(人教A版數(shù)學(xué)必修一講義)第5章第01講5.1任意角和弧度制(知識(shí)清單+11類(lèi)熱點(diǎn)題型講練+分層強(qiáng)化訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

第01講5.1任意角和弧度制課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解并掌握正角、負(fù)角、零角的概念。②掌握象限角的范圍，掌握終邊相同的角的表示方法及判定方法。③了解弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化。④由圓周角找出弧度制與角度制的聯(lián)系，記住常見(jiàn)特殊角對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)。⑤掌握弧度制中扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式，能用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的弧長(zhǎng)及面積運(yùn)算。1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握任意角的概念，并能用集合的形式表示任意角；2掌握弧度制與角度制的互化，；3.記住特殊角的弧度制；4.掌握與弧度制相關(guān)的弧長(zhǎng)公式和面積公式的運(yùn)用；知識(shí)點(diǎn)01：任意角1、角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線(xiàn)繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形2、角的分類(lèi)①正角:按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角.②負(fù)角:按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角.③零角:如果一條射線(xiàn)沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱(chēng)它形成了一個(gè)零角.3、角的運(yùn)算設(shè)，是任意兩個(gè)角，為角的相反角．(1)：把角的終邊旋轉(zhuǎn)角.（時(shí),旋轉(zhuǎn)量為,按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn);時(shí),旋轉(zhuǎn)量為,按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)）(2)：知識(shí)點(diǎn)02：象限角1、定義：在直角坐標(biāo)系中,使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么,角的終邊在第幾象限,就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.2、象限角的常用表示：第一象限角第二象限角第三象限角或第四象限角或知識(shí)點(diǎn)03：軸線(xiàn)角1、定義：軸線(xiàn)角是指以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為始邊，終邊落在坐標(biāo)軸上的角.2、軸線(xiàn)角的表示：①終邊落在軸非負(fù)半軸②終邊落在軸非負(fù)半軸③終邊落在軸非正半軸或④終邊落在軸非正半軸或⑤終邊落在軸⑥終邊落在軸或⑦終邊落在坐標(biāo)軸知識(shí)點(diǎn)04：終邊相同的角的集合所有與角終邊相同的角為【即學(xué)即練1】（23-24高一·上海·課堂例題）在0°~360°范圍內(nèi)，分別找出終邊與下列各角的終邊重合的角，并判斷它們是第幾象限的角：(1)；(2)905.3°；(3)；(4)530°知識(shí)點(diǎn)05：角度制與弧度制的概念1、弧度制長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫(xiě)).2、角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：，3、常用的角度與弧度對(duì)應(yīng)表角度制弧制度【即學(xué)即練2】（24-25高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）（1）把化成弧度；（2）把化成角度．知識(shí)點(diǎn)06：扇形中的弧長(zhǎng)公式和面積公式弧長(zhǎng)公式：(是圓心角的弧度數(shù))，扇形面積公式：.【即學(xué)即練3】（23-24高一·上?！ふn堂例題）已知扇形的弧所對(duì)的圓心角為，且半徑為．求該扇形的弧長(zhǎng)和面積．題型01任意角的概念【典例1】（23-24高一上·上海·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，給出下列命題：①小于的角一定是銳角；②鈍角一定是第二象限的角；③終邊不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【典例2】（多選）（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列選項(xiàng)不正確的是（

）A．終邊落在第一象限的角為銳角B．銳角是第一象限的角C．第二象限的角為鈍角D．小于的角一定為銳角【變式1】（多選）（23-24高一上·江蘇淮安·階段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．銳角是第一象限角 B．第二象限角為鈍角C．小于的角一定為銳角 D．角與的終邊關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)【變式2】（23-24高一上·福建南平·期中）把分針撥快15分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為.題型02終邊相同的角【典例1】（23-24高一下·遼寧沈陽(yáng)·期中）與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）在與530°終邊重合的角中，求滿(mǎn)足下列條件的角．(1)最大的負(fù)角；(2)最小的正角；(3)–720°到–360°的角．【變式1】（23-24高一下·山東日照·期中）在內(nèi)，與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高一·上?！ふn堂例題）找出與下列各角的終邊重合的角，并判別下列各角是第幾象限的角：(1)；(2)．題型03終邊在某條直線(xiàn)上的角的集合【典例1】（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）終邊落在直線(xiàn)上的角的集合為（

）A． B．C． D．【典例2】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）如圖，用弧度制分別寫(xiě)出下列條件下的角的集合.(1)終邊在射線(xiàn)上；(2)終邊在直線(xiàn)上.【變式1】（2024高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）（1）寫(xiě)出終邊在直線(xiàn)上的角的集合．（2）寫(xiě)出終邊在射線(xiàn)（）與（）上的角的集合．題型04區(qū)域角【典例1】（23-24高一下·廣西欽州·階段練習(xí)）集合中角表示的范圍用陰影表示是圖中的（

）A． B．C． D．【典例2】（23-24高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）如圖所示陰影部分角的集合.【典例3】（23-24高一·江蘇·課后作業(yè)）如圖，寫(xiě)出終邊落在陰影部分的角的集合（包括邊界）．

【變式1】（23-24高一上·山東煙臺(tái)·期末）如圖所示，終邊落在陰影部分包括邊界的角的集合是.【變式2】（23-24高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖所示，寫(xiě)出頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合．【變式3】（2024高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）寫(xiě)出如圖所示陰影部分的角α的范圍.（1）；（2）.題型05確定分角的終邊所在的象限【典例1】（23-24高一下·遼寧遼陽(yáng)·期中）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則是（

