湖南省張家界市2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

湖南省張家界市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合A={3，4，5}，A．{3} B．{4} C．{5} D．{32．命題“?x∈(1，+∞)，A．?x∈(1，+∞)，x?1>lnx C．?x∈(1，+∞)，x?1<lnx 3．已知扇形的半徑為3，圓心角弧度數(shù)為2，則其面積為（）A．18 B．12 C．9 D．64．下列命題為真命題的是（）A．若a>b，則a2>b2 C．若a>b，c>d，則a+c>b+d D．若a>b，c>d，則ac>bd5．學(xué)校先舉辦了一次田徑運動會，某班有8名同學(xué)參賽，又舉辦了一次球類運動會，這個班有12名同學(xué)參賽，兩次運動會都參賽的有3人。兩次運動會中，這個班總共參賽的同學(xué)有（）A．20人 B．17人 C．15人 D．12人6．為了預(yù)防流感，某學(xué)校對教室采用藥熏消毒法進行消毒.已知在藥熏過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（單位：mg）與時間t（單位：h）的關(guān)系如圖所示，函數(shù)關(guān)系式為y=10t，0≤t≤0A．a(chǎn)=0.2，t0=0.C．a(chǎn)=0.1，t0=0.7．英國數(shù)學(xué)家泰勒（B.Taylor，1685—1731）發(fā)現(xiàn)了如下公式：sinx=x?x33!+x55!?A．0.83 B．0.84 C．0.85 D．0.868．若a=cos50°cos128°+cos40°cosA．a(chǎn)>b>d>c B．b>a>d>c C．d>a>b>c D．c>a>d>b二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．下列各命題中，p是q的充要條件的有（）A．p：兩個三角形相似；q：兩個三角形三邊成比例B．p：四邊形是菱形；q：四邊形的對角線互相垂直C．p：xy>0；q：x>0，y>0D．p：lgx>1；q：10．函數(shù)y＝3sin(2x+A．向左平移π3B．向左平移π3個單位長度，橫坐標(biāo)縮短到原來的1C．橫坐標(biāo)縮短到原來的12，向左平移πD．橫坐標(biāo)縮短到原來的12，向左平移π11．已知函數(shù)f(x)=ax?(1A．函數(shù)f(x)是奇函數(shù)B．函數(shù)f(x)在其定義域上有零點C．函數(shù)f(x)的圖象過定點(0D．當(dāng)a>1時，函數(shù)f(x)在其定義域上單調(diào)遞增12．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，則下面判斷正確的是（）A．若?x∈R，f(x+1)>f(x)，則函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)B．若?x1，x2C．若?x1，x2D．若?x1，x2∈(?1，1)且x1≠x三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②的函數(shù)f(x)：.①f(x)是偶函數(shù)；②f(x)在(0，14．若a>0，b>0，a+b=1，則1a+115．17世紀(jì)德國著名的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家約翰尼斯·開普勒（JohannesKepler）曾經(jīng)這樣說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦.”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形，它是一個頂角為36°的等腰三角形（另一種是頂角為108°的等腰三角形）.例如，五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，如圖，在其中一個黃金△ABC中，BCAC=5?116．設(shè)函數(shù)f(x)=x+1x，若方程f(|3x?2|)+2a(四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知集合A={x|3≤3x≤27}（1）求A∪(?（2）已知集合C={x|1<x<a}(a>1)，若C?A，求實數(shù)a的取值范圍。18．已知函數(shù)f(（1）若m=2，解不等式f(（2）若關(guān)于x的不等式f(x)<?9m的解集為19．如圖，已知單位圓O與x軸正半軸交于點M，點A，B在單位圓上，其中點A在第一象限，且∠AOB=π2，記∠MOA=α，（1）若α=π3，求點（2）若點A的坐標(biāo)為(45，20．已知函數(shù)f(x)=（1）求f(x)（2）判斷函數(shù)f(x)21．一根長為L的材料AB（材料粗細(xì)忽略不計）欲水平通過如圖所示的直角走廊，已知走廊的寬AC=BD=1m.（1）設(shè)∠BOD=θ，試將L表示為θ的函數(shù)，并寫出θ的取值范圍；（2）求能夠通過這個直角走廊的材料的最大長度（即求L的最小值）.22．設(shè)函數(shù)f(x)=cosπ3x，（1）求函數(shù)y=f(x)在(0，（2）若?x1∈(0，3)，?（3）求證：函數(shù)φ(x)=f(x)?g(x)在(0，+∞)上僅有一個零點x0，并求[h(g(x0))]（[x]表示不超過

