11.2.1三角形的內(nèi)角（解析版）

11.2.1三角形的內(nèi)角一、單選題1．如圖，是的角平分線，，垂足為，交于，連結(jié)．若，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由角平分線的性質(zhì)得到，由三角形內(nèi)角和定理可求得∠BAC，又有可求得∠BAF，繼而根據(jù)∠EAD=∠BAC-∠BAF進行求解即可．【詳解】，，∵BD平分∠ABC，，，，，，故選：B．【點評】本題考查三角形內(nèi)角和定理，靈活利用三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．2．如圖，AE、AD分別是的高和角平分線，且，，則的度數(shù)為（）A．18° B．22° C．30° D．38°【答案】B【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求解即可；【詳解】∵AE是的高，∴，又∵AD是的角平分線，∴，∵，，∴，∴，∴；故答案選B．【點評】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定義，準(zhǔn)確分析計算是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在折紙活動中，小明制作了一張紙片，點分別是邊上的點，將沿著折疊壓平，與重合，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠ADE+∠AED，再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，然后利用平角等于180°列式計算即可得解．【詳解】∵∠A=50°，

∴∠ADE+∠AED=180°-50°=130°，

∵△ABC沿著DE折疊壓平，A與A′重合，

∴∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，

∴∠1+∠2=180°-（∠A′ED+∠AED）+180°-（∠A′DE+∠ADE）=360°-2×130°=100°．

故選：B．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，翻折變換的性質(zhì)，整體思想的利用求解更簡便．4．如圖，的一邊上有一動點E，連結(jié)，在射線上任取一點D，連結(jié)，分別作的角平分線，交于點F，則下列關(guān)系式正確的是()

A． B．C． D．【答案】A【分析】判斷選項、選項，需假設(shè)選項正確，即，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可證明得出，此時選項也正確，故選項、選項都不對．對于選項、選項，令與交點為，根據(jù)三角形內(nèi)角和為即可證明選項正確，選項錯誤．【詳解】當(dāng)時，，則，∵、平分、，則，故選項、選項不對．令與交點為，在中，，在中，，在中，，在中，，故，則選項正確，選項錯誤．