）A．第一或第三象限角 B．第二或第四象限角C．第一或第二象限角 D．第三或第四象限角【典例2】（23-24高一上·河北石家莊·期中）如果角的終邊在第三象限，則的終邊一定不在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【典例3】（24-25高一上·上海·課堂例題）已知為第三象限的角，討論角，，的終邊的位置.【變式1】（23-24高三上·上海靜安·期末）設(shè)是第一象限的角，則所在的象限為（

）A．第一象限 B．第三象限C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限【變式2】（23-24高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知角是第三象限角，求所在的象限.題型06弧度制的概念【典例1】（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）判斷正誤（正確的寫(xiě)正確，錯(cuò)誤的寫(xiě)錯(cuò)誤）（1）1rad的角比1°的角要大．()（2）用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān)．()（3）每個(gè)弧度制的角，都有唯一的角度制的角與之對(duì)應(yīng)．()（4）1°的角是周角的，1rad的角是周角的.()【典例2】（多選）（23-24高一下·江西新余·階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（）A．1弧度的角就是長(zhǎng)為半徑的弦所對(duì)的圓心角B．若是第一象限的角，則也是第一象限的角C．若兩個(gè)角的終邊重合，則這兩個(gè)角相等D．用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑無(wú)關(guān)【變式1】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．1弧度的角與1°的角一樣大B．若圓的一條弦長(zhǎng)等于半徑，則這條弦所對(duì)的圓心角是C．經(jīng)過(guò)5分鐘分針轉(zhuǎn)了30°D．長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角的大小是1弧度【變式2】（多選）（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列各說(shuō)法，正確的是（）A．半圓所對(duì)的圓心角是πradB．圓周角的大小等于2πC．1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于該圓的半徑D．長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角的大小是1弧度題型07角度與弧度的互化【典例1】（23-24高一·上海·課堂例題）分別將下列弧度化為角度：(1)(2)(3)（結(jié)果精確到0.01°）．【典例2】（23-24高一·上?！ふn堂例題）分別將下列角度化為弧度：(1)15°；(2)；(3)．【變式1】（2024高一上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）將下列角度與弧度進(jìn)行互化：(1)；(2)；(3)；(4)．【變式2】（2023高一·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）將下列各弧度化成角度.(1)(2)(3)(4)-3題型08用弧度表示角或范圍【典例1】（24-25高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）與60°角終邊相同的角可以表示為（

）A． B．C． D．【典例2】（23-24高一上·河北承德·期末）已知角的終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），角的終邊和相同，則角的集合為（

）A．B．C．D．【變式1】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）與終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24高一下·山東濰坊·階段練習(xí)）把寫(xiě)成的形式是.題型09弧長(zhǎng)公式【典例1】（23-24高一下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）在單位圓中，長(zhǎng)度為的弦所對(duì)的劣弧長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一·上?！るS堂練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為．(1)若，，求扇形的弧長(zhǎng)；(2)已知扇形的周長(zhǎng)為，面積是，求扇形的圓心角．【變式1】（23-24高一下·安徽銅陵·期末）若一個(gè)扇形的面積為6，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則該扇形的弧長(zhǎng)為.【變式2】（23-24高一下·上海黃浦·期末）若扇形的圓心角為，半徑為4，則其弧長(zhǎng)為．題型10扇形面積公式【典例1】（23-24高一下·河南南陽(yáng)·期中）在扇形中，，弦，則扇形的面積是（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知某扇形的圓心角是，半徑為，則該扇形的面積為．【變式1】（23-24高一下·遼寧沈陽(yáng)·期中）在扇形中，，且弦，則扇形的面積為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高一下·重慶·期末）若一個(gè)扇形的半徑為1，圓心角為，則該扇形的面積為（

）A．15 B．30 C． D．題型11扇形中的最值問(wèn)題【典例1】（23-24高一下·陜西渭南·階段練習(xí)）已知扇形的圓心角是，半徑為，弧長(zhǎng)為；(1)若，求扇形的弧長(zhǎng)；(2)若扇形的周長(zhǎng)為，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大，最大值是多少？并求出此時(shí)的半徑.【典例2】（23-24高一上·全國(guó)·期末）已知一個(gè)扇形的中心角是，所在圓的半徑是R.(1)若，，求扇形的面積；(2)若扇形的周長(zhǎng)為，面積為，求扇形圓心角的弧度數(shù)；(3)若扇形的周長(zhǎng)為定值C，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形面積最大？并求出最大值.【變式1】（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）（1）一條弦的長(zhǎng)等于它所在圓的半徑，求弦和劣弧所組成的弓形的面積;（2）一扇形的周長(zhǎng)為，那么扇形的半徑和圓心角各取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大?并求出最大值?【變式2】（23-24高一上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為.(1)若，，求扇形的周長(zhǎng)；(2)若扇形的周長(zhǎng)為20，求扇形面積的最大值，此時(shí)扇形的圓心角為多少弧度.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024高一上·浙江臺(tái)州·專(zhuān)題練習(xí)）已知，則的余角是（

）A．29.4° B．29.64° C．119.4° D．119.64°2．（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）若角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，則集合中的角的終邊在圖中的位置（陰影部分）是（

