第二章自動控制原理控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第二章

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型本章知識點(diǎn)：線性系統(tǒng)的輸入－輸出傳遞函數(shù)描述建立機(jī)電系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的機(jī)理分析法傳遞函數(shù)的定義與物理意義典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型框圖及化簡方法信號流程圖與梅遜公式應(yīng)用非線性數(shù)學(xué)模型的小范圍線性化12/5/2024第一節(jié)

線性系統(tǒng)的輸入/輸出時間函數(shù)描述物理模型——任何元件或系統(tǒng)實(shí)際上都是很復(fù)雜的，難以對它作出精確、全面的描述，必須進(jìn)行簡化或理想化。簡化后的元件或系統(tǒng)稱為該元件或系統(tǒng)的物理模型。

簡化是有條件的，要根據(jù)問題的性質(zhì)和求解的精確要求來確定出合理的物理模型。數(shù)學(xué)模型——物理模型的數(shù)學(xué)描述。是指描述系統(tǒng)輸入、輸出以及內(nèi)部各變量之間動態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。數(shù)學(xué)建模——從實(shí)際系統(tǒng)中抽象出系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的過程。12/5/2024建立物理系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法機(jī)理分析法對系統(tǒng)各部分的運(yùn)動機(jī)理進(jìn)行分析，按照它們遵循的物理規(guī)律、化學(xué)規(guī)律列出各物理量之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式,建立起系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。實(shí)驗(yàn)辯識法對系統(tǒng)施加某種測試信號（如階躍、脈沖、正弦等），記錄基本輸出響應(yīng)（時間響應(yīng)、頻率響應(yīng)），估算系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。12/5/2024確定系統(tǒng)的輸入量、輸出量；根據(jù)物理定律列寫原始方程；消去中間變量，寫出表示系統(tǒng)輸入、輸出關(guān)系的線性常微分方程。機(jī)理分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的步驟12/5/2024例2-1-1

圖2-1-1所示為一彈簧阻尼系統(tǒng)，圖中質(zhì)量為m的物體受到外力F的作用，產(chǎn)生位移y，求該系統(tǒng)的輸入—輸出關(guān)系。解：首先確定輸入為外力F，輸出為位移y。系統(tǒng)中有彈簧和阻尼器，所以有彈簧阻力FS和粘性摩擦阻力Ff。由牛頓定律知：機(jī)理分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型舉例12/5/2024整理得表示輸入輸出關(guān)系的微分方程為：代入：12/5/2024例2-1-3

圖2-1-3所示為電阻、電感、電容串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，其中U為輸入電壓，求以電容兩端電壓uc為輸出的微分方程解：由電壓定律得：代入上式得：12/5/2024例2-3:圖2-3為RC四端無源網(wǎng)絡(luò)。試列寫以U1(t)為輸入量，U2(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。解：設(shè)回路電流i1、i2，根據(jù)克?；舴蚨?，列寫方程組如下：(1)(2)(3)(4)(5)U1R1R2U2C1C2圖2-3RC組成的四端網(wǎng)絡(luò)i1i2UC1UC212/5/2024U1R1R2U2C1C2圖2-1RC組成的四端網(wǎng)絡(luò)i1i2UC1UC2由(4)、(5)得由(2)導(dǎo)出:將i1、i2代入(1)、(3)，則得:(1)(3)(4)(5)(2)12/5/2024這就是RC四端網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型，為二階線性常微分方程。(3)(3)整理得：12/5/2024第二節(jié)線性系統(tǒng)的輸入—輸出傳遞函數(shù)描述一、傳遞函數(shù)

定義：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。零初始條件是指:當(dāng)t≤0時,系統(tǒng)r(t)、c(t)以及它們的各階導(dǎo)數(shù)均為零。線性系統(tǒng)微分方程的一般形式為:12/5/2024當(dāng)初始條件均為0時，對上式兩邊求拉氏變換，得系統(tǒng)的傳遞函數(shù):整理得：（2-2-3）12/5/2024也即線性微分方程特征方程的特征值。傳遞函數(shù)G(S)是復(fù)變函數(shù)，是S的有理函數(shù)。且有m≤n。

