東北三省精準(zhǔn)教學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

東北三省精準(zhǔn)教學(xué)2024年12月高三聯(lián)考數(shù)學(xué)本試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則|z|＝A．2B．C．D．12．已知，則“”是“”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件3．已知向量，，且，則A．3B．C．D．4．已知函數(shù)（，，，）的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是A．直線是f（x）圖象的一條對(duì)稱軸B．f（x）圖象的對(duì)稱中心為，C．f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增D．將f（x）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，可得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象5．正四棱臺(tái)在古代被稱為“方亭”，在中國(guó)古代建筑中有著廣泛的應(yīng)用．例如，古代園林中的臺(tái)榭建筑常常采用這種結(jié)構(gòu)，臺(tái)上建有屋宇，稱為“榭”，這種結(jié)構(gòu)不僅美觀，還具有廣瞻四方的功能，常用于觀賞和娛樂(lè)．在正四棱臺(tái)ABCD-A′B′C′D′中，，，，則A．2B．C．D．36．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，其中．若在與之間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為d的等差數(shù)列，則d＝A．2B．3C．D．7．已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)．點(diǎn)P為線段FQ的中點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率為A．B．C．2D．38．已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且，，則A．-2B．-3C．D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知，，且，則下列不等式恒成立的有A．B．C．D．10．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，E為邊AB的中點(diǎn)．將△ADE沿DE折起，折疊后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，使得，連接A′B，A′C，則下列說(shuō)法正確的是A．D到平面A′BC的距離為B．四面體A′-CDE的外接球表面積為8πC．BC與A′D所成角的余弦值為D．直線A′B與平面A′CD所成角的正弦值為11．已知函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）中心對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是A．B．直線與f（x）圖象有8個(gè)交點(diǎn)C．是周期為2的周期函數(shù)D．方程所有根的和為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知等差數(shù)列，，則________．13．已知集合，，且的非空子集的個(gè)數(shù)為3，則整數(shù)b的一個(gè)可能取值為_(kāi)_______．14．已知函數(shù)，若恒成立，則a的取值范圍是________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，△ABC的周長(zhǎng)為18，b，c，a成遞增的等差數(shù)列，．點(diǎn)D，E和F分別在BC，AC和AB上，滿足，，．（1）求a，b，c的值；（2）求證：AD，BE和CF三線交于一點(diǎn)K．16．（15分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，，，，，，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)時(shí)，求二面角P-BC-A的余弦值．17．（15分）城市活力是城市高質(zhì)量發(fā)展的關(guān)鍵表征，其反映了城市空間治理能力現(xiàn)代化的水平．城市活力由人群活動(dòng)和實(shí)體環(huán)境兩方面構(gòu)成，通過(guò)數(shù)學(xué)建模研究表明：一天中，區(qū)域的居民活動(dòng)類型（工作、學(xué)習(xí)和休閑）越豐富，活動(dòng)地點(diǎn)總數(shù)越多，區(qū)域之間人口流動(dòng)越頻繁，城市活力度越高．Q市基于大數(shù)據(jù)測(cè)算城市活力度，發(fā)現(xiàn)該市一工作日中活力度與時(shí)間的關(guān)系可以用函數(shù)來(lái)近似刻畫(huà)，其中正午12點(diǎn)的城市活力度為20，是工作日內(nèi)活力度的最高值；24點(diǎn)到次日早上6點(diǎn)期間的城市活力度均為工作日內(nèi)活力度的最低值．（1）分別求m，n的值；（2）求該工作日內(nèi)，Q市活力度不大于10的總時(shí)長(zhǎng)．18．（17分）已知函數(shù)，其中，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，f（x）是g（x）的導(dǎo)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)（1，g（1））處的切線方程；（2）當(dāng)f（x）存在極值時(shí)，證明：f（x）的極值小于或等于1．19．（17分）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（?。┣?；（ⅱ）證明：．東北三省精準(zhǔn)教學(xué)2024年12月高三聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案及解析1．