《函數(shù)的概念及其表示》能力探究

高中數(shù)學(xué)精編資源3/3《函數(shù)的概念及其表示》能力探究分析計(jì)算能力函數(shù)定義域的求法1.求函數(shù)定義域問(wèn)題的思路(1)先列出使有意義的不等式或不等式組.(2)解不等式或不等式組.(3)將解集寫(xiě)成集合或區(qū)間的形式.2.求函數(shù)定義域的一般原則(1)若為整式,則其定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集.(2)若是分式,則其定義域是使分母不等于0的實(shí)數(shù)的集合.(3)若是偶次根式,則其定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于0的實(shí)數(shù)的集合.(4)若是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的,則函數(shù)的定義域是使各部分都有意義的實(shí)數(shù)的集合,即交集.(5)的定義域是.3.抽象函數(shù)定義域的求法(1)若的定義域?yàn)?則中,從中解得的取值范圍即為的定義域.(2)若的定義域?yàn)?則由可確定的范圍,設(shè),則,又與是同一函數(shù),所以的范圍即的定義域.(3)求運(yùn)算型抽象函數(shù)(由有限個(gè)抽象函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算得到的函數(shù))的定義域,應(yīng)先求出各個(gè)函數(shù)的定義域,再求交集.典例1[數(shù)學(xué)運(yùn)算](2018湖北襄陽(yáng)四校高一聯(lián)考)(1)已知函數(shù)的定義域?yàn)?求函數(shù)的定義域.(2)已知函數(shù)的定義域是,求函數(shù)的定義域.(3)若函數(shù)的定義域?yàn)?求函數(shù)的定義域.解析:本題為求函數(shù)定義域的問(wèn)題,分析題意,列出使或的抽象函數(shù)成立的不等式或不等式組,經(jīng)過(guò)分析計(jì)算解出不等式,寫(xiě)出解集,必要時(shí)要進(jìn)行分類(lèi)討論是解題關(guān)鍵.具體解題過(guò)程如下:(1)由,得,所以函數(shù)的定義域是.(2)由,得,所以函數(shù)的定義域是.(3)由題意得∵,而與的大小不確定,∴對(duì)與的大小進(jìn)行討論.①若,即,則.②若,即,則.③若,即,則,與題意不符,故不可能大于.綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)的定義域?yàn)?分析計(jì)算能力函數(shù)值域的求法求函數(shù)的值域時(shí)要明確兩點(diǎn),一是值域的概念,二是函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系.常用的方法有:觀察法、換元法、配方法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法、分離常數(shù)法、反表示法、中間變量值域法等.(1)觀察法:有的函數(shù)的結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜,可以通過(guò)對(duì)解析式的簡(jiǎn)單變形和觀察,利用熟知的函數(shù)的值域求出函數(shù)的值域.如函數(shù)的值域是.(2)換元法:運(yùn)用換元,將已知函數(shù)轉(zhuǎn)化為值域容易確定的另一函數(shù),從而求得原函數(shù)的值域,一定要注意換元后新元的取值范圍.例如,形如,均為常數(shù),的函數(shù)常用此法.(3)配方法:若函數(shù)是二次函數(shù)形式,即可化為型的函數(shù),則可通過(guò)配方后再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求值域,但要注意給定區(qū)間上二次函數(shù)最值的求法.(4)判別式法:求形如不同時(shí)為0的值域,常利用去分母的形式,把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于的一元二次方程,通過(guò)方程有實(shí)根,判別式,求出的取值范圍,即得到函數(shù)的值域.(5)數(shù)形結(jié)合法:有些函數(shù)的圖象比較容易畫(huà)出,可以通過(guò)函數(shù)的圖象得出函數(shù)的值域.(6)分離常數(shù)法:分離常數(shù)的目的是減少“變量”,形如的函數(shù),經(jīng)常采用分離常數(shù)法,將變形為,再結(jié)合的取值范圍確定的取值范圍,從而確定函數(shù)的值域.(7)反表示法:如求函數(shù)的值域,由解出,得.而,所以,即,所以,故所求函數(shù)的值域?yàn)?(8)中間變量值域法:如求函數(shù)的值域,由得,而,所以.所以或.故所求函數(shù)的值域?yàn)?典例2[數(shù)學(xué)運(yùn)算]求下列函數(shù)的值域:(1).(2).(3).(4).(5).(6).解析:通過(guò)觀察分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,選擇最適合的方法分析計(jì)算求值域.具體解題過(guò)程如下:(1)(觀察法)利用我們熟知的的取值范圍求解.∵的值域?yàn)?(2)(分離常數(shù)法).∵函數(shù)的值或?yàn)?(3)(分離常數(shù)法),而.∵,∴函數(shù)的值域?yàn)榍?(4)(判別式法)該函數(shù)的分子,分母都是關(guān)于的二次式,因而可考慮將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次方程,然后利用判別式法求值域.∵恒成立,∴原式可變形為,即,當(dāng)時(shí),等式不成立;當(dāng)時(shí),上式為關(guān)于的一元二次方程,∵,即,解得,∴函數(shù)的值域?yàn)?(5)(換元法)設(shè),則.由知函數(shù)的值域?yàn)?(6)(配方法)將原式配方,得,函數(shù)圖象如圖所示,∴函數(shù)的值域?yàn)?