）A．B．C． D．3．（23-24高一下·陜西渭南·期中）角1000°的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，曲線(xiàn)段是一段半徑為的圓弧，若圓弧的長(zhǎng)度為，則A，B兩點(diǎn)間的距離為（）A．R B．R C．R D．2R5．（23-24高一下·重慶·期中）密位制是度量角的一種方法．把一周角等分為份，每一份叫做1密位的角．以密位作為角的度量單位，這種度量角的單位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四個(gè)數(shù)碼表示角的大小，單位名稱(chēng)密位二字可以省去不寫(xiě).密位的寫(xiě)法是在百位數(shù)與十位數(shù)字之間畫(huà)一條短線(xiàn)，如7密位寫(xiě)成“”，密位寫(xiě)成“”．1周角等于密位，記作1周角，1直角.如果一個(gè)半徑為的扇形，它的面積為，則其圓心角用密位制表示為（

）A． B． C． D．6．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）集合中角所表示的范圍（陰影部分）是（

）A． B．C． D．7．（23-24高一下·陜西渭南·期中）“古典正弦”定義為：在如圖所示的單位圓中，當(dāng)圓心角的范圍為時(shí)，其所對(duì)的“古典正弦”為（為的中點(diǎn)）.根據(jù)以上信息，當(dāng)圓心角對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)時(shí)，其對(duì)應(yīng)的“古典正弦”值為（

）A． B． C． D．該折扇扇面畫(huà)的外弧長(zhǎng)為，內(nèi)弧長(zhǎng)為，且該扇面所在扇形的圓心角約為，則該扇面畫(huà)的面積約為12．（2023高二·湖北·學(xué)業(yè)考試）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”．如圖，是以為圓心為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，且．記的弧長(zhǎng)的近似值為，“會(huì)圓術(shù)”給出了的一種計(jì)算公式：．若，，則根據(jù)該公式計(jì)算．

四、解答題13．（23-24高一下·遼寧遼陽(yáng)·期中）如圖，這是一個(gè)扇形環(huán)面（由扇形挖去扇形后構(gòu)成）展臺(tái)，米．(1)若，米，求該扇形環(huán)面展臺(tái)的周長(zhǎng)；(2)若該扇形環(huán)面展臺(tái)的周長(zhǎng)為米，布置該展臺(tái)的平均費(fèi)用為元/平方米，求布置該扇形環(huán)面展臺(tái)的總費(fèi)用．B能力提升1．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）在平直的鐵軌上停著一輛高鐵列車(chē)，列車(chē)與鐵軌上表面接觸的車(chē)輪半徑為，且某個(gè)車(chē)輪上的點(diǎn)剛好與鐵軌的上表面接觸，若該列車(chē)行駛了距離，則此時(shí)到鐵軌上表面的距離為（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·上?！て谥校┤鐖D，長(zhǎng)為2，寬為1的矩形木塊，在桌面上作無(wú)滑動(dòng)翻滾，翻滾到第四次時(shí)被一小木塊擋住，使木塊底與桌面成30°角，則點(diǎn)走過(guò)的路程是．3．（23-24高一上·廣東清遠(yuǎn)·期中）已知扇形的圓心角是，半徑為，弧長(zhǎng)為.(1)若，，求扇形的弧長(zhǎng).(2)若扇形的周長(zhǎng)是20cm，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？(3)若，求扇形的弧所在的弓形的面積.第01講5.1任意角和弧度制課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解并掌握正角、負(fù)角、零角的概念。②掌握象限角的范圍，掌握終邊相同的角的表示方法及判定方法。③了解弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化。④由圓周角找出弧度制與角度制的聯(lián)系，記住常見(jiàn)特殊角對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)。⑤掌握弧度制中扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式，能用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的弧長(zhǎng)及面積運(yùn)算。1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握任意角的概念，并能用集合的形式表示任意角；2掌握弧度制與角度制的互化，；3.記住特殊角的弧度制；4.掌握與弧度制相關(guān)的弧長(zhǎng)公式和面積公式的運(yùn)用；知識(shí)點(diǎn)01：任意角1、角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線(xiàn)繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形2、角的分類(lèi)①正角:按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角.②負(fù)角:按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角.③零角:如果一條射線(xiàn)沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱(chēng)它形成了一個(gè)零角.3、角的運(yùn)算設(shè)，是任意兩個(gè)角，為角的相反角．(1)：把角的終邊旋轉(zhuǎn)角.（時(shí),旋轉(zhuǎn)量為,按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn);時(shí),旋轉(zhuǎn)量為,按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)）(2)：知識(shí)點(diǎn)02：象限角1、定義：在直角坐標(biāo)系中,使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么,角的終邊在第幾象限,就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.2、象限角的常用表示：第一象限角第二象限角第三象限角或第四象限角或知識(shí)點(diǎn)03：軸線(xiàn)角1、定義：軸線(xiàn)角是指以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為始邊，終邊落在坐標(biāo)軸上的角.2、軸線(xiàn)角的表示：①終邊落在軸非負(fù)半軸②終邊落在軸非負(fù)半軸③終邊落在軸非正半軸或④終邊落在軸非正半軸或⑤終邊落在軸⑥終邊落在軸或⑦終邊落在坐標(biāo)軸知識(shí)點(diǎn)04：終邊相同的角的集合所有與角終邊相同的角為【即學(xué)即練1】（23-24高一·上?！ふn堂例題）在0°~360°范圍內(nèi)，分別找出終邊與下列各角的終邊重合的角，并判斷它們是第幾象限的角：(1)；(2)905.3°；(3)；(4)530°【答案】(1),第一象限角(2),第三象限角(3),第四象限角,(4),第二象限角【分析】根據(jù)終邊相同的角的公式，寫(xiě)出即可.【詳解】（1）是第一象限的角,是第一象限的角;（2）是第三象限的角,是第三象限的角;（3）是第四象限的角,是第四象限的角;（4）是第二象限的角,是第二象限的角.知識(shí)點(diǎn)05：角度制與弧度制的概念1、弧度制長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫(xiě)).2、角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：，3、常用的角度與弧度對(duì)應(yīng)表角度制弧制度【即學(xué)即練2】（24-25高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）（1）把化成弧度；（2）把化成角度．【答案】（1）；（2）【分析】（1）（2）根據(jù)角度制和弧度制之間的關(guān)系運(yùn)算求解.【詳解】（1）．（2）．知識(shí)點(diǎn)06：扇形中的弧長(zhǎng)公式和面積公式弧長(zhǎng)公式：(是圓心角的弧度數(shù))，扇形面積公式：.【即學(xué)即練3】（23-24高一·上海·課堂例題）已知扇形的弧所對(duì)的圓心角為，且半徑為．求該扇形的弧長(zhǎng)和面積．【答案】弧長(zhǎng)：；面積：【分析】先將角度轉(zhuǎn)化成弧度，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式面積公式求解.【詳解】,根據(jù)弧長(zhǎng)公式，弧長(zhǎng)為：，面積為題型01任意角的概念【典例1】（23-24高一上·上?！るA段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，給出下列命題：①小于的角一定是銳角；②鈍角一定是第二象限的角；③終邊不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】結(jié)合任意角的概念分析即可.【詳解】因?yàn)殇J角，所以小于的角不一定是銳角，故①不成立；因?yàn)殁g角，第二象限角，，所以鈍角一定是第二象限角，故②成立；若兩個(gè)角的終邊不重合，則這兩個(gè)角一定不相等，故③成立；例如，，但，故④不成立.故選：B.【典例2】（多選）（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列選項(xiàng)不正確的是（