極點(diǎn)——傳遞函數(shù)分母s多項(xiàng)式的根。零點(diǎn)——傳遞函數(shù)分子s多項(xiàng)式的根。特征方程（2-2-3）12/5/2024傳函是由微分方程在初始條件為零時進(jìn)行拉氏變換得到的。如果已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和輸入信號,則可求得初始條件為零時輸出量的拉氏變換式C(s),對其求拉氏反變換可得到系統(tǒng)的響應(yīng)c(t)，稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)響應(yīng)的特性由傳遞函數(shù)決定，而和系統(tǒng)的輸入無關(guān)。傳遞函數(shù)則由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)決定。傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式即為微分方程的特征多項(xiàng)式，為1+開環(huán)傳遞函數(shù)。12/5/2024同一系統(tǒng)對不同的輸入，可求得不同的傳遞函數(shù)，但其特征多項(xiàng)式唯一。在給定輸入和初始條件下，解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，包括兩部分：

系統(tǒng)響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)——在輸入為零時，系統(tǒng)對零初始狀態(tài)的響應(yīng)；零狀態(tài)響應(yīng)——在零初始條件下，系統(tǒng)對輸入的響應(yīng)。12/5/2024傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)性質(zhì):傳遞函數(shù)G(s)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，m≤n，且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)。傳遞函數(shù)G(s)取決于系統(tǒng)或元件自身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量的形式（幅度與大?。o關(guān)。傳遞函數(shù)G(s)描述了系統(tǒng)輸出與輸入之間的關(guān)系，但它不提供系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)信息。具有相同傳遞函數(shù)的不同物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。12/5/2024傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)性質(zhì)4.如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)未知，給系統(tǒng)加上某種輸入，可根據(jù)其輸出，確定其傳遞函數(shù)。5.系統(tǒng)傳遞函數(shù)是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)g(t)的拉氏變換L[g(t)]。系統(tǒng)建模依據(jù)12/5/2024通過微分方程直接求傳遞函數(shù)：已知該電路的微分方程為：兩端求零初始狀態(tài)下的拉氏變換：整理得：12/5/2024不通過微分方程直接求傳遞函數(shù):直接利用復(fù)阻抗的概念：12/5/2024例2－4求例2－3系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。已知其輸入－輸出微分方程U1

R1R2U2C1C2圖2-3RC組成的四端網(wǎng)絡(luò)設(shè)初始狀態(tài)為零，對方程兩邊求拉氏變換，得:12/5/2024此即為RC四端網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。整理得：兩端求拉氏變換得：12/5/2024U1

R1R2U2C1C2圖2-3RC組成的四端網(wǎng)絡(luò)如何不通過微分方程直接求傳遞函數(shù)：Z1Z２先求復(fù)阻抗Ｚ２Ｕ３12/5/2024第三節(jié)非線性數(shù)學(xué)模型的小范圍線性化嚴(yán)格講，任何實(shí)際系統(tǒng)都存在不同程度的非線性。對于非本質(zhì)非線性數(shù)學(xué)模型，可采用小范圍線性化方法。設(shè)一非線性數(shù)學(xué)模型如圖所示。12/5/2024設(shè)函數(shù)y=f(x)在（x0，y0）點(diǎn)附近連續(xù)可微(此即為非線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型線性化的條件）,則可將函數(shù)f(x)在（x0，y0）附近展開成泰勒級數(shù)（2-29）12/5/2024式中

——比例系數(shù),是隨工作點(diǎn)A（x0，y0)不同而不同的常數(shù)具有兩個以上輸入量的非線性系統(tǒng)線性化處理方法與前述方法相似。

求線性化微分方程的步驟：按物理和化學(xué)定律，列出系統(tǒng)的原始方程式，確定平衡點(diǎn)處各變量的數(shù)值。找出原始方程式中間變量與其它因素的關(guān)系，若為非線性函數(shù)，在原平衡點(diǎn)鄰域內(nèi)，各階導(dǎo)數(shù)存在并且是唯一的，則可進(jìn)行線性化處理。將非線性特性展開為泰勒級數(shù)，忽略偏差量的高次項(xiàng)，留下一次項(xiàng)，求出它的系數(shù)值。消去中間變量，在原始方程式中，將各變量用平衡點(diǎn)的值用偏差量來表示。12/5/2024注意：（1）線性化方程中的常數(shù)與選擇的靜態(tài)工作點(diǎn)的位置有關(guān),工作點(diǎn)不同時,相應(yīng)的常數(shù)也不相同。

（2）泰勒級數(shù)線性化是小范圍線性化。當(dāng)輸入量的變化范圍較大時，用上述方法建立數(shù)學(xué)模型引起的誤差較大。因此只有當(dāng)輸入量變化較小時才能使用。

（3）若非線性特性不滿足連續(xù)可微的條件,則不能采用前述處理方法.

