專題61 隨機(jī)事件、頻率與概率解析版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理、考點(diǎn)突破和分層檢測(cè)

Page專題61隨機(jī)事件、頻率與概率（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 7【考點(diǎn)1】隨機(jī)事件的關(guān)系 7【考點(diǎn)2】隨機(jī)事件的頻率與概率 11【考點(diǎn)3】互斥事件與對(duì)立事件的概率 15【分層檢測(cè)】 19【基礎(chǔ)篇】 19【能力篇】 25考試要求：1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.2.了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.概率與頻率一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A).2.事件的運(yùn)算定義表示法圖示并事件事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生，稱這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，稱這樣一個(gè)事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)3.事件的關(guān)系定義表示法圖示包含關(guān)系若事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B?A(或A?B)互斥事件如果事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，稱事件A與事件B互斥(或互不相容)若A∩B＝?，則A與B互斥對(duì)立事件如果事件A和事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，稱事件A與事件B互為對(duì)立，事件A的對(duì)立事件記為eq\o(A,\s\up6(－))若A∩B＝?，且A∪B＝Ω，則A與B對(duì)立1.從集合的角度理解互斥事件和對(duì)立事件(1)幾個(gè)事件彼此互斥，是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集.(2)事件A的對(duì)立事件eq\o(A,\s\up6(－))所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.2.概率加法公式的推廣當(dāng)一個(gè)事件包含多個(gè)結(jié)果且各個(gè)結(jié)果彼此互斥時(shí)，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·上海·高考真題）有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國(guó)結(jié)、記事本、筆袋，第四個(gè)禮盒里面三種禮品都有，現(xiàn)從中任選一個(gè)盒子，設(shè)事件：所選盒中有中國(guó)結(jié)，事件：所選盒中有記事本，事件：所選盒中有筆袋，則（

）A．事件與事件互斥 B．事件與事件相互獨(dú)立C．事件與事件互斥 D．事件與事件相互獨(dú)立2．（2022·全國(guó)·高考真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（

）A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān) B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大二、解答題3．（2024·上?！じ呖颊骖}）為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的數(shù)據(jù)如下表所示：時(shí)間范圍學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027(1)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)人數(shù)約為多少？(2)估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)（精確到0.1）(3)是否有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)？（附：其中，．）4．（2022·北京·高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立．(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）參考答案：題號(hào)12答案BD1．B【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義，逐一判斷選項(xiàng)即可．【詳解】選項(xiàng)A，事件和事件可以同時(shí)發(fā)生，即第四個(gè)禮盒中可以既有中國(guó)結(jié)，又有記事本，事件與事件不互斥，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，，，，，B正確；選項(xiàng)C，事件與事件可以同時(shí)發(fā)生，即第四個(gè)禮盒中可以既有中國(guó)結(jié)，又有記事本或筆袋，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，，，，，與不獨(dú)立，故D錯(cuò)誤．故選：B．2．D【分析】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤.分別求得該棋手在第二盤與甲比賽且連勝兩盤的概率；該棋手在第二盤與乙比賽且連勝兩盤的概率；該棋手在第二盤與丙比賽且連勝兩盤的概率.并對(duì)三者進(jìn)行比較即可解決【詳解】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序?yàn)橐壹妆氨滓业母怕示鶠?，則此時(shí)連勝兩盤的概率為則；記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為，則記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為則則即，，則該棋手在第二盤與丙比賽，最大.選項(xiàng)D判斷正確；選項(xiàng)BC判斷錯(cuò)誤；與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤.故選：D3．(1)(2)(3)有【分析】（1）求出相關(guān)占比，乘以總?cè)藬?shù)即可；（2）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可得到答案；（3）作出列聯(lián)表，再提出零假設(shè)，計(jì)算卡方值和臨界值比較大小即可得到結(jié)論.【詳解】（1）由表可知鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)的人數(shù)為占比，則估計(jì)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)的人數(shù)為．（2）估計(jì)該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)約為．則估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)為0.9小時(shí).（3）由題列聯(lián)表如下：其他合計(jì)優(yōu)秀455095不優(yōu)秀177308485合計(jì)222358580提出零假設(shè)：該地區(qū)成績(jī)優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)但少于2小時(shí)無關(guān)．其中．．則零假設(shè)不成立，即有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)．4．(1)0.4(2)(3)丙【分析】(1)