【答案】C【解析】，．故選：C．2．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，即，，則．當(dāng)時(shí)，，，，則．故“”是“”的充分不必要條件．故選：A．3．【答案】B【解析】由可得，解得，故，故．故選：B．4．【答案】D【解析】由圖易知，，得．因?yàn)?，，所以．因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，所以，又，所以，，所以函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸應(yīng)滿足，得，，故直線不是f（x）圖象的一條對(duì)稱軸，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由，得，，函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱中心為，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由，，得，，當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；將f（x）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得，平移后的函數(shù)是偶函數(shù)，選項(xiàng)D正確．故選：D．5．【答案】B【解析】在正四棱臺(tái)ABCD-A′B′C′D′中，，，，可得在側(cè)面ABB′A′中，，故，．故選：B．6．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，所以公比為2，，又當(dāng)時(shí)，，得，所以等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，所以，，公差為．故選：B．7．【答案】C【解析】方法一：，且P為線段FQ的中點(diǎn)，，，直線FQ的方程為，與漸近線方程聯(lián)立，得Q的坐標(biāo)，，化簡(jiǎn)可得即，雙曲線C的離心率．方法二：因?yàn)镻為FQ中點(diǎn)，，所以，又直線OP與直線OQ分別為雙曲線C的兩條漸近線，得，所以，故．故選：C．8．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，又，所以．又由，可得，所以，，函數(shù)f（x）是以4為周期的函數(shù)，所以．故選：C．9．【答案】ABC【解析】對(duì)于A，，恒成立，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，由基本不等式可得，因?yàn)?，所以取不到等?hào)，即，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，由，，可得，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)易得，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，令，，，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：ABC．10．【答案】BCD【解析】因?yàn)榱庑蜛BCD中，E為AB的中點(diǎn)，所以，即將△ADE沿DE折起后，，，又，，，所以，則EB，ED，EA′兩兩垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB，ED，EA′所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Exyz，則A′（0，0，1），B（1，0，0），，，，，，．對(duì)于A，設(shè)平面A′BC的法向量為，取，，D到平面A′BC的距離為，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取CE中點(diǎn)F，連接DF，，，過(guò)F作直線，則四面體A′-CDE的外接球球心O在直線l上，設(shè)，該外接球的半徑為R，由，得，解得，，四面體A′-CDE的外接球的表面積為，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，BC與A′D所成角的余弦值為，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，設(shè)平面A′CD的法向量為，取，，，選項(xiàng)D正確．故選：BCD．11．【答案】ACD【解析】對(duì)于A，f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）中心對(duì)稱，，當(dāng)時(shí)，，可得，又，，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，因?yàn)閒（x）為R上的奇函數(shù)，且（0，0）為直線與f（x）圖象的一個(gè)交點(diǎn)，所以直線與f（x）圖象交點(diǎn)為奇數(shù)個(gè)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）中心對(duì)稱，，，，，所以是周期為2的周期函數(shù)，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，因?yàn)閒（x）為R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，由g（x）的周期為2，可得，函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，f（x）有最小值，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為奇函數(shù)且圖象關(guān)于（1，1）中心對(duì)稱，所以圖象也關(guān)于（-1，-1）中心對(duì)稱，當(dāng)，有兩個(gè)解，且關(guān)于對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)，所有根的和為，結(jié)合正弦型函數(shù)的周期性和f（x）的圖象，所有根的和為，選項(xiàng)D正確．