現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ) 課件全套 樓旭陽 chap1 緒論-chap7 線性二次型最優(yōu)控制

現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)

教材、參考書《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》課程名稱：現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)英文名稱：Fundamentals

of

Modern

Control

Theory

總學(xué)分：2總學(xué)時：32適用專業(yè)：自動化、電氣工程及其自動化教材：.

現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ).

機(jī)械工業(yè)出版社,

2024.參考書：1.張嗣瀛,高立群.現(xiàn)代控制理論(第2版)[M].

北京:

清華大學(xué)出版社,

2017.2.劉豹,唐萬生.現(xiàn)代控制理論(第3版)[M].

北京:

機(jī)械工業(yè)出版社,

2006.3.俞立.現(xiàn)代控制理論[M].北京:清華大學(xué)出版社,

2007.4.RichardC.Dorf,RobertH.Bishop.

現(xiàn)代控制系統(tǒng)(第11版:

英文)

[M].北京:

電子工業(yè)出版社,2009.第1章

緒論【引言】現(xiàn)代控制理論在工業(yè)、航空航天、等許多領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用。本章從控制理論的發(fā)展入手，主要介紹控制理論的發(fā)展歷程、現(xiàn)代控制理論的六大分支，以及本課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容?！局饕獌?nèi)容】1.1

控制理論的發(fā)展歷程1.2

現(xiàn)代控制理論的分支1.3

本課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》1.1

控制理論的發(fā)展歷程中國古代自動化方面的成就：?

公元前14世紀(jì)至前11世紀(jì)，中國、埃及和巴比倫出現(xiàn)自動計時漏壺；?

公元130年，張衡(78-139,東漢)發(fā)明水運(yùn)渾象，132年研制出自動測量地震的候風(fēng)地動儀飛球調(diào)節(jié)器原理圖關(guān)汽閥聯(lián)結(jié)器開《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》調(diào)節(jié)器軸套環(huán)汽輪機(jī)軸

1788年瓦特發(fā)明飛球調(diào)節(jié)器，進(jìn)一步推動蒸汽機(jī)的應(yīng)用，促進(jìn)了工業(yè)的發(fā)展。世界上公認(rèn)的第一個自動控制系統(tǒng)沒有理論指導(dǎo)使控制技術(shù)停滯了一個世紀(jì)!

飛球調(diào)節(jié)器有時使蒸汽機(jī)速度出現(xiàn)大幅度振蕩。由于當(dāng)時還沒有自控理論，所以不能從理論上解釋這一現(xiàn)象。為了解決這個問題，盲目探索了大約一個世紀(jì)之久。

1868年英國麥克斯韋爾的“論調(diào)速器”論文指出：不應(yīng)單獨(dú)研究飛球調(diào)節(jié)器，必須從整個系統(tǒng)分析控制的不穩(wěn)定。建立系統(tǒng)微分方程，分析微分方程解的穩(wěn)定性，從而分析實際系統(tǒng)是否會出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象。——這篇論文被公認(rèn)為自動控制理論的開端?！冬F(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》1.1

控制理論的發(fā)展歷程

1875年，英國勞斯(Routh)在劍橋Adams

Prize的最佳論文中提出代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)，其意義:建立有關(guān)動態(tài)穩(wěn)定性的系統(tǒng)理論。

1895年，瑞士數(shù)學(xué)家赫爾維茲(Hurwitz)提出另外一種形式的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)。

1892年，俄國李雅普諾夫(Lyapunov)提出穩(wěn)定性定義，并提出了為當(dāng)今學(xué)術(shù)界廣為應(yīng)用且影響巨大的李亞普諾夫方法，也即李亞普諾夫第二方法或李亞普諾夫直接方法?！冬F(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》1.1

控制理論的發(fā)展歷程

1928年8月2日，美國Harold

Black(1898-1983)在上班途中的渡船上靈光一閃，發(fā)明了在當(dāng)今控制理論中占核心地位的負(fù)反饋放大器。他將其發(fā)明隨手記在了一份紐約時報上，這份早報已成為一件珍貴的文物診藏在AT&T

的檔案館中。1.1

控制理論的發(fā)展歷程《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》

1932年,

美國奈奎斯特(Nyquist)提出奈氏穩(wěn)定判據(jù)。

1940年,

美國伯德(Bode)引入了半對數(shù)坐標(biāo)系，使頻率特性的繪制工作更加適用于工程設(shè)計。

1948年,

伊萬斯(Evans)提出了復(fù)數(shù)域內(nèi)研究系統(tǒng)的根軌跡法。《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》二戰(zhàn)中自動火炮、雷達(dá)、飛機(jī)以及通訊系統(tǒng)的控制研究直接推動了經(jīng)典控制的發(fā)展。1948年,