由頻率估計(jì)概率即可(2)

求解得X的分布列，即可計(jì)算出X的數(shù)學(xué)期望.(3)

計(jì)算出各自獲得最高成績(jī)的概率，再根據(jù)其各自的最高成績(jī)可判斷丙奪冠的概率估計(jì)值最大.【詳解】（1）由頻率估計(jì)概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，故答案為0.4（2）設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴（3）丙奪冠概率估計(jì)值最大.因?yàn)殂U球比賽無論比賽幾次就取最高成績(jī).比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績(jī)是所有成績(jī)中最高的，比賽次數(shù)越多，對(duì)丙越有利.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】隨機(jī)事件的關(guān)系一、單選題1．（2024·寧夏銀川·二模）2024年的高考數(shù)學(xué)將在6月7日下午進(jìn)行，其中數(shù)學(xué)有12道單項(xiàng)選擇題，如果每道選擇題的答案是從A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)生成，那么請(qǐng)你運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，推斷分析下列哪個(gè)選項(xiàng)最有可能成為2024年高考數(shù)學(xué)選擇題的答案分布（

）A．AAAAAAAAAAAA B．ABCDABCDABCDC．CDABACADCBDB D．DBCCCDCDBDBD2．（23-24高一上·廣東梅州·開學(xué)考試）兩名同學(xué)在一次用頻率估計(jì)概率的試驗(yàn)中統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制出統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)是（

）

A．拋一枚硬幣，正面朝上的概率；B．?dāng)S一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點(diǎn)的概率；C．轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)到數(shù)字為奇數(shù)的概率；D．從裝有2個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球的口袋中任取一個(gè)球恰好是藍(lán)球的概率．二、多選題3．（2024·浙江·三模）已知，，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的三個(gè)事件，且，，下列說法正確的是（

）A．若與互斥，則與不相互獨(dú)立B．若與相互獨(dú)立，則與不互斥C．若，且，則與相互獨(dú)立D．若，則，，兩兩獨(dú)立4．（2024·江西宜春·三模）同時(shí)拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子甲、乙，記事件A：甲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件B：乙骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，事件C：甲、乙骰子點(diǎn)數(shù)相同．下列說法正確的有（