）A．終邊落在第一象限的角為銳角B．銳角是第一象限的角C．第二象限的角為鈍角D．小于的角一定為銳角【答案】ACD【分析】根據(jù)象限角、銳角、鈍角的定義依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，終邊落在第一象限的角不一定是銳角，如的角終邊位于第一象限，但不是銳角，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，銳角是之間的角，終邊位于第一象限，是第一象限角，B正確；對(duì)于C，終邊落在第二象限的角不一定是鈍角，如的角的終邊位于第二象限，但不是鈍角，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，小于的角不一定是銳角，如的角小于，但不是銳角，D錯(cuò)誤.故選：ACD.【變式1】（多選）（23-24高一上·江蘇淮安·階段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．銳角是第一象限角 B．第二象限角為鈍角C．小于的角一定為銳角 D．角與的終邊關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)【答案】AD【分析】根據(jù)象限角、銳角的定義判斷ABC，根據(jù)任意角的定義判斷D.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)殇J角的范圍為，終邊落在第一象限，故銳角為第一象限角，正確；對(duì)于B：終邊落在第二象限的角不一定是鈍角，如的角的終邊位于第二象限，但不是鈍角，錯(cuò)誤；對(duì)于C：小于的角不一定是銳角，如的角小于，但不是銳角，錯(cuò)誤；對(duì)于D：由角的定義可知，角與的終邊關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，正確；故選：AD【變式2】（23-24高一上·福建南平·期中）把分針撥快15分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為.【答案】【分析】分針撥快15分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，計(jì)算得到答案.【詳解】分針撥快15分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為.故答案為：.題型02終邊相同的角【典例1】（23-24高一下·遼寧沈陽(yáng)·期中）與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用終邊相同角的概念公式求解即可.【詳解】解：，與角終邊相同的角是．故選：B.【典例2】（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）在與530°終邊重合的角中，求滿(mǎn)足下列條件的角．(1)最大的負(fù)角；(2)最小的正角；(3)–720°到–360°的角．【答案】(1)(2)(3)【分析】先求出與530°終邊相同角的集合，然后再分別取滿(mǎn)足題意的k值，即可得解【詳解】（1）因?yàn)榕c530°終邊相同角的集合為，當(dāng)時(shí)，得到最大的負(fù)角為：；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，得到最小的正角為：；（3）由（1）知，當(dāng)時(shí)，得到–720°到–360°的角為：；【變式1】（23-24高一下·山東日照·期中）在內(nèi)，與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由終邊相同的角的定義計(jì)算即可得.【詳解】，而其它項(xiàng)對(duì)應(yīng)角都不滿(mǎn)足.故選：B.【變式2】（23-24高一·上海·課堂例題）找出與下列各角的終邊重合的角，并判別下列各角是第幾象限的角：(1)；(2)．【答案】(1)與角的終邊重合，第四象限角；(2)與角的終邊重合，第二象限角.【分析】（1）（2）將給定角寫(xiě)成，即可求解得答案.【詳解】（1），且，所以角與角的終邊重合，它是第四象限角.（2），且，所以角與角的終邊重合，它是第二象限角.題型03終邊在某條直線(xiàn)上的角的集合【典例1】（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）終邊落在直線(xiàn)上的角的集合為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先確定的傾斜角為，再分當(dāng)終邊在第一和三象限時(shí)角度的表達(dá)式再求解即可.【詳解】易得的傾斜角為，當(dāng)終邊在第一象限時(shí)，，；當(dāng)終邊在第三象限時(shí)，，．所以角的集合為．故選：B【典例2】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）如圖，用弧度制分別寫(xiě)出下列條件下的角的集合.(1)終邊在射線(xiàn)上；(2)終邊在直線(xiàn)上.【答案】(1)；(2).【分析】（1）將角度改為弧度，再加周期，寫(xiě)成集合形式即可.（2）寫(xiě)出終邊在和上角的集合，再取并集即可.【詳解】（1）由任意角的定義得，終邊在射線(xiàn)上的角為.（2）由任意角的定義得，終邊在射線(xiàn)上的角為，化簡(jiǎn)得，所以終邊在直線(xiàn)上的角為.【變式1】（2024高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）（1）寫(xiě)出終邊在直線(xiàn)上的角的集合．（2）寫(xiě)出終邊在射線(xiàn)（）與（）上的角的集合．【答案】（1）；（2），【分析】（1）終邊在直線(xiàn)上的角是與角終邊相同角的集合和角終邊相同角的集合的并集，求并集得結(jié)果；（2）終邊在射線(xiàn)（）上的角即與角終邊相同角的集合，終邊在射線(xiàn)（）上的角即與角終邊相同角的集合.【詳解】（1）如圖，在范圍內(nèi)，終邊在直線(xiàn)上的角為和，因此終邊在直線(xiàn)上的角的集合為.∴終邊在直線(xiàn)上的角的集合為．（2）終邊在射線(xiàn)（）上的角即與角終邊相同，集合為，終邊在射線(xiàn)（）上的角即與角終邊相同，集合為．題型04區(qū)域角【典例1】（23-24高一下·廣西欽州·階段練習(xí)）集合中角表示的范圍用陰影表示是圖中的（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】當(dāng)取偶數(shù)時(shí)，確定角的終邊所在的象限；當(dāng)取奇數(shù)時(shí)，確定角的終邊所在的象限，再根據(jù)選項(xiàng)即可確定結(jié)果．【詳解】集合中，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，此集合與表示終邊相同的角，位于第一象限；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，此集合與表示終邊相同的角，位于第三象限.所以集合中角表示的范圍為選項(xiàng)B中陰影所示.故選：B.【典例2】（23-24高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）如圖所示陰影部分角的集合.【答案】【分析】觀察圖形，按圖索驥即可.【詳解】，，