維納(Wiener)出版《控制論》，形成完整的經(jīng)典控制理論，標(biāo)志控制學(xué)科的誕生。1.1

控制理論的發(fā)展歷程1954年，錢學(xué)森的《工程控制論》在美國出版。國防技術(shù)的總體掌舵人：發(fā)展新中國的國防科技，謀劃布局《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》1.1

控制理論的發(fā)展歷程二戰(zhàn)后，空間技術(shù)促使現(xiàn)代控制理論的產(chǎn)生，現(xiàn)代控制理論促進(jìn)了空間技術(shù)的發(fā)展。

1958年,

卡爾曼(Rudolf

Kalman)采用狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)，提出能控性、能觀性、卡爾曼濾波概念/算法。Kalman是一個bug一般的存在，現(xiàn)代控制理論大神。

Kalman

filter是一個bug一般的存在，現(xiàn)代工程領(lǐng)域

無處不在。1.1

控制理論的發(fā)展歷程《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》二戰(zhàn)后，空間技術(shù)促使現(xiàn)代控制理論的產(chǎn)生，現(xiàn)代控制理論促進(jìn)了空間技術(shù)的發(fā)展。

1965年,

貝爾曼(Bellman)提出最優(yōu)控制的動態(tài)規(guī)劃方法

1961年,

龐特里亞金證明了最優(yōu)控制中的極大值原理

1967年,

瑞典Astrom提出最小二乘辯識，解決了線性定常系統(tǒng)參數(shù)估計問題和定階方法

。

1970年,

英國Rosenbrock提出狀態(tài)空間多變量理論。

1976年，美國Brockett提出用微分幾何研究非線性控制系統(tǒng)。當(dāng)今控制界大師：E.D.Sontag,

A.Teel,S.Boyd

……《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》1.1

控制理論的發(fā)展歷程我國著名控制學(xué)者貢獻(xiàn):

關(guān)肇直:

1962年組建我國第一個控制理論研究室，提出飛行器彈性控制理論

陳翰馥:

研究隨機(jī)系統(tǒng)的辨識與適應(yīng)控制問題，提出辨識算法的收斂條件，即“陳氏條件”

韓京清:

提出了自抗擾控制技術(shù)

程代展:

建立了布爾網(wǎng)絡(luò)的控制理論

郭 雷:

解決了最小二乘自校正調(diào)節(jié)器的收斂性和收斂速度問題，發(fā)現(xiàn)并證明了反饋機(jī)制最大能力的“臨界值”或“不可能性定理”《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》1.1

控制理論的發(fā)展歷程【大系統(tǒng)理論和智能控制理論階段】現(xiàn)代控制理論在工業(yè)過程控制方面遭遇滑鐵盧，促使大系統(tǒng)和智能控制技術(shù)的誕生！大系統(tǒng)是規(guī)模龐大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、變量眾多、功能綜合、目標(biāo)多樣的過程控制與信息處理。智能控制系統(tǒng)是具有某些仿人類智能的工程控制與信息處理系統(tǒng)。智能控制理論分支:

模糊邏輯控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、專家控制、進(jìn)化控制等。F.W.Smith、L.A.

Zadeh、Fegenbaum、K.

J.

Astrom、J.M.

Mendel《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》1.1

控制理論的發(fā)展歷程1.1

控制理論的發(fā)展歷程《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》【網(wǎng)絡(luò)化控制理論階段】網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)是通過網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸、形成控制閉環(huán)的系統(tǒng)。網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)作為一種新興的控制系統(tǒng)形式，目前得到了越來越廣泛的研究和關(guān)注。網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時滯數(shù)據(jù)包丟失通信約束多包傳輸現(xiàn)代控制理論一取得的成就

1957年發(fā)射了第一顆人造地球衛(wèi)星

工業(yè)機(jī)器人產(chǎn)品

1961年載人航天

(加加林)

1966年月球軟著陸

1969年登陸月球1.1

控制理論的發(fā)展歷程《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》1.2現(xiàn)代控制理論的分支