）A．事件A與事件B對(duì)立 B．事件A與事件B相互獨(dú)立C．事件A與事件C相互獨(dú)立 D．三、填空題5．（23-24高三下·云南昆明·階段練習(xí)）拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，事件A表示“向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，事件B表示“向上的點(diǎn)數(shù)不超過4”，則．6．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）為研究吸煙是否與患肺癌有關(guān)，某腫瘤研究所采取有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查了人，已知非吸煙者占比，吸煙者中患肺癌的有人，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，吸煙者患肺癌的概率是未吸煙者患肺癌的概率的倍，則估計(jì)本次研究調(diào)查中非吸煙者患肺癌的人數(shù)是．參考答案：題號(hào)1234答案CDABCBC1．C【分析】根據(jù)隨機(jī)事件的特征進(jìn)行逐個(gè)判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)全部是A答案,很顯然不正確.B選項(xiàng)A,B,C,D每個(gè)有3個(gè)答案,但不具備隨機(jī)性.D選項(xiàng)沒有A答案,也不正確.C選項(xiàng)A,B,C,D每個(gè)有3個(gè)答案,具備隨機(jī)性,C正確.故選:C.2．D【分析】先根據(jù)頻率和概率的關(guān)系得到概率為，再對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷得到D正確.【詳解】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知，實(shí)驗(yàn)結(jié)果在0.33附近波動(dòng)，即其概率，選項(xiàng)A，擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為，故此選項(xiàng)不符合題意；選項(xiàng)B，擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點(diǎn)的概率為，故此選項(xiàng)不符合題意；選項(xiàng)C，轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)到數(shù)字為奇數(shù)的概率為，故此選項(xiàng)不符合題意；選項(xiàng)D，從裝有2個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球的口袋中任取一個(gè)球恰好是藍(lán)球的概率為，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D3．ABC【分析】由互斥事件和相互獨(dú)立事件的概念對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，若與互斥，則與不能同時(shí)發(fā)生，即，因?yàn)楸硎九c都不發(fā)生，則的對(duì)立事件為與至少有一個(gè)發(fā)生，所以，而，所以，因?yàn)樗?，由此可知，與不相互獨(dú)立，故A正確；對(duì)于B，若與相互獨(dú)立，則，因?yàn)?，，所以，則，所以與不互斥，故B正確；對(duì)于C，若，因?yàn)?，因?yàn)?，則有，所以與相互獨(dú)立，故C正確；對(duì)于D，拋擲一枚質(zhì)地均均的骰子，事件表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為，事件表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)，事件表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)，事件表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為，，滿足，事件表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為，但則，不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.4．BC【分析】對(duì)于A，甲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，乙骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，事件可以同時(shí)發(fā)生，由對(duì)立事件的概念可判斷；對(duì)于B，計(jì)算出，根據(jù)可以判定兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立；對(duì)于C，計(jì)算出，根據(jù)可以判定兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立；對(duì)于D，由前面可知，即可判斷是否相等.【詳解】由題意，得，，，對(duì)于A，當(dāng)甲為奇數(shù)點(diǎn)，且乙為偶數(shù)點(diǎn)時(shí)，事件可以同時(shí)發(fā)生，所以事件A與事件B不互斥，故事件A與事件B不對(duì)立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題意知，又，故事件A與事件B相互獨(dú)立，故B正確；對(duì)于C，，又，故事件A與事件C相互獨(dú)立，故C正確；對(duì)于D，由上知，，故D錯(cuò)誤．故選：BC．5．【分析】根據(jù)題意可知事件：點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)或點(diǎn)數(shù)不超過4有1，2，3，4，6，結(jié)合古典概型分析求解.【詳解】由題意可知：向上的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，4，5，6，事件：點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)或點(diǎn)數(shù)不超過4，有1，2，3，4，6，所以．故答案為：.6．【分析】設(shè)非吸煙者患肺癌的概率為，根據(jù)題意列出方程，求出，即可得到答案【詳解】本次研究調(diào)查中，非吸煙者有7500人，吸煙者樣本量有2500人，設(shè)非吸煙者患肺癌的人數(shù)是人，則，，因此，本次研究調(diào)查中非吸煙者患肺癌的人數(shù)為45人．故答案為：.反思提升：1.準(zhǔn)確把握互斥事件與對(duì)立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生；(2)對(duì)立事件是特殊的互斥事件，特殊在對(duì)立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個(gè)發(fā)生.2.判別互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件.【考點(diǎn)2】隨機(jī)事件的頻率與概率一、單選題1．（22-23高一下·福建莆田·期末）某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下射擊的成績(jī)記錄如表所示：射擊次數(shù)501002004001000射中8環(huán)以上的次數(shù)4478158320800根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計(jì)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次射中8環(huán)以上的概率為（

）A．0.78 B．0.79 C．0.80 D．0.822．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測(cè)）某教育機(jī)構(gòu)為調(diào)查中小學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間，收集了某位學(xué)生100天每天完成作業(yè)的時(shí)間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個(gè)區(qū)間均為左閉右開），根據(jù)此直方圖得出了下列結(jié)論，其中正確的是（

）

A．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至2.5小時(shí)的有50天B．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間超過3小時(shí)的概率為0.3C．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)為2.625小時(shí)D．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的眾數(shù)為2.3小時(shí)二、多選題3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某校高三年級(jí)有（1），（2），（3）三個(gè)班，一次期末考試，統(tǒng)計(jì)得到每班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率（數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的學(xué)生人數(shù)與該班學(xué)生總?cè)藬?shù)之比）如表所示：班級(jí)（1）（2）（3）優(yōu)秀率80%85%75%則下列說法一定正確的是（