（4）線性化方法得到的微分方程是增量化方程。

12/5/2024

由微分方程直接得出的傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理分式。對于實(shí)際物理系統(tǒng)，傳遞函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式的所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)，而且分母多項(xiàng)式的階次n

不低于分子多項(xiàng)式的階次m，分母多項(xiàng)式階次為n的傳遞函數(shù)稱為n階傳遞函數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)

。傳遞函數(shù)可表示成復(fù)變量s的有理分式:傳遞函數(shù)可表示成零、極點(diǎn)表示：第四節(jié)典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型

12/5/2024

系統(tǒng)傳遞函數(shù)有時還具有零值極點(diǎn)，設(shè)傳遞函數(shù)中有v個零值極點(diǎn),并考慮到零極點(diǎn)都有實(shí)數(shù)和共軛復(fù)數(shù)的情況,則傳遞函數(shù)的后兩種表示的一般形式為：12/5/2024可見，系統(tǒng)傳遞函數(shù)是由一些常見基本因子，如式上中的(

js+1)、1/(Tis+1)等組成。即系統(tǒng)傳遞函數(shù)表示為上式時，系統(tǒng)傳遞函數(shù)是這些常見基本因子的乘積。這些常見基本因子代表的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。任何復(fù)雜的系統(tǒng)都可以用若干典型環(huán)節(jié)構(gòu)成。具有相同基本因子傳遞函數(shù)的元件，可以是不同的物理元件，但都具有相同的運(yùn)動規(guī)律。從傳遞函數(shù)的表示式中可以看到，傳遞函數(shù)的基本因子對應(yīng)的典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)等。

12/5/2024比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)，其輸出量與輸入量之間的關(guān)系為固定的比例關(guān)系，即它的輸出量能夠無失真、無延遲地按一定的比例關(guān)系復(fù)現(xiàn)輸入量。l．比例環(huán)節(jié)12/5/2024時域中的代數(shù)方程為：

c(t)=Kr(t)t

0

式中K為比例系數(shù)或傳遞系數(shù)，有時也稱為放大系數(shù)。L-變換C(S)=KR(S)

完全理想的比例環(huán)節(jié)是不存在的。對某些系統(tǒng)當(dāng)做比例環(huán)節(jié)是一種理想化的方法。所以比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

：12/5/20242．慣性環(huán)節(jié)

式中K——比例系數(shù)。

τ——慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，衡量輸出量跟隨輸入量的變化

慣性環(huán)節(jié)又稱為非周期環(huán)節(jié)，其輸入量和輸出量之間的關(guān)系可用下列微分方程來描述：

L-變換:

傳遞函數(shù):12/5/2024屬于這一環(huán)節(jié)的例子如下圖所示的RC電路慣性環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是屬于該種環(huán)節(jié)的物理系統(tǒng)含有一種儲能元件，因能量的儲存與釋放需要一個過程，所以當(dāng)輸入信號突變時，輸出量不能突變。12/5/2024慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)如下圖所示：當(dāng)輸入為單位階躍時：求拉氏反變換得：12/5/20243．積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的動態(tài)方程為：

上式說明，只要有一個恒定的輸入量作用于積分環(huán)節(jié)，其輸出量就與時間成比例地?zé)o限增加。

積分環(huán)節(jié)具有一個零值極點(diǎn)，即極點(diǎn)位于S平面上的坐標(biāo)原點(diǎn)處。τ稱為積分時間常數(shù)。從傳遞函數(shù)表達(dá)式易求得在單位階躍輸入時的輸出為：輸出量與輸入量的積分成比例，系數(shù)為K。積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：12/5/202412/5/20244．微分環(huán)節(jié)

微分是積分的逆運(yùn)算,按傳遞函數(shù)的不同,微分環(huán)節(jié)可分為三種：理想微分環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)（也稱為比例加微分環(huán)節(jié)）和二階微分環(huán)節(jié)。相應(yīng)的微分方程為：相應(yīng)的傳遞函數(shù)分別為：12/5/2024理想微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為：拉氏反變換為：單位脈沖響應(yīng)為：面積δ，脈寬為零，幅值為無窮大，理想微分環(huán)節(jié)是物理不可實(shí)現(xiàn)的。12/5/2024單位階躍響應(yīng)為：圖2-4-5為一個RC的微分環(huán)節(jié)：圖2-4-5微分RC電路傳遞函數(shù)為：相當(dāng)于微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)這種電路在輸入信號為恒值的情況下，經(jīng)過一段時間后，輸出為零，故串聯(lián)電路難于應(yīng)用，下面給出一個實(shí)用電路：12/5/2024傳遞函數(shù)為：U0(t)αUi(0)單位階躍響應(yīng)為：相當(dāng)于比例微分作用零、極點(diǎn)分部:12/5/20245．振蕩環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)的微分方程是：相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：