系統(tǒng)辨識

線性系統(tǒng)理論

最優(yōu)控制

最優(yōu)濾波

自適應(yīng)控制

非線性系統(tǒng)理論《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》1.2現(xiàn)代控制理論的分支1950年以前單輸入單輸出SISO外部描述

傳遞函數(shù)時域法、頻域法、

根軌跡法拉普拉斯變換PID控制和校正網(wǎng)絡(luò)1950年以后多輸入多輸出MIMO內(nèi)部描述

狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間法線性代數(shù)矩陣狀態(tài)反饋和輸出反饋時間研究對象研究內(nèi)容研究方法研究工具設(shè)計方法經(jīng)典控制理論

vs

現(xiàn)代控制理論《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》穩(wěn)定性狀態(tài)空間模型建立求解

轉(zhuǎn)換狀態(tài)反饋狀態(tài)觀測器建?！冬F(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》分析設(shè)計能控性能觀性1.3本課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容最優(yōu)控制第2章

控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型【引言】控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是用于描述系統(tǒng)動態(tài)行為的數(shù)學(xué)表達(dá)式?，F(xiàn)代控制理論主要以狀態(tài)空間模型為基礎(chǔ)，描述了系統(tǒng)的輸入、輸出與內(nèi)部狀態(tài)之間的關(guān)系，彌補(bǔ)了經(jīng)典控制理論的一些不足。本章主要介紹如何用狀態(tài)空間模型來描述線性或非線性控制系統(tǒng)?！局饕獌?nèi)容】2.1

狀態(tài)空間模型的基本內(nèi)容2.2

狀態(tài)空間模型的建立2.3

非線性系統(tǒng)的線性化2.4

線性變換2.5

循序漸進(jìn)例子：單鏈機(jī)械臂第2章

控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)穩(wěn)定性狀態(tài)空間模型建立求解

轉(zhuǎn)換狀態(tài)反饋狀態(tài)觀測建模分析設(shè)計能控性能觀性最優(yōu)控制系統(tǒng)x1

,

x2

,

...,

xnu1u2up系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述y1y2yp外部描述（輸入-輸出描述）不完全描述微分方程、傳遞函數(shù)內(nèi)部描述（狀態(tài)空間描述）完全描述狀態(tài)方程、輸出方程

2.1狀態(tài)空間模型的基本內(nèi)容《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》狀態(tài)變量狀態(tài)方程狀態(tài)空間輸出方程x

(t)

Ax(t)

Bu(t)y(t)

Cx(t)

Du(t)G(s)

C(sI

A)

1

B

D2.1狀態(tài)空間模型的基本內(nèi)容《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》多輸入

y(t)

Cx(t)

Du(t)連續(xù)多輸出線性定常系統(tǒng)：狀態(tài)/輸出方程為線性函數(shù)，且系數(shù)為常數(shù)n

nx

(t)

Ax(t)

Bu(t)系統(tǒng)矩陣

狀態(tài)矩陣

系數(shù)矩陣n

p控制矩陣

輸入矩陣q

n輸出矩陣

觀測矩陣q

p前饋矩陣

輸入輸出

矩陣1x(t)=

2

Rn

n

x

狀態(tài)向量

x

x

u(t)

Rmy(t)

R

p輸入向量輸出向量2.1狀態(tài)空間模型的基本內(nèi)容《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》線性定常系統(tǒng)：狀態(tài)/輸出方程為線性函數(shù)，且系數(shù)為常數(shù)n

nx

(t)

Ax(t)

Bu(t)多輸入

y(t)

Cx(t)

Du(t)x

(t)

Ax(t)

bu(t)y(t)

cx(t)

du(t)連續(xù)多輸出連續(xù)單輸入單輸出x(k)

(1)

Gx(k)

Hu(k)y(k)

Cx(k)

Du(k)x(k

1)

Gx(k)

hu(k)y(k)

cx(k)

du(k)離散系統(tǒng)矩陣

狀態(tài)矩陣

系數(shù)矩陣n

p控制矩陣

輸入矩陣q

n輸出矩陣

觀測矩陣q

p前饋矩陣

輸入輸出

矩陣n

nn

11

n標(biāo)量2.1狀態(tài)空間模型的基本內(nèi)容《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》狀態(tài)空間模型的圖示法動態(tài)方程的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖x

(t)

Ax(t)

Bu(t)y(t)

Cx(t)

Du(t)2.1狀態(tài)空間模型的基本內(nèi)容《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》2.2狀態(tài)空間模型的建立