，故答案為：.【典例3】（23-24高一·江蘇·課后作業(yè)）如圖，寫(xiě)出終邊落在陰影部分的角的集合（包括邊界）．

【答案】答案見(jiàn)詳解【分析】（1）結(jié)合圖像，先分別表示終邊落在兩塊區(qū)域的角的集合，再取并集即可；（2）先寫(xiě)出在的范圍內(nèi)，陰影部分對(duì)應(yīng)的角，再表示即可【詳解】（1）這是對(duì)頂角區(qū)域的表示問(wèn)題，結(jié)合圖像終邊落在陰影部分的角的集合可表示為：或（2）在的范圍內(nèi)，陰影部分為終邊落在陰影部分的角的集合可表示為：【變式1】（23-24高一上·山東煙臺(tái)·期末）如圖所示，終邊落在陰影部分包括邊界的角的集合是.【答案】【分析】寫(xiě)出終邊落在邊界上的角，即可求出.【詳解】因?yàn)榻K邊落在y軸上的角為，終邊落在圖中直線(xiàn)上的角為；，即終邊在直線(xiàn)上的角為，，所以終邊落在陰影部分的角為，故答案為：【變式2】（23-24高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖所示，寫(xiě)出頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合．【答案】【分析】利用終邊相同的角的集合定義即可得出．【詳解】陰影部分內(nèi)的角的集合為故答案為：.【變式3】（2024高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）寫(xiě)出如圖所示陰影部分的角α的范圍.（1）；（2）.【答案】（1）{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}；（2）{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}.【分析】（1）分別寫(xiě)出與45°角終邊相同的角和與－180°＋30°＝－150°角終邊相同的角，再表示出其范圍.（2）分別寫(xiě)出與45°角終邊相同的角和與－60°＋360°＝300°角終邊相同的角，再表示出其范圍.【詳解】（1）因?yàn)榕c45°角終邊相同的角可寫(xiě)成45°＋k·360°，k∈Z的形式，與－180°＋30°＝－150°角終邊相同的角可寫(xiě)成－150°＋k·360°，k∈Z的形式.所以圖（1）陰影部分的角α的范圍可表示為{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}.（2）因?yàn)榕c45°角終邊相同的角可寫(xiě)成45°＋k·360°，k∈Z的形式，與－60°＋360°＝300°角終邊相同的角可寫(xiě)成300°＋k·360°，k∈Z的形式，所以圖（2）中角α的范圍為{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}.題型05確定分角的終邊所在的象限【典例1】（23-24高一下·遼寧遼陽(yáng)·期中）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則是（

