2024年 北京市 數(shù)學(xué) 中考真題

第1頁/共26頁2024年北京市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷第一部分選擇題一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.如圖，直線和相交于點，，若，則的大小為（）A. B. C. D.3.實數(shù)，在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.4.若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)的值為（）A. B. C.4 D.165.不透明的袋子中裝有一個紅色小球和一個白色小球，除顏色外兩個小球無其他差別．從中隨機取出一個小球后，放回并搖勻，再從中隨機取出一個小球，則兩次都取到白色小球的概率為（）A. B. C. D.6.為助力數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展，北京積極推進多個公共算力中心的建設(shè).北京數(shù)字經(jīng)濟算力中心日前已部署上架和調(diào)試的設(shè)備的算力為Flops（Flops是計算機系統(tǒng)算力的一種度量單位），整體投產(chǎn)后，累計實現(xiàn)的算力將是日前已部署上架和調(diào)試的設(shè)備的算力的5倍，達到Flops，則的值為（）A. B. C. D.7.下面是“作一個角使其等于”的尺規(guī)作圖方法.（1）如圖，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點，；（2）作射線，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點；以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點；（3）過點作射線，則.

上述方法通過判定得到，其中判定的依據(jù)是（）A.三邊分別相等的兩個三角形全等B.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等C.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等D.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等8.如圖，在菱形中，，為對角線的交點.將菱形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到菱形，兩個菱形的公共點為，，，.對八邊形給出下面四個結(jié)論：①該八邊形各邊長都相等；②該八邊形各內(nèi)角都相等；③點到該八邊形各頂點的距離都相等；④點到該八邊形各邊所在直線的距離都相等。上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④第二部分非選擇題二、填空題（共16分，每題2分）9.若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)的取值范圍是_________．10.分解因式：___________.11.方程的解為___________.12.在平面直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，則的值是___________.13.某廠加工了200個工件，質(zhì)檢員從中隨機抽取10個工件檢測了它們的質(zhì)量（單位：g），得到的數(shù)據(jù)如下：50.0349.9850.0049.9950.02499950.0149.9750.0050.02當(dāng)一個工件的質(zhì)量（單位：g）滿足時，評定該工件為一等品.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計這200個工件中一等品的個數(shù)是___________.14.如圖，的直徑平分弦（不是直徑）.若，則___________15.如圖，在正方形中，點在上，于點，于點．若，，則的面積為___________．16.聯(lián)歡會有A，B，C，D四個節(jié)目需要彩排.所有演員到場后節(jié)目彩排開始。一個節(jié)目彩排完畢，下一個節(jié)目彩排立即開始.每個節(jié)目的演員人數(shù)和彩排時長（單位：min）如下：節(jié)目ABCD演員人數(shù)102101彩排時長30102010已知每位演員只參演一個節(jié)目.一位演員的候場時間是指從第一個彩排的節(jié)目彩排開始到這位演員參演的節(jié)目彩排開始的時間間隔（不考慮換場時間等其他因素）。若節(jié)目按“”的先后順序彩排，則節(jié)目D的演員的候場時間為____________min；若使這23位演員的候場時間之和最小，則節(jié)目應(yīng)按___________的先后順序彩排三、解答題（共68分，第17-19題每題5分，第20-21題每題6分，第22-23題每題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17.計算：18.解不等式組：19.已知，求代數(shù)式的值.20.如圖，在四邊形中，是的中點，，交于點，，.（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）若，，，求的長.21.為防治污染，保護和改善生態(tài)環(huán)境，自2023年7月1日起，我國全面實施汽車國六排放標(biāo)準(zhǔn)6b階段（以下簡稱“標(biāo)準(zhǔn)”）.對某型號汽車，“標(biāo)準(zhǔn)”要求類物質(zhì)排放量不超過，，兩類物質(zhì)排放量之和不超過.已知該型號某汽車的，兩類物質(zhì)排放量之和原為.經(jīng)過一次技術(shù)改進，該汽車的類物質(zhì)排放量降低了，類物質(zhì)排放量降低了，，兩類物質(zhì)排放量之和為，判斷這次技術(shù)改進后該汽車的類物質(zhì)排放量是否符合“標(biāo)準(zhǔn)”，并說明理由.22.在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象交于點.（1）求，的值；（2）當(dāng)時，對于的每一個值，函數(shù)的值既大于函數(shù)的值，也大于函數(shù)的值，直接寫出的取值范圍.23.某學(xué)校舉辦的“青春飛揚”主題演講比賽分為初賽和決賽兩個階段.（1）初賽由名教師評委和名學(xué)生評委給每位選手打分（百分制）對評委給某位選手的打分進行整理、描述和分析.下面給出了部分信息..教師評委打分：.學(xué)生評委打分頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分6組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組）：.評委打分的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下：

