固體物理總結(jié)能帶理論、固體物理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、考試重點(diǎn)

晶體結(jié)構(gòu)、晶體結(jié)合、晶格振動(dòng)、能帶論的基本概念和基本理論和知識(shí)

二、復(fù)習(xí)內(nèi)容

第一章晶體結(jié)構(gòu)

?基本概念

1、晶體分類及其特點(diǎn)：

單晶粒子在整個(gè)固體中周期性排列

非晶粒子在幾個(gè)原子范圍排列有序（短程有序）

多晶粒子在微米尺度內(nèi)有序排列形成晶粒，晶粒隨機(jī)堆積

準(zhǔn)晶體粒子有序排列介于晶體和非晶體之間

2、晶體的共性：

解理性沿某些晶面方位容易劈裂的性質(zhì)

各向異性晶體的性質(zhì)與方向有關(guān)

旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性

平移對(duì)稱性

3、晶體平移對(duì)稱性描述：

基元構(gòu)成實(shí)際晶體的一個(gè)最小重復(fù)結(jié)構(gòu)單元

格點(diǎn)用幾何點(diǎn)代表基元，該幾何點(diǎn)稱為格點(diǎn)

晶格、

平移矢量基矢確定后，一個(gè)點(diǎn)陣可以用一個(gè)矢量表示，稱為晶格平移矢量

瓦=%,=+，避2+，3痣=0;±1.±2.±3;-?-）

例、

-

苴七三個(gè)不共面矢量2為點(diǎn)陣空間坐標(biāo)矢量，稱為基矢。

元胞以一個(gè)格點(diǎn)為頂點(diǎn)，以某一方向上相鄰格點(diǎn)的距離為該方向的周期，以三個(gè)不

同方向的周期為邊長(zhǎng)，構(gòu)成的最小體積平行六面體。原胞是晶體結(jié)構(gòu)的最小體積重

復(fù)單元，可以平行、無交疊、無空隙地堆積構(gòu)成整個(gè)晶體。每個(gè)原胞含1個(gè)格點(diǎn)，

原胞選擇不是唯一的

晶胞以一格點(diǎn)為原點(diǎn)，以晶體三個(gè)不共面對(duì)稱軸（晶軸）為坐標(biāo)軸，坐標(biāo)軸

上原點(diǎn)到相鄰格點(diǎn)距離為邊長(zhǎng)，構(gòu)成的平行六面體稱為晶胞。

晶胞邊長(zhǎng)同、、向稱為晶格常數(shù);

晶格常數(shù)B

WS元胞以一格點(diǎn)為中心，作該點(diǎn)與最鄰近格點(diǎn)連線的中垂面，中垂面圍成的多面體

稱為WS原胞。WS原胞含一個(gè)格點(diǎn)

復(fù)式格子不同原子構(gòu)成的若干相同結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)單晶格相互套構(gòu)形成的晶格

簡(jiǎn)單格子

點(diǎn)陣格點(diǎn)的集合稱為點(diǎn)陣

布拉菲格子全同原子構(gòu)成的晶體結(jié)構(gòu)稱為布拉菲晶格子。

4、常見晶體結(jié)構(gòu)：簡(jiǎn)單立方、體心立方、面心立方、

金剛石

兩個(gè)面心立方晶格沿體對(duì)角線相互移動(dòng)1/4對(duì)角線長(zhǎng)套構(gòu)成

閃鋅礦

體對(duì)角線上離子面心立方與頂角、面心離子面心立方沿體對(duì)

角線相互移動(dòng)1/4對(duì)角線長(zhǎng)套構(gòu)而成。

鉛鋅礦

六方硫離子晶格和六方鋅離子晶格沿六方軸C移動(dòng)3c/8長(zhǎng)度套構(gòu)形成。

氯化鈍

Cs+和Cl-各自構(gòu)成簡(jiǎn)立方晶格，沿體對(duì)角線相互移動(dòng)1/2對(duì)

角線長(zhǎng)套構(gòu)而成。

氯化鈉

N#和C1-各自構(gòu)成面心立方格子沿立方邊長(zhǎng)方向相互移動(dòng)半

個(gè)邊長(zhǎng)套構(gòu)形成。

鈣鈦礦結(jié)構(gòu)