）A．（2）班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率最高B．（3）班的學(xué)生人數(shù)不一定最少C．該年級(jí)全體學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率為80%D．若把（1）班和（2）班的數(shù)學(xué)成績(jī)放在一起統(tǒng)計(jì)，得到優(yōu)秀率為83%，則（1）班人數(shù)多于（2）班人數(shù)4．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）為了保證擲骰子游戲的公正性，可以用正n面體的骰子來進(jìn)行游戲．下列數(shù)字可以作為n的取值的是（

）可能用到的公式：多面體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)分別為，則.A．4 B．12 C．16 D．20三、填空題5．（2024·廣東廣州·三模）在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中，主持人從編號(hào)為的四個(gè)外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入一件獎(jiǎng)品，再將四個(gè)箱子關(guān)閉，也就是主持人知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子里，當(dāng)抽獎(jiǎng)人選擇了某個(gè)箱子后，在箱子打開之前，主持人先隨機(jī)打開了另一個(gè)沒有獎(jiǎng)品的箱子，并問抽獎(jiǎng)人是否愿意更改選擇以便增加中獎(jiǎng)概率．現(xiàn)在已知甲選擇了號(hào)箱，用表示號(hào)箱有獎(jiǎng)品（），用表示主持人打開號(hào)箱子（），則，若抽獎(jiǎng)人更改了選擇，則其中獎(jiǎng)概率為．參考答案：題號(hào)1234答案CCABABD1．C【分析】利用頻率估計(jì)概率即可求解.【詳解】大量重復(fù)試驗(yàn)，由表格知射擊運(yùn)動(dòng)員射中8環(huán)以上的頻率穩(wěn)定在，所以這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次射中8環(huán)以上的概率為，故選：C.2．C【分析】利用頻率分別直方圖、頻數(shù)、頻率、中位數(shù)、眾數(shù)直接求解.【詳解】對(duì)于A，該學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至2.5小時(shí)的天數(shù)為：天，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間超過3小時(shí)的概率為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的頻率為，的頻率為，則該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)為，故C正確；對(duì)于D，估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的眾數(shù)為，故D錯(cuò)誤；故選：C3．AB【分析】由題目表格中的數(shù)據(jù)，逐一判斷選項(xiàng)，可得答案.【詳解】選項(xiàng)A：顯然（2）班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率最高，故A正確；選項(xiàng)B：只根據(jù)優(yōu)秀率的大小，無法比較每個(gè)班人數(shù)的多少，故B正確；選項(xiàng)C：該年級(jí)全體學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率為全年級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)與全年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)之比，由于各班的學(xué)生人數(shù)不知道，所以不能計(jì)算該年級(jí)全體學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：設(shè)（1）班、（2）班數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)分別為x，y，（1）班、（2）班人數(shù)分別為a，b，則，，得，，又（1）班和（2）班放在一起統(tǒng)計(jì)的優(yōu)秀率為83%，即，即，即，得，則，故D錯(cuò)誤．故選:AB.4．ABD【分析】根據(jù)題意，要保證游戲的公平性，需要正n面體每個(gè)面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的可能性要要相同，據(jù)此選出正確選項(xiàng).【詳解】第一步，根據(jù)題目，我們知道正n面體的骰子有n個(gè)面，每個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，...，n，投擲后每個(gè)點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的概率相等.第二步，為了保證游戲的公正性，我們需要保證每個(gè)點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的概率相等，即每個(gè)面的面積相等，這意味著正n面體的每個(gè)面都應(yīng)該是全等的正多邊形.第三步，設(shè)正n面體的每個(gè)面都是正m邊形，每個(gè)頂點(diǎn)連接k條棱，所以，則，所以，又，且不能同時(shí)大于3，所以或，解得或或或或，我們可以得出n的取值應(yīng)該是4（正四面體）、6（正六面體）、8（正八面體）、12（正十二面體）、20（正二十面體）.故選：ABD5．/0.375【分析】根據(jù)主持人可打開的箱子號(hào)碼可確定；分別考慮獎(jiǎng)品在號(hào)箱、不在號(hào)箱的情況，根據(jù)此時(shí)更改選擇，結(jié)合全概率公式求解即可.【詳解】獎(jiǎng)品在號(hào)箱，甲選擇了號(hào)箱，主持人可打開號(hào)箱，則；若獎(jiǎng)品在號(hào)箱，其概率為，抽獎(jiǎng)人更改了選擇，則其選中獎(jiǎng)品所在箱子的概率為；若獎(jiǎng)品不在號(hào)箱，其概率為，主持人隨機(jī)打開不含獎(jiǎng)品的兩個(gè)箱子中的個(gè)，若此時(shí)抽獎(jiǎng)人更改選擇，其選中獎(jiǎng)品所在箱子的概率為；若抽獎(jiǎng)人更改選擇，其中獎(jiǎng)的概率為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查條件概率的求解、決策類問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)根據(jù)獎(jiǎng)品所在箱子號(hào)碼，確定主持人可打開的箱子數(shù)，由此確定選中中獎(jiǎng)箱子的概率.反思提升：1.頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值.2.利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐步趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率.【考點(diǎn)3】互斥事件與對(duì)立事件的概率一、單選題1．（2024·上?！と＃┰谝粋€(gè)有限樣本空間中，假設(shè)，且A與B相互獨(dú)立，A與C互斥，以下說法中，正確的個(gè)數(shù)是（

