新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 講與練第8講 函數(shù)模型及其應(yīng)用（原卷版）

第8講函數(shù)模型及其應(yīng)用學(xué)校____________姓名____________班級____________一、知識梳理1.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖像的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當x>x0時，有l(wèi)ogax<xn<ax2.幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與冪函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)考點和典型例題1、利用函數(shù)圖像刻畫實際問題的變化過程【典例1-1】（2022·四川攀枝花·三模（理））中央經(jīng)濟工作會議將做好“碳達峰、碳中和”工作列為2022年的重點任務(wù)之一，要求持續(xù)提升能源利用效率，加快能源消費方式轉(zhuǎn)變．汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1L汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況．下列敘述中正確的是（

）．A．消耗1L汽油，乙車最多可行駛5kmB．甲車以80km/h的速度行駛1h，消耗約10L汽油C．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多D．某城市機動車最高限速80km/h，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油【典例1-2】（2021·陜西·榆林市第十中學(xué)高二階段練習（文））2020年春季，新冠肺炎疫情在全球范圍內(nèi)相繼爆發(fā)，因為政治制度、文化背景等因素的不同，各個國家疫情防控的效果具有明顯差異、如圖是西方某國在60天內(nèi)感染新冠肺炎的累計病例人數(shù)y（萬人）與時間t（天）的散點圖，則下列最適宜作為此模型的回歸方程的類型是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例1-3】（2022·河南鄭州·高二階段練習（文））如圖，某池塘里浮萍的面積y（單位：SKIPIF1<0）與時間SKIPIF1<0（單位：月）的關(guān)系為SKIPIF1<0，關(guān)于下列說法：①浮萍每月的增長率為1；②第5個月時，浮萍面積就會超過SKIPIF1<0；③浮萍每月增加的面積都相等；④若浮萍蔓延到SKIPIF1<0所經(jīng)過的時間分別是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，其中正確的說法是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【典例1-4】（2022·新疆吐魯番·高一期末）如圖，某池塘里浮萍的面積SKIPIF1<0（單位：SKIPIF1<0）與時間t（單位：月）的關(guān)系為SKIPIF1<0，關(guān)于下列說法不正確的是（

）A．浮萍每月的增長率為2B．浮萍每月增加的面積都相等C．第4個月時，浮萍面積超過SKIPIF1<0D．若浮萍蔓延到SKIPIF1<0所經(jīng)過的時間分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<02、已知函數(shù)模型解決實際問題【典例2-1】（2022·重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測）浮萍是我國南方常見的一種水生植物，生長速度非常快．最快每30個小時浮萍鋪在水面的面積就可以擴大為原來的2倍．李大爺承包了一塊面積為3畝（1畝≈666.7平方米）的魚塘，為養(yǎng)殖草魚購買了一些浮萍．最初，浮萍鋪在水面上大約有1平方米，如果浮萍始終以最高效繁殖，大約（