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)教師評委學(xué)生評委根據(jù)以上信息，回答下列問題：①的值為___________，的值位于學(xué)生評委打分數(shù)據(jù)分組的第__________組；②若去掉教師評委打分中的最高分和最低分，記其余8名教師評委打分的平均數(shù)為，則___________（填“”“”或“”）；（2）決賽由5名專業(yè)評委給每位選手打分（百分制）.對每位選手，計算5名專業(yè)評委給其打分的平均數(shù)和方差.平均數(shù)較大的選手排序靠前，若平均數(shù)相同，則方差較小的選手排序靠前，5名專業(yè)評委給進入決賽的甲、乙、丙三位選手的打分如下：

評委1評委2評委3評委4評委5甲乙丙若丙在甲、乙、丙三位選手中排序居中，則這三位選手中排序最靠前的是____________，表中（為整數(shù)）的值為____________.24.如圖，是的直徑，點，在上，平分.

（1）求證：；（2）延長交于點，連接交于點，過點作的切線交的延長線于點.若，，求半徑的長.25.小云有一個圓柱形水杯（記為1號杯），在科技活動中，小云用所學(xué)數(shù)學(xué)知識和人工智能軟件設(shè)計了一個新水杯，并將其制作出來，新水杯（記為2號杯）示意圖如下，當(dāng)1號杯和2號杯中都有mL水時，小云分別記錄了1號杯的水面高度（單位：cm）和2號杯的水面高度（單位：cm），部分數(shù)據(jù)如下：/mL040100200300400500/cm0

2.55.07.510.012.5/cm02.84.87.28.910.511.8（1）補全表格（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；（2）通過分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫與，與之間的關(guān)系.在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這兩個函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決下列問題：①當(dāng)1號杯和2號杯中都有320mL水時，2號杯的水面高度與1號杯的水面高度的差約為___________cm（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；②在①的條件下，將2號杯中的一都分水倒入1號杯中，當(dāng)兩個水杯的水面高度相同時，其水面高度約為___________cm（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）．26.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線.（1）當(dāng)時，求拋物線的頂點坐標(biāo)；（2）已知和是拋物線上的兩點.若對于，，都有，求的取值范圍.27.已知，點，分別在射線，上，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點作的垂線交射線于點.