）①

②

③若，則B與C互斥A．0 B．1 C．2 D．32．（2024·山東煙臺(tái)·三模）一袋子中裝有5個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)黑球，從中不放回的每次取出1個(gè)小球，連續(xù)取兩次，則取出的這兩個(gè)小球顏色不同的概率為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）假設(shè)是兩個(gè)事件，且，，，則（

）A． B． C． D．4．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè)）隨機(jī)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，記3次擲出的點(diǎn)數(shù)之積為，擲出的點(diǎn)數(shù)之和為，則（

）A．事件“”和“”相等 B．事件“”和“”互斥C．為奇數(shù)的概率為 D．的概率為三、填空題5．（22-23高二下·天津·期末）天津相聲文化是天津具有代表性的地域文化符號(hào)，天津話妙趣橫生，天津相聲精彩紛呈，是最具特色的旅游亮點(diǎn)之一.某位北京游客經(jīng)常來天津聽相聲，每次從北京出發(fā)來天津乘坐高鐵和大巴的概率分別為0.6和0.4，高鐵和大巴準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.9和0.8，則他準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)天津的概率是（分?jǐn)?shù)作答）.若他已準(zhǔn)點(diǎn)抵達(dá)天津，則此次來天津乘坐高鐵準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)比乘坐大巴準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)的概率高（分?jǐn)?shù)作答）.6．（2024·天津和平·二模）為銘記歷史、緬懷先烈，增強(qiáng)愛國(guó)主義情懷，某學(xué)校開展共青團(tuán)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．在最后一輪晉級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)團(tuán)史的問題，每個(gè)人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率為；若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為，，，則這個(gè)問題回答正確的概率為．參考答案：題號(hào)1234答案CDADACD1．C【分析】由與相互獨(dú)立，則，計(jì)算即可判斷①；由條件概率公式計(jì)算即可判斷②；由，可得，若互斥，則，滿足，可判斷③.【詳解】對(duì)于①，，且與相互獨(dú)立，則，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，，故，故②正確；對(duì)于③，，則，，故，即，若互斥，則，滿足上式，故，即與互斥，故③正確．故選：C．2．D【分析】分第一次取出為紅球和黑球兩種情況求解即可.【詳解】由題意，第一次取出可能為紅球或黑球，故連續(xù)取兩次，則取出的這兩個(gè)小球顏色不同的概率為.故選：D3．AD【分析】A選項(xiàng)，利用條件概率公式得到；B選項(xiàng)，與相互獨(dú)立，故；C選項(xiàng)，根據(jù)求出答案；D選項(xiàng)，利用條件概率得到.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，，，，所以，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)槭录c相互獨(dú)立，所以與相互獨(dú)立，所以，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，D正確.故選：AD.4．ACD【分析】寫出事件的所有基本事件判斷A；利用相互獨(dú)立事件的定義判斷B；利用相互獨(dú)立事件、對(duì)立事件的概率公式計(jì)算判斷CD.【詳解】對(duì)于A，事件“”和“”都相當(dāng)于擲出兩個(gè)1點(diǎn)和一個(gè)2點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，事件“”和“”都包含擲出兩個(gè)1點(diǎn)和一個(gè)4點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，為奇數(shù)等價(jià)于“3次擲出的點(diǎn)數(shù)都為奇數(shù)”，因此其概率為，故C正確；對(duì)于D，事件“”的對(duì)立事件為“或”，，，因此，故D正確．故選：ACD.5．【分析】根據(jù)互斥事件的概率公式，求得他準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)天津的概率，再結(jié)合條件概率的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】設(shè)事件為他準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)天津，事件為他乘坐高鐵到達(dá)天津，事件為他乘坐大巴到達(dá)天津，若他乘坐高鐵，且正點(diǎn)到達(dá)天津的概率為；若他乘坐大巴，且正點(diǎn)到達(dá)天津的概率為；則，且,所以乘坐高鐵準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)比乘坐大巴準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)的概率高.故答案為：，6．/【分析】根據(jù)題意，設(shè)甲回答正確為事件，乙回答正確為事件，丙回答正確為事件，先由相互獨(dú)立事件的概率公式求出、的值，結(jié)合對(duì)立事件的性質(zhì)求出第一空答案，利用全概率公式計(jì)算第二空的答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)甲回答正確為事件，乙回答正確為事件，丙回答正確為事件，則，，，所以，，若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率，若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為，，，則這個(gè)問題回答正確的概率．故答案為：；．反思提升：1.求解本題的關(guān)鍵是正確判斷各事件之間的關(guān)系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出來.2.求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的求和公式計(jì)算；二是間接求法，先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))求出所求概率，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法比較簡(jiǎn)便.分層分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·江蘇鹽城·一模）已知隨機(jī)事件A，B相互獨(dú)立，且，則（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東·三模）為樣本空間，隨機(jī)事件A、B滿足，，則有（