）天后，浮萍可以鋪滿整個魚塘．（不考慮草魚對浮萍的損耗．結(jié)果四舍五入到整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）A．12 B．14 C．16 D．18【典例2-2】（2022·遼寧葫蘆島·一模）某高中綜合實踐興趣小組做一項關(guān)于某水果釀制成醋的課題研究．經(jīng)大量實驗和反復(fù)論證得出，某水果可以釀成醋的成功指數(shù)M與該品種水果中氫離子的濃度N有關(guān)，釀醋成功指數(shù)M與濃度N滿足SKIPIF1<0．已知該興趣小組同學(xué)通過數(shù)據(jù)分析估計出某水果釀醋成功指數(shù)為2.9，則該水果中氫離子的濃度約為（SKIPIF1<0）（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【典例2-3】（2022·廣西·模擬預(yù)測（理））異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率SKIPIF1<0與其體重SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0和SKIPIF1<0為正常數(shù)，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則SKIPIF1<0為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2-4】（2022·重慶·模擬預(yù)測）我國的酒駕標準是指車輛駕駛員血液中的酒精含量大于或者等于SKIPIF1<0，已知一駕駛員某次飲酒后體內(nèi)每SKIPIF1<0血液中的酒精含量SKIPIF1<0（單位：SKIPIF1<0）與時間SKIPIF1<0（單位：SKIPIF1<0）的關(guān)系是：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，那么該駕駛員在飲酒后至少要經(jīng)過__________SKIPIF1<0才可駕車.【典例2-5】（2022·北京西城·一模）調(diào)查顯示，垃圾分類投放可以帶來約SKIPIF1<0元/千克的經(jīng)濟效益.為激勵居民垃圾分類，某市準備給每個家庭發(fā)放一張積分卡，每分類投放SKIPIF1<0積分SKIPIF1<0分，若一個家庭一個月內(nèi)垃圾分類投放總量不低于SKIPIF1<0，則額外獎勵SKIPIF1<0分（SKIPIF1<0為正整數(shù)）.月底積分會按照SKIPIF1<0元/分進行自動兌換.①當SKIPIF1<0時，若某家庭某月產(chǎn)生SKIPIF1<0生活垃圾，該家庭該月積分卡能兌換_____元；②為了保證每個家庭每月積分卡兌換的金額均不超過當月垃圾分類投放帶來的收益的SKIPIF1<0%，則SKIPIF1<0的最大值為___________.3、構(gòu)造函數(shù)模型解決實際問題【典例3-1】（2022·廣東茂名·二模）雙碳，即碳達峰與碳中和的簡稱，2020年9月中國明確提出2030年實現(xiàn)“碳達峰”，2060年實現(xiàn)“碳中和”．為了實現(xiàn)這一目標，中國加大了電動汽車的研究與推廣，到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%，新型動力電池隨之也迎來了蓬勃發(fā)展的機遇．Peukert于1898年提出蓄電池的容量C（單位：A·h），放電時間t（單位：h）與放電電流I（單位：A）之間關(guān)系的經(jīng)驗公式SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為Peukert常數(shù)．在電池容量不變的條件下，當放電電流SKIPIF1<0時，放電時間SKIPIF1<0，則當放電電流SKIPIF1<0，放電時間為（

）A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h【典例3-2】（2022·天津市第七中學(xué)模擬預(yù)測）一種藥在病人血液中的量不少于SKIPIF1<0才有效，而低于SKIPIF1<0病人就有危險．現(xiàn)給某病人注射了這種藥SKIPIF1<0，如果藥在血液中以每小時SKIPIF1<0的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過（

）小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效．（附：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)果精確到SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0小時 B．SKIPIF1<0小時 C．SKIPIF1<0小時 D．SKIPIF1<0小時【典例3-3】（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測）進入4月份以來，為了支援上海抗擊疫情，A地組織物流企業(yè)的汽車運輸隊從高速公路向上海運送抗疫物資.已知A地距離上海500SKIPIF1<0，設(shè)車隊從A地勻速行駛到上海，高速公路限速為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.已知車隊每小時運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度vSKIPIF1<0的立方成正比，比例系數(shù)為b，固定部分為a元.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，為了使全程運輸成本最低，車隊速度v應(yīng)為（

）A．80SKIPIF1<0 B．90SKIPIF1<0 C．100SKIPIF1<0 D．110SKIPIF1<0【典例3-4】（2022·貴州畢節(jié)·三模（理））20世紀70年代，里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級SKIPIF1<0，其計算公式為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是被測地震的最大振幅，SKIPIF1<0是“標準地震”的振幅．假設(shè)在一次地震中，一個距離震中SKIPIF1<0千米的測震儀記錄的地震最大振幅是SKIPIF1<0，此時標準地震的振幅是SKIPIF1<0，計算這次地震的震級為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3-5】（2022·安徽·南陵中學(xué)模擬預(yù)測（理））充電電池是電動汽車的核心部件之一，如何提高充電速度是電池制造商重點關(guān)注的研究方向已知電池充入的電量E（單位：SKIPIF1<0）與充電時間t（單位：SKIPIF1<0）滿足函數(shù)SKIPIF1<0，其中M表示電池的容量，k表示電池的充電效率，研究人員對A，B兩個型號的電池進行充電測試，電池A的容量為SKIPIF1<0，充電SKIPIF1<0充入了SKIP