）A．第一或第三象限角 B．第二或第四象限角C．第一或第二象限角 D．第三或第四象限角【答案】A【分析】根據(jù)角所在的象限，表示所在的象限.【詳解】由題意可知是第二象限角，，則,則是第一或第三象限角．故選：A【典例2】（23-24高一上·河北石家莊·期中）如果角的終邊在第三象限，則的終邊一定不在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)角的終邊在第三象限，得，即，然后分類(lèi)討論，再結(jié)合象限角定義可判斷.【詳解】∵α為第三象限角，∴，∴，令，，時(shí)，，，可得的終邊在第一象限；令，時(shí)，，，可得的終邊在第三象限，令，時(shí)，，，∴可得的終邊在第四象限，故選:B．【典例3】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）已知為第三象限的角，討論角，，的終邊的位置.【答案】答案見(jiàn)解析.【分析】根據(jù)所在象限得出的取值范圍，再分別計(jì)算出，，的范圍，即可判斷出所在象限.【詳解】∵是第三象限的角，∴（），∴（），∴（），∴是第四象限的角.∵（），∴（），∴是第一象限的角或第二象限的角或y軸正半軸上的角.∵（），∴（）.若（），則（），∴是第一象限的角；若（），則（），∴是第三象限的角；若（），則（），∴是第四象限的角，∴是第一象限的角、第三象限的角或第四象限的角.綜上所述，結(jié)論是：是第四象限的角，是第一象限的角或第二象限的角或y軸正半軸上的角，是第一象限的角、第三象限的角或第四象限的角.【變式1】（23-24高三上·上海靜安·期末）設(shè)是第一象限的角，則所在的象限為（

）A．第一象限 B．第三象限C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限【答案】C【分析】根據(jù)是第一象限的角，求出的范圍判斷即可得解.【詳解】因?yàn)槭堑谝幌笙薜慕牵?，，所以，?dāng)時(shí)，，為第一象限角；當(dāng)時(shí)，，為第三象限角.故選：C【變式2】（23-24高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知角是第三象限角，求所在的象限.【答案】在第二或第四象限；在第一，第三或第四象限【分析】先寫(xiě)出角滿(mǎn)足的不等式，再分別寫(xiě)出滿(mǎn)足的不等式，根據(jù)不等式確定象限即可.【詳解】角是第三象限角,即,對(duì)于：，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，在第一象限；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在第四象限；故在第二或第四象限；對(duì)于：，當(dāng)時(shí)，在第一象限；當(dāng)時(shí)，在第三象限；當(dāng)時(shí)，在第四象限；故在第一，第三或第四象限.題型06弧度制的概念【典例1】（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）判斷正誤（正確的寫(xiě)正確，錯(cuò)誤的寫(xiě)錯(cuò)誤）（1）1rad的角比1°的角要大．()（2）用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān)．()（3）每個(gè)弧度制的角，都有唯一的角度制的角與之對(duì)應(yīng)．()（4）1°的角是周角的，1rad的角是周角的.()【答案】正確錯(cuò)誤正確正確【分析】根據(jù)角度值與弧度制之間的關(guān)系，以及兩者之間的互化即可逐一判斷結(jié)果.【詳解】1rad代表，約等于，比1°的角要大，所以（1）正確；用角度制和弧度制度量角，角的大小不隨圓的半徑而改變，都與圓的半徑無(wú)關(guān)，即（2）錯(cuò)誤；每個(gè)弧度制的角，都有唯一的角度制的角與之對(duì)應(yīng)，即角度值和弧度制可以互化，所以（3）正確；周角是的角，所以1°的角是周角的；同時(shí)周角是rad的角，因此1rad的角是周角的，即（4）正確.故答案為：正確，錯(cuò)誤，正確，正確【典例2】（多選）（23-24高一下·江西新余·階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（）A．1弧度的角就是長(zhǎng)為半徑的弦所對(duì)的圓心角B．若是第一象限的角，則也是第一象限的角C．若兩個(gè)角的終邊重合，則這兩個(gè)角相等D．用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑無(wú)關(guān)【答案】DD【分析】根據(jù)角度制和弧度制的定義，利用象限角的概念即可判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，1弧度的角就是長(zhǎng)為半徑的弧所對(duì)的圓心角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若是第一象限的角，則是第四象限的角，所以是第一象限的角，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，與終邊重合，但兩個(gè)角不相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，不論是用角度制還是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定義可知度量角與所取圓的半徑無(wú)關(guān)，故D正確.故選：BD.【變式1】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．1弧度的角與1°的角一樣大B．若圓的一條弦長(zhǎng)等于半徑，則這條弦所對(duì)的圓心角是C．經(jīng)過(guò)5分鐘分針轉(zhuǎn)了30°D．長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角的大小是1弧度【答案】D【分析】利用弧度制的定義對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)弧度制定義可知A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若圓的一條弦長(zhǎng)等于半徑，則這條弦所對(duì)的圓心角為，即，故B正確；對(duì)于C，經(jīng)過(guò)5分鐘分針轉(zhuǎn)了，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由弧度制的定義可知，長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角的大小是1弧度，則長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角的大小不是1弧度，故D錯(cuò)誤.故選：B．【變式2】（多選）（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列各說(shuō)法，正確的是（）A．半圓所對(duì)的圓心角是πradB．圓周角的大小等于2πC．1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于該圓的半徑D．長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角的大小是1弧度【答案】ABC【分析】根據(jù)弧度制的定義即可判斷．【詳解】由弧度制的定義可知：長(zhǎng)度等于半徑的弧所對(duì)的圓心角的大小是1弧度，則長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角的大小不是1弧度，D的說(shuō)法錯(cuò)誤，根據(jù)弧度的定義及角度與弧度的換算可知，ABC的說(shuō)法正確．故選：ABC題型07角度與弧度的互化【典例1】（23-24高一·上?！ふn堂例題）分別將下列弧度化為角度：(1)(2)(3)（結(jié)果精確到0.01°）．【答案】(1)(2)(3)【分析】利用即可得出答案.【詳解】（1）=.（2）=.（3）=.【典例2】（23-24高一·上海·課堂例題）分別將下列角度化為弧度：(1)15°；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】將角度化為弧度，由度數(shù)乘以即可得到弧度.【詳解】（1）.（2）.（3）.【變式1】（2024高一上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）將下列角度與弧度進(jìn)行互化：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】（1）（2）（3）（4）利用弧度與角度的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4.【變式2】（2023高一·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）將下列各弧度化成角度.(1)(2)(3)(4)-3【答案】(1)-15°(2)135°(3)210°(4)-171°54′【分析】根據(jù)弧度制的定義，可得答案.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）.題型08用弧度表示角或范圍【典例1】（24-25高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）與60°角終邊相同的角可以表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】運(yùn)用終邊相同角的概念，結(jié)合弧度制可判斷.【詳解】A,B弧度角度混用，錯(cuò)誤.與60°角終邊相同的角可以表示，則C錯(cuò)誤．弧度制下表示為，則D正確.故選：D.【典例2】（23-24高一上·河北承德·期末）已知角的終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），角的終邊和相同，則角的集合為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】首先求陰影的邊界表示的角的集合，再用不等式表示集合.【詳解】終邊落在上的角為，終邊落在上的角為，故角的集合為.故選：C【變式1】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）與終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)角度的表示方法分析判斷AB，根據(jù)終邊相同的角的定義分析判斷CD.【詳解】在同一個(gè)表達(dá)式中，角度制與弧度制不能混用，所以A，B錯(cuò)誤．與終邊相同的角可以寫(xiě)成的形式，時(shí)，，315°換算成弧度制為，所以C錯(cuò)誤，D正確．故選：D．【變式2】（23-24高一下·山東濰坊·階段練習(xí)）把寫(xiě)成的形式是.【答案】【分析】將角度化成弧度，再用象限角的表示方法求解即可．【詳解】因?yàn)樗?故答案為：.題型09弧長(zhǎng)公式【典例1】（23-24高一下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）在單位圓中，長(zhǎng)度為的弦所對(duì)的劣弧長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由單位圓中的弦長(zhǎng)，求出弦所對(duì)的劣弧的圓心角，可求弧長(zhǎng).【詳解】單位圓中，弦長(zhǎng)度為為中點(diǎn)，