根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型

根據(jù)高階微分方程建立狀態(tài)空間模型

根據(jù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型狀態(tài)變量的選取不唯一、狀態(tài)空間模型不唯一《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》試寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間模型。例1：彈簧-阻尼系統(tǒng)2.2狀態(tài)空間模型的建立《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》例1：彈簧-阻尼系統(tǒng)輸出方程y

x1

Cx狀態(tài)方程

x

1

x2

x

2

m

x1

m

x2

m

u

0 1

0

1

x

1

u

x

k

k

m m

m

C

[1

0]單輸入單輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)根據(jù)牛頓第二定律選取

x1

z

x

x2

z

m

z

u

kz

z

ms2

s

kY(s)

1

U(s)2.2狀態(tài)空間模型的建立《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》x

Ax

Bum2

0.52.2狀態(tài)空間模型的建立《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》思考例2：求

RLC

網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)空間模型

x1

uc

x

x2

i

y

u

(t)c2.2狀態(tài)空間模型的建立《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》例2：求

RLC

網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)空間模型由電路原理u(t)

Ri(t)

L

di(t

)

u

(t)dtcC

duc

(t)

idt

x1

uc

x

x2

i

y

u

(t)c取2.2狀態(tài)空間模型的建立《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》例2：求

RLC

網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)空間模型

x1

uc

x

x2

i

若取?

x1

idt

x2

i2.2狀態(tài)空間模型的建立《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》實例：球桿控制系統(tǒng)球桿系統(tǒng)是一個典型的不穩(wěn)定系統(tǒng)，V型槽軌道、不銹鋼球、連桿、直流伺服電機(jī)、大小齒輪箱減速機(jī)構(gòu)組成球桿系統(tǒng)。V型槽軌道由兩部分組成，其一側(cè)為不銹鋼桿，另一側(cè)為直線位移電阻器。球桿系統(tǒng)裝置如下圖所示。使小球在導(dǎo)軌上加速滾動的力是小球的重力在同導(dǎo)軌平行方向上的分力同小球受到的摩擦力的合力。球桿系統(tǒng)的原理框圖:實例：球桿控制系統(tǒng)期望

位置-電機(jī)編碼器球的位置+ 偏差伺服電機(jī)直線位移傳感器球桿裝置θ離散信號根據(jù)牛頓第二定律可知，小球在導(dǎo)軌上滾動的動力學(xué)方程為:

22m

r

mgsinα

mr

α

J

0R

m

——小球質(zhì)量；J——小球的轉(zhuǎn)動慣量；

R

——小球半徑；r ——小球位置偏移；

g——重力加速度；α——軌道桿與水平面之間的夾角；

θ

——電動機(jī)轉(zhuǎn)角由于實際摩擦力較小，忽略摩擦力2

Jm

r

mgsinαR

當(dāng)α<<1時α

d

θL2m)

sR

2r(s)

mgd 1L(

Jθ(s)

s22實例：球桿控制系統(tǒng)x1

rx2

x

1

r

狀態(tài)空間模型？傳感器1狀態(tài)空間模型：-Gc

(s)控制裝置球桿系統(tǒng)G(s)

s22期望

位置球的位置實例：球桿控制系統(tǒng)y

x1求解？離散化？

x

1

01

x1

0

0

x2

2

x

2

0

微分方程

狀態(tài)空間模型設(shè)控制系統(tǒng)的運(yùn)動方程為

y

3y

2

y

u試寫出該系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。2.2狀態(tài)空間模型的建立解：選取《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》x1

yx2

y

設(shè)控制系統(tǒng)的運(yùn)動方程為

y

3y

2

y

u試寫出該系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。x1

y解：選取x2

y

x

1

x2

x

2

2x1

3x2

u

y

x1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖：x2

x

1x

2x1

y

u

3

22.2狀態(tài)空間模型的建立《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》狀態(tài)空間模型。，發(fā)動機(jī)練習(xí)：求巡行控制模型的狀態(tài)空間模型寫出如圖所示汽車的速度和前向運(yùn)動的運(yùn)動方程、系統(tǒng)的假設(shè)汽車位移為

x

,速度為

x

提供的拉力為

u

，摩擦力為

bx

，車的質(zhì)量為

m,

摩擦系數(shù)b巡行控制模型巡行控制的自由體受力圖mx(t)摩擦力

bx

汽車質(zhì)量u(t)m

x

u

bx

2.2狀態(tài)空間模型的建立《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》傳遞函數(shù)狀態(tài)空間模型b

sn

b

sn

1

b

s

b

n n

1 1 0sn

a

sn

1

a

s

an

110sn

1

sn

2

s

b

n

1 n

2 1 0sn

a

sn

1

a

s

an

110nnY(s)G(s)

