專題60 二項式定理原卷版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識梳理、考點突破和分層檢測

Page專題60二項式定理（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 3【考點1】展開式中的通項問題 3【考點2】二項式系數(shù)的和與各項系數(shù)的和問題 4【考點3】二項式系數(shù)的最值問題 5【分層檢測】 6【基礎(chǔ)篇】 6【能力篇】 8考試要求：能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理，會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題.知識梳理知識梳理1.二項式定理(1)二項式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通項公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項；(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).2.二項式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)描述對稱性與首末等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)增減性二項式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)當(dāng)k＜eq\f(n＋1,2)(n∈N*)時，是遞增的當(dāng)k＞eq\f(n＋1,2)(n∈N*)時，是遞減的二項式系數(shù)最大值當(dāng)n為偶數(shù)時，中間的一項取得最大值當(dāng)n為奇數(shù)時，中間的兩項與相等且取得最大值3.各二項式系數(shù)和(1)(a＋b)n展開式的各二項式系數(shù)和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2)奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.(a＋b)n的展開式形式上的特點(1)項數(shù)為n＋1.(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.(4)二項式系數(shù)從Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).真題自測真題自測一、單選題1．（2024·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2022·北京·高考真題）若，則（

）A．40 B．41 C． D．二、填空題3．（2024·全國·高考真題）的展開式中，各項系數(shù)中的最大值為．4．（2024·天津·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項為．5．（2024·上?！じ呖颊骖}）在的二項展開式中，若各項系數(shù)和為32，則項的系數(shù)為．6．（2023·天津·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為．7．（2022·全國·高考真題）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．8．（2022·浙江·高考真題）已知多項式，則，．考點突破考點突破【考點1】展開式中的通項問題一、單選題1．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知的展開式中的系數(shù)為10，則實數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．22．（2022·廣東·模擬預(yù)測）若是一組數(shù)據(jù)的方差，則的展開式的常數(shù)項為（

）A． B．3360 C．210 D．16二、多選題3．（2022·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知，則下列說法中正確的有（

）A．的展開式中的常數(shù)項為84B．的展開式中不含的項C．的展開式中的各項系數(shù)之和與二項式系數(shù)之和相等D．的展開式中的二項式系數(shù)最大的項是第四項和第五項4．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測）若，則（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2022·上?！つM預(yù)測）在的展開式中，x的系數(shù)為．6．（21-22高三下·山東德州·階段練習(xí)）在的展開式中，二項式系數(shù)之和與各項系數(shù)之和比為，則展開式的常數(shù)項為．反思提升：(1)求二項展開式中的特定項，一般是化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)k＋1，代回通項公式即可.(2)對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\用分類方法，以免重復(fù)或遺漏；也可利用排列組合的知識求解.(3)對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決，或利用展開式的原理求解.【考點2】二項式系數(shù)的和與各項系數(shù)的和問題一、單選題1．（2021·江西·模擬預(yù)測）在的展開式中，只有第六項的二項式系數(shù)最大，且所有項的系數(shù)和為0，則含的項系數(shù)為（

）A．45 B．-45 C．120 D．-1202．（2022·山東德州·二模）已知，二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項為（

）A．36 B．30 C．15 D．10二、多選題3．（2022·福建龍巖·一模）已知二項式的展開式中各項系數(shù)之和是，則下列說法正確的有（

）A．展開式共有7項 B．二項式系數(shù)最大的項是第4項C．所有二項式系數(shù)和為128 D．展開式的有理項共有4項4．（2022·廣東深圳·二模）已知，則（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2022·遼寧沈陽·一模）在的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和的比值為，則二項展開式中的常數(shù)項為.6．（2022·湖南長沙·一模）已知，則．反思提升：1.“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法.2.若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f（1）＋f（－1）,2)，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f（1）－f（－1）,2).【考點3】二項式系數(shù)的最值問題一、單選題1．（2022·山西臨汾·二模）的展開式中x的系數(shù)等于其二項式系數(shù)的最大值，則a的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．2．（2024·安徽·二模）已知的展開式二項式系數(shù)和為256，則展開式中系數(shù)最大的項為（

）A．第5項 B．第6項 C．第7項 D．第8項二、多選題3．（2022·廣東茂名·二模）已知的展開式共有13項，則下列說法中正確的有（

）A．所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為 B．所有項的系數(shù)和為C．二項式系數(shù)最大的項為第6項或第7項 D．有理項共5項4．（2024高三下·河南·專題練習(xí)）已知的展開式中第4項與第5項的二項式系數(shù)相等，且展開式的各項系數(shù)之和為2187，則下列說法正確的是（

）A．展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為64B．展開式中存在常數(shù)項C．展開式中含項的系數(shù)為560D．展開式中系數(shù)最大的項為三、填空題5．（21-22高三下·全國·開學(xué)考試）已知的展開式中，第4項的系數(shù)與倒數(shù)第4項的系數(shù)之比為，則展開式中最大的二項式系數(shù)值為．6．（2024高三上·全國·競賽）在的展開式中，若的系數(shù)為，則；若展開式中有且僅有項的系數(shù)最大，則的取值范圍是．反思提升：二項式系數(shù)最大項的確定方法：當(dāng)n為偶數(shù)時，展開式中第eq\f(n,2)＋1項的二項式系數(shù)最大，最大值為；當(dāng)n為奇數(shù)時，展開式中第eq\f(n＋1,2)項和第eq\f(n＋3,2)項的二項式系數(shù)最大，最大值為或.分層分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測）在的展開式中，常數(shù)項是（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇·二模）已知，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．23．（2024·遼寧·一模）的展開式中的系數(shù)為（

）A．55 B． C．30 D．4．（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知能被9整除，則整數(shù)的值可以是（

）A． B．-7 C．9 D．13二、多選題5．（2024·山西臨汾·三模）在的展開式中（

）A．所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128B．二項式系數(shù)最大的項為第5項C．有理項共有兩項D．所有項的系數(shù)的和為6．（2023·山東青島·一模）在的展開式中,下列說法正確的是(

)A．常數(shù)項是 B．第四項和第六項的系數(shù)相等C．各項的二項式系數(shù)之和為 D．各項的系數(shù)之和為7．（23-24高二上·山東青島·期末）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究．則下列結(jié)論正確的是（

）A．第6行、第7行、第8行的第7個數(shù)之和為第9行的第8個數(shù)B．C．第2020行的第1010個數(shù)最大D．第12行中從左到右第2個數(shù)與第3個數(shù)之比為三、填空題8．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知多項式，則.9．（22-23高二下·湖南·期末）在二項式的展開式中只有第4項二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項為.10．（2023·江蘇南通·一模）展開式中含項的系數(shù)為．【能力篇】一、單選題1．（2024·遼寧丹東·一模）的展開式中常數(shù)項為（

）A．24 B．25 C．48 D．492．（23-24高三下·山東濟南·開學(xué)考試）被除的余數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8二、多選題3．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知二項展開式，下列說法正確的有（

）A．的展開式中的常數(shù)項是B．的展開式中的各項系數(shù)之和為C．的