（1）如圖1，當(dāng)點在射線上時，求證：是的中點；（2）如圖2，當(dāng)點在內(nèi)部時，作，交射線于點，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明。28.在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對于的弦和不在直線上的點，給出如下定義：若點關(guān)于直線的對稱點在上或其內(nèi)部，且，則稱點是弦的“可及點”．（1）如圖，點，．①在點，，中，點___________是弦的“可及點”，其中____________；②若點是弦的“可及點”，則點的橫坐標(biāo)的最大值為__________；（2）已知是直線上一點，且存在的弦，使得點是弦的“可及點”．記點的橫坐標(biāo)為，直接寫出的取值范圍．2024年北京市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷參考答案第一部分選擇題一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個1.B【詳解】A、是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故不符合題意；B、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故符合題意；C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故不符合題意；D、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；故選：B．2.B【詳解】∵，∴，∵，，∴，故選：B．3.C【詳解】解：A、由數(shù)軸可知，故本選項不符合題意；B、由數(shù)軸可知，由絕對值的意義知，故本選項不符合題意；C、由數(shù)軸可知，而，則，故，故本選項符合題意；D、由數(shù)軸可知，而，因此，故本選項不符合題意．故選：C．4.C【詳解】∵方程有兩個相等的實數(shù)根，，∴，∴，解得．故選C．5.D【詳解】解：畫樹狀圖如下：共有4種等可能的結(jié)果，其中兩次都取到白色小球的結(jié)果有1種，兩次都取到白色小球概率為．故選：D．6.D【詳解】，故選D．7.A【詳解】解：根據(jù)上述基本作圖，可得，故可得判定三角形全等的依據(jù)是邊邊邊，故選A.8.B【詳解】向兩方分別延長，連接，根據(jù)菱形，，則，，∵菱形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到菱形，∴點一定在對角線上，且，，∴，，∵，∴，∴，，同理可證，∵，∴，∴，∴，∴該八邊形各邊長都相等，故①正確；根據(jù)角的平分線的性質(zhì)定理，得點到該八邊形各邊所在直線的距離都相等，∴④正確；根據(jù)題意，得，∵，，∴，∴該八邊形各內(nèi)角不相等；∴②錯誤，根據(jù)，∴，∴，∵，故，∴點到該八邊形各頂點的距離都相等錯誤∴③錯誤，故選B．第二部分非選擇題二、填空題（共16分，每題2分）9.【詳解】根據(jù)題意得，解得：．故答案為：10.【詳解】．故答案為：．11.【詳解】，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的解，所以，原方程的解為，故答案為：．12.0【詳解】∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，∴有，∴，故答案為：0．13.160【詳解】10個工件中為一等品的有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02這8個，∴這200個工件中一等品的個數(shù)為個，故答案為：160．14.55【詳解】∵直徑平分弦，∴，∵，∴，∴，故答案為：．15.【詳解】根據(jù)正方形的性質(zhì)，得，，∴，∵，∴,，，∴，∴，∴，∴的面積為；故答案為：．16.①.60②.【詳解】①節(jié)目D的演員的候場時間為，故答案為：60；②由題意得節(jié)目A和C演員人數(shù)一樣，彩排時長不一樣，那么時長長的節(jié)目應(yīng)該放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排時長一樣，人數(shù)不一樣，那么人數(shù)少的應(yīng)該往后排，這樣等待時長會短一些，那么B在D前面，∴①按照順序，則候場時間為：分鐘；②按照順序，則候場時間為：分鐘；③按照順序，則候場時間為：分鐘；④按照順序，則候場時間為：分鐘；⑤按照順序，則候場時間為：分鐘；⑥按照順序，則候場時間為：分鐘．∴按照順序彩排，候場時間之和最小，故答案為：．三、解答題（共68分，第17-19題每題5分，第20-21題每題6分，第22-23題每題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17.解：原式．18.解：解不等式①，得，解不等式②，得，∴不等式組的解集為．19.解：原式，∵，∴，∴原式．20.（1）證明：∵是的中點，，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形；（2）解：∵，∴，在中，，，∴，∵是的中點，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴在中，由勾股定理得．21.解：設(shè)技術(shù)改進后該汽車的A類物質(zhì)排放量為，則B類物質(zhì)排放量為，由題意得：，解得：，∵，∴這次技術(shù)改進后該汽車的類物質(zhì)排放量符合“標(biāo)準(zhǔn)”．22.解：（1）由題意，將代入得：，解得：，將，，代入函數(shù)中，得：，解得：，∴；（2）∵，∴兩個一次函數(shù)的解析式分別為，當(dāng)時，對于的每一個值，函數(shù)的值既大于函數(shù)的值，也大于函數(shù)的值，即當(dāng)時，對于的每一個值，直線的圖象在直線和直線的上方，則畫出圖象為：由圖象得：當(dāng)直線與直線平行時符合題意或者當(dāng)與x軸的夾角大于直線與直線平行時的夾角也符合題意，∴當(dāng)直線與直線平行時，，∴當(dāng)時，對于的每一個值，直線的圖象在直線和直線的上方時，，∴m的取值范圍為．23.（1）91，4【解析】①從教師評委打分的情況看，分出現(xiàn)的次數(shù)最多，故教師評委打分的眾數(shù)為，所以，共有45名學(xué)生評委給每位選手打分，所以學(xué)生評委給每位選手打分的中位數(shù)應(yīng)當(dāng)是第個，從頻數(shù)分面直方圖上看，可得學(xué)生評委給每位選手打分的中位數(shù)在第4組，故答案為：，；②【解析】去掉教師評委打分中的最高分和最低分，其余8名教師評委打分分別為：，，，，，，，，，故答案為：；（2）甲，【解析】，，，，丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，依題意，當(dāng)，則解得：當(dāng)時，此時∵，則乙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，不合題意，當(dāng)時，此時∵，則丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，這三位選手中排序最靠前的是甲故答案為：甲，．24.（1）證明：根據(jù)題意，得，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴；（2）解：∵，，不妨設(shè)，則，∴，∵，∴，，∴，∴，解得，取的中點M，連接，則∵，∴，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，解得，故半徑的長為.25.（1）1.0【解析】由題意得，設(shè)V與的函數(shù)關(guān)系式為：，由表格數(shù)據(jù)得：，解得：，∴，∴當(dāng)時，，∴；（2）解：如圖所示，即為所畫圖像，（3）①1.2【解析】當(dāng)時，，由圖象可知高度差，故答案為：1.2；②8.5【解析】由圖象可知當(dāng)兩個水杯的水面高度相同時，估算高度約為，故答案為：．26.解：（1）把代入得，，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為；（2）分兩種情況：拋物線的對稱軸是直線；當(dāng)時，如圖，此時，∴，又∵，∴；當(dāng)時，如圖，此時，解得，又∵，∴；綜上，當(dāng)或，都有．27.（1）證明：連接，由題意得：，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點是的中點；（2）解：，在射線上取點H，使得，取的中點G，連接，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，∵，∴，，∵是的中點，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等