A離子在立方頂角，B離子在立方體心（氧八面體中心），Oi、

On、Oni分別在立方面心，A、B、。八?？?、。皿各自組成簡(jiǎn)單

立方格子套構(gòu)而成。

5、密排面將原子看成同種等大剛球，在同一平面上，一個(gè)球最多與六個(gè)球相切，形成密排

面

密堆積密排面按最緊密方式疊起來形成的三維結(jié)構(gòu)稱為密堆積。

六腳密堆積密排面按AB\AB\AB…堆積

中心反演i

1

（x15x2JJJ）T（一玉,一工2,一天）

、玉,3）B--100］「xj

________X；=0-10x2

.-------------------*毛X3J00-1Xj

（X；,芯芯、-100-

D=0-10

00-1

鏡面反映CT

（玉心口3）

3*

_______/:

/上

:（XXM

n次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸Cn

將晶體圍繞某一固定軸旋轉(zhuǎn)工后,晶體重合，則對(duì)應(yīng)的固定軸

n

稱為〃次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸,其操作矩陣是正交矩陣。

司」10(）

乂=0cos6-sin8七

§Q

芯0sin0cos

14種布拉菲晶胞

14種布拉菲晶胞

名稱布拉菲晶胞類型對(duì)稱性最高的點(diǎn)群晶胞基矢特征

簡(jiǎn)單立方（P）

立方晶系a-b-c

面心立方（F）O

（高級(jí)對(duì)稱）ha二4=7=90

體心立方（I）

四方晶系簡(jiǎn)單四方（P）a-b^c

P-簡(jiǎn)單Df

（中級(jí)對(duì)稱）體心四方（Da=Q=y=9。

I-體心簡(jiǎn)單正交（P）

a*b±c

正交晶系底心正交（C）

F-面心

（低級(jí)對(duì)稱）體心正交（I）外a=/?=y=90

面心正交（F）

R-菱形

單斜晶系簡(jiǎn)單單斜（P）a*b豐c

C-底心

（低級(jí)對(duì)稱）底心單斜（C）C?ha=4=90,”90

三斜品系豐

簡(jiǎn)單三斜（P）￡ab#c

（低級(jí)對(duì)稱）a“w90?w90

三方晶系a=b=c

三方（R）,d

（中級(jí)抽）a=4=7工90

六方晶系%

六方（P）a=b^c

（中級(jí)對(duì)稱）a=8=90,y=120

32種宏觀對(duì)稱性

晶體32個(gè)點(diǎn)群

名稱標(biāo)記符號(hào)的意義熊夫利符號(hào)

回轉(zhuǎn)群Q晶體只含有一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸G，GCC

晶體包含一個(gè)〃重旋轉(zhuǎn)軸和n個(gè)與之

雙面群

2垂直的二重軸

G群GG加上中心反演（對(duì)稱心）G

G群加上鏡面反映對(duì)稱面Q

口上與〃重旋轉(zhuǎn)軸垂直的水平對(duì)

，群CJ02冷03方，。4不。6力

酬h稱省

c群c?加上〃個(gè)含〃重旋轉(zhuǎn)軸垂直對(duì)

nv稱荷

。前群Z）加上與〃重旋轉(zhuǎn)軸垂直的水平2方，A/P2/P2力

對(duì)稱面

。㈢群Dn加上通過"重軸及兩根二重軸的

%角平分線的對(duì)稱面D】d,D3d

Sn群

凡晶體只包含象轉(zhuǎn)軸SQG

Td群Td含正四面體24個(gè)對(duì)稱操作Td

O群O°h中24個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)操作加中心反演。，。卜

T群TTd中12個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)操作T

。群T加上中心反演A

7個(gè)晶系

晶系：滿足32種宏觀對(duì)稱類型的晶胞,其基矢a,b,c的組合只有7種,每一種

組合稱為一個(gè)晶系.

6、描述晶體性質(zhì)的參數(shù)：

配位數(shù)晶體中一個(gè)原子周圍最鄰近原子個(gè)數(shù)稱為配位數(shù)。

晶體最大配位數(shù)為12,晶體可能配位數(shù)12,8,6,4,3,2。

晶列過任意兩格點(diǎn)的直線稱為晶列

晶向晶列方向

晶向指數(shù)

?晶向指數(shù)（晶列指數(shù)）

設(shè)元胞基矢為為q,格點(diǎn)。為原點(diǎn),

沿著某一晶體方向，格點(diǎn)力的平移矢量,

耳=萬(wàn)］+4萬(wàn)？+/；53

W-0,±1,±2,…）

將化成互質(zhì)整數(shù)，

口⑷3］就是晶向指數(shù)

晶面全部格點(diǎn)用一族平行平面包含，該平行平面族稱為晶面族，族中每個(gè)平面稱為

晶面

晶面指數(shù)）晶面在元胞基矢截距的倒數(shù)的互質(zhì)整數(shù)組稱為晶面指數(shù)

密勒指數(shù)（hkD晶面在晶胞基矢上截距的倒數(shù)的互質(zhì)整數(shù)組稱為密勒指數(shù)

面間距

密勒指數(shù)（h,k,l）晶面系晶面間距，

面密度

體密度

晶面上的格點(diǎn)密度。與面間距d之間滿足

式中,P為格點(diǎn)體密度.

致密度

_晶胞中原子最大體積之和

‘晶胞體積

解理面對(duì)原子晶體，密勒指數(shù)簡(jiǎn)單的晶面族，面間距較大，晶面格點(diǎn)密度大，晶面

間結(jié)合力較小，容易解理。對(duì)離子晶體，晶面格點(diǎn)密度大且晶面是電中性的晶面容

易解理

7、倒格子：

定義倒格子是晶格點(diǎn)陣在波矢空間的傅立葉變換

倒格子基矢:倒格子基矢4,方2，與?

7xxa

oa2a3,a3a,,_

fi=af(a2XaJ為正格子元胞體積?

倒格矢

+〃石，+(”「%，砥=0,土1,土2,土3,???)