故選：．【點評】本題主要考查了角平分線的定義，以及三角形內(nèi)角和為，熟練掌握角平分線的定義是解題關(guān)鍵．5．如圖，直線?被所截，若，，，則的大小是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，再由三角形外角性質(zhì)即可得解；【詳解】∵，，∴，∵，∴；故答案選C．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在中，，是邊上的高，是邊的中線，是的角平分線，交于點，交于點，下面說法正確的是（）①的面積是的面積的一半；②；③；④．A．①②③④ B．①② C．①③ D．①④【答案】C【分析】根據(jù)三角形的面積公式進行判斷①，根據(jù)等腰三角形的判定判斷②即可，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠AFG=∠AGF，再根據(jù)等腰三角形的判定判斷③即可，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠FAG=∠ACB，再判斷④即可．【詳解】∵BE是AC邊的中線，∴AE=CEAC，∵△ABE的面積×AE×AB，△ABC的面積×AC×AB，∴△ABE的面積等于△ABC的面積的一半，故①正確；根據(jù)已知不能推出∠HBC=∠HCB，即不能推出HB=HC，故②錯誤；∵在△ACF和△DGC中，∠BAC=∠ADC=90°，∠ACF=∠FCB，∴∠AFG=90°-∠ACF，∠AGF=∠DGC=90°-∠FCB，∴∠AFG=∠AGF，∴AF=AG，故③正確；∵AD是BC邊上的高，∴∠ADC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC+∠ACB=90°，∠FAG+∠DAC=90°，∴∠FAG=∠ACB，∵CF是∠ACB的角平分線，∴∠ACF=∠FCB，∠ACB=2∠FCB，∴∠FAG=2∠FCB，故④錯誤；即正確的為①③，故選：C．【點評】本題考查了角平分線的定義，三角形的面積，三角形的中線，三角形的高，三角形內(nèi)角和定理等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．7．下列命題是真命題的是（）A．同位角相等 B．算術(shù)平方根等于自身的數(shù)只有1C．直角三角形的兩銳角互余 D．如果，那么【答案】C【分析】根據(jù)同位角的定義、算術(shù)平方根的意義、直角三角形的性質(zhì)、等式的性質(zhì)判斷即可．【詳解】A、同位角不一定相等，原命題是假命題；B、算術(shù)平方根等于自身的數(shù)有1和0，原命題是假命題；C、直角三角形兩銳角互余，是真命題；D、如果a2=b2，那么a=b或a=-b，原命題是假命題；故選：C．【點評】本題考查了命題的真假判斷，包括同位角的定義、算術(shù)平方根的意義、直角三角形的性質(zhì)、等式的性質(zhì)，判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理，難度適中．8．如圖，在中，，，平分，，則的度數(shù)是（）A．50° B．25° C．30° D．35°【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線和平行線的性質(zhì)求角．【詳解】在中，∠ABC=180°-∠A-∠B=180°-55°-65°=60°，∵平分，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°，∵，∴=∠CBD=30°，故選C．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和、角平分線的意義和平行線的性質(zhì)，準(zhǔn)確識圖并能熟練應(yīng)用三角形內(nèi)角和、角平分線和平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二、填空題9．如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，點A的對應(yīng)點為A′，∠B＝60°，∠C＝80°，則∠1+∠2等于_______．【答案】80°【分析】根據(jù)平角定義和折疊的性質(zhì)，得∠1+∠2＝360°﹣2（∠3+∠4），再利用三角形的內(nèi)角和定理得∠3+∠4＝∠B+∠C，即可解決問題．【詳解】根據(jù)平角的定義和折疊的性質(zhì)，得∠1+∠2＝360°﹣2（∠3+∠4）．又∵∠3+∠4＝180°﹣∠A，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠3+∠4＝∠B+∠C，∵∠B＝60°，∠C＝80°，∴∠3+∠4＝∠B+∠C＝140°，∴∠1+∠2＝80°．故答案為：80°．【點評】本題考查折疊的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．10．如圖，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，則∠E的度數(shù)為________．【答案】25°【分析】根據(jù)角平分線定義得出∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，求出∠A＝2∠E，即可求出答案．【詳解】∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，∵∠ACD＝2∠DCE＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠E＋∠EBC，∴2∠DCE＝2∠E＋2∠EBC，∴2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，∴∠A＝2∠E，∵∠A＝50°，∴∠E＝25°，故答案為：25°．【點評】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵．11．在一個三角形中，若其中一個內(nèi)角的度數(shù)是另一個內(nèi)角的2倍，則我們稱這個三角形為“倍角三角形”．已知某“倍角三角形”的一個內(nèi)角的度數(shù)為60°，則其它兩個內(nèi)角的度數(shù)分別是_______．【答案】30°，90°或40°，80°【分析】根據(jù)“倍角三角形”的定義結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理分三種情況即可得出結(jié)論．【詳解】在△ABC中，不妨設(shè)∠A=60，①若∠A=2∠C，則∠C=30，∴∠B=；②若∠C=2∠A，則∠C=120，∴∠B=(不合題意，舍去)；③若∠B=2∠C，則3∠C=120，∴∠C0，∠B=；綜上所述，其它兩個內(nèi)角的度數(shù)分別是：30，90或40，80．【點評】本題考查了“倍角三角形”的定義以及三角形的內(nèi)角和等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想解決問題．12．如圖，________°．【答案】180【分析】連接AB，可知∠C+∠D=∠CAB+∠DBA，進而根據(jù)三角形內(nèi)角和求出的值．【詳解】連接AB，∵∠C+∠D+∠DFC=∠CAB+∠DBA+∠AFB，∠DFC=∠AFB，∴∠C+∠D=∠CAB+∠DBA，，，=180°故答案為：180．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)倪B接輔助線，把所求的角轉(zhuǎn)化為同一個三角形的內(nèi)角．三、解答題13．探究：如圖①，，平分，平分，且點、、均在直線上，直線分別與、交于點、．（1）若，，則______．（2）若，求的度數(shù)．拓展：如圖②，和的平分線、交于點，經(jīng)過點且平行于，分別與、交于點、．若，直接寫出的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）【答案】探究：（1）120°；（2）125°；拓展：【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義求出∠OFH，∠FHO的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠FOH的度數(shù)；（2）先根據(jù)角平分線的定義求出∠OFH+∠FHO的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠FOH的度數(shù)；（拓展）先根據(jù)角平分線的定義求出∠OFH＝∠AFH，∠OHI＝∠CHI＝(180°-∠CHF)，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等得∠FOH＝∠OHI﹣∠OFH即可．【詳解】（1）∵∠AFH＝80°，OF平分∠AFH，∴∠OFH＝40°，又∵EG∥FH，∴∠EOF＝∠OFH＝40°；∵∠CHF＝40°，OH平分∠CHF，∴∠FHO＝20°，∴△FOH中，∠FOH＝180°﹣∠OFH﹣∠OHF＝120°；故填：120°；（2）∵平分，平分，∴，．∵，∴．∵，∴．拓展：∵平分，平分，∴，，∴．．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合運用，解決問題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．14．在一個三角形中，如果一個角是另一個角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“靈動三角形”．例如，三個內(nèi)角分別為120°、40°、20°的三角形是“靈動三角形”；三個內(nèi)角分別為80°、75°、25°的三角形也是“靈動三角形”等等．如圖，∠MON＝60°，在射線OM上找一點A，過點A作AB⊥OM交ON于點B，以A為端點作射線AD，交線段OB于點C（規(guī)定0°＜∠OAC＜90°）．（1）∠ABO的度數(shù)為_____°，△AOB_______．