28.1 銳角三角函數(shù)（第一課時）（導學案）九年級數(shù)學下冊同步備課系列（人教版）

學習目標1.理解正弦的概念，掌握正弦的表示方法；2.會根據(jù)直角三角形的邊長求一個銳角的正弦值，并且能利用正弦求直角三角形的邊長.3.經(jīng)歷探索直角三角形中的邊與角的關(guān)系，培養(yǎng)學生由特殊到一般的演繹推理能力.通過學生自我發(fā)現(xiàn)培養(yǎng)學生的自我反思能力，通過提出困惑提升學生發(fā)現(xiàn)問題的能力.重點難點突破★知識點1：正弦的概念：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作：sinA.即sinA=∠A所對的邊斜邊=★知識點2：利用正弦值求直角三角形邊長解題技巧：1）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=a，sinB=b，AB=c，則BC=____ac_____，AC=_____bc_____2）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=d，sinB=e，BC=f，則AB=____df

_____，AC=_____核心知識一、正弦的概念：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的____________叫做∠A的正弦，記作：sinA.即sinA=______________________二、利用正弦值求直角三角形邊長解題技巧：1）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=a，sinB=b，AB=c，則BC=_________，AC=__________2）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=d，sinB=e，BC=f，則AB=_________，AC=__________新知探究為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在山坡上修建一座揚水站，對坡面的綠地進行噴灌。現(xiàn)測得斜坡的仰角為30°，為使出水口的高度為35m，需要準備多長的水管？【問題一】如上圖所示，本題可看作是在三角形ABC中探求某些問題，你可以把已知條件用數(shù)學語言描述出來嗎？【問題二】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB.【問題三】如果出水口的高度為50m，其它條件不變，那么需要準備多長的水管？【問題四】對于有一個銳角為30°的任意直角三角形，30°角的對邊與斜邊有怎樣的數(shù)量關(guān)系？可以用一個怎樣的式子表示呢？【問題五】在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠B=45°，那么AC與AB的比是一個定值嗎？【猜想】一般地，當∠A取其他一定度數(shù)的銳角時，它的對邊與斜邊的比是否也是一個固定值？【問題六】任意畫Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°,∠A=∠A’，那么BCAB與B典例分析例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．【針對訓練】1.概念理解①sinA=BCAB（）②sinB=BCAB③sinA=0.6m（）④sinB=0.8（）2.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（3，4），那么sinα的值是（

）A．35 B．34 C．45 3.[易錯題]把△ABC三邊的長度都擴大為原來的3倍，則銳角A的正弦函數(shù)值（）A．不變B．縮小為原來的13例2如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=13

，BC=3，求sinB及【解題技巧】1）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=a，sinB=b，AB=c，則BC=_________，AC=__________2）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=d，sinB=e，BC=f，則AB=_________，AC=__________【針對訓練】1.如圖，在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=13

，AB=92．在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA=3A．30 B．50 C．60 D．80感受中考1．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形面積為25，小正方形面積為1，則sinθ=（A．45 B．35 C．25 2．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B、C三點都在格點上，則sin∠ABC=3．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，且滿足，則sinB的值為課堂小結(jié)1.通過本節(jié)課的學習，你學會了哪些知識？2.簡述正弦的概念？【參考答案】新知探究為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在山坡上修建一座揚水站，對坡面的綠地進行噴灌。現(xiàn)測得斜坡的仰角為30°，為使出水口的高度為35m，需要準備多長的水管？【問題一】如上圖所示，本題可看作是在三角形ABC中探求某些問題，你可以把已知條件用數(shù)學語言描述出來嗎？在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB.【問題二】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB.根據(jù)“在直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半”.即BCAB=可得AB=2BC=70(m).【問題三】如果出水口的高度為50m，其它條件不變，那么需要準備多長的水管？根據(jù)“在直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半”.即BCAB=可得AB=2BC=100(m).也就是說，如果出水口的高度為50m，需要準備70m長的水管.【問題四】對于有一個銳角為30°的任意直角三角形，30°角的對邊與斜邊有怎樣的數(shù)量關(guān)系？可以用一個怎樣的式子表示呢？在直角三角形中，如果一個銳角的度數(shù)等于30°，那么無論這個直角三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比都等于12.

即：30°角所對的邊斜邊【問題五】在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠B=45°，那么AC與AB的比是一個定值嗎？∵∠C=90°，∠B=45°∴∠A=45，則AC=BC由勾股定理得AB2=AC2+BC2，則AB=在直角三角形中，如果一個銳角的度數(shù)等于45°，那么無論這個直角三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比都等于2【猜想】一般地，當∠A取其他一定度數(shù)的銳角時，它的對邊與斜邊的比是否也是一個固定值？是【問題六】任意畫Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°,∠A=∠A’，那么BCAB與B∵∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'∴BCB'C'=AB這就是說，在直角三角形中，當銳角A的度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比也是一個固定值．典例分析例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=BC2sinA=BCAB=35，sinB=ACAB=解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=AB2sinA=BCAB=513，sinB=ACAB=【針對訓練】1.概念理解①sinA=BCAB（√）②sinB=BCAB（x③sinA=0.6m（x）④sinB=0.8（√）2.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（3，4），那么sinα的值是（

C

）A．35 B．34 C．45 3.[易錯題]把△ABC三邊的長度都擴大為原來的3倍，則銳角A的正弦函數(shù)值（A）A．不變B．縮小為原來的13例2如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=13

，BC=3，求sinB及Rt解：∵sinA=13

∴BCAB=1∴sinB=ACAB=629=223∴S【解題技巧】1）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=a，sinB=b，AB=c，則BC=____ac_____，AC=_____bc_____2）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=d，sinB=e，BC=f，則AB=____df

_____，AC=_____【針對訓練】1.如圖，在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=13

，AB=9，那么BC=__3____.2．在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA=3A．30 B．50 C．60 D．80感受中考1．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形面積為25，小正方形面積為1，則sinθ=（A．45 B．35 C．25 D解：∵大正方形的面積是25，小正方形面積是1，∴大正方形的邊長AB=5，小正方形的邊長CD=1，∵AD=BC，∴AD=AC+1，在Rt△ABC中，∴AD?12+AD∴sinθ=BC2．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的