Gnh=h1S.1xznn

布里淵區(qū)以任意倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，作所有倒格矢的垂直平分面將倒格子空間分成的一

系列區(qū)域，稱為布里淵區(qū)

?理論公式

1、布拉菲點(diǎn)陣分布函數(shù)？?？

2、倒格矢

3、倒格子基矢與正格子關(guān)系式

:倒格子基矢與正格子的關(guān)系為,

Qi'bj=2TT3U=j0j?jD=1,2,3

4、晶面指數(shù)(57-60)、密勒指數(shù)(61)、晶面間距(65-66)、晶面原子密度的計(jì)算????？

?圖形和關(guān)系曲線

1、簡(jiǎn)單立方(配位數(shù)、元胞、元胞基矢、晶胞、晶胞基矢、不同晶面上格點(diǎn)分布、倒格

子基矢、第一布里淵區(qū))

?筒單立方晶格

晶胞基矢，原胞基矢，

a=ata-=ai

b=aj一=>

c=ak53=ak

alblca:la:1a3

晶格常數(shù)，同二|不|=同二。

晶胞與原胞同=|5|=向=a體積，

晶胞含1個(gè)格點(diǎn)，體積,Q=*(a;xa3)=a'

2、

(1)設(shè)簡(jiǎn)單立方格子的基矢為a產(chǎn)ai、a2=aja3=ak,則對(duì)應(yīng)的

倒格子基矢為b產(chǎn)(2Va)i、b2=(2n/a)j.b3=(27t/a)ko

(2)由瓦、b2、b3作出倒格子空間。倒格子元胞仍為簡(jiǎn)單立

方，元胞大小為(2n/a)3。

(3)簡(jiǎn)約布里淵區(qū)是原點(diǎn)與六個(gè)最近鄰倒格點(diǎn)連線的中垂面圍

成的立方體，其體積為(2Wa凡且包含了一個(gè)格點(diǎn)。

3、圖1-12(a)簡(jiǎn)單立方圖1-44簡(jiǎn)單立方格子的簡(jiǎn)約布里淵區(qū)

2、體心立方(配位數(shù)、元胞、元胞基矢、晶胞、晶胞基矢、不同面上格點(diǎn)分布、倒格子基

矢、第一布里淵區(qū))

?體心立方晶格

晶胞基矢，

a=ai,b=aj,c=ak

a±b±c

晶格常數(shù)，

同=B卜同=。

晶胞含2個(gè)格點(diǎn)，體積，

晶胞與原胞

Q=

原胞基矢，

4=?(-亍+了+.)

a2=^(J-j

萬(wàn)3=yG+7-*)

團(tuán)=同|=同|=卓

原胞體積，

。=五1.(方2乂］3)=9

對(duì)廣體心立方結(jié)構(gòu)，其原胞的基矢可取為

ai=互(—，+j+A)，02=—J+k),g=+j-k)，

其倒格子基矢為

bi=-“(j+A),62=(I+*,g=—CL(?+j).

4、面心立方(配位數(shù)、元胞、元胞基矢、晶胞、晶胞基矢、不同面上格點(diǎn)分布、倒格子

基矢、第一布里淵區(qū))

?面心立方晶格

晶胞基矢，

a=ai,b=aj,c=ak

a±blc

晶格常數(shù)，

同=b=|cI=a

晶胞含4個(gè)格點(diǎn)，體積，

Q=Q3

原胞基矢，萬(wàn)1=y(J+k)

%=十f)

氏=/+])

團(tuán)=同=鬲|=

原胞體積,

Q=a,(萬(wàn)2、通)=—

6、

倒格子基矢、元胞體積,

Rxq=_G_J+斤）

4、金剛石結(jié)構(gòu)（最小結(jié)構(gòu)單元、配位數(shù)、元胞、晶胞、晶胞基矢、不同面格點(diǎn)分布、倒格

子基矢、第一布里淵區(qū)）

?金剛石結(jié)構(gòu)

晶胞與元胞

體對(duì)角線原子面心立方晶格與頂角、面心原子面心立方晶格

沿體對(duì)角線相互移動(dòng)1/4對(duì)角線長(zhǎng)度套構(gòu)形成面心立方格子

（復(fù)式）。

基元由面心（或頂角）原子和1/4對(duì)角線長(zhǎng)度處原子組成。

晶胞基矢，

a=ai,b=aj,c=ak

a±b±c

晶格常數(shù)，

|<2|=|z>=歸]=a

晶胞包含外格點(diǎn)，晶胞體積，

Q=

金剛石晶格由兩個(gè)面心立方格子套構(gòu)而成，第一布里淵區(qū)

由兩個(gè)面心立方倒格子的第一布里淵區(qū)套構(gòu)而成。

第二章晶體結(jié)合

?基本概念

1、兩粒子間排斥力及其性質(zhì)

兩粒子間吸引力及其性質(zhì)

兩粒子間總相互作用力及其特點(diǎn)

,一、、r〃⑺>0

二，〃億）二°

吸引.篦而短勢(shì)力〃少八.

/、5、m、n>0

n>m

r—兩粒子間距

4-兩粒子平衡間距

吸引勢(shì)能，異性電荷之間的庫(kù)倫吸引勢(shì)（長(zhǎng)程勢(shì)能）

排斥勢(shì)能：1、兩同性電荷庫(kù)倫排斥勢(shì)（長(zhǎng)程勢(shì)能）

2、泡利不相容短程勢(shì)（短程勢(shì)能）

UG）=：￡〃（A/）

晶體總相互作用能人.'

