專(zhuān)題50 拋物線(xiàn)原卷版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理、考點(diǎn)突破和分層檢測(cè)

Page專(zhuān)題50拋物線(xiàn)（新高考專(zhuān)用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 4【考點(diǎn)1】拋物線(xiàn)的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 4【考點(diǎn)2】拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)及應(yīng)用 5【考點(diǎn)3】直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合問(wèn)題 7【分層檢測(cè)】 8【基礎(chǔ)篇】 8【能力篇】 10【培優(yōu)篇】 10考試要求：1.了解拋物線(xiàn)的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).2.通過(guò)圓錐曲線(xiàn)與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.拋物線(xiàn)的定義(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn).點(diǎn)F叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn).(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：{M||MF|＝d}(d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離).2.拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離性質(zhì)頂點(diǎn)O(0，0)對(duì)稱(chēng)軸y＝0x＝0焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線(xiàn)方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開(kāi)口方向向右向左向上向下1.通徑：過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦長(zhǎng)等于2p，通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦.2.拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，稱(chēng)為拋物線(xiàn)的焦半徑.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2022·全國(guó)·高考真題）設(shè)F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（

）A．2 B． C．3 D．二、多選題2．（2024·全國(guó)·高考真題）拋物線(xiàn)C：的準(zhǔn)線(xiàn)為l，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作的一條切線(xiàn)，Q為切點(diǎn)，過(guò)P作l的垂線(xiàn)，垂足為B，則（

）A．l與相切B．當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．滿(mǎn)足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)3．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線(xiàn)，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形4．（2022·全國(guó)·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)M(p,0)，若|AF|=|AM|，則（

）A．直線(xiàn)的斜率為 B．|OB|=|OF|C．|AB|>4|OF| D．5．（2022·全國(guó)·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交C于P，Q兩點(diǎn)，則（

）A．C的準(zhǔn)線(xiàn)為 B．直線(xiàn)AB與C相切C． D．三、填空題6．（2023·全國(guó)·高考真題）已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)C：上，則A到C的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為.四、解答題7．（2022·全國(guó)·高考真題）設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過(guò)F的直線(xiàn)交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線(xiàn)MD垂直于x軸時(shí)，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線(xiàn)與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線(xiàn)的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線(xiàn)AB的方程．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】拋物線(xiàn)的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程一、單選題1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)P作圓C：的切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，B，則的最小值是（

）A．4 B． C．6 D．2．（2024·河南南陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，直線(xiàn)，則到的準(zhǔn)線(xiàn)的距離與到的距離之和的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高三下·河北·開(kāi)學(xué)考試）雙曲拋物線(xiàn)又稱(chēng)馬鞍面，其形似馬具中的馬鞍表面而得名．其在力學(xué)、建筑學(xué)、美學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用．在空間直角坐標(biāo)系中，將一條平面內(nèi)開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)沿著另一條平面內(nèi)開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)滑動(dòng)（兩條拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)重合）所形成的就是馬鞍面，其坐標(biāo)原點(diǎn)被稱(chēng)為馬鞍面的鞍點(diǎn)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為，則下列說(shuō)法正確的是（）A．用平行于平面的面截馬鞍面，所得軌跡為雙曲線(xiàn)B．用法向量為的平面截馬鞍面所得軌跡為拋物線(xiàn)C．用垂直于y軸的平面截馬鞍面所得軌跡為雙曲線(xiàn)D．用過(guò)原點(diǎn)且法向量為的平面截馬鞍面所得軌跡為拋物線(xiàn)4．（23-24高二下·河南·期末）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，點(diǎn)是上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為與軸的交點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．到直線(xiàn)的距離為2B．以為圓心，為半徑的圓與相切C．直線(xiàn)斜率的最大值為2D．若，則的面積為2三、填空題5．（2024·北京朝陽(yáng)·一模）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，則；設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，若，則.6．（2024·安徽·二模）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，若，則直線(xiàn)的方程為，的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．反思提升：求拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開(kāi)口方向，在方程的類(lèi)型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.【考點(diǎn)2】拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)及應(yīng)用一、單選題1．（2022·江蘇·一模）是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，以為端點(diǎn)的射線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于，與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相交于，若，則A． B．32 C． D．2．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)，圓，P為E上一點(diǎn)，Q為C上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．3二、多選題3．（2023·廣東佛山·二模）如圖拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，焦準(zhǔn)距為4；拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)也為，準(zhǔn)線(xiàn)為，焦準(zhǔn)距為6．和交于、兩點(diǎn)，分別過(guò)、作直線(xiàn)與兩準(zhǔn)線(xiàn)垂直，垂足分別為M、N、S、T，過(guò)的直線(xiàn)與封閉曲線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，則（

）A． B．四邊形的面積為100C． D．的取值范圍為4．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知曲線(xiàn)上的點(diǎn)滿(mǎn)足：到定點(diǎn)1,0與定直線(xiàn)軸的距離的差為定值，其中，點(diǎn)，分別為曲線(xiàn)上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)恒在點(diǎn)的右側(cè)，則（