則有，由，得，弦所對(duì)的劣弧，所對(duì)的圓心角為，則，由圓的半徑為1，所以弦所對(duì)的劣弧長(zhǎng)等于.故選：A.【典例2】（24-25高一·上海·隨堂練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為．(1)若，，求扇形的弧長(zhǎng)；(2)已知扇形的周長(zhǎng)為，面積是，求扇形的圓心角．【答案】(1)(2)弧度【分析】（1）由扇形的弧長(zhǎng)公式即可求解；（2）由扇形的周長(zhǎng)和面積公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)榛《龋?；?）由題意得，解得（舍去）或，故扇形圓心角為弧度．【變式1】（23-24高一下·安徽銅陵·期末）若一個(gè)扇形的面積為6，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則該扇形的弧長(zhǎng)為.【答案】【分析】設(shè)扇形的半徑為，根據(jù)扇形的面積求出，再由弧長(zhǎng)公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角，則扇形的面積，解得（負(fù)值已舍去），所以該扇形的弧長(zhǎng).故答案為：【變式2】（23-24高一下·上海黃浦·期末）若扇形的圓心角為，半徑為4，則其弧長(zhǎng)為．【答案】【分析】代入弧長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】扇形弧長(zhǎng).故答案為：題型10扇形面積公式【典例1】（23-24高一下·河南南陽(yáng)·期中）在扇形中，，弦，則扇形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)弦長(zhǎng)求出扇形的半徑，根據(jù)扇形面積公式即可求解.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，由題意可知，，所以，所以扇形的面積.故選：B【典例2】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知某扇形的圓心角是，半徑為，則該扇形的面積為．【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合扇形的面積公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】由扇形的圓心角是，半徑為，則該扇形的面積為.故答案為：.【變式1】（23-24高一下·遼寧沈陽(yáng)·期中）在扇形中，，且弦，則扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用弧度制下的扇形面積公式,結(jié)合圓的垂徑定理可解.【詳解】解：設(shè)扇形的圓心角大小為，半徑為，扇形的面積為，且弦，可得，，扇形的面積為．故選：B【變式2】（23-24高一下·重慶·期末）若一個(gè)扇形的半徑為1，圓心角為，則該扇形的面積為（