晶體結(jié)合能絕對(duì)零度下，忽略粒子零點(diǎn)振動(dòng)能，晶體粒子最小總相互作用勢(shì)能等于晶體結(jié)

合能3K）

4、離子鍵及特點(diǎn)

定義，晶體中正、負(fù)離子庫(kù)侖引力形成的結(jié)合力稱為離子鍵。

依靠離子鍵結(jié)合形成的晶體稱為離子晶體。

離子鍵特點(diǎn)，1、沒有方向性和飽和性

5、2、離子鍵越強(qiáng)，離子晶體越穩(wěn)定

馬德隆常數(shù)

2=y--------...............—

均，叼，與?4+〃；+nt）

（勺,叼，與不同時(shí)二0八''））

6、共價(jià)鍵的形成及其特點(diǎn)兩個(gè)原子各出一個(gè)電子，在兩個(gè)原子核之間形成較大電子云密

度被兩個(gè)原子共用、自旋相反配對(duì)的電子結(jié)構(gòu)

飽和性

一個(gè)電子與另一個(gè)電子配對(duì)后不再與其它電子配對(duì)

8-N定貝IJ

共價(jià)鍵數(shù)等于原子軌道未填滿價(jià)電子數(shù)

方向性

共價(jià)鍵方向在電子波函數(shù)最大方向上，共價(jià)鍵強(qiáng)弱決定于兩

7、個(gè)電子波函數(shù)的交迭程度

極性共價(jià)鍵形成及其特點(diǎn)共用電子對(duì)偏向負(fù)電性大的原子的共價(jià)鍵

6、金屬鍵形成及其特點(diǎn)金屬原子結(jié)合成金屬晶體時(shí)，價(jià)電子脫離原子成為晶格共有電子，

原子成為正離子實(shí)，共有化電子與離子實(shí)庫(kù)侖引力構(gòu)成金屬鍵

7、范德瓦耳斯鍵形成及其特點(diǎn)

靜電力一極性分子偶極矩之間的靜電力

范德瓦爾斯鍵會(huì)導(dǎo)力一極性分子偶極矩與感應(yīng)偶極矩靜電力

色散力一非極性分子瞬時(shí)偶極矩間靜電力

原子負(fù)電中原子負(fù)電性=0.18（電離能+親和能）

原子電離能基態(tài)原子失去一個(gè)電子成為正離子所需能量

原子親和能基態(tài)原子俘獲一個(gè)電子成為負(fù)離子時(shí)釋放的能量

8、原子負(fù)電性與晶體結(jié)構(gòu)關(guān)系

1、負(fù)電性小和負(fù)電性大兩種原子結(jié)合傾向形成離子晶體

2、原子負(fù)電性差別減小，原子結(jié)合由離子性向共價(jià)性變化

3、負(fù)電性較大的同種原子結(jié)合成晶體，傾向形成共價(jià)晶體

4、負(fù)電性較小的同種原子結(jié)合成晶體，傾向形成金屬晶體

5、氫與負(fù)電性大的原子形成共價(jià)鍵后，負(fù)電荷中心與氫核偏

9、離，氫核與另一個(gè)原子結(jié)合形成氫鍵晶體

10、SP\SP2、SP軌道雜化的形成及其性質(zhì)原子S、P軌道波函數(shù)雜化形成的波函數(shù)給出的

電子幾率分布稱為雜化軌道。

?理論公式

1、兩粒子間相互作用能的一般形式

2、兩粒子間相互作用力的一般形式

3、晶體體積彈性模量

定義晶體體積彈性模量父=卷=

4、原子負(fù)電性計(jì)算式

?圖形和關(guān)系曲線

1、兩粒子相互作用勢(shì)能

2、兩粒子相互作用力

3、SP?雜化軌道示意圖

第三章晶格振動(dòng)

?基本概念

1、一維單原子晶格振動(dòng)及其特點(diǎn)

2、一維雙原子晶格振動(dòng)及其特點(diǎn)

3、簡(jiǎn)諧近似原子繞格點(diǎn)彈性振動(dòng)(諧振)，振動(dòng)位移與彈性力成正比

4、最近鄰近似

只考慮最近鄰原子相互作用勢(shì)能，并且凡1=凡.】=￡,得到，

5、周期性邊界條件

N個(gè)元胞一維雙原子晶格周期性邊界條件，

Un~UR+N，冏=U/N

6、格波

原子集體振動(dòng)形成波長(zhǎng)2=二的簡(jiǎn)諧波，稱為一個(gè)格波

q

(Latticewave)或晶格振動(dòng)的一個(gè)簡(jiǎn)正模。

8、格波波矢、波矢空間、

波矢密度

p(g)=±=A^(?)=-^-=—/(q)=_L=

"⑺La2乃Sq(2乃)“Qvq(24

第一布里淵區(qū)波矢?jìng)€(gè)數(shù)

Un~UJI+N，Un~U

i(na

〃“=Ae^\un=Be"總

4=1

2萬(wàn)？T

Naq=hxInq=---------hh=O.±l.±2-??