式中τ—時間常數(shù)；

—阻尼系數(shù)（阻尼比），且0≤

＜1。

振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)具有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn),在復(fù)平面S上的位置見圖2-8所示。K=1時傳遞函數(shù)可改寫為：——無阻尼自然振蕩頻率。12/5/2024共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)為：為有阻尼自然振蕩頻率單位階躍響應(yīng)為：12/5/202412/5/202412/5/20246．延遲環(huán)節(jié)

延遲環(huán)節(jié)又稱為純滯后環(huán)節(jié)、時滯環(huán)節(jié)。其輸出信號比輸入信號遲后一定的時間。就是說，延遲環(huán)節(jié)的輸出是一個延遲時間

后，完全復(fù)現(xiàn)輸入信號，即：單位階躍輸入時，延遲環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)如右圖示．根據(jù)拉氏變換的延遲定理，可得延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：tr(t)c(t)1100τt圖2-9式中

——純延遲時間。

12/5/2024典型環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型注意三點(diǎn)：

（1）系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)是按數(shù)學(xué)模型的共性去建立的，它與系統(tǒng)中采用的元件不是一一對應(yīng)的。（2）分析或設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)必先建立系統(tǒng)或被控對象的數(shù)學(xué)模型，將其與典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型對比后，即可知其由什么樣的典型環(huán)節(jié)組成。將有助于系統(tǒng)動態(tài)特性的研究和分析。（3）典型環(huán)節(jié)的概念只適用于能夠用線性定常數(shù)學(xué)模型描述的系統(tǒng)。12/5/2024作業(yè)P462-12-1a2-1b2-212/5/2024

補(bǔ)充：R1R2R3C2U1U212/5/202412/5/2024UiUoR0R0R0R0R1C1C2R212/5/2024

框圖與信號流圖方法是自動控制系統(tǒng)的兩種圖形研究方法，是分析系統(tǒng)的有力工具。一．框圖的基本概念１．控制系統(tǒng)的方框圖又稱為方塊圖或結(jié)構(gòu)圖，是系統(tǒng)各元件特性、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號流向的圖解表示法。

它用一個方框表示系統(tǒng)或環(huán)節(jié)，如上圖所示?？驁D的一端為輸入信號r(t)，另一端是經(jīng)過系統(tǒng)或環(huán)節(jié)后的輸出信號c(t)，圖中箭頭指向表示信號傳遞的方向。方框中用文字表示系統(tǒng)或環(huán)節(jié)，也可以填入表示環(huán)節(jié)或系統(tǒng)輸出和輸入信號的拉氏變換之比-----傳遞函數(shù)，這是更為常用的框圖。第五節(jié)

框圖及其化簡方法系統(tǒng)或環(huán)節(jié)參考輸入r(t)輸出c(t)G(s)C(s)R(s)圖2-1012/5/2024六種典型環(huán)節(jié)的框圖如下：K比例環(huán)節(jié)R(s)C(s)慣性環(huán)節(jié)R(s)C(s)R(s)C(s)微分環(huán)節(jié)R(s)C(s)積分環(huán)節(jié)R(s)C(s)振蕩環(huán)節(jié)R(s)C(s)滯后環(huán)節(jié)12/5/2024方框圖的組成①信號線：用帶有箭頭的直線表示信號線，箭頭表示信號的傳遞方向。如圖2-15(a)X(s)(a)圖2-15方框圖的基本組成單元②信號引出點(diǎn)(分離點(diǎn)、分支點(diǎn)）：信號引出或測量的位置，從同一位置引出的信號，在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同,如圖2-15(b)X(s)X(s)(b)圖2-15方框圖的基本組成單元X(s)12/5/2024③比較點(diǎn)（匯合點(diǎn)）：對兩個以上的信號進(jìn)行加減運(yùn)算，‘+’號通常可以省略，如圖2-15(c).±X1(s)X1(s)±X2(s)X2(s)(c)④方框：表示對信號進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換，方框的輸出量等于輸入量與傳遞函數(shù)的乘積，如圖2-15(d).G(s)(d)Y(s)X(s)圖2-15方框圖的基本組成單元圖2-15方框圖的基本組成單元12/5/2024（1）考慮負(fù)載效應(yīng)分別列寫系統(tǒng)各元部件的微分方程或傳遞函數(shù)，并將它們用方框表示。（2）根據(jù)各元部件的信號流向，用信號線依次將各方塊連接起來，便可得到系統(tǒng)的框圖。系統(tǒng)框圖也是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種表示。