U(s)N(s)b

D(s)

嚴(yán)格有理真分式sn

a

sn

1n

1

a1s

a0

1

Z(s)n

1n

2

n

1s

n

2

s

1s

01D(s)N(s)U(s)Y(s)串聯(lián)分解：若

b

0n2.2狀態(tài)空間模型的建立《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》sn

a

sn

1n

1

a1s

a0

1

Z(s)n

1n

2

n

1s

n

2

s

1s

01D(s)N(s)U(s)Y(s)串聯(lián)分解：若

b

0n2.2狀態(tài)空間模型的建立《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》2s2

4s

1s3

9s2

8sY

(s)U

(s)

例3：將下面?zhèn)鬟f函數(shù)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型2.2狀態(tài)空間模型的建立《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》解：n

3,

a2b3

9,

a1

8,

a0

0

0,

b2

2,

b1

4,

b0

1

i

x

1

0

x1

0

x

2

0

0

10 1

x2

0

u

x

3

0

-8

-9

x3

1

x1

y

1

4

2

x2

x3

2s2

4s

1s3

9s2

8sY

(s)U

(s)

例3：將下面?zhèn)鬟f函數(shù)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型2.2狀態(tài)空間模型的建立《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》s2

4s

22s3

6s2

8s

2Y

(s)U

(s)

練習(xí)：將下面?zhèn)鬟f函數(shù)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型2.2狀態(tài)空間模型的建立《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》狀態(tài)空間模型

傳遞函數(shù)問題:

已知狀態(tài)空間模型如何確定傳遞函數(shù)？在零初始條件下，應(yīng)用拉氏變換得x

(t)

Ax(t)

Bu(t)y(t)

Cx(t)

Du(t)G(s)

C(sI

A)

1

B

D2.2狀態(tài)空間模型的建立《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》狀態(tài)空間模型

傳遞函數(shù)特點(diǎn):

傳遞函數(shù)由狀態(tài)空間模型系數(shù)矩陣唯一確定G

s

C

sI

A

1

B

D例:

求傳遞函數(shù)矩陣,

已知狀態(tài)空間模型系數(shù)矩陣C

1

1

D

0

A

12

B

1

21

0

難點(diǎn):

求逆矩陣

sI

A

1

sI

A

1

adj

sI

A

1

s

1 2det

sI

A

2

2 s

1

s

2s

5

2.2狀態(tài)空間模型的建立《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》2.3非線性系統(tǒng)的線性化在一定的條件下，為簡化模型，可忽略一些次要因素，將非

線性系統(tǒng)簡化為線性系統(tǒng)，或?qū)⒎蔷€性元件分段線性化，或僅

限于討論在系統(tǒng)工作點(diǎn)附近小范圍內(nèi)的運(yùn)動特性。《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》2.3非線性系統(tǒng)的線性化例4：求下列系統(tǒng)在原點(diǎn)處的線性化狀態(tài)空間模型00x0x0x0222

x

x2

1

3x

2x

0x解 由狀態(tài)方程和輸出方程知

000

f1

0,

f1

1,

f2

1

x1

f2

x2

x1

1,

g

x1

1,

g

x2xxx計算得x

1

x2

x

x

x3

2u1 2 22y

x

x21 2x

f1

(x1

,

x2

,

u)

x2f (x

,

x

,

u)

x

x

x3

2u2 1 2 1 2 2g(x

,

x

,

u)

x

x21 2 1 2x0《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》x0x0

0

1

0

A

,

B

x

1

1

u

2

,

C

x

[1

0]

f

f

g

于是,有單鏈機(jī)械臂系統(tǒng)如圖所示單鏈機(jī)械臂系統(tǒng)，系統(tǒng)采用直流電機(jī)來驅(qū)動機(jī)械臂轉(zhuǎn)動，

(t)

為機(jī)械臂角度，u(t)

為控制輸入，

M

是機(jī)械臂質(zhì)量，J

ML2是轉(zhuǎn)動慣量，

g是重力加速度，

L

是臂長，

k

是電機(jī)阻尼系數(shù)。以機(jī)械臂角度為輸出，試建立該系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。根據(jù)牛頓第二定律可知

(t)

MgL

sin(

(t))

k

(t)

