分析】（1）首先求雙曲線方程，直線l方程與雙曲線方程聯(lián)立，得到x1角和的正切公式表示|tan∠MON|，并求即可求解；（2）利用向量的坐標(biāo)表示關(guān)系，點(diǎn)P的坐標(biāo)用點(diǎn)M,N的坐標(biāo)表示，并代入雙曲線方程求x1【詳解】（1）由題意可知，2a=2，ca=3則a=1，b=2.∴雙曲線C的方程為x設(shè)P(x0，?y把l：x0x-y0y2=1∴Δ=16x0∵|tan∠MON|=2∴S=1∴S=2（2）證明：雙曲線漸近線方程為y=±2x，則由MP=λPN，得x0∵x02-y0化簡(jiǎn)可得x1∴S=1∴(1+λ)2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與雙曲線相交的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查弦長(zhǎng)公式，三角恒等變換，以及韋達(dá)定理，本題的關(guān)鍵是利用點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，正確表示S=1【變式8-1】4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知M4,m是拋物線C:

(1)求拋物線C的方程及點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)如圖所示，過(guò)點(diǎn)P2,0的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)Q，設(shè)QA=λPA，QB【答案】(1)y2=4x，4,4(2)證明見解析【詳解】（1）由拋物線的定義，得4+p所以拋物線C的方程為y2=4x，M的坐標(biāo)為4,4或（2）由題意知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)l的方程為x＝ty＋1（t≠0），則Q0,-1t.將x＝ty＋1代入y2=4x得y2-4ty-4=0.設(shè)A由QA=λPA，得λ=1+1ty所以λ+μ=2+1ty【變式8-1】5.（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，圓(1)求C的方程及點(diǎn)F與圓D上點(diǎn)的距離的最大值；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M0,1的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，直線AD，BD分別與y軸相交于點(diǎn)P，Q，MP=mMO