）A． B． C． D．3．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學(xué)同時(shí)到三個(gè)不同的社區(qū)參加公益活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少分配一名同學(xué).設(shè)事件“恰有兩人在同一個(gè)社區(qū)”，事件“甲同學(xué)和乙同學(xué)在同一個(gè)社區(qū)”，事件“丙同學(xué)和丁同學(xué)在同一個(gè)社區(qū)”，則下面說法正確的是（

）A．事件與相互獨(dú)立 B．事件與是互斥事件C．事件與相互獨(dú)立 D．事件與是對(duì)立事件4．（2024·山西太原·一模）甲，乙兩名同學(xué)要從A、B、C、D四個(gè)科目中每人選取三科進(jìn)行學(xué)習(xí)，則兩人選取的科目不完全相同的概率為（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球，6個(gè)綠球，采用不放回方式從中依次隨機(jī)取出2個(gè)球．事件A＝“兩次取到的球顏色相同”；事件B＝“第二次取到紅球”；事件C＝“第一次取到紅球”．下列說法正確的是（

）A． B．事件B與事件C是互斥事件C． D．6．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）袋子中有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中隨機(jī)取出兩個(gè)球，設(shè)事件“取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)”，事件“取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”，事件“取出的球的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則（

）A． B．C．事件與是互斥事件 D．事件與相互獨(dú)立7．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·三模）同時(shí)投擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，記“甲正面向上”為事件，“乙正面向上”為事件，“甲、乙至少一枚正面向上”為事件，則下列判斷正確的是（