Na

波矢在第一布里淵區(qū)取值，

n7tN,1N

——<q<——>-------------<h<——

9、aa22

8、色散關(guān)系圓頻率-波長(zhǎng)關(guān)系

d3

力=----

?dq

群速度“

相速度原子振動(dòng)狀態(tài)用格波位相描述，波速等于振動(dòng)位相傳播速度，稱為相速度

CD

U——:

「q

10、光學(xué)支格波

光學(xué)支格波色散關(guān)系（光學(xué)模），

A+21+￡；+2￡應(yīng)cos(〃q)］/

工=----------------十—

11、mm

聲學(xué)支格波

聲學(xué)支格波色散關(guān)系（聲學(xué)模），

_1_［慶+/+2PMcos(aq)］為

m

長(zhǎng)縱光學(xué)波、長(zhǎng)縱聲學(xué)波基元中兩個(gè)原子相反振動(dòng)，形成長(zhǎng)光學(xué)波

10、振動(dòng)模式數(shù)每個(gè)波矢對(duì)應(yīng)一個(gè)聲學(xué)波圓頻率和一個(gè)光學(xué)波圓頻率。N個(gè)元胞一維雙原子

晶格共有2N個(gè)獨(dú)立振動(dòng)模式（自由度）。

11、振動(dòng)模式數(shù)與晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系

11、聲子晶格振動(dòng)能量的“量子”方生⑶）一聲子（格波能量子）

h

聲子準(zhǔn)動(dòng)尿聲子準(zhǔn)動(dòng)量方工=方（刈仄+ih+h3b3）

聲子統(tǒng)計(jì)分布一定溫度下，晶體中能量為的平均聲子數(shù)由玻色-愛因斯坦統(tǒng)計(jì)給出,

平均聲子數(shù)

1_1

n=x1-tiojki1

%e-ie—1

12、振動(dòng)模式密度g（3）二菰

12、正則變換

獨(dú)立振動(dòng)模式的正交性、

完備性周期性邊界條件下，所有的晶格振動(dòng)模式構(gòu)成正交、完備集

態(tài)空間

?理論公式

RK-na。7=1,2,3「??產(chǎn)）

1、一維格波〃。夕-第〃個(gè)原子的振動(dòng)位相

劭加、,"

=w(0)exp[z(/^x6f+mqcot)]

二維格波

%。⑺=勺。⑺建m

三維格波解

2、一維、二維、三維晶格周期性邊界'+"

3、三維晶格振動(dòng)總能量表達(dá)式及其意義

4、晶格振動(dòng)模式密度定義

5、一維、二維、三維晶格振動(dòng)模式密度計(jì)算

三維晶格振動(dòng)模式密度

g（o）=-f|----------dS

（2萬(wàn)尸?|▽產(chǎn)（。）|

二維晶格振動(dòng)模式密度，

e房!艮始巴

一維晶格振動(dòng)模式密度，

/、L1

S32;r\dfdq\

?圖形和關(guān)系曲線

CD

2、一維雙原子晶格色散關(guān)系曲線

aa

第四章晶體能帶

?基本概念

1、單電子近似（包括：絕熱近似假設(shè)相對(duì)于電子運(yùn)動(dòng)速度，離子實(shí)近似固定在格點(diǎn)上不動(dòng)。

平均場(chǎng)近似假設(shè)每個(gè)價(jià)電子所處的周期場(chǎng)相同，與其它價(jià)電子、離子實(shí)的庫(kù)侖相互作用

只與該價(jià)電子位置有關(guān)

周期性勢(shì)場(chǎng)近似若單電子勢(shì)具有晶格平移周期性，晶體價(jià)電子的定態(tài)薛定譚方程求解轉(zhuǎn)

化為晶格周期場(chǎng)中單電子薛定修方程求解）

2、電子共有化運(yùn)動(dòng)、晶體電子、能帶電子波包代表的電子稱為能帶電子

3、布洛赫定理

晶體中共有化運(yùn)動(dòng)電子的本征波函數(shù)是調(diào)幅平面波（布洛赫波）。

（布洛赫波函數(shù)）

人（尸）=4（不+艮）

布洛赫波的物理意義

由布洛赫波函數(shù)，得到晶體共有化運(yùn)動(dòng)電子的幾率分布，

4、周期性邊界條件

5、電子波矢矢量定是平移算符本征值2（用）的量子數(shù)，稱為電子波矢

、波矢空間、波矢空間密度、電子能態(tài)（狀態(tài)）密度

6、能帶共有化電子能量本征值，不同波矢對(duì)應(yīng)的能量值（能級(jí)）的集合，稱為能帶

禁帶（能隙）、滿帶、空帶、導(dǎo)帶能量最低的空帶、價(jià)帶能量最高的滿帶、近滿帶、半滿帶、

能帶底、能帶頂、能帶寬度

7、準(zhǔn)經(jīng)典近似、波包

用能帶波矢k附近A4范圍內(nèi)的電子本征態(tài)疊加構(gòu)成波包，

18E

v=---i

8、電子平均速度能帶電子波包群速度定義為能帶電子的平均速度hSk

電子加速度

9、電子有效質(zhì)量及其物理意義

2

1_1SEn(k}

在能帶頂，加周期勢(shì)場(chǎng)對(duì)電子作負(fù)功，電子傳遞給

晶格的能量大于外場(chǎng)力對(duì)電子的作功。

在能帶底，加*>0,周期場(chǎng)對(duì)電子作正功，電子從晶格得

到能量.

電子有效質(zhì)量概括了周期場(chǎng)對(duì)電子的作用，使外場(chǎng)下能帶電子的運(yùn)動(dòng)，可用服

從牛頓運(yùn)動(dòng)定律、具有有效質(zhì)量的“質(zhì)電子”來描述。

.h2

m=—-----

2luo

能帶底電子有效質(zhì)量次

82E(k)

能帶頂電子有效質(zhì)量O'

禁帶FEc-------

禁帶4_____與邑簟」

線二二.