）A．若，則曲線(xiàn)的圖象為一條拋物線(xiàn)B．若，則曲線(xiàn)的方程為C．當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，，都有D．當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，，都有三、填空題5．（22-23高三上·江蘇南通·期中）已知拋物線(xiàn)：，圓：，在拋物線(xiàn)上任取一點(diǎn)，向圓作兩條切線(xiàn)和，切點(diǎn)分別為，，則的取值范圍是．6．（22-23高三上·湖南益陽(yáng)·期末）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，圓與交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，記.①當(dāng)時(shí)，有；②當(dāng)時(shí)，有；③可能是等腰直角三角形；其中命題中正確的有.反思提升：與拋物線(xiàn)有關(guān)的最值問(wèn)題的兩個(gè)轉(zhuǎn)化策略轉(zhuǎn)化策略一：將拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問(wèn)題得以解決.轉(zhuǎn)化策略二：將拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，利用“與直線(xiàn)上所有點(diǎn)的連線(xiàn)中垂線(xiàn)段最短”原理解決.【考點(diǎn)3】直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合問(wèn)題一、解答題1．（2024·廣西南寧·一模）已知曲線(xiàn)．(1)若點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)，判斷直線(xiàn)與的位置關(guān)系并證明．(2)若是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)與相切于點(diǎn)，直線(xiàn)與相切于點(diǎn)．①試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．②若直線(xiàn)與軸分別交于點(diǎn)，證明：．2．（2024·江蘇南京·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求拋物線(xiàn)的方程；(2)若拋物線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第二象限，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，，兩點(diǎn)（），過(guò)作軸的垂線(xiàn)交線(xiàn)段于點(diǎn).①當(dāng)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)時(shí)，求直線(xiàn)的方程；②求點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離的最大值.3．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，是上一點(diǎn)且，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求拋物線(xiàn)的方程；(2)①若與相切，且切點(diǎn)在第一象限，求切點(diǎn)的坐標(biāo)；②若與在第一象限內(nèi)的兩個(gè)不同交點(diǎn)為，且關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，證明：直線(xiàn)的傾斜角之和為．4．（2024·山西太原·二模）已知拋物線(xiàn)C：（）的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F．(1)求拋物線(xiàn)C的方程；(2)若A，B是拋物線(xiàn)C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)M（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O），使得當(dāng)直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí)，滿(mǎn)足？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，，均在拋物線(xiàn)：上，，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)，關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)在直線(xiàn)的上方，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，直線(xiàn)斜率小于2.(1)求面積的最大值；(2)記四邊形的面積為，的面積為，若，求.6．（2025·四川巴中·模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)訄A經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)相切，記圓心的軌跡為曲線(xiàn)．(1)求曲線(xiàn)的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為正的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），的中點(diǎn)為，①過(guò)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，試證明：；②設(shè)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交軸于點(diǎn)，若的面積為4，求直線(xiàn)的方程．反思提升：1.有關(guān)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線(xiàn)是否過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).若過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式.2.涉及拋物線(xiàn)的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法.分層分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·北京西城·三模）點(diǎn)F拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，A，B，C為拋物線(xiàn)上三點(diǎn)，若，則（

）A．2 B． C．3 D．2．（2023·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，若，則（

）A．4 B．3 C．2 D．13．（2024·河南駐馬店·二模）已知點(diǎn)在焦點(diǎn)為的拋物線(xiàn)上，若，則（

）A．3 B．6 C．9 D．124．（2024·山東聊城·二模）點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，若點(diǎn)到點(diǎn)的距離為6，則點(diǎn)到軸的距離為（

）A．4 B．5 C．6 D．7二、多選題5．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在C上，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（

）A． B．C． D．6．（2024·河北保定·二模）若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有1個(gè)公共點(diǎn)，則的焦點(diǎn)的坐標(biāo)可能是（

）A． B． C． D．7．（2023·湖南常德·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)，，設(shè)直線(xiàn)，的斜率分別為，，則（

）A． B．C． D．三、填空題8．（2024·山西太原·模擬預(yù)測(cè)）已知等腰梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，且，則原點(diǎn)到AB的距離與原點(diǎn)到CD的距離之比為．9．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，則的值為10．（2021·青海西寧·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有公共焦點(diǎn)，拋物線(xiàn)Ｍ與雙曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線(xiàn)，則雙曲線(xiàn)的離心率為．四、解答題11．（2021·陜西漢中·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,直線(xiàn):與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn),且(為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)求拋物線(xiàn)的方程;(2)求證:直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).12．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線(xiàn)AM，BM相交于點(diǎn)M，且直線(xiàn)AM的斜率與直線(xiàn)BM的斜率的差是，記點(diǎn)M的軌跡為曲線(xiàn)C．(1)求曲線(xiàn)C的方程．(2)將曲線(xiàn)C向上平移4個(gè)單位得到曲線(xiàn)E，已知斜率為3的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)E有兩個(gè)不同的交點(diǎn)且滿(mǎn)足，求直線(xiàn)l的方程．【能力篇】一、單選題1．（2024·陜西西安·三模）設(shè)拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于，兩點(diǎn)，，，則（

）A．1 B．2 C．4 D．22二、多選題2．（2024·廣東汕頭·三模）已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在上，若定點(diǎn)滿(mǎn)足，則（

）A．的準(zhǔn)線(xiàn)方程為 B．周長(zhǎng)的最小值為5C．四邊形可能是平行四邊形 D．的最小值為三、填空題3．（2024·廣東廣州·一模）已知曲線(xiàn)是平面內(nèi)到定點(diǎn)與到定直線(xiàn)的距離之和等于的點(diǎn)的軌跡，若點(diǎn)在上，對(duì)給定的點(diǎn)，用表示的最小值，則的最小值為.四、解答題4．（2024·廣西來(lái)賓·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F為拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為C的準(zhǔn)線(xiàn)l上一點(diǎn)，直線(xiàn)MF的斜率為，的面積為4．(1)求C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交C于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作y軸的垂線(xiàn)交直線(xiàn)AO于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)DF的垂線(xiàn)與C的另一交點(diǎn)為E，AE的中點(diǎn)為G，證明：G，B，D三點(diǎn)縱坐標(biāo)相等．【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)雙曲線(xiàn)C的方程為，過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)和C的虛軸端點(diǎn)的直線(xiàn)l與C的一條漸近線(xiàn)平行．將C的兩條漸近線(xiàn)分別記為，右焦點(diǎn)記為F，若以O(shè)F