新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 北京卷押題練習(xí) 第17題 空間向量與立體幾何 解答題（原卷版）

空間向量與立體幾何核心考點(diǎn)考情統(tǒng)計(jì)考向預(yù)測(cè)備考策略線面垂直，二面角2022·北京卷T13預(yù)測(cè)2024年新高考命題方向?qū)⒗^續(xù)線面位置關(guān)系，二面角展開(kāi)命題．三角恒等變換是利用三角恒等式(兩角和與差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)進(jìn)行變換，“角”的變換是三角恒等變換的核心線面平行，線面角2020·北京卷T14點(diǎn)的位置，二面角2019·北京卷T91.（2023·北京卷T16）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求證：SKIPIF1<0平面PAB；(2)求二面角SKIPIF1<0的大小．2.（2022·北京卷T17）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，側(cè)面SKIPIF1<0為正方形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N分別為SKIPIF1<0，AC的中點(diǎn)．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：SKIPIF1<0；條件②：SKIPIF1<0．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．3.（2021·北京卷T17）如圖：在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)；（2）點(diǎn)SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．1.直線與平面所成角如圖所示，設(shè)l為平面α的斜線，l∩α＝A，a為l的方向向量，n為平面α的法向量，θ為l與α所成的角，則sinθ＝｜c(diǎn)os＜a，n＞｜＝SKIPIF1<0【提醒】直線與平面所成角的范圍為SKIPIF1<0，而向量之間的夾角的范圍為[0，π]，所以公式中要加絕對(duì)值.2.平面與平面的夾角（1）平面與平面的夾角：平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角，如圖①.若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝｜c(diǎn)os＜n1，n2＞｜＝SKIPIF1<0；（2）二面角：二面角α－l－β為θ或π－θ.設(shè)二面角大小為φ，則｜c(diǎn)osφ｜＝cosθ＝SKIPIF1<0，如圖②③.【提醒】注意二面角與兩個(gè)平面的夾角的區(qū)別與聯(lián)系，二面角的范圍為[0，π]，兩個(gè)平面的夾角的范圍為SKIPIF1<03.用向量法求異面直線所成的角的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)注意兩異面直線所成角的范圍是SKIPIF1<0，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對(duì)值.4.向量法求直線與平面所成角的主要方法是：(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，將題目轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余角就是斜線和平面所成的角.5.向量法求平面與平面夾角（二面角）的方法（1）找法向量：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大??；（2）找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.1．如圖所示，將邊長(zhǎng)為2的正方形SKIPIF1<0沿對(duì)角線SKIPIF1<0折起，得到三棱錐SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn).

(1)證明：SKIPIF1<0(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求二面角SKIPIF1<0的余弦值及點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<02．如圖，在五面體SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0.

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.條件①：SKIPIF1<0；條件②：SKIPIF1<0.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分3．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)．(1)求證：SKIPIF1<0平面PAB；(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AD與平面AEF所成角的正弦值．條件①：SKIPIF1<0；條件②：SKIPIF1<0．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．4．如圖，在五面體SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0是矩形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值．5．如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，側(cè)面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．6．如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)(1)求證：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值.7．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使四棱錐SKIPIF1<0存在且唯一確定.（i）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（ⅱ）設(shè)平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值.條件①：SKIPIF1<0；條件②：SKIPIF1<0；條件③：SKIPIF1<0.注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.8．如圖，四棱柱SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方形，側(cè)面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)．

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)條件作為已知，使二面角SKIPIF1<0唯一確定，并求二面角SKIPIF1<0的余弦值．條件①：SKIPIF1<0；條件②：SKIPIF1<0；條件③：SKIPIF1<0．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．9．如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)．

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．條件①：SKIPIF1<0；條件②：SKIPIF1<0．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．10．如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，