框圖的繪制12/5/2024RCi（a）iuu0圖2-18一階RC網(wǎng)絡(luò)

解：根據(jù)基爾霍夫電壓定律及電容元件特性可得對其進(jìn)行拉氏變換得:例１：畫出下列RC電路的方塊圖。12/5/2024

將圖（b）和(c)組合起來即得到圖(d)，圖(d)為該一階RC網(wǎng)絡(luò)的框圖。I(s)（c）)(sUo圖2-19（d）－I(s))(sUo)(sUo)(sUi圖2-201/R1/SC（b）I(s))(sUi)(sUo-6612/5/2024U0(t)Ui(t)R2CR1ii2i1圖2-21RC無源網(wǎng)絡(luò)

例2試?yán)L制圖2-21所示無源網(wǎng)絡(luò)的方框圖解：根據(jù)克?；舴蚨桑篣0(s)R2I(s)U0(s)Ui(s)1/R1U0(s)I1(s)R1I1(s)-12/5/2024R1CsI1(s)I2(s)*1/CsI2(s)I2(s)I(s)I1(s)+系統(tǒng)方框圖如下：Ui(s)1/R1U0(s)I1(s)R1I1(s)R1CsI2(s)*1/CsI2(s)U0(s)R2U0(s)I1(s)I(s)-U0(t)Ui(t)R2CR1ii2i1圖2-21RC無源網(wǎng)絡(luò)

12/5/2024框圖的等效變換相當(dāng)于在框圖上進(jìn)行數(shù)學(xué)方程的運(yùn)算。常用的方框圖等效變換方法可歸納為兩類。環(huán)節(jié)的合并;信號分支點(diǎn)或相加點(diǎn)的等效移動。

框圖變換必須遵循的原則是：變換前、后的數(shù)學(xué)關(guān)系保持不變，因此框圖變換是一種等效變換，同時由于傳遞函數(shù)和變量的方程是代數(shù)方程，所以框圖變換是一些簡單的代數(shù)運(yùn)算。（－）環(huán)節(jié)的合并環(huán)節(jié)之間互相連接有三種基本形式：串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接。五.框圖的等效變換12/5/20241．環(huán)節(jié)的串聯(lián)

特點(diǎn):前一個環(huán)節(jié)的輸出信號就是后一環(huán)節(jié)的輸入信號，下圖所示為三個環(huán)節(jié)串聯(lián)的例子。圖中，每個環(huán)節(jié)的方框圖為：要求出第三個環(huán)節(jié)的輸出與第一個環(huán)節(jié)的輸入之間的傳遞函數(shù)時:12/5/2024上式表明，三個環(huán)節(jié)的串聯(lián)可以用一個等效環(huán)節(jié)來代替。這種情況可以推廣到有限個環(huán)節(jié)串聯(lián)（各環(huán)節(jié)之間無負(fù)載效應(yīng)）的情況，等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等于各個串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的乘積，如有n個環(huán)節(jié)串聯(lián)則等效傳遞函數(shù)可表示為：12/5/2024例２：畫出下列R-C網(wǎng)絡(luò)的方塊圖

分析：由圖2-21清楚地看到，后一級R2-C2網(wǎng)絡(luò)作為前級R1-C1網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載，對前級R1-C1網(wǎng)絡(luò)的輸出電壓產(chǎn)生影響，這就是負(fù)載效應(yīng)。12/5/2024解：（1）根據(jù)電路定理列出方程，寫出對應(yīng)的拉氏變換，也可直接畫出該電路的運(yùn)算電路圖如圖(b)；

（2）根據(jù)列出的4個式子作出對應(yīng)的框圖；

（3）根據(jù)信號的流向?qū)⒏鞣娇蛞来芜B接起來。12/5/202412/5/2024如果在這兩極R-C網(wǎng)絡(luò)之間接入一個輸入阻抗很大而輸出阻抗很小的隔離放大器，如圖2-22所示。則此電路的方塊圖如圖(b)所示。

5712/5/20242.