故選：ACD．12．【答案】21【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，可得，即，．故答案為：21．13．【答案】-5/-6/-7（寫(xiě)出一個(gè)即可得滿分）【解析】由可知其圖象是以原點(diǎn)為圓心，以5為半徑的右半圓（含（0，±5）），如圖，，的非空子集的個(gè)數(shù)為3等價(jià)于直線與半圓有2個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-5）時(shí)，，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，可得，解得或（舍），故．故整數(shù)b的可能取值為-5，-6，-7．故答案為：-5/-6/-7（寫(xiě)出一個(gè)即可得滿分）．14．【答案】（0，1）【解析】由題意，得，恒成立即，恒成立．，恒成立，化簡(jiǎn)可得，，，，令，，故g（x）單調(diào)遞增，，，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，h（x）取最大值，，即．故答案為：（0，1）．15．【答案】（1），，（6分）（2）證明見(jiàn)解析（7分）【解析】（1）因?yàn)椤鰽BC的周長(zhǎng)為18，所以，由于b，c，a是遞增的等差數(shù)列，故，所以，①，又②，由①②，解得，，．（備注：推導(dǎo)出①得3分，否則按考點(diǎn)給分；推導(dǎo)出②得1分；聯(lián)立①②得出a，b，c得2分）（2）由題意可得，，，所以，，設(shè)BE和CF交于點(diǎn)K，由B，K，E三點(diǎn)共線，得，由C，K，F(xiàn)三點(diǎn)共線，得，所以解得所以，又，所以，所以AD過(guò)點(diǎn)K，即AD，BE和CF三線交于一點(diǎn)K．（備注：按考點(diǎn)給分，漏步驟相應(yīng)扣分；可使用建系方法解題，過(guò)程酌情給分）16．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（6分）（2）（9分）【解析】（1）由勾股定理，，滿足，所以．因?yàn)?，，，，所以，又，所以．因?yàn)?，且，所以．（備注：證明得2分，證明得3分，證明得1分）（2）方法一：取AD的中點(diǎn)O，作交BC于M，連接OP，則，因?yàn)椋?，，所以，以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OM，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，所以A（1，0，0），P（0，0，1），，，設(shè)B（a，b，0），，，則，，，．易知平面PAD的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以，解得．因?yàn)?，所以，解得或（舍），即．設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，則令，得，，可得，易知平面ABC的一個(gè)法向量，則，因?yàn)槎娼荘-BC-A為銳二面角，所以二面角P-BC-A的余弦值為．（備注：建系給1分，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)給1分，計(jì)算出平面PBC的法向量給4分，求出二面角的余弦值給3分，過(guò)程酌情給分）方法二：取AD的中點(diǎn)O，連接OP和OC，再取OC的中點(diǎn)Q，連接QE，在平面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)Q作BC的垂線，垂足為點(diǎn)N，連接EN，因?yàn)?，且O是AD的中點(diǎn)，所以．又，，，所以．因?yàn)镋Q是△POC的中位線，則，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，，且，所以．又，所以，由二面角的平面角的定義可知，∠ENQ即為二面角P-BC-A的平面角．連接BQ，并延長(zhǎng)BQ交CD于點(diǎn)T．由，，，所以．當(dāng)時(shí)，，且，所以．由平面與平面平行的性質(zhì)定理可知．記AC交BT于F，因?yàn)辄c(diǎn)Q是OC的中點(diǎn)，，所以F是AC的中點(diǎn)，由此可知，，因?yàn)?，所以，且．由，可知，由得，所以，，因此，，所以二面角P-BC-A的余弦值為．（備注：分析出∠ENQ為二面角給3分，分析出給2分，計(jì)算出∠ENQ的余弦值給3分，過(guò)程酌情給分）17．【答案】（1），（6分）（2）14小時(shí)（9分）【解析】（1）由正午12點(diǎn)的城市活力度為20，知，代入數(shù)據(jù)得，解得，24點(diǎn)到次日早上6點(diǎn)期間的城市活力度均為工作日內(nèi)活力度的最低值，故，代入數(shù)據(jù)得，解得．（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，令，則，，，解得，故一日內(nèi)只有時(shí)活力度大于10，即該工作日內(nèi)有14個(gè)小時(shí)活力度不大于10．（備注：（1）問(wèn)求得m給3分，求得n給3分；（2）問(wèn)求出給2分，求出給5分，答案給2分）18．【答案】（1）（6分）（2）證明見(jiàn)解析（11分）【解析】（1）對(duì)g（x）求導(dǎo)可得，當(dāng)時(shí)，，故，，故曲線在點(diǎn)（1，g（1））處的切線方程為，化簡(jiǎn)得．（備注：求導(dǎo)給1分，求出切線方程給3分，化簡(jiǎn)給2分）（2）由第（1）問(wèn)得，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，故f（x）不存在極值，當(dāng)時(shí)，存在，使得，且，此時(shí)在上，，f（x）單調(diào)遞減，在上，，f（x）單調(diào)遞增，此時(shí)f（x）存在極值，由計(jì)算得，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，h（a）取得最大值，故，即f（x）的極值小于或等于1．（備注：討論極值存在情況得5分，未討論扣2分；構(gòu)造函數(shù)給1分，求最大值給3分，答案給1分）19