1

u(t)J J J可得狀態(tài)空間模型

0x1

,

x2

x

1

x221 2

MgL

sin

x

k

x

1

u

x

J J J

y

x1輸出方程

1

1

2

2

1

x1

y

[1

0]

x2

1

x

0

0

1

uJ

0

J

MgL

sin

x

x

k

x

xJ

單鏈機(jī)械臂系統(tǒng)M——

機(jī)械臂質(zhì)量(0.25kg)；J ——

轉(zhuǎn)動慣量(1kg.m2)；L

——

機(jī)械臂的臂長

(2m)；g

——

重力加速度(10m/s2)

；k

——

阻尼系數(shù)(6kg.m2/s)

；θ ——

角度

；u ——控制輸入代入?yún)?shù)，在原點(diǎn)對系統(tǒng)線性化后：

x

1

01

x1

0

u

x

2

6

x2

1

x1

y

[1

0]

x2

5

單鏈機(jī)械臂系統(tǒng)給定系統(tǒng)x

(t)

Ax(t)

Bu(t)y(t)

Cx(t)

Du(t)x(0)=x0總可以找到一個非奇異矩陣P，將

x

作線性變換，

得到另一狀態(tài)向量

x于是

x(0)=P

1

x(0)x

Pxx

□y

□2.4

線性變換《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》回顧例2：求RLC網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)空間模型

x1

uc

x

x2

i

1

x2

i

idtxx

2.4

線性變換《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》回顧例2：求RLC網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)空間模型

10

0

1

P

C

10

idt

0

1

Cc

u

i

i

x

uc

i

idt

x

i

2.4

線性變換《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》x

Px非奇異線性變換只改變系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的形式，不改變系統(tǒng)的性質(zhì)!2.4

線性變換特征值《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》能控性能觀性傳遞函數(shù)第3章

線性系統(tǒng)的運(yùn)動分析【引言】通過對系統(tǒng)分析，揭示系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動規(guī)律和基本特性。本章將考察線性系統(tǒng)的定量分析問題，即狀態(tài)方程的求解問題，并討論狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義、性質(zhì)和計算方法，從而導(dǎo)出狀態(tài)方程和系統(tǒng)輸出的求解公式。【主要內(nèi)容】3.1

定常連續(xù)系統(tǒng)的齊次解3.2

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣3.3

定常連續(xù)系統(tǒng)的非齊次解3.4

離散時間狀態(tài)空間模型3.5

循序漸近例子：單鏈機(jī)械臂第3章

線性系統(tǒng)的運(yùn)動分析現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)穩(wěn)定性狀態(tài)空間模型建立求解

轉(zhuǎn)換狀態(tài)反饋狀態(tài)觀測建模分析設(shè)計能控性能觀性最優(yōu)控制模型的作用是什么?已知系統(tǒng)模型如何確定系統(tǒng)在任意時間

t

時的狀態(tài)x(t)、輸出y(t)?

模型的作用之一：分析（預(yù)測）x

0

x0u(t)

x

Ax

Bu

y

Cx

Du

3.1定常連續(xù)系統(tǒng)的齊次解《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》x

Ax求

x(t)

?已知狀態(tài)方程Tips:

指數(shù)函數(shù)

1

at

1

a2t

2

1

aktk

2! k!eateAt

:狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣3.1定常連續(xù)系統(tǒng)的齊次解《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》x(t)

eAt

x

0

x(t)

1

(sI

A)

1

x

0

利用矩陣指數(shù)法和拉氏變換法證明計算

(t)

的方法：定義法、拉氏法3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》1.定義

t

eAt=1

At

1

A2t

2

1

Aktk

2!

k

!2.含義表示狀態(tài)向量由初始狀態(tài)

x

0

向任意時刻的狀態(tài)

x

t

轉(zhuǎn)移的內(nèi)在特性。3.性質(zhì)

0

I

0

A

t

1

t

t

s

t

s

《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣?yán)?：已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，試求

1

(t),

A《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

3e

t

2e

2t

e

t

e

2t

e

t

e

2t

e

t

2e

2t

(t)

et

e2t

et

2e2t

1

1

1

3

1

(t)

3et

2e2t

et

e2t

A

x

2

x

1

01

x1

3

x2

2

例2:

求解系統(tǒng)的狀態(tài)方程3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》

2e

t

e

2t

2e

t

2e

2te

t

e

2t

e

t

2e

2t

(t)

x

1

01

x1

0

0

x2

2

x

2

0

例3:

球桿系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解？

0T0

|

sI

A

| s2

1 s

(sI

A)*

1

s(sI

A)

1

s

1

0

s

(sI

A)

*

L

1

(sI

A)

1

(sI

A)

1

t

0

1

|

sI

A

|eAt

3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》利用定義法和拉氏變換法均可計算。x

Ax

Bu求

x(t)方法

積分法:

移項,

同乘e-Ate

At

x

Ax

e

At

Bu(t)

拉普拉斯法:

先拉氏，再反變換3.3定常連續(xù)系統(tǒng)的非齊次解《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》x

t

1

(sI

A)

1

x

0

1

(sI

A)

1

BU

(s)

x

Ax

Bu求

x(t)3.3定常連續(xù)系統(tǒng)的非齊次解《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》例4：已知系統(tǒng)狀態(tài)方程系數(shù)矩陣

0

1

0

,

B

2

3

1

A

試求解該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。*(sI

A)

1

(sI

A)

1

s

31

(s

1)(s

2)

2|

sI

A

|s

3.3定常連續(xù)系統(tǒng)的非齊次解《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》3.4離散時間狀態(tài)空間模型《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》當(dāng)采樣周期

T

很小

(T

)

I

ATG(T

)

I

At

Bdt

TB0T3.4離散時間狀態(tài)空間模型《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》3.4離散時間狀態(tài)空間模型《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》

x

1

0《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》1

x1

0

u

x

2

6

x2

x1

y

[1

0]

x2

1

-5

單鏈機(jī)械臂系統(tǒng)當(dāng)初始狀態(tài)取為

x(0)

[01]

時，試求在

u(t)

1

作用下狀態(tài)方程的解；進(jìn)一步地，當(dāng)采樣周期取

T

0.01

s時，對系統(tǒng)進(jìn)行離散化?？紤]單鏈機(jī)械臂系統(tǒng)線性化后的狀態(tài)空間模型

1

e

t

1

e

5t

1

《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》

5

e

t

1

e

5t

1

e

t

1

e

5t

5

e

5t

5

e

t5

e

5t

1

e

t

1

e

t

1

e

5t

1

1

e

5t

5e

5t4 205

4x(t)

4 4 4

x(0)

44 4 44 4

5

單鏈機(jī)械臂系統(tǒng)經(jīng)計算得到該系統(tǒng)的狀態(tài)方程解為2)

1

1

s

61

5s

6s

5(sI

As

1

e

t

1

e

5t

5

e

5t

1

e

t

1

1

5

e

t

1

e

5t

5

e

5t

5

e

t

(t)

eAt

(sI

A)

4 44 4

444 4

解：

0.9998《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》0.0097

0x(k

1)

x(k)

u(k)

0.04850]x(k)0.9415

0.0097

y(k)

[1

單鏈機(jī)械臂系統(tǒng)于是,離散化方程為

5

e

T

1

e

5T1

e

T

1

e

5T

5

e

5T

5

e

T5

e

5T

1

e

T

4 4

0.9998

0.0097

0.9415

4G(T

)

(T

)

44 4

0.0485

4

4

(T)

eAT當(dāng)采樣周期取

T

0.01

時

0

0.0097

H(T

)

第4章

線性系統(tǒng)的能控性和能觀性【引言】能控性和能觀性是控制系統(tǒng)的兩個重要性質(zhì)，是

實現(xiàn)各種控制和狀態(tài)估計的基礎(chǔ)?！局饕獌?nèi)容】4.1

能控性和能觀性問題4.2

定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性4.3

定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性4.4

能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型4.5

定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性4.6

系統(tǒng)的實現(xiàn)4.7

循序漸近例子：單鏈機(jī)械臂第4章

線性系統(tǒng)的能控性與能觀性4.1能控性和能觀性問題《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》系統(tǒng)x1

,

x2

,

...,

xn能控能觀《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》u1u2up

y1y2yp

4.1能控性和能觀性問題引例：已知系統(tǒng)的動態(tài)方程

x

1

4

0

x1

1

u

5

x2

2

x

2

y

[0

6]

x1

x2

0

x

1

4x1

ux

2

5x2

2uy

6x2《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》u可以控制x1、x2系統(tǒng)完全能控

！y無法反映x1系統(tǒng)不完全能觀

！4.1能控性和能觀性問題引例：橋式電路不能控、不能觀

！4.1能控性和能觀性問題《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》為什么研究？狀態(tài)方程x

Ax

Bu輸出方程y

Cxuy控制器?