環(huán)節(jié)的并聯(lián)環(huán)節(jié)并聯(lián)的特點(diǎn)是各環(huán)節(jié)的輸入信號相同，輸出信號相加（或相減），下圖所示為三個環(huán)節(jié)的并聯(lián)，圖中含有信號相加點(diǎn)。G1(s)G2(s)G3(s)C(s)C1(s)C2(s)C3(s)R(s)+++從圖中可知:12/5/2024以上結(jié)論可推廣到一般情況，當(dāng)有n個環(huán)節(jié)并聯(lián)時，其輸出信號相加則有等效傳遞函數(shù):上式整理得等效傳遞函數(shù)為：G1(s)+G2(s)+G3(s)R(s)C(s)12/5/20243．反饋連接將系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出信號反饋到輸入端，并與原輸入信號進(jìn)行比較后再作為輸入信號，即為反饋連接，如左圖所示。G(s)-R(s)C(s)(b)H(s)G(s)-R(s)C(s)(a)E(s)B(s)單位反饋：H(s)=1+負(fù)反饋：反饋信號與給定輸入信號符號相反的反饋。正反饋：反饋信號與給定輸入信號符號相同的反饋。12/5/2024H(s)G(s)-R(s)C(s)(a)E(s)B(s)H(s)G(s)-R(s)C(s)(a)E(s)B(s)前向通道：由信號輸入點(diǎn)伸向信號輸出點(diǎn)的通道H(s)反饋通道：由輸出信號反饋到輸入端的通道G(s)12/5/2024前向通道傳遞函數(shù)：輸出信號與偏差信號的拉氏變換之比。C(s)/E(s)=G(s)

整理得閉環(huán)傳遞函數(shù)：對反饋連接：H(s)G(s)-R(s)C(s)E(s)B(s)對正反饋：偏差信號：開環(huán)傳遞函數(shù)：反饋信號與偏差信號的拉氏變換之比：12/5/2024誤差傳遞函數(shù)——誤差信號E(s)與輸入信號R(s)之比。代入上式，消去G(s)即得：將12/5/2024上述三種基本變換是進(jìn)行方框圖等效變換的基礎(chǔ)。對于較復(fù)的系統(tǒng),例如當(dāng)系統(tǒng)具有信號交叉或反饋環(huán)交叉時,僅靠這三種方法是不夠的。（二）信號相加點(diǎn)和信號分支點(diǎn)的等效變換對于一般系統(tǒng)的方框圖，系統(tǒng)中常常出現(xiàn)信號或反饋環(huán)節(jié)相互交叉的現(xiàn)象，此時可將信號相加點(diǎn)（匯合點(diǎn)）或信號分支點(diǎn)（引出點(diǎn)）作適當(dāng)?shù)牡刃б苿?，先消除各種形式的交叉，再進(jìn)行等效變換即可。12/5/2024將信號引出點(diǎn)及匯合點(diǎn)前后移動的規(guī)則：1.變換前與變換后前向通道中傳遞函數(shù)的乘積必須保持不變;2.變換前與變換后回路中傳遞函數(shù)的乘積必須保持不變。此外，兩個相鄰的信號相加點(diǎn)或兩個相鄰的信號分支點(diǎn)可以互換位置。但必須注意，相鄰的相加點(diǎn)與分支點(diǎn)的位置不能簡單互換。12/5/2024下表列出了信號相加點(diǎn)和信號分支點(diǎn)等效變換的各種方法。

12/5/2024例：求傳遞函數(shù)EiEoE++－－R1C2s+－Eo圖2-27（a)R1C2S+++---Ei圖2-27（b)12/5/2024EoR1C2S+-Ei圖2-27（c)R1C2S+-EiEo圖2-27（d)EiEo圖2-27（e)12/5/2024例2-6-1G1G2G3G4G5G6+++-R(s)C(s)_G1G2*G3G4+G5G6+-R(s)C(s)_12/5/2024G1G6+R(s)C(s)_R(s)C(s)12/5/2024G1G2G4G5G7+-R(s)C(s)_G3-G6①②③④G7R(s)G1G2G4G5+-_G3-G61/G4G4第2方案例2-6-3G4XYZG41/G4XYZ12/5/2024G7R(s)G1G2+-_G6/G4G7R(s)G1_12/5/2024G1G2G4G5+-R(s)_G3-G6③G4G7第3方案C(s)G1G2G2G5+-_G3-G6G4G7C(s)R(s)G2-XYZG2-XZG2Y12/5/2024G1G2G5_-G4G7C(s)R(s)G1G2_G7C(s)R(s)12/5/2024G1G2G4G5+-R(s)_G3-G6G4G7第4方案④G2-XYZG2-1/G2XZYC(s)G7G1G2G4G5+-R(s)_G3G4G6-1/G2C(s)12/5/2024G7G1G4G5R(s)_G4-1/G2C(s)G7R(s)G1_C(s)12/5/2024例2-6-3求圖2-6-12所示系統(tǒng)的輸出C(S)C(s)