）A．與相互對(duì)立 B．與相互獨(dú)立C． D．三、填空題8．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）選手甲和乙進(jìn)行乒乓球比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，采用五局三勝制，則在甲最終獲勝的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率為.9．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)成功搭建了國(guó)際首個(gè)通信與智能融合的6G外場(chǎng)試驗(yàn)網(wǎng)，并形成貫通理論、技術(shù)、標(biāo)準(zhǔn)和應(yīng)用的全產(chǎn)業(yè)鏈創(chuàng)新環(huán)境.某科研院在研發(fā)6G項(xiàng)目時(shí)遇到了一項(xiàng)技術(shù)難題，由甲、乙兩個(gè)團(tuán)隊(duì)分別獨(dú)立攻關(guān).已知甲、乙團(tuán)隊(duì)攻克該項(xiàng)技術(shù)難題的概率分別為0.8和0.7，則該科研院攻克這項(xiàng)技術(shù)難題的概率為．四、解答題10．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）《中華人民共和國(guó)未成年人保護(hù)法》保護(hù)未成年人身心健康，保障未成年人合法權(quán)益.我校擬選拔一名學(xué)生作為領(lǐng)隊(duì)，帶領(lǐng)我校志愿隊(duì)上街宣傳未成年人保護(hù)法.現(xiàn)已從全校選拔出甲?乙兩人進(jìn)行比賽，比賽規(guī)則是：準(zhǔn)備了5個(gè)問題讓選手回答，選手若答對(duì)問題，則自己得1分，該選手繼續(xù)作答；若答錯(cuò)問題，則對(duì)方得1分，換另外選手作答.比賽結(jié)束時(shí)分?jǐn)?shù)多的一方獲勝，甲?乙能確定勝負(fù)時(shí)比賽就結(jié)束，或5個(gè)問題回答完比賽也結(jié)束.已知甲?乙答對(duì)每個(gè)問題的概率都是.競(jìng)賽前抽簽，甲獲得第一個(gè)問題的答題權(quán).(1)求前三個(gè)問題回答結(jié)束后乙獲勝的概率；(2)求甲同學(xué)連續(xù)回答了三次問題且獲勝的概率.參考答案：題號(hào)1234567答案BBADCDACBD1．B【分析】根據(jù)A，B相互獨(dú)立可得，再根據(jù)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)槭录嗀，B相互獨(dú)立，且，可得，所以=.故選：B.2．B【分析】以正態(tài)分布為背景，舉反例判斷ACD，利用概率和公式判斷B.【詳解】設(shè)，對(duì)于A，若事件，事件，則，，但，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于C，若事件，事件，則，，但，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若事件，事件，則，，但，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，B正確；故選：B.3．A【分析】根據(jù)給定條件，利用相互獨(dú)立事件、互斥事件、對(duì)立事件的意義逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】對(duì)于A，依題意，甲、乙、丙、丁中必有兩人在同一社區(qū)，即事件是必然事件，，顯然，，因此事件與相互獨(dú)立，A正確；對(duì)于B，由，得事件與不是互斥事件，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，顯然事件事件與不可能同時(shí)發(fā)生，即，而，事件與相互不獨(dú)立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，顯然事件與可以同時(shí)不發(fā)生，如甲丙在同一社區(qū)，因此事件與不是對(duì)立事件，D錯(cuò)誤.故選：A4．D【分析】運(yùn)用分步乘法原理，結(jié)合古典概型和對(duì)立事件概率公式求解.【詳解】?jī)扇诉x取科目的方法共有種，科目完全相同的方法共有種，科目不完全相同方法共有12種，故所求概率為.故選：D.5．CD【分析】由已知先列舉出事件A，B，C包含的基本事件，然后結(jié)合互斥事件的概念及古典概率公式檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.【詳解】解：由題意可得，事件A包含的取球顏色為{(紅，紅)，(綠，綠)}，事件B包含的取球顏色為{(紅，紅)，(綠，紅)}，事件C包含的取球顏色為{(紅，紅)，(紅，綠)}，則，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；事件AB包含的取球顏色為{(紅，紅)}，，選項(xiàng)C正確；事件B+C包含的取球顏色為{(紅，紅)，(綠，紅)，(紅，綠)}，，選項(xiàng)D正確.故選：CD.6．AC【分析】分別求出事件的概率，再根據(jù)互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)椤叭〕龅那蟮臄?shù)字之積為奇數(shù)”，就是“取出的兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)”，所以；故A正確；“取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”就是“取出的兩個(gè)數(shù)不能都是奇數(shù)”，所以；“取出的兩個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”就是“取出的兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)或都是偶數(shù)”，所以；表示“取出的兩個(gè)數(shù)的積可以是奇數(shù)，也可以是偶數(shù)”，所以；表示“取出的兩個(gè)數(shù)的積與和都是偶數(shù)”，就是“取出的兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)”，所以.因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以互斥，故C正確；因?yàn)?，所以不?dú)立，故D錯(cuò)誤.故選：AC7．BD【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的定義判斷B，根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的定義判斷A，根據(jù)獨(dú)立事件及條件概率的概率公式判斷C、D.【詳解】對(duì)于A，由題意可知，事件與事件有可能同時(shí)發(fā)生，例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件與事件不是互斥事件，當(dāng)然也不是對(duì)立事件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，依題意，，，所以事件與事件相互獨(dú)立，故B正確；對(duì)于C、D，，因?yàn)?，所以，所以，故D正確，C錯(cuò)誤．故選：BD．8．【分析】根據(jù)題意，設(shè)甲獲勝為事件，比賽進(jìn)行三局為事件，根據(jù)條件概率公式分別求解和的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)甲獲勝為事件，比賽進(jìn)行三局為事件，，，故.故答案為：.9．0.94/【分析】設(shè)相應(yīng)事件，根據(jù)對(duì)立事件結(jié)合獨(dú)立事件求，即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)甲、乙團(tuán)隊(duì)攻克該項(xiàng)技術(shù)難題分別為事件，則，可得，所以該科研院攻克這項(xiàng)技術(shù)難題的概率為.故答案為：0.94.10．(1)(2)【分析】（1）列舉法列出前三個(gè)問題回答的甲乙所有得分情況，利用古典概型即可求解；（2）分別求出甲同學(xué)連續(xù)回答了三次問題且獲勝的三種情況的概率，再用概率的加法公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)“甲回答問題且得分”為事件，“甲回答問題但對(duì)方得分”為事件，“乙回答問題且得分”為事件，“乙回答問題但對(duì)方得分”為事件.記“前三個(gè)問題回答結(jié)束后乙獲勝”為事件.前三個(gè)問題回答的情況有8種：，其中事件只包含了1種情況，即，所以，即前三個(gè)問題回答結(jié)束后乙獲勝的概率為.（2）記“甲同學(xué)連續(xù)回答了三次問題且獲勝”為事件.由（1）可得，.即甲同學(xué)連續(xù)回答了三次問題且獲勝的概率為.【能力篇】一、單選題1．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)質(zhì)地均勻的正八面體的八個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1到8，將其隨機(jī)拋擲兩次，記與地面接觸面上的數(shù)字依次為，事件：，事件，事件，則下列正確的是（

