第5章 復數(shù)（知識考點）-【中職專用】高中數(shù)學單元復習講與測（高教版2021·拓展模塊一上冊）解析版

第5第5章復數(shù)知識點一：復數(shù)的概念和意義1．復數(shù)的有關(guān)概念(1)定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，實部是eq\a\vs4\al(a)，虛部是eq\a\vs4\al(b).(2)虛數(shù)單位：把平方等于－1的數(shù)用符號i表示，規(guī)定i2＝－1，我們把i叫作虛數(shù)單位．(3)表示方法：復數(shù)通常用字母z表示，代數(shù)形式為z＝a＋bi(a，b∈R)．(4)復數(shù)集：①定義：全體復數(shù)所成的集合．②表示：通常用大寫字母C表示．注意：復數(shù)概念說明：(1)復數(shù)集是最大的數(shù)集，任何一個數(shù)都可以寫成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)復數(shù)的實部是a，虛部是實數(shù)b而非bi.(3)復數(shù)z＝a＋bi只有在a，b∈R時才是復數(shù)的代數(shù)形式，否則不是代數(shù)形式．2．復數(shù)的分類對于復數(shù)a＋bi，(1)當且僅當b＝0時，它是實數(shù)；(2)當且僅當a＝b＝0時，它是實數(shù)0；(3)當b≠0時，叫做虛數(shù)；(4)當a＝0且b≠0時，叫做純虛數(shù)．這樣，復數(shù)z＝a＋bi可以分類如下：復數(shù)=注意：復數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系3．復數(shù)相等在復數(shù)集C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＋bi|a，b∈R))中任取兩個數(shù)a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我們規(guī)定：兩個復數(shù)相等的充要條件是實部與虛部分別相等。4．復數(shù)的幾何意義(1)復平面建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面①軸——實軸②軸——虛軸③實軸上的點都表示實數(shù)；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)(2)復數(shù)的幾何意義——與點對應(yīng)復數(shù)的幾何意義1：復數(shù)復平面內(nèi)的點(3)復數(shù)的幾何意義——與向量對應(yīng)復數(shù)的幾何意義2：復數(shù)平面向量(4)復數(shù)的模向量的模叫做復數(shù))的模，記為或公式：，其中復數(shù)模的幾何意義：復數(shù)在復平面上對應(yīng)的點到原點的距離；特別的，時，復數(shù)是一個實數(shù)，它的模就等于(的絕對值).(5)共軛復數(shù)①定義一般地，當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)；虛部不等于0的兩個共軛復數(shù)也叫共軛虛數(shù).②表示方法復數(shù)的共軛復數(shù)用表示，即如果，則.知識點二：復數(shù)的運算1．復數(shù)代數(shù)形式的加法運算及其幾何意義(1)復數(shù)的加法法則設(shè)，，（）是任意兩個復數(shù)，那么它們的和：，顯然，兩個復數(shù)的和仍然是一個確定的復數(shù).(2)復數(shù)加法滿足的運算律對任意，有交換律：結(jié)合律：(3)復數(shù)加法的幾何意義如圖，設(shè)在復平面內(nèi)復數(shù)，對應(yīng)的向量分別為，，以，為鄰邊作平行四邊形，則，即：，即對角線表示的向量就是與復數(shù)對應(yīng)的向量.所以：復數(shù)的加法可以按照向量的加法來進行.2．復數(shù)代數(shù)形式的減法運算及其幾何意義(1)復數(shù)的減法法則類比實數(shù)集中減法的意義，我們規(guī)定，復數(shù)的減法是加法的逆運算，即把滿足：的復數(shù)叫做復數(shù)減去復數(shù)的差，記作注意：①兩個復數(shù)的差是一個確定的復數(shù)；②兩個復數(shù)相加減等于實部與實部相加減，虛部與虛部相加減.(2)復數(shù)減法的幾何意義復數(shù) 向量3．復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算(1)復數(shù)的乘法法則我們規(guī)定，復數(shù)乘法法則如下：設(shè),是任意兩個復數(shù)，那么它們的乘積為，即(2)復數(shù)乘法滿足的運算律復數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律、分配律(交換律)(結(jié)合律)(分配律)4．復數(shù)代數(shù)形式的除法運算(1)定義規(guī)定復數(shù)的除法是乘法的逆運算，即把滿足（，）的復數(shù)叫做復數(shù)除以復數(shù)的商，記作或(2)復數(shù)的除法法則（）由此可見，兩個復數(shù)相除（除數(shù)不為0），所得的商是一個確定的復數(shù).知識點三：實系數(shù)一元二次方程的解法1．根的判定當a，b，c都是實數(shù)且a≠0時，關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0稱為實系數(shù)一元二次方程，(1)當4=b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)當4=b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；(3)當=b2-4ac<0時，方程有兩個互為共軛的虛數(shù)根.2．根與系數(shù)的關(guān)系如果x1，x2是實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0的解，那么x1＋x2=--ba，x1x2=3．在復數(shù)范圍內(nèi)，實數(shù)系方程ax2+bx+c=0的求解方法(1)求根公式法=1\*GB3①?≥0時，x=-b±b2=2\*GB3②?<0時，x=-b±-（(2)利用復數(shù)相等的定義求解，設(shè)方程的根為x=m＋ni（m，n∈R），將此代入方程ax2＋bx＋c=0（a≠0），化簡后利用復數(shù)相等的定義求解.考點一復數(shù)的概念和意義1．下列說法正確的是（