10、導(dǎo)體--------、絕緣體-------------?一—、半導(dǎo)體

的能帶圖

11、固體導(dǎo)電性特點(diǎn)及其能帶論解釋

11、空穴及物理意義電場(chǎng)作用下，缺1個(gè)電子的能帶中其余2N-1個(gè)電子對(duì)電流的貢獻(xiàn)等效

為1個(gè)帶正電子電量粒子的貢獻(xiàn)，這個(gè)粒子稱為空穴

??

、空穴電荷量、空穴有效質(zhì)量“尸二一”"

?理論公式

1、一維晶格、二維晶格、三維晶格的狀態(tài)(能態(tài))密度

ds

gg=南”1▽出（左）

3式＞）=瞅6產(chǎn)

〃式亍）=,任+旦）

2、布洛赫波函數(shù)

3、電子、空穴平均速度

4、電子、空穴有效質(zhì)量

5、晶體電子在外場(chǎng)作用下的牛頓第二定律

方2

-^-V2（r）+r（r）W（尸）="（產(chǎn)）

6、單電子近似下的薛定謂方程1-

?圖形和關(guān)系曲線

1、電子能帶的四種不同表示方法

周期性布里淵區(qū)表示法

3/24_萬(wàn)07t243不

2、aaaaaa

擴(kuò)展布里淵區(qū)表示法

三、試卷結(jié)構(gòu)

共七大題

1、填空題（20空，共20分）

2、畫圖及計(jì)算（10分）

3、概念解釋題（共5個(gè)概念，10分）

4、畫圖及計(jì)算（15分）

5、論述題（10分）

6、畫圖及論述（15分）

7、運(yùn)用公式計(jì)算〔20分）

滿分：100分

四、成績(jī)構(gòu)成

期末考試成績(jī)80%,平時(shí)成績(jī)20%

特點(diǎn)：1、考試題目體現(xiàn)不同章節(jié)內(nèi)容的連續(xù)

2、對(duì)所學(xué)內(nèi)容的準(zhǔn)確掌握

補(bǔ)充：第一章PPT68改錯(cuò)

第一章PPT75說明

目錄

一、本章難易及掌握要求1

二、基本內(nèi)容.....................................1

1、三種近似...................................1

2、周期場(chǎng)中的布洛赫定理.......................2

1）定理的兩種描述........................2

2）證明過程：............................2

3）波矢k的取值及其物理意義.............3

3、近自由電子近似...........................3

A、非簡(jiǎn)并情況下.........................4

B、簡(jiǎn)并情況下...........................5

C、能帶的性質(zhì)............................6

4、緊束縛近似.................................6

5、震勢(shì).......................................9

6、三種方法的比較.............................10

7、布里淵區(qū)與能帶.............................11

8、能態(tài)密度及費(fèi)米面...........................11

三、常見習(xí)題...................................14

簡(jiǎn)答題部分...................................14

計(jì)算題部分.....................................15

一、本章難易及掌握要求

要求重點(diǎn)掌握：

1）理解能帶理論的基本假設(shè)和出發(fā)點(diǎn)；

2）布洛赫定理的描述及證明；

3）一維近自由電子近似的模型、求解及波函數(shù)討論，明白

三維近自由電子近似的思想；

4）緊束縛近似模型及幾個(gè)典型的結(jié)構(gòu)的計(jì)算；

5）明白簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的概念和能帶的意義及應(yīng)用；

6）會(huì)計(jì)算能態(tài)密度及明白費(fèi)米面的概念。

本章難點(diǎn)：

1）對(duì)能帶理論的思想理解，以及由它衍生出來的的模型的

應(yīng)用。比如將能帶理論應(yīng)用于區(qū)分絕緣體，導(dǎo)體，半導(dǎo)體;

2）對(duì)三種模型的證明推導(dǎo)。

了解內(nèi)容：

1）能帶的成因及對(duì)稱性；

2）費(fèi)米面的構(gòu)造；

3）勢(shì)方法；

4）旺尼爾函數(shù)概念；

5）波函數(shù)的對(duì)稱性。

二、基本內(nèi)容

1、三種近似

在模型中它用到已經(jīng)下假設(shè)：

1）絕熱近似：由于電子質(zhì)量遠(yuǎn)小于離子質(zhì)量，電子的運(yùn)動(dòng)速度

就比離子要大得多。故相對(duì)于電子，可認(rèn)為離子不動(dòng)，或者說電子的

運(yùn)動(dòng)可隨時(shí)調(diào)整來適合離子的運(yùn)動(dòng)。多體問題化為了多電子問題。

2）平均場(chǎng)近似：在上述多電子系統(tǒng)中，可把多電子中的每一個(gè)

電子，看作是在離子場(chǎng)及其它電子產(chǎn)生的平均場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，這種考慮叫

平均場(chǎng)近似。多電子問題化為單電子問題。

3）周期場(chǎng)近似：假定所有離子產(chǎn)生的勢(shì)場(chǎng)和其它電子的平均勢(shì)

場(chǎng)是周期勢(shì)場(chǎng)，其周期為晶格所具有的周期。單電子在周期性場(chǎng)中。

2、周期場(chǎng)中的布洛赫定理

1）定理的兩種描述

當(dāng)晶體勢(shì)場(chǎng)具有晶格周期性時(shí)，電子波動(dòng)方程的解具有以下性

質(zhì)：

形式一：HH&WW亦稱布洛赫定理，反映了相鄰原包之間

的波函數(shù)相位差

形式二：必亦稱布洛赫函數(shù)，反映了周期場(chǎng)的波函數(shù)可

用受小⑺調(diào)制的平面波表示,其中，〃）=出+凡），凡取布拉

菲格子的所有格矢成立。

2）證明過程：

a.定義平移算符T,T（一）=7T⑷中伍2）7?回）

b.證明了與。的對(duì)易性。TaH=HTa

c.代入周期邊界條件，求出丁在丁與方共同本征態(tài)下的本征值

，（尸）="（尸+MG）

BPif/⑺=中5+N2G2>A4=P,4=*%,4=*小

W）=W5+N3a3）

d.將幾代入7的本征方程中，注意了定義，可得布洛赫定理。

柿+RJ=邛殍芍歹⑺=*（"叫+嗎電+M）夕（》>〃⑺=*%"）!