簡(jiǎn)單問(wèn)題解決能力定義域、值域的逆向問(wèn)題求解1.代入法已知的解析式,求的解析式常用此法.如已知,求時(shí),有.2.配湊法已知的解析式,要求的解析式時(shí),可從的解析式中配湊出,即用來(lái)表示,再將解析式兩邊的用代替即可.如已知,可以將右邊湊成的形式再求解.3.換元法已知的解析式,要求的解析式時(shí),可令,再求出的解析式,然后用代替即可.如已知,我們可以設(shè),解出代入求解.4.待定系數(shù)法如果已知函數(shù)類(lèi)型,可設(shè)出函數(shù)解析式,再代入條件解方程(組),求出參數(shù),即可確定函數(shù)解析式.5.方程組法已知與滿足的關(guān)系式,要求時(shí),可用代替兩邊所有的,得到關(guān)于與的方程組,消去解出即可.常見(jiàn)的有:已知與與滿足的關(guān)系式時(shí),可將原式中的用或代替,從而得到另一個(gè)同時(shí)含與,與的關(guān)系式,將這兩個(gè)關(guān)系式聯(lián)立,列方程組解出.當(dāng)所給函數(shù)關(guān)系式含有兩個(gè)變量時(shí),可對(duì)這兩個(gè)變量交替用特殊值代入,或使這兩個(gè)變量相等再代入,然后利用已知條件,可求出未知的函數(shù).至于取什么特殊值,應(yīng)根據(jù)題目特征而定.典例3-1[數(shù)學(xué)運(yùn)算](1)已知函數(shù),則的解析式為_(kāi)_____.(2)已知,則的解析式為_(kāi)_________.解析:本題為求函數(shù)的解析式.(1)題中的函數(shù)類(lèi)型可用換元法或配湊法.(2)題中的函數(shù)類(lèi)型可考慮用換元法.具體解題過(guò)程如下:(1)方法一(換元法):令,則,所以,即方法二(配湊法):因?yàn)?所以,即.(2)設(shè),則,代入函數(shù)式中得.答案:(1)(2)典例3-2[數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算](1)(2019湖北部分重點(diǎn)中學(xué)高一聯(lián)考)已知一次函數(shù)滿足,則的解析式為_(kāi)____.(2)已知函數(shù)滿足,則函數(shù)的解析式為_(kāi)_______.解析:本題為求函數(shù)的解析式.根據(jù)函數(shù)解析式的特點(diǎn),選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄓ?jì)算是快速解決本題的關(guān)鍵.(1)設(shè),則,于是有解得或所以或.(2)在已知等式中,將換成.得.與已知方程聯(lián)立,得消去,得.答案:(1)或(2)分析計(jì)算能力函數(shù)解析式的求法1.函數(shù)定義域的逆向問(wèn)題已知函數(shù)的定義域,求函數(shù)中字母取值范圍的問(wèn)題,解法與求函數(shù)的定義域類(lèi)似.2.函數(shù)值域的逆向問(wèn)題有些問(wèn)題雖然不是直接求函數(shù)的值域,而是已知函數(shù)的值域,求函數(shù)中某個(gè)參數(shù)的取值范圍,但仍離不開(kāi)求函數(shù)值域的常用方法.3.已知函數(shù)定義域或值域求參數(shù)問(wèn)題的解題思路(1)注意調(diào)整思維方向,根據(jù)定義域或值域的含義,將給出的定義域或值域轉(zhuǎn)化為方程的解或不等式的解集的問(wèn)題.(2)根據(jù)方程的解或不等式的解集情況來(lái)確定參數(shù)的取值或取值范圍.典例4[數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理](1)(2019山東曲阜一中月考)若函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A.B.C.D.(2)(2019山東青島二中月考)若一系列函數(shù)的解析式相同,值域相同,但定義域不同,則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”,那么函數(shù)解析式為,值域?yàn)榈摹皩\生函數(shù)”共有()A.10個(gè)B.8個(gè)C.9個(gè)D.4個(gè)解析:已知函數(shù)的定義域、值域,逆向求解函數(shù)中參數(shù)的取值或取值范圍,需運(yùn)用分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化與化歸的方法.具體解題過(guò)程如下:(1)函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集,則恒成立,即.解得,即實(shí)數(shù)的取值范圍是.(2)由,得.由,得,因?yàn)槎x域?yàn)?個(gè)元素的集合有4個(gè),定義域?yàn)?個(gè)元素的集合有4個(gè),定義域?yàn)?個(gè)元素的集合有1個(gè),所以共有9個(gè)“孿生函數(shù)”.答案:(1)D(2)C簡(jiǎn)單問(wèn)題解決能力作函數(shù)圖象的步驟作圖通常有列表、描點(diǎn),連線三個(gè)步驟:(1)列表.先找出一些有代表性的自變量的值,并計(jì)算出與這些自變量相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,用表格的形式表示出來(lái).(2)描點(diǎn).從表中得到一系列的點(diǎn),在坐標(biāo)平面上描出這些點(diǎn).(3)連線.用光滑曲線把這些點(diǎn)按自變量由小到大的順序連接起來(lái).要作出更精確的圖象,常常需要描出更多的點(diǎn).【要點(diǎn)辨析】作函數(shù)圖象的注意事項(xiàng):(1)先確定函數(shù)的定義域,要在定義域內(nèi)作圖.(2)圖象是實(shí)線或?qū)嶞c(diǎn),定義域外的部分有時(shí)可用虛線來(lái)襯托整個(gè)圖象.(3)要標(biāo)出某些關(guān)鍵點(diǎn),例如圖象的頂點(diǎn)、端點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).(4)作分段函數(shù)的圖象時(shí),應(yīng)根據(jù)不同定義域上的解析式分別作