）A．表示虛數(shù)單位，所以它不是一個虛數(shù)B．的平方根是C．是純虛數(shù)D．若，則復數(shù)沒有虛部【答案】B【解析】A：表示虛數(shù)單位，也是一個虛數(shù)，故A錯誤；B：由，可知的平方根是，故B正確；C：當是實數(shù)，故C錯誤；D：若，則復數(shù)虛部為0，故D錯誤；故選：B2．若復數(shù)，為虛數(shù)單位，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【解析】因為，所以，故選：C.3．下列的取值中，使=1(是虛數(shù)單位）的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為,故選C.4．若，是虛數(shù)單位，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，，即，，所以．故選：D．5．若復數(shù)滿足，則的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，則z的虛部6，故選：D.6．已知復數(shù)的實部和虛部分別為和4，則實數(shù)和的值分別是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，復數(shù)的實部和虛部分別為和4，因此，解得，所以實數(shù)和的值分別是，故選：D.7．已知復數(shù)（其中為虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，所以，解得，故選：D.8．已知復數(shù)滿足，且的共軛復數(shù)為，則（

）A． B．2 C．4 D．3【答案】B【解析】因為，所以，所以．故選：B.9．在復平面內(nèi)，點對應(yīng)的復數(shù)為（為虛數(shù)單位），且向量，則點對應(yīng)復數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，由題意知，則由可得，則，即，則點對應(yīng)復數(shù)為，故選：A.10．已知為虛數(shù)單位，若復數(shù)是純虛數(shù)，則______．【答案】【解析】因為為純虛數(shù)，則且，所以，所以，故答案為：.考點二復數(shù)的運算11．化簡下列復數(shù)（1）（2）【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）.（2）.12．在復平面內(nèi)，復數(shù)，，，則復數(shù)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】因為z＝z1＋z2＝＋＝－2＋i，所以實部小于0，虛部大于0，故復數(shù)z對應(yīng)的點位于第二象限，故選：B.13．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則．由得，則，所以，，所以．故選：B.14．（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，故選：D．15．設(shè)，則復數(shù)對應(yīng)的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】設(shè)，則，所以，，故，，則，因此，復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，故選：D.16．在復平面內(nèi)，復數(shù)對應(yīng)的點在第三象限，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，,即，實數(shù)的取值范圍是，故選：A.17．已知復數(shù)z滿足，則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】A【解析】由，得，所以，故選：A.18．若復數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則的共軛復數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故，故選：A.19．若,則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,則,所以，故選:A.20．已知復數(shù)的實部與虛部的和為12，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由復數(shù)的乘法運算可知，，因為復數(shù)的實部與虛部的和為12，所以，解得，，故選：B.考點三實系數(shù)一元二次方程的解法21．已知，為實數(shù)，是關(guān)于的方程的一個根，其中是虛數(shù)單位，則．【答案】0【解析】是關(guān)于的方程的一個根，是關(guān)于的方程的另一個根，則，即，，，故答案為：0.22．已知是關(guān)于x的方程的一個根，其中p，，則p＋q＝．【答案】19【解析】因為是關(guān)于x的方程的一個