3）波矢k的取值及其物理意義

八人后+上立+4a……一”</]”，k是第一布里淵區(qū)的

23J

/V,N2N.22

波失，稱簡(jiǎn)約波矢。其是平移算符本征值量子數(shù)，而

7（孔明⑺=以尸+孔）=J鼠歹⑺反映了原胞之間電子波函數(shù)位相的變

化。同時(shí)也可以得出如果一個(gè)勢(shì)場(chǎng)是周期場(chǎng)，那么可以把其波函數(shù)設(shè)

為布洛赫函數(shù)。

3、近自由電子近似

1）思想：假設(shè)將周期場(chǎng)的周期起伏看作自由電子穩(wěn)定勢(shì)場(chǎng)的微擾

2）條件要求：原子的動(dòng)能大于勢(shì)能以使電子可以自由運(yùn)動(dòng)，勢(shì)函

數(shù)的的起伏很小，以滿足微擾論適用，外層電子以滿足電子可以自由

運(yùn)動(dòng)。

3）模型建立過程：

首先，在零級(jí)近似下，考慮到周期性邊界條件得到了波矢的允許

取值，推出了能量的準(zhǔn)連續(xù)性；

其次，由于考慮到二級(jí)微擾，而推出能量在布區(qū)邊界處分裂，且

發(fā)生了能級(jí)間的“排斥作用”，于是形成能帶和帶隙。

A、非簡(jiǎn)并情況下

1)由假設(shè)1>,2>可得系統(tǒng)的哈密頓量和薛定丹方程:

h1d2

H=H0+H',+V,

H。=2

2陽(yáng)dx

微擾項(xiàng)：

^=V(x)-V=AV,滿足的方程式：H-EW

2)利用微擾論方法有設(shè)：后人=琛+以)+以為+…,

其中：

或二2￡+乙=<k\H'\k>=0,E2)=Y一一一(K9K)

“2mk人-E；-E；,

設(shè)：憶(x)=婕(幻+般(x)+….

其中：

鶴即示"吸V聾舒:(KWK)

4)結(jié)論：

能量本征值：耳:空+D+Z'T^/-------

2m"—[A:2-a+-2^-)2]

2ma

波函數(shù)：…f——--------?

J1I1々工k2_(〃+々獷]

Ima

5)波函數(shù)的意義：

第一項(xiàng)是波矢為k的前進(jìn)的平面波，第二項(xiàng)是平面波受到周期

性勢(shì)場(chǎng)作用產(chǎn)生的青攵射波

，，(,X

再令uk(x)=1+2L-------------e~,貝！J有〃式x)=(X)

"—R2-a+-2^-)2])L

2ma

具有布洛赫函數(shù)形式，其中用到，”a+〃心)=uk(X)

B、簡(jiǎn)并情況下

1)同-碟|>>MI此時(shí)波矢k離一個(gè)較遠(yuǎn)，k狀態(tài)的能量和狀態(tài)

尸。?以「

瓦二〈

2

4M.￡oIKI

《差別較大把3*按(七；「￡了泰勒級(jí)數(shù)展開得〔入心一印

由于能級(jí)間“排斥作用”，量子力學(xué)中微擾作用下，兩個(gè)相互

影響的能級(jí)總是原來較高的能量提高了，原來較低的能量降低了

2)|埼-磋|<<⑷時(shí)，波矢k非常接近-皆，k狀態(tài)的能量和k，

能量差別很小按將3*式⑻一與了泰勒級(jí)數(shù)展開得

<1

E±=g聞+&.±2|叫+與?！鰙

2川叫代入相應(yīng)的球,以得

F+MI+M稿+1)

E土—_2T

”'一同-女(山)2

Z

n-―2m^—a)

可得如下結(jié)論兩個(gè)相互影響的狀態(tài)k和k'微擾后，能量變?yōu)镋+

和E-,原來能量高的狀態(tài)能量提高，原來能量低的狀態(tài)能量降低。

周期性E“(k)=E.(k+G)［周期為

倒格矢，由晶格平移對(duì)稱性決定］

反演對(duì)稱性E“(k)=E〃(一k)

［E“(一是個(gè)偶函數(shù)］

宏觀對(duì)稱性E“(k)=E〃(ak)

［。為晶體的一個(gè)點(diǎn)群對(duì)稱操作］

C、能帶的性質(zhì)

簡(jiǎn)約波矢的取值被限制在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)，要標(biāo)志一個(gè)狀態(tài)需要

