專題43 直線的方程原卷版-2025版高中數(shù)學一輪復習講義知識梳理、考點突破和分層檢測

Page專題43直線的方程（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 4【考點1】直線的傾斜角與斜率 4【考點2】求直線的方程 5【考點3】直線方程的綜合應用 6【分層檢測】 7【基礎篇】 7【能力篇】 9【培優(yōu)篇】 9考試要求：1.在平面直角坐標系中，結合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.3.掌握確定直線的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關系.知識梳理知識梳理1.直線的傾斜角(1)定義：當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角；(2)規(guī)定：當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°；(3)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是{α|0°≤α<180°}.2.直線的斜率(1)定義：我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan__α.(2)計算公式①經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).②設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直線l上的兩點，則向量eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)以及與它平行的向量都是直線的方向向量.若直線l的斜率為k，它的一個方向向量的坐標為(x，y)，則k＝eq\f(y,x).3.直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率y＝kx＋b與x軸不垂直的直線點斜式過一點、斜率y－y0＝k(x－x0)兩點式過兩點eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與兩坐標軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不過原點且與兩坐標軸均不垂直的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直線1.直線的傾斜角α和斜率k之間的對應關系：α00<α<eq\f(π,2)eq\f(π,2)eq\f(π,2)<α<πk0k>0不存在k<02.截距和距離的不同之處“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正，可負，也可以是零，而“距離”是一個非負數(shù).真題自測真題自測一、單選題1．（2024·全國·高考真題）已知直線與圓交于兩點，則AB的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．62．（2024·北京·高考真題）已知是平面直角坐標系中的點集.設是中兩點間距離的最大值，是表示的圖形的面積，則（

）A．， B．，C．， D．，3．（2024·北京·高考真題）圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．4．（2024·全國·高考真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則AB的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．5．（2023·全國·高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．二、填空題6．（2024·天津·高考真題）圓的圓心與拋物線的焦點重合，為兩曲線的交點，則原點到直線的距離為．考點突破考點突破【考點1】直線的傾斜角與斜率一、單選題1．（2022·貴州畢節(jié)·三模）曲線與直線有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2024高二上·全國·專題練習）已知直線和以，為端點的線段相交，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·山東·二模）已知直線，圓，則下列說法正確的是（

）A．直線恒過定點 B．直線與圓相交C．當直線平分圓時， D．當點到直線距離最大值時，4．（2024·江西·模擬預測）已知集合，，則下列結論正確的是（

）A．， B．當時，C．當時， D．，使得三、填空題5．（2023·江蘇·模擬預測）設，直線，直線，記分別過定點，且與的交點為，則的最大值為.6．（2022高二·全國·專題練習）已知兩點、，給出下列曲線方程：①；②；③；④．則曲線上存在點P滿足的方程的序號是．反思提升：(1)斜率的兩種求法：定義法、斜率公式法.(2)傾斜角和斜率范圍求法：①圖形觀察(數(shù)形結合)；②充分利用函數(shù)k＝tanα的單調(diào)性.【考點2】求直線的方程一、單選題1．（2023·江蘇淮安·模擬預測）在平面直角坐標系中，直線通過原點，是的一個法向量，則直線傾斜角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預測）已知曲線在點處的切線為，則在軸上的截距為（

）A． B． C．1 D．2二、多選題3．（2023·浙江寧波·一模）已知直線：與圓：相交于兩點，與兩坐標軸分別交于兩點，記的面積為，的面積為，則（

）A． B．存在，使 C． D．存在，使4．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知圓C：，直線l：（），則（

）A．直線l恒過定點B．存在實數(shù)m，使得直線l與圓C沒有公共點C．當時，圓C上恰有兩個點到直線l的距離等于1D．圓C與圓恰有兩條公切線三、填空題5．（2024·天津河東·一模）已知過點的直線（不過原點）與圓相切，且在軸、軸上的截距相等，則的值為.6．（2023·江西南昌·一模）函數(shù)在x＝1處的切線平行于直線x－y－1＝0，則切線在y軸上的截距為．反思提升：(1)求直線方程一般有以下兩種方法：①直接法：由題意確定出直線方程的適當形式，然后直接寫出其方程.②待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設條件求出待定系數(shù)，即得所求直線方程.(2)在求直線方程時，應選擇適當?shù)男问剑⒆⒁飧鞣N形式的適用條件，特別是對于點斜式、截距式方程，使用時要注意分類討論思想的運用.【考點3】直線方程的綜合應用一、單選題1．（2022·安徽黃山·二模）已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于、兩點，為線段的中點，若，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．2．（2024·陜西商洛·三模）已知是圓上任意一點，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知圓C：，直線l：（），則（

