613全概率公式課件高二上學(xué)期北師大版選擇性2

1.3全概率公式

在上節(jié)計算按對銀行儲蓄卡密碼的概率時,我們首先把一個復(fù)雜事件表示為一些簡單事件運(yùn)算的結(jié)果,然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率,下面我們再看一個求復(fù)雜事件概率的問題.探究引入

溫故知新1.3全概率公式1.了解全概率公式和貝葉斯公式的概念.2.掌握利用全概率公式和貝葉斯公式求概率的方法.3.能利用全概率公式和貝葉斯公式解決生活中一些簡單的實際問題.1.通過對全概率公式和貝葉斯公式概念的學(xué)習(xí),體會數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.借助全概率公式和貝葉斯公式求解概率,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).課標(biāo)要求素養(yǎng)要求探究點全概率公式問題1:如圖,有三個箱子,分別編號為1,2,3,其中1號箱裝有1個紅球和4個白球,2號箱裝有2個紅球和3個白球,3號箱裝有3個紅球,這些球除顏色外完全相同.某人先從三箱中任取一箱,再從中任意摸出一球,求取得紅球的概率.探究導(dǎo)學(xué)

按照某種標(biāo)準(zhǔn),將一個復(fù)雜事件表示為兩個互斥事件的并,再由概率的加法公式和乘法公式求得這個復(fù)雜事件的概率.規(guī)律方法問題2某電子設(shè)備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的,根據(jù)以往的記錄有如表的數(shù)據(jù)：設(shè)這三家元件制造廠的元件在倉庫中是均勻混合的,且無區(qū)別的標(biāo)志.在倉庫中隨機(jī)地取一只元件,求它是次品的概率.元件制造廠次品率提供元件的份額10.020.1520.010.8030.030.05分析:設(shè)事件Bi表示“所取到的產(chǎn)品是由第i家元件制造廠提供的”(i=1,2,3),事件A表示“取到的是一件次品”.其中B1,B2,B3兩兩互斥,A發(fā)生總是伴隨著B1,B2,B3之一同時發(fā)生.即A=B1A∪B2A∪B3A,且B1A,B2A,B3A兩兩互斥.運(yùn)用互斥事件概率的加法公式和乘法公式,得

P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)－P(B3)P(A|B3)=0.15×0.02+0.80×0.01+0.05×0.03=0.0125.因此,在倉庫中隨機(jī)地取一只元件,它是次品的概率為0.0125.從上述兩個問題可以看出,某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因,如問題1中摸得的紅球有三種來源:可能取自1號箱,也可能取自2號箱或3號箱；問題2中取到的次品可能產(chǎn)自第1家元件制造廠,也可能產(chǎn)自第2家元件制造廠或第3家元件制造廠.若A是由原因Bi(Bi=1,2,…n)所引起,則A發(fā)生的概率是P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi),由于每一個原因都

可能導(dǎo)致A發(fā)生,且各原因涵蓋所有可能的情形并彼此互斥,故事件A發(fā)生的概率是各原

因引起A發(fā)生概率的總和,即規(guī)律方法設(shè)Ω是試驗E的樣本空間,B1,B2,…,Bn為樣本空間的一組事件,若(1)BiBj=?,其中i≠j(i,j=1,2,…,n),(2)B1∪B2∪…∪Bn=Ω則稱B1,B2,…,Bn為樣本空間的一個劃分.條件(1)表示每次試驗B1,B2,…,Bn中只能發(fā)生一個；條件(2)表示每次試驗B1,B2,…,Bn必有發(fā)生一個.設(shè)B1,B2,…,Bn為樣本空間的一個劃分,若P(Bi)>0,則對任意一個事件A有稱此公式為全概率公式.全概率公式

如果我們把B;看成導(dǎo)致事件A發(fā)生的各種可能“原因”,那么,全概率公式告訴我們:事件A發(fā)生的概率恰好是事件A在這些“原因”下發(fā)生的條件概率的平均.(1).B1,B2,…,Bn是一組兩兩互斥的事件;(2).B1∪B2∪…∪Bn=Ω;(3).P(Bi)>0.P(A)=P(B1)·P(A|B1)+P(B2)·P(A|B2)+…+P(A)·P(A|Bn)特別提醒例6

釆購員要購買某種電器元件一包(10個).他的采購方法是:從一包中隨機(jī)抽查3個,如這3個元件都是好的,他才買下這一包.假定含有4個次品的包數(shù)占30%,而其余包中各含1個次品,求采購員隨機(jī)挑選一包拒絕購買的概率.

