陜西省漢中市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中校際聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期期中校際聯(lián)考試題高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.本試題共4頁(yè)，滿分150分，時(shí)間120分鐘.2.答卷前，務(wù)必將答題卡上密封線內(nèi)的各項(xiàng)目填寫清楚.3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收.第I卷（選擇題共58分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘、除法公式運(yùn)算即可.【詳解】由.故選：A2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)并集定義即可求解．【詳解】因?yàn)?所以.故選：B．3.過點(diǎn)，的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式，結(jié)合傾斜角與斜率的關(guān)系求解即可.【詳解】由題意，直線的斜率為，故直線的傾斜角為.故選：C4.圓心為，且與軸相切的圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用與軸相切可得圓的半徑，然后就可以寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由圓心為，且與軸相切的圓的半徑是1，所以可得圓的方程為，故選：B.5.從標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的四張卡片中任取兩張，這兩張卡片上的數(shù)字相鄰的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由古典概率公式求解即可．【詳解】解：由題意可知，樣本空間，共6種，卡片數(shù)字相鄰的有，共3種，所以所求概率.故選：B6.已知點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則等于（）A B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)對(duì)稱性質(zhì)可得，進(jìn)而可得【詳解】由題意，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，故.故選：D7.若函數(shù)是在上的減函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分段函數(shù)在R上遞減，需要滿足在每一段上均單調(diào)遞減，且分段處，左端點(diǎn)函數(shù)值大于等于右端點(diǎn)函數(shù)值,一次函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．.【詳解】由題意知是在上的減函數(shù)，所以，解之可得，則的取值范圍是.故選：A8.已知過橢圓中心的直線交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義求出，再由，即可求解.【詳解】由橢圓的對(duì)稱性可知，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，則四邊形為平行四邊形，由橢圓的定義可知：，又，所以，又直線過原點(diǎn)，所以，所以周長(zhǎng)的最小值為：.故選：D二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知直線，則下列選項(xiàng)中正確的有（）A.直線在軸上的截距為2 B.直線的斜率為C.直線的一個(gè)方向向量為 D.直線不經(jīng)過第一象限【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)截距的定義判斷即可；對(duì)B，根據(jù)斜率的定義判斷即可；對(duì)C，根據(jù)該直線的一個(gè)方向向量為判斷即可；對(duì)D，根據(jù)直線的截距和斜率判斷即可.【詳解】對(duì)于A，直線方程截距是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，斜率，故B正確；對(duì)于C，該直線的一個(gè)方向向量為，與平行，故C正確；對(duì)于D，由直線方程可知斜率為負(fù)，截距為負(fù)數(shù)，故直線l不經(jīng)過第一象限，故D正確；故選：BCD10.已知關(guān)于，的方程表示的曲線是，則曲線可以是（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)圓以及雙曲線，以及橢圓的性質(zhì)即可分類討論求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，方程可以化簡(jiǎn)為，曲線是圓；當(dāng)，且時(shí)，或，曲線是橢圓；當(dāng)時(shí)，或，曲線是雙曲線．故選:ABC．11.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過雙曲線上的一點(diǎn)作兩條漸近線的垂線，垂足分別為、，則（）A.雙曲線的離心率為 B.焦點(diǎn)到漸近線的距離為C.四邊形OMAN可能為正方形 D.四邊形的面積為定值【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程寫出對(duì)應(yīng)參數(shù)值及離心率判斷A；應(yīng)用點(diǎn)線距離判斷B；注意為雙曲線頂點(diǎn)情況即可判斷C；應(yīng)用點(diǎn)線距離和矩形面積公式判斷D.【詳解】由題設(shè)，雙曲線中，則離心率為，A對(duì)；焦點(diǎn)，，漸近線為，則焦點(diǎn)到漸近線的距離，B錯(cuò)；當(dāng)為雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OMAN可能為正方形，C對(duì)；令，則到的距離，到的距離，所以四邊形的面積為，D對(duì).故選：ACD第II卷（非選擇題共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.若圓與圓交于兩點(diǎn)，則直線的方程為______.【答案】【解析】【分析】?jī)蓤A方程作差即可求得公共弦方程.【詳解】聯(lián)立方程，消去二次項(xiàng)整理得，所以直線的方程為.故答案：13.已知正四棱臺(tái)的體積為14，若，，則正四棱臺(tái)的高為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)棱臺(tái)體積公式求解即可.【詳解】由題意，，解得.故答案為：14.已知都是銳角，，，則___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，，，所?故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知直線和直線.（1）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，求兩直線，間的距離.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由直線方程的一般式中兩直線垂直的系數(shù)關(guān)系求解即可；（2）由直線方程的一般式中兩直線平行的系數(shù)關(guān)系與兩平行線的距離公式求解即可【小問1詳解】直線和直線.當(dāng)時(shí)，，得；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)直線和直線的距離.16.如圖，在三棱柱中，，分別為和中點(diǎn)，設(shè)，，.（1）用，，表示向量；（2）若，，，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形計(jì)算即可；（2）利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可.【小問1詳解】易知.【小問2詳解】因?yàn)?，，，則.17.已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)，即可求得橢圓方程；（2）根據(jù)直線與橢圓相切，可得判別式等于0，即可求解.小問1詳解】橢圓E:x2a2+y可得：，解得，再由，可得：，橢圓的方程為：.【小問2詳解】由（1）知橢圓的方程為：，由直線與橢圓聯(lián)立消得：，根據(jù)直線與橢圓僅有一個(gè)交點(diǎn)得：，解得.18.已知圓過三點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）斜率為1的直線與圓交于兩點(diǎn)，若為等腰直角三角形，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，即可將三點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程中，列方程組求解，（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離即可求解.【小問1詳解】設(shè)所求的圓的方程是，其中，把已知三點(diǎn)坐標(biāo)代入得方程組解得所以圓的一般方程為.故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)直線的方程為：，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，又由?）知圓的圓心為，半徑為5.所以圓心到直線的距離解得或，所以直線的方程為：或.19.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離相等.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，為軌跡上不同的兩點(diǎn)，若線段的中垂線方程為，求線段的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到方程，化簡(jiǎn)得到；（2）設(shè)Mx1