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由y=2x?3，x∈{3,4,5}，則集合B={3,故答案為：D.【分析】先求集合B，再根據(jù)集合的交集運算求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：命題“?x∈(1,+∞)，x?1>lnx”的否定是“故答案為：B.【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題直接判斷即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：由扇形面積公式可得S=1故答案為：C.【分析】根據(jù)扇形面積公式求解即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：A、取a=?1，b=?2，滿足a>b，但a2B、由a>b，當(dāng)c=0時，ac=bc，故B錯誤；C、根據(jù)同向不等式的性質(zhì)知，a>b，c>d可推出a+c>b+d，故C正確；D、取a=3，b=0，c=?1，d=?2，滿足條件，但ac<bd，故D錯誤.故答案為：C.【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合特殊值判斷即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)參加田徑運動的同學(xué)構(gòu)成集合A，參加球類運動會的同學(xué)構(gòu)成集合B，則參加田徑運動的同學(xué)人數(shù)cardA=8，參加球類運動會的同學(xué)人數(shù)cardB=12，兩次運動會都參賽的同學(xué)人數(shù)card(A∩B)=3，則兩次運動會中，這個班總共參賽的同學(xué)人數(shù)為card(A∪B)=cardA+cardB?card(A∩B)=8+12?3=17.故答案為：B.【分析】利用容斥原理card(A∪B)=cardA+cardB?card(A∩B)求解即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：當(dāng)t=0.1時，y=1，代入解析式可得(1令(116)t?0.1=0故答案為：C.【分析】由函數(shù)圖象特殊點代入解析式求解即可，7．【答案】B【解析】【解答】解：由題意可得：sin1≈1?13!+故答案為：B.【分析】根據(jù)題意將x=1代入sinx=x?8．【答案】A【解析】【解答】解：a=cosb=2c=1?d=1因為y=cosx在[0,π]上單調(diào)遞減，且78°<79°<80°<81°，所以故答案為：A.【分析】利用三角恒等變換化簡各式，再由余弦函數(shù)單調(diào)性比較得出大小即可.9．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、“兩個三角形相似”，可得“三角形三邊對應(yīng)成比例”，所以p是q的充分條件；又“兩個三角形三邊成比例”可得“兩個三角形相似”，所以充要條件，故A符合；B、因為對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，所以p不是q的充要條件，故B不符合；C、由“xy>0”?“x>0y>0或x<0y<0”，所以p不是D、lgx>1?x>10，所以p是q故答案為：AD.【分析】根據(jù)充要條件的判斷方法，逐項判斷即可.10．【答案】B,D【解析】【解答】解：①先平移后伸縮：

將函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移π3得到函數(shù)y＝sin(x＋π3)，再橫坐標(biāo)縮小到原來的12倍，縱坐標(biāo)不變得到函數(shù)y＝sin(2x＋π3)，

再橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到y(tǒng)＝3sin(2②先伸縮后平移：

將函數(shù)y＝sinx的圖象橫坐標(biāo)縮小到原來的12倍，縱坐標(biāo)不變得到函數(shù)y＝sin2x，再向左平移π6得到函數(shù)y＝sin(2x＋π3)，

再橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到y(tǒng)＝3sin(2x故答案為：BD.【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移伸縮變換判斷即可.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、函數(shù)f(x)=ax?(1a)B、令f(x)=aC、因為f(0)=a0?D、當(dāng)a>1時，0<1a<1，所以y=ax所以f(x)=a故答案為：ABD.【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義即可判斷A；由方程f(x)12．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、令f(x)=sin(2πx)+x，滿足f(x+1)>f(x)，但函數(shù)f(x)在B、令x1=x,可得f(x)+f(?x)=0，即滿足f(?x)=?f(x)，則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，故B正確；C、若?x1,所以|f(x)?f(x+2π)|≤|sinx?sin滿足f(x)=f(x+2π)，可得函數(shù)f(x)是周期為T=2π的周期函數(shù)，故C正確；D、取?x1,x2，滿足?1<x1可得|sinx1即sinx可得f(x1)+所以函數(shù)f(x)?sinx在區(qū)間(?1,1)上單調(diào)遞減，函數(shù)故答案為：BC.【分析】令f(x)=sin13．【答案】f(x)=x【解析】【解答】解：函數(shù)f(x)=x2，定義域為由f(x)=x2的圖象可知在故答案為：f(【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性寫答案即可.14．【答案】4【解析】【解答】解：因為a>0，b>0，a+b=1，所以1a當(dāng)且僅當(dāng)ba=ab，即故答案為：4.【分析】根據(jù)已知條件，利用基本不等式求解即可.15．【答案】?【解析】【解答】解：在等腰△ABC中，∠BAC=36°，則由正弦定理可得：BCAC=5故sin954°=故答案為：?5【分析】利用正弦定理得到邊角關(guān)系，再通過正弦的二倍角公式轉(zhuǎn)化求解cos316．【答案】(?【解析】【解答】解：令|3x?2|=t，則f(t)+2a(1t作出函數(shù)y=|3原的問題轉(zhuǎn)化為方程t2+(2a?3)t+2a+1=0有兩根當(dāng)t1=0,t2當(dāng)t1∈[2,+∞),t2∈(0,2)時，需滿足Δ=(2a?3)故答案為：(?1【分析】利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為t2+(2a?3)t+2a+1=0必有兩根，畫出函數(shù)y=|3x?2|17．【答案】（1）解：由A={x|3≤3x≤27}={x|因為B={x|x>2}，所以?R可得A∪(?（2）解：由（1）知A={x|1≤x≤3}，因為C?A，且a>1，所以1<a≤3，即實數(shù)a的取值范圍為(1，【解析】【分析】（1）先解指數(shù)不等式求得集合A={x|1≤x≤3}，再由集合混合運算求解即可；（2）由（1）知A={x|1≤x≤3}，再根據(jù)集合間的包含關(guān)系，求解即可.18．【答案】（1）解：當(dāng)m=2時，f(x)=2x所以原不等式的解集為(?2，（2）解：依題意，?x∈R，f(x)<?9m?mx當(dāng)m=0時，2x+4<0，解得x<?2，不合題意，因此m≠0，二次函數(shù)y=mx2+2(m+1)x+9m+4值恒小于0，則m<0化簡4(m+1)2?4m(9m+4)<0得：8m2于是得m<?1所以實數(shù)m的取值范圍是(?∞【解析】【分析】（1）利用m的值得出函數(shù)的解析式，再結(jié)合一元二次不等式求解方法得出不等式f(x)<0的解集。

（2）依題意，?x∈R，f(x)<?9m?mx2+2(m+1)x+9m+4<0，當(dāng)m=0時，2x+4<0，再結(jié)合一元一次不等式求解方法得出x的取值范圍，不合題意，因此m≠0，二次函數(shù)y=m19．【答案】（1）解：因為α=π3，所以cosα=12，sin（2）解：因為A點在單位圓上，得(4又因為點A位于第一象限，m>0，則m=3所以點A的坐標(biāo)為(45，35所以sinβ=所以sinα?【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)定義，求角的余弦與正弦值，可得單位圓與終邊交點的坐標(biāo)；（2）先由點A在單位圓上求m得sinα，再利用三角函數(shù)定義與誘導(dǎo)公式求解sin20．【答案】（1）解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=m則f(1)解得m=3，則f(則f(故函數(shù)f(（2）解：函數(shù)f(x)證明：任取x1，x則f(x又由0≤x1<x2，則x2則f(x1)?f(x2【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，將兩個點的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，求得m,n的值，即可得函數(shù)的解析式，再分析函數(shù)的奇偶性即可；21．【答案】（1）解：由題意知，∠OAC=∠BOD=θ，可得AO=ACcosθ所以L=AO+BO=1cos（2）解：令t=sin因為θ∈(0，π2)，所以θ+則L(x)=2t易知y=t?1t在t∈(1，2]所以L(t)即能夠通過這個直角走廊的材料的最大長度為2【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)定義可得AO=1cosθ，BO=1sin（2）利用換元法令t=sinθ+cos22．【答案】（1）解：因為x∈(0，6)，所以由0<π3x≤π由π≤π3x<2π所以函數(shù)y=f(x)在(0，6)上的單調(diào)減區(qū)間是(0，（2）解：若?x1∈(0，3)則f(x)在(0，3)上的值域為h(x)在由（1）知，y=f(x)在(0，所以f(x)的值域為(?1，對于函數(shù)h(x)=e2x?因為x∈(?∞，a)則H(t)=t2?25（i）當(dāng)ea≤15時，（ii）當(dāng)ea>15時，H(t)在所以H(ea)≥1，即(綜上，a≥ln（3）證明：由（1）知y=f(x)在(0，3)上是減函數(shù)，又y=g(x)在所以φ(x)=f(x)?g(x)=cosπ3