例題精講

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例7

甲、乙、丙三人同時對飛機(jī)進(jìn)行射擊,三人擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7.飛機(jī)被一人擊中且擊落的概率為0.2,被兩人擊中且擊落的概率為0.6,若三人都擊中,飛機(jī)必定被擊落,求飛機(jī)被擊落的概率.解:設(shè)事件A表示“飛機(jī)被擊落”,事件Bi表示“飛機(jī)被i人擊中”(i=0,1,2,3),則B0,構(gòu)成樣本空間的一個劃分,且依題意,P(A|B0)=0,P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,P(A|B3)=1.再設(shè)事件Hi表示“飛機(jī)被第i人擊中”i=1,2,3).由全概率公式,可知P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.09×0+0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458因此,飛機(jī)被擊落的概率為0.458.

運(yùn)用全概率公式的一般步驟如下：(1)求出樣本空間Ω的一個劃分B1,B2,…,Bn；(2)求P(Bi)(i=l,2,…,n)；(3)求P(A|Bi)(i=l,2,…,n)；(4)求目標(biāo)事件的概率P(A).可以形象地把全概率公式看成“由原因推結(jié)果”,每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”,即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān).全概率公式表達(dá)了它們之間的關(guān)系.規(guī)律方法在實際中,還有一類問題是“已知結(jié)果求原因".這類問題更為常見,它所求的是條件概率,是已知某結(jié)果發(fā)生條件下,探求各原因發(fā)生的可能性大小.例8:如圖,有三個箱子,分別編號為1,2,3,其中1號箱裝有1個紅球和4個白球,2號箱裝有2個紅球和3個白球,3號箱裝有3個紅球,這些球除顏色外完全相同.某人先從三箱中任取一箱,再從中任意摸出一球,發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號箱的概率以及該球取自幾號箱的可能性最大.例題精講解設(shè)事件Bi表示“球取自i號箱”(i=1,2,3),事件A表示“取得紅球”.由全概率公式,可得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)再由條件概率知:

設(shè)B1,B2,…,Bn為樣本空間Ω的一個劃分,P(A)>0,P(Bi)>0(i=l,2,…,n),則稱上式為貝葉斯(Bayes)公式.該公式于1763年由貝葉斯給出.它是在觀察到事件人已發(fā)生的條件下,尋找導(dǎo)致人發(fā)生的每個原因的概率,貝葉斯公式的思想就是“執(zhí)果溯因".抽象概括課堂小結(jié)P194練

習(xí)1.某商場出售的燈泡來自甲、乙、丙三個工廠,甲廠產(chǎn)品占80%,合格率為90%;乙廠產(chǎn)品占10%,合格率為95%;丙廠產(chǎn)品占10%合格率為80%.某顧客購買了一個燈

泡,求它是合格品的概率.2.某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005,患者對一種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.95,正常人對這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.04.現(xiàn)抽查查了一個人,試驗反應(yīng)是陽性,則此人是癌癥患者的概率有多大?課堂練習(xí)

4.考慮恰有兩個小孩的家庭.若某家第一個是男孩,則這家有兩個男孩(相當(dāng)于第二個也是男孩)的概率為

(假定生男生女為等可能).5.同時拋擲紅、藍(lán)兩枚均勻的骰子,設(shè)事件A表示“藍(lán)色骰子擲出的點數(shù)為3或6”,事件B表示“紅、藍(lán)兩枚骰子擲出的點數(shù)之和大于8”,則

P(B|A)=

.6.甲、乙兩人參加面試,每人的試題通過不放回抽簽的方式確定.假設(shè)被抽的10個試題簽中有4個是難題簽,按甲先乙后的次序抽簽.(1)求甲抽到難題簽的概率;(2)若甲抽到難題簽,求乙也抽到難題簽的概率;(3)求甲和乙都抽到難題簽的概率.7.設(shè)某廠有甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的25%.35%,40%,并且各車間的次品率依次為5%,4%,2%.現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一件.(1)求取到次品的概率;(2)若取到的是次品,則此次品由三個車間生產(chǎn)的概率分別是多少?8.男、女兩名運(yùn)動員分別參加不同的長跑比賽,根據(jù)以往經(jīng)驗,