）A．直線l恒過定點B．存在實數(shù)m，使得直線l與圓C沒有公共點C．當時，圓C上恰有兩個點到直線l的距離等于1D．圓C與圓恰有兩條公切線4．（2021·江蘇常州·模擬預測）已知函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增B．的最小值為，沒有最大值C．存在實數(shù)，使得函數(shù)的圖象關于直線對稱D．方程的實根個數(shù)為2三、填空題5．（2022·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知直線，若直線l在兩坐標軸上的截距相等，則實數(shù)k的值為；若直線l不經(jīng)過第三象限，則k的取值范圍是.6．（22-23高二上·江蘇鹽城·期中）已知?分別在直線與直線上，且，點，，則的最小值為.反思提升：1.含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時要能夠整理成過定點的直線系，能夠看出“動中有定”.若直線的方程為y＝k(x－1)＋2，則直線過定點(1，2).2.求解與直線方程有關的面積問題，應根據(jù)直線方程求解相應坐標或者相關長度，進而求得多邊形面積.3.求參數(shù)值或范圍.注意點在直線上，則點的坐標適合直線的方程，再結合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解.分層分層檢測【基礎篇】一、單選題1．（2024·河南信陽·三模）動點P在函數(shù)的圖像上，以P為切點的切線的傾斜角取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2024·重慶·三模）當點到直線l：的距離最大時，實數(shù)的值為（）A． B．1 C． D．23．（2024·山東青島·二模）拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為（

）A． B． C． D．4．（2020高三·全國·專題練習）在平面直角坐標系xOy(O為坐標原點)中，不過原點的兩直線，的交點為P，過點O分別向直線，引垂線，垂足分別為M，N，則四邊形OMPN面積的最大值為（

）A．3 B． C．5 D．二、多選題5．（2024·全國·模擬預測）已知直線與圓，則下列結論正確的是（

）A．直線恒過定點B．直線與圓相交C．若，直線被圓截得的弦長為D．若直線與直線垂直，則6．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習）已知圓，直線．則以下幾個結論正確的有（

）A．直線l與圓C相交B．圓C被y軸截得的弦長為C．點C到直線l的距離的最大值是D．直線l被圓C截得的弦長最短時，直線l的方程為7．（2024·云南昆明·模擬預測）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺之后從山腳的某處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標系中有兩條河流m，n，其方程分別為，，將軍的出發(fā)點是點，軍營所在位置為，則下列說法錯誤的是（

）A．若將軍先去河流m飲馬，再返回軍營，則將軍在河邊飲馬的地點的坐標為B．將軍先去河流n飲馬，再返回軍營的最短路程是C．將軍先去河流m飲馬，再去河流n飲馬，最后返回軍營的最短路程是D．將軍先去河流n飲馬，再去河流m飲馬，最后返回軍營的最短路程是三、填空題8．（2024·天津南開·二模）過圓C：上的點作圓C切線l，則l的傾斜角為.9．（2024·北京·三模）已知拋物線的焦點為F，準線與x軸的交點為A，點B在C上.若，則直線AB的方程為.10．（2024·山西朔州·模擬預測）已知A，B分別為曲線和直線上的點，則的最小值為.四、解答題11．（23-24高二上·山東德州·期中）已知直線：和直線：，其中m為實數(shù)．(1)若，求m的值；(2)若點在直線上，直線l過P點，且在x軸上的截距與在y軸上的截距互為相反數(shù)，求直線l的方程．12．（2024·陜西西安·二模）解答下列問題.(1)已知直線與直線相交，交點坐標為，求的值；(2)已知直線過點，且點到直線的距離為，求直線的方程.【能力篇】一、單選題1．（2022·四川南充·三模）設O為坐標原點，點，動點P在拋物線上，且位于第二象限，M是線段PA的中點，則直線OM的斜率的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2024·江蘇南通·模擬預測）設拋物線的焦點為，是上的一個動點，則下列結論正確的是（

）A．點到的距離比到軸的距離大2B．點到直線的最小距離為C．以為直徑的圓與軸相切D．記點在的準線上的射影為，則不可能是正三角形三、填空題3．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知圓，直線，為直線上的動點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則直線過定點.四、解答題4．（2024·河南·三模）已知拋物線的焦點為F，點為C上一點．(1)求直線的斜率；(2)經(jīng)過焦點F的直線與C交于A，B兩點，原點O到直線的距離為，求以線段為直徑的圓的標準方程．【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2024·全國·模擬預測）已知過原點的直線與雙曲線交于兩點，點在第一象限且與點關于軸對稱，，直線與雙曲線的右支交于點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·河南信陽·模擬預測）太極圖是由黑白兩個魚形紋組