G2(S)

G1(S)

H(S)R(s)N(s)-+-+R(s)單獨(dú)作用C(s)

G2(S)

G1(S)

H(S)R(s)-+E(S)B(S)12/5/2024擾動單獨(dú)作用：C(s)

G2(S)

H(S)-N(s)-

G1(S)+根據(jù)疊加定理：12/5/2024作業(yè):2-8例題:2-6-2的四種框圖簡化12/5/2024第六節(jié)信號流圖與梅遜公式

信號流圖和框圖類似，都可用來表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號傳送過程中的數(shù)學(xué)關(guān)系。因而信號流圖也是數(shù)學(xué)模型一種表示。框圖及其等效變換雖然對分析系統(tǒng)很有效，但是對于比較復(fù)雜的系統(tǒng)，方框圖的變換和化簡過程往往顯得繁瑣、費(fèi)時，并易于出錯。如采用信號流圖，則可利用梅遜公式，不需作變換而直接得出系統(tǒng)中任何兩個變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。一.信號流圖及其等效變換12/5/2024（－）基本概念信號流圖是一種將線性代數(shù)方程組用圖形來表示的方法。例如有方程組如下：12/5/2024（二）常用術(shù)語信號流圖中除有節(jié)點(diǎn)和支路外，還常用到下述術(shù)語。出支路：離開節(jié)點(diǎn)的支路。入支路：進(jìn)入節(jié)點(diǎn)的支路。源節(jié)點(diǎn)：只有出支路的節(jié)點(diǎn)，對應(yīng)于自變量或外部輸人，因此也稱為輸入節(jié)點(diǎn)。信號流圖中，用小圓圈“O”表示變量，并稱其為節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)之間用加權(quán)的有向線段連接，稱為支路。通常在支路上標(biāo)明前后兩個變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，因此支路的權(quán)又稱為傳輸。12/5/20244.匯節(jié)點(diǎn)：只有入支路的節(jié)點(diǎn)，對應(yīng)于因變量，有時也稱為輸出節(jié)點(diǎn)。5.混合節(jié)點(diǎn)：既有入支路，又有出支路的節(jié)點(diǎn)。6.通道：又稱為路徑，是指從一個節(jié)點(diǎn)出發(fā)，沿著支路的箭號方向相繼經(jīng)過多個節(jié)點(diǎn)間的支路，一個信號流圖可以有多條通道。7.開通道：如果通道從某個節(jié)點(diǎn)出發(fā)，終止于另一個節(jié)點(diǎn)上，并且通道中每個節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過一次，則稱這樣的通道為開通道。

12/5/202410.互不接觸回環(huán)：如果一些回路沒有任何公共節(jié)點(diǎn)和回路，就稱它們?yōu)榛ゲ唤佑|回環(huán)。11.通道傳輸：指沿通道各支路傳輸?shù)某朔e，也稱為通道增益。12.回環(huán)傳輸：又稱為回環(huán)增益，指閉通道中各支路傳輸?shù)某朔e。

9.前向通道：從源節(jié)點(diǎn)出發(fā)到匯節(jié)點(diǎn)終止，而且每個節(jié)點(diǎn)只通過一次的通道稱為前向通道。閉通道：如果通道的終點(diǎn)就是通道的起始點(diǎn)，并且通道中每個節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過一次，則該通道稱為閉通道或回路、回環(huán)等。如果一個通道從一個節(jié)點(diǎn)開始，只經(jīng)過一個支路又回到該節(jié)點(diǎn)，則稱這樣的通道為自回環(huán)。12/5/2024例如下圖中，x0為源節(jié)點(diǎn)，x6為匯節(jié)點(diǎn)。x1、x2、x3、x4和x5為混合節(jié)點(diǎn)。通道abcdej是一條前向通道，而abcde和fghi是普通的通道，ai不是通道，因?yàn)閮蓷l支路的方向不一致。abi也不是通道，因?yàn)閮纱谓?jīng)過節(jié)點(diǎn)x1

。bi是一個閉通道（回環(huán)），而bchi不是一個閉通道，因?yàn)橛袃纱谓?jīng)過節(jié)點(diǎn)x2。圖中共有四個回環(huán)，即bi,ch,dg和ef。兩個互不接觸的回環(huán)有三種組合，即bief,bidg和chef。本系統(tǒng)沒有三個及三個以上互不接觸的回環(huán)。12/5/2024（三）信號流圖的基本性質(zhì)