（填“是”或“不是”）“靈動三角形”；（2）若∠BAC＝70°，則△AOC_______（填“是”或“不是”）“靈動三角形”；（3）當(dāng)△ABC為“靈動三角形”時，求∠OAC的度數(shù)．【答案】（1）30；是；（2）是；（3）30°或52.5°或80°．【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理解決問題即可．（2）求出∠OAC即可解決問題．（3）分三種情形分別求出即可．【詳解】（1）∵AB⊥OM，∴∠BAO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，∵90°＝3×30°，∴△AOB是“靈動三角形”．故答案為：30，是．（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，∴∠OAC＝20°，∵∠AOC＝60°＝3×20°，∴△AOC是“靈動三角形”．故答案為：是．（3：①當(dāng)∠ACB＝3∠ABC時，∵∠ABO＝30°，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝60°，∴∠OAC＝30°；②當(dāng)∠ABC＝3∠CAB時，∵∠ABO＝30°，∴∠CAB＝10°，∵∠OAB＝90°，∴∠OAC＝80°．③當(dāng)∠ACB＝3∠CAB時，∵∠ABO＝30°，∴4∠CAB＝150°，∴∠CAB＝37.5°，∴∠OAC＝52.5°．綜上所述，滿足條件的值為30°或52.5°或80°．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，分類思想，數(shù)學(xué)新定義問題，準(zhǔn)確理解新定義，靈活運用分類思想是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在中，于點，交于點，于點，交于點．（1）求證：；（2）若，，求的度數(shù)．【答案】（1）證明見詳解；（2）．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：，，，，，，；（2）解：，，，，，．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和，平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．16．如圖所示．在△ABC中，已知AD是∠BAC的平分線，∠B=66°，∠C=54°．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）若DE⊥AC于點E，求∠ADE的度數(shù)．【答案】（1）30°；（2）60°【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠BAD的度數(shù)；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°．∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠BAC=30°；（2）∵∠CAD=∠BAC=30°，又DE⊥AC，∴在Rt△ADE中，∠EAD=30°，∴∠ADE=90°-∠EAD=60°．【點評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵．17．如圖，已知AE平分∠BAC交BC于點E，AF平分∠CAD交BC的延長線于點F，∠B＝64°，∠EAF＝58°．（1）試判斷AD與BC是否平行（請在下面的解答中，填上適當(dāng)?shù)睦碛苫驍?shù)學(xué)式）；解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝（角平分線定義）．又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝°（等式的性質(zhì)）．又∵∠B＝64°（已知），∴∠BAD+∠B＝°．∴AD∥BC（）．（2）若AE⊥BC，求∠ACB的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）∠ACB＝64°【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠CAD＝2∠2，利用等式的性質(zhì)易得∠BAD＝116°，由平行線的判定定理可得結(jié)論；（2）由垂直的定義可得∠AEB＝90°，由三角形的內(nèi)角和定理可得∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣90°﹣64°＝26°，利用角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得結(jié)果．【詳解】（1）∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分線定義）．又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝116°（等式的性質(zhì)）．又∵∠B＝64°（已知），∴∠BAD+∠B＝180°．∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）．故答案為：2∠2，116，180，同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；（2）∵AE⊥BC，∠B＝64°，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣90°﹣64°＝26°，∵∠BAC＝2∠BAE＝52°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣64°﹣52°＝64°．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，平行線的判定等知識，熟知相關(guān)定義、定理是解題關(guān)鍵．18．如圖，在中，平分，．若，，求的度數(shù)．【答案】20°【分析】由題意，先求出，然后得到，即可求出答案．【詳解】如圖：平分于點．【點評】本題考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，以及余角的定義，解題的關(guān)鍵是正確的求出角的度數(shù)進行計算．19．（1）如圖1，則∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度數(shù)；（3）如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長線交CP于點P，請猜想∠P、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系．并說明理由．【答案】（1）∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）∠P＝25°；（3）2∠P＝∠B+∠D，理由見解析【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合對頂角的性質(zhì)可求解；（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，結(jié)合（1）的結(jié)論可得2∠P＝∠B+∠D，再代入計算可求解；（3）根據(jù)角平分線的定義可得∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB，∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），進而可求解．【詳解】（1）∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案為∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）∵AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，由（1）可得：∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠DCP+∠D，∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，即2∠P＝∠B+∠D，∵∠B＝36°，∠D＝14°，∴∠P＝25°；（3）2∠P＝∠B+∠D．理由：∵CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，∴∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，∵∠PAB＝∠FAG，∴∠GAD＝∠PAB，∵∠P+∠PAB＝∠B+∠PCB，∴∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB①，∵∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，∴∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），②∴①②得：2∠P＝∠B+∠D．【點評】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，角平分線的定義，二元一次方程組的解法，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．20．閱讀感悟：如下是小明在學(xué)習(xí)完“證明三角形內(nèi)角和定理”后對所學(xué)知識的整理和總結(jié)，請仔細閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．三角形內(nèi)角和定理的證明今天，在老師的帶領(lǐng)下學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)角和定理證明的多種方法，我對這些方法進行了梳理