表明：

1）它屬于哪一個(gè)能帶（能帶標(biāo)號(hào)）

2）它的簡(jiǎn)約波矢I是什么？

3）能帶底部，能量向上彎曲；能帶頂部，能量向下彎曲

2）禁帶出現(xiàn)在波矢空間倒格矢的中點(diǎn)處

3）禁帶的寬度帆帆…狙I

4）各能帶之間是禁帶，在完整的晶體中，禁帶內(nèi)沒有允許的能

級(jí)

5）計(jì)入自旋，每個(gè)能帶中包含2N個(gè)量子態(tài)

4、緊束縛近似

1）緊束縛近似的假設(shè)：

電子在原子附近，主要受該原子勢(shì)場(chǎng)作用，其它原子勢(shì)場(chǎng)視為

微擾作用。故此時(shí)不能用自由電子波函數(shù)，而用所有原子的同一電子

波函數(shù)的線性組合來表示。不考慮不同原子態(tài)間的作用。它一般要求

Atomiccore

原子之間的距離較大。?????

=加,！+7W石？+加，）

2）模型實(shí)現(xiàn)??七篇?

對(duì)于簡(jiǎn)單格子電子在格矢?????

-?-?——<??

Rm=呵%十利必+?。3處原子附近運(yùn)動(dòng)“33

"0）滿足的薛定謗方程：

力22

[--V2+（/（r）W）=E^）

Z/7Z

U（『）是晶體的周期性勢(shì)場(chǎng)—所有原子的勢(shì)場(chǎng)之和。對(duì)方程進(jìn)行

變換有［-4旬+丫任一凡）物⑺+［U（V-V任一凡）吸⑺=Ew⑺

2m

U（r）-V（r-&）即是微擾作用。

設(shè)晶體中電子的波函數(shù)"⑺=（此法的本質(zhì)），代

m

入上得：

Z%⑹+u⑺一V行一凡,）幽行-RJ=Eg勺依"-R）

tnmm

考慮到當(dāng)原子間距比原子半徑大時(shí)，不同格點(diǎn)的2行-%）重疊很有，

］/行-%泗行-凡）方=3nm用（p；（r-/）左乘上面方程5*,得到

J媒（>-R）lU（r）-V（r-凡,）物（r-R）dr=（E-%）%

mnm

J<p；.一（凡一%）］uG）-v（<）M（^=-J（凡一%）

則得-2>3（用-凡）=（E，）〃”，考慮到周期性的勢(shì)場(chǎng)，應(yīng)有

ni

am=C*凡，（N是任意常數(shù)矢量），則有E-q=-）"歷，

S

R=凡-氐.

利用歸一化條件則得：晶體中電子的波函數(shù)憶6）=.§*尺”--&）

考慮用簡(jiǎn)約波失表示有力⑺=點(diǎn)*?/3心夕"—心）］,由此可得

對(duì)于確定"E（Q=￡j-W7（R）/3R,而且實(shí)現(xiàn)了N個(gè)晶體中的電子

S

波函數(shù)與束縛態(tài)的波函數(shù)的幺正變換換：

0島氐、

/&...C-/一居）、

-2?即

1e~???0（尸一凡）

*=芹*

?.*

*??

6兩后,6匹國(guó)..ikNRN

C7?口一風(fēng)）,

3）模型簡(jiǎn)化:

考慮-M)=f^；G-R)eG)-vG)sG)}據(jù)的化簡(jiǎn)：

當(dāng)。;G-凡)和%?)有重疊時(shí)，積分不為0。

a最完全的重疊用=凡-凡,=0,得人=-佃(就36)-1/(打死

b其次考慮近鄰格點(diǎn)的格矢艮，得E(h=￡「J「2>(尺)屋應(yīng)。。6*

/?r=Nearest

能帶底部電子的有效質(zhì)量加=—J,能帶頂部電子的有效質(zhì)量

2

2Jta

4)能級(jí)與能帶的對(duì)應(yīng)

A計(jì)算簡(jiǎn)單立方晶格中由原子s態(tài)形成的能帶s態(tài)的波函數(shù)是

球?qū)ΨQ的，在各個(gè)方向重疊積分相同。找出緊鄰坐標(biāo)代入6*有

E(k)=￡i-Jo-2J{(coskxa+coskva+cosk.a),其中在能帶「：k=(0,0,0)

處在E=(0,0,0)處用級(jí)數(shù)展開有Enin=a-4+64，在能帶頂部

R：U-)按k=(-,-)附近按泰勒級(jí)數(shù)展開得

aaaaaa

Emax=￡-J+6，BandEnergyinSolid

ioEnergyofAtom

帶寬取決于Jl，大小取fr

1Jo...

決于近鄰原子波函數(shù)之間的+\

相互重疊，重疊越多，形成能XCH004025￡

AW￡>xvxy即SoM

帶越寬，同樣可以看出，由于k的取值f/■可以有N

個(gè)，故一個(gè)能級(jí)在微擾下分裂成為一個(gè)能帶。

1-XCWXM_Cl2R

B對(duì)于一般情況有如下結(jié)論：

一個(gè)原子能級(jí)ei對(duì)應(yīng)一個(gè)能帶，不同的原子能級(jí)對(duì)應(yīng)不同的能帶。

當(dāng)原子形成固體后，形成了一系列能帶能量較低的能級(jí)對(duì)應(yīng)的能帶較

窄，能量較高的能級(jí)對(duì)應(yīng)的能帶較寬。簡(jiǎn)單情況下，原子能級(jí)和能帶

之間有簡(jiǎn)單的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如ns