）A． B．C．互斥 D．相互獨(dú)立二、多選題2．（2024·廣東珠?！ひ荒＃┰O(shè)A，B為隨機(jī)事件，且，是A，B發(fā)生的概率．，則下列說法正確的是（

）A．若A，B互斥，則B．若，則A，B相互獨(dú)立C．若A，B互斥，則A，B相互獨(dú)立D．與相等三、填空題3．（2024·天津河北·二模）學(xué)習(xí)小組為了研究手機(jī)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的影響，對(duì)本學(xué)校學(xué)生手機(jī)使用情況統(tǒng)計(jì)分析有以下結(jié)果：若學(xué)生前一天沒有玩手機(jī)，則接下來一天也不玩手機(jī)的概率為0.7，若學(xué)生前一天玩手機(jī)，接下來一天也玩手機(jī)的概率為0.8.已知一個(gè)學(xué)生第一天沒玩手機(jī)，根據(jù)這個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)果計(jì)算，那么他第二天玩手機(jī)的概率為，第三天不玩手機(jī)的概率為.四、解答題4．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·三模）在一場(chǎng)羽毛球比賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”：首先，四人通過抽簽分成兩組，每組中的兩人對(duì)陣，每組的勝者進(jìn)入“勝區(qū)”，敗者進(jìn)入“敗區(qū)”.接著，“勝區(qū)”中兩人對(duì)陣，勝者進(jìn)入