（1）用節(jié)點(diǎn)表示變量，源節(jié)點(diǎn)代表輸入量，匯節(jié)點(diǎn)代表輸出量，用混合節(jié)點(diǎn)表示變量或信號的匯合。在混合節(jié)點(diǎn)處，所有出支路的信號（即混合節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的變量）等于各支路引入信號的代數(shù)和。（2）以支路表示變量或信號的傳輸和變換過程，信號只能沿著支路的箭頭方向傳輸。在信號流圖中每經(jīng)過一條支路，相當(dāng)于在方框圖中經(jīng)過一個用方框表示的環(huán)節(jié)。（3）增加一個具有單位傳輸?shù)闹?，可把混合?jié)點(diǎn)變?yōu)閰R節(jié)點(diǎn)。

（4）對于同一系統(tǒng)，信號流圖的形式不是唯一的。12/5/2024（四）信號流圖的簡化（l）串聯(lián)支路的總傳輸?shù)扔诟髦穫鬏數(shù)某朔e。（2）并聯(lián)支路的總傳輸?shù)扔诟髦穫鬏斨?。?）混合節(jié)點(diǎn)可以用移動支路的方法消去。（4）回環(huán)可以用框圖中反饋連接的規(guī)則化為等效支路。12/5/2024下表列出了信號流圖的等效變換規(guī)則:12/5/2024例題試將下圖所示的系統(tǒng)方框圖化為信號流圖并進(jìn)行簡化，求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

G1(s)G2(s)G3(s)H1(s)H2(s)R(s)C(s)++++__1212/5/2024G1(s)G2(s)G3(s)H1(s)/G3(s)H2(s)R(s)C(s)++++__G1(s)G2(s)G3(s)H1(s)H2(s)R(s)C(s)++++__112/5/2024G1(s)G2(s)G3(s)H1(s)H2(s)R(s)C(s)++++__2R(s)C(s)G1(s)G2(s)G3(s)H1(s)H2(s)/G1(s)+++__12/5/2024G1(s)G2(s)G3(s)H1(s)H2(s)R(s)C(s)++++__解（a）所示的框圖可化為圖(b)所示的信號流圖，注意：框圖中比較環(huán)節(jié)的正負(fù)號在信號流圖中表現(xiàn)在支路傳輸?shù)姆柹?。圖2-30表示了信號流圖的簡化過程。12/5/202411G1G2G3-H2/G1H1-1RC11-H2/G111G3-1RC1112/5/202411G3-1RC11-1111RC12/5/2024系統(tǒng)總傳輸為：C(s)11R(s)-112/5/2024二、梅遜公式及其應(yīng)用式中G(s)為從源節(jié)點(diǎn)到匯節(jié)點(diǎn)之間的總傳輸，n為從源節(jié)點(diǎn)到匯節(jié)點(diǎn)之間前向通道的總數(shù)，P

k為第K條前向通道的傳輸。

為信號流圖特征式，是信號流圖所表示的代數(shù)方程組的系數(shù)行列式,

k為第K條前向通道的信號流圖特征式的余子式，即從

中除去與第K條前向通道相接觸的回環(huán)后余下的部分。

的計(jì)算公式為：

信號流圖上從源節(jié)點(diǎn)（輸入節(jié)點(diǎn)）到匯節(jié)點(diǎn)（輸出節(jié)點(diǎn)）的總傳輸公式，即梅遜公式為：12/5/2024式中

L1——信號流圖中所有不同回環(huán)的傳輸之和；

L2——所有兩個互不接觸回環(huán)傳輸?shù)某朔e之和；

L3——所有三個互不接觸回環(huán)傳輸?shù)某朔e之和；

……………

Lm——所有m個互不接觸回環(huán)傳輸?shù)某朔e之和；12/5/2024利用梅遜公式求系統(tǒng)總傳輸時,只要求出信號流圖中的n、Pk、

和

K,代入公式計(jì)算即可。例題2：試用梅遜公式計(jì)算下圖系統(tǒng)的總傳輸。12/5/2024三個回環(huán)的傳輸之和為：

三個回環(huán)均與前向通道P1接觸，所以:解:源節(jié)點(diǎn)R(s)和匯節(jié)點(diǎn)C(s)之間只有一條前向通道n=1。通道傳輸為：三個回環(huán)之間都有公共節(jié)