）A．15 B．30 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合扇形的面積公式，即可求解.【詳解】由一個(gè)扇形的半徑為1，圓心角為，即為，所以該扇形的面積為.故選：C.題型11扇形中的最值問(wèn)題【典例1】（23-24高一下·陜西渭南·階段練習(xí)）已知扇形的圓心角是，半徑為，弧長(zhǎng)為；(1)若，求扇形的弧長(zhǎng)；(2)若扇形的周長(zhǎng)為，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大，最大值是多少？并求出此時(shí)的半徑.【答案】(1)(2)，，【分析】（1）利用弧長(zhǎng)公式可得答案；（2）利用周長(zhǎng)和面積公式，結(jié)合二次函數(shù)可得答案.【詳解】（1），.（2）由已知得，，所以，，所以當(dāng)時(shí)，面積取得最大值，此時(shí)，所以.【典例2】（23-24高一上·全國(guó)·期末）已知一個(gè)扇形的中心角是，所在圓的半徑是R.(1)若，，求扇形的面積；(2)若扇形的周長(zhǎng)為，面積為，求扇形圓心角的弧度數(shù)；(3)若扇形的周長(zhǎng)為定值C，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形面積最大？并求出最大值.【答案】(1)(2)(3)當(dāng)時(shí)，扇形面積有最大值，為【分析】（1）利用弧度制轉(zhuǎn)化角度，根據(jù)扇形面積公式，可得答案；（2）根據(jù)扇形周長(zhǎng)以及面積計(jì)算公式，建立方程組，可得答案；（3）根據(jù)扇形周長(zhǎng)的計(jì)算公式表示出半徑與角度之間的關(guān)系，寫(xiě)出扇形面積的表達(dá)式，利用基本不等式，可得答案.【詳解】（1）由，則.（2）由，解得或18，因?yàn)?，所?（3）由，得，則，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，扇形面積有最大值.【變式1】（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）（1）一條弦的長(zhǎng)等于它所在圓的半徑，求弦和劣弧所組成的弓形的面積;（2）一扇形的周長(zhǎng)為，那么扇形的半徑和圓心角各取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大?并求出最大值?【答案】（1）；（2）扇形半徑，扇形圓心角為，扇形面積最大值.【分析】（1）要怕給定條件，求出劣弧所對(duì)的圓心角，再求出扇形面積及三角形面積即得.（2）設(shè)出扇形的半徑，結(jié)合已知建立函數(shù)關(guān)系，借助二次函數(shù)求解即得.【詳解】（1）如圖，在圓中，弦，則是正三角形，，邊上的高為，因此，而扇形面積為，所以弦和劣弧所組成的弓形的面積是.

（2）設(shè)扇形的半徑為，則扇形弧長(zhǎng)，扇形面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以扇形半徑，扇形的圓心角為時(shí)，扇形面積取得最大值.【變式2】（23-24高一上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為.(1)若，，求扇形的周長(zhǎng)；(2)若扇形的周長(zhǎng)為20，求扇形面積的最大值，此時(shí)扇形的圓心角為多少弧度.【答案】(1)(2)最大值為，此時(shí)扇形的圓心角為弧度【分析】（1）根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可；（1）根據(jù)扇形的周長(zhǎng)將用表示，再根據(jù)扇形的面積公式結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】（1），故扇形的周長(zhǎng)為；（2）扇形的周長(zhǎng)為20，則，所以，則扇形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以扇形面積的最大值為，此時(shí)扇形的圓心角為弧度.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024高一上·浙江臺(tái)州·專(zhuān)題練習(xí)）已知，則的余角是（

）A．29.4° B．29.64° C．119.4° D．119.64°【答案】A【分析】根據(jù)余角的定義進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】的余角為.故選：.2．（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）若角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，則集合中的角的終邊在圖中的位置（陰影部分）是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】分是奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論即可求解.【詳解】當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則有，角的終邊在介于角終邊所在的區(qū)域內(nèi)；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則有，角的終邊在介于角終邊所在的區(qū)域內(nèi)．故選：C．3．（23-24高一下·陜西渭南·期中）角1000°的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】應(yīng)用終邊相同的角即可求解.【詳解】因?yàn)?，則的終邊與相同，則其終邊在第四象限.故選：D．4．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，曲線(xiàn)段是一段半徑為的圓弧，若圓弧的長(zhǎng)度為，則A，B兩點(diǎn)間的距離為（）A．R B．R C．R D．2R【答案】C【分析】先由弧長(zhǎng)公式求出圓心角，再由三角形中計(jì)算得出；【詳解】設(shè)所對(duì)的圓心角為.則由題意，得.所以，所以，故選:C.5．（23-24高一下·重慶·期中）密位制是度量角的一種方法．把一周角等分為份，每一份叫做1密位的角．以密位作為角的度量單位，這種度量角的單位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四個(gè)數(shù)碼表示角的大小，單位名稱(chēng)密位二字可以省去不寫(xiě).密位的寫(xiě)法是在百位數(shù)與十位數(shù)字之間畫(huà)一條短線(xiàn)，如7密位寫(xiě)成“”，密位寫(xiě)成“”．1周角等于密位，記作1周角，1直角.如果一個(gè)半徑為的扇形，它的面積為，則其圓心角用密位制表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)扇形面積公式即可求得圓心角，再根據(jù)密位制定義即可求解.【詳解】設(shè)扇形所對(duì)的圓心角為，所對(duì)的密位為，則，解得，由題意可得，解得，因此該扇形圓心角用密位制表示為．故選：B.6．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）集合中角所表示的范圍（陰影部分）是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】對(duì)分奇偶性，結(jié)合終邊相同的角的定義討論判斷即可【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣.故選：C．7．（23-24高一下·陜西渭南·期中）“古典正弦”定義為：在如圖所示的單位圓中，當(dāng)圓心角的范圍為時(shí)，其所對(duì)的“古典正弦”為（為的中點(diǎn)）.根據(jù)以上信息，當(dāng)圓心角對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)時(shí)，其對(duì)應(yīng)的“古典正弦”值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定的定義，結(jié)合圓的性質(zhì)求出對(duì)應(yīng)的“古典正弦”值.【詳解】設(shè)由圓心角對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)，由，得圓心角弧度數(shù)絕對(duì)值為2.則,所以故選：D8．（23-24高一下·山東煙臺(tái)·階段練習(xí)）《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實(shí)生活中的體育競(jìng)技活動(dòng)，刻畫(huà)的是一名強(qiáng)健的男子在擲鐵餅過(guò)程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開(kāi)的雙臂近似看成