如果系統(tǒng)不能控,

則無論采取什么u也無法達(dá)到控制目的4.1能控性和能觀性問題《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》為什么研究？狀態(tài)方程x

Ax

Bu輸出方程y

Cx控制器 狀態(tài)估計器uy?

如果系統(tǒng)不能控,

則無論采取什么u也無法達(dá)到控制目的?

如果系統(tǒng)不能觀,

則無法實現(xiàn)狀態(tài)估計x?《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》4.1能控性和能觀性問題t

[t0

,t1

]x

Ax(t)

Bu(t)狀態(tài)能控給定初始時刻

t0

和非零初始狀態(tài)

x(t0)

=

x,

如果存在有限時刻

t1

>

t0

和一個在[t0,

t1

]上分段連續(xù)的控制輸入

u(·)使?fàn)顟B(tài)

x

轉(zhuǎn)移到

x(t1)=0，則稱x在t0時刻是能控的。1 0《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》t1x(t )

eA(t1

)Bu(

)d

00A(t

t

)01x(t

)

e

t如果所有非零狀態(tài)在初始時刻都是能控的，則稱系統(tǒng)是完全能控的。4.2定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性所有非零狀態(tài)

x0《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》=>

x(t1)=0

:

稱系統(tǒng)在t0時刻完全能控在容許控制u(t)作用下4.2定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性注意?

規(guī)定了狀態(tài)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，未限制狀態(tài)轉(zhuǎn)移的軌跡?

容許控制在容許控制u(t)作用下問題：如何來判斷能控性呢？《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》4.2定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性x

Ax(t)

Bu(t)思路由定義，能控性判斷要求找到使得閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)從

初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)的一個控制律?！冬F(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》A(T

t0

)t0A(T

)0x(T

)

ex(t

)

Bu(

)d

?Te

狀態(tài)方程的解x

Rn4.2定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性t0

0

時,

由運(yùn)動分析指數(shù)函數(shù)可表示為如何證明

u

存在?x

Ax(t)

Bu(t)x

Rn凱萊-哈密頓定理n

1e

j

(

)

Aj

0jA

4.2定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》eA(T

)

Bu(

)d

eA(T

)

Bu(

)d

0

00

0eA(T

)

Bu(

)d

0

00

0x(T

)

eAT

x

x(T

)

0

0

eAT

x

e

A

Bu(

)d

eAT

x

TTTT

x

T n

1x0

0k

0n

1

k

0n

1

k

0

0a (

)A

Bu(

)d

a (

)u(

)d

kkAk

BkAk

B

Tk

k

0

ak

(

)u(

)d

T

0

《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》0x

B

AB

An

1B

1

n

1

與u有關(guān)如果線性方程組有解，則系統(tǒng)能控;其逆命題也成立4.2定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性

k

0

ak

(

)u(

)d

T

0

01

n

1

x

B

AB

An

1B

如果該線性方程組有解，則系統(tǒng)能控;其逆命題也成立回顧高數(shù):

何時方程組Ax=b對所有b有解?定理定常連續(xù)系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是rank

B

AB

An

1B

dim

A

n秩判據(jù)《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》4.2定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性例1:

判別下列系統(tǒng)的能控性4.2定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性

x

1

2

x1

1

u1

2

2

1

u2

3

3

1

32 0

x

11

2

1

x

0

03

x

1

x

2

2 1 3 2 5 4

1 1 2 2 4

1

1

2

2

4

4

4

S

BAB A

B

rank

S

2

dim

A

3《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》系統(tǒng)不完全能控解: 利用秩判據(jù)例2:

判別下列系統(tǒng)的能控性系統(tǒng)完全能控《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》4.2定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性練習(xí):

判別下列系統(tǒng)的能控性《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》x

Ax

Bu

1

1

1

,

B

0

1

0

A

4.2定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性格拉姆矩陣判據(jù)定

理定常連續(xù)系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是Te

A(t

t0

)

BBTe

A

(t

t0

)dt00 fW

(t ,

t )

t

f

tx(t0

)

x0x(t

f

)

0u(t)

?《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》非奇異證明:4.2定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性格拉姆矩陣判據(jù)Te

A(t

t0

)

BBT

e

A

(t

t0

)dt0W

(t0

,

t

f

)

t

f

tx(t0

)

x0x(t

f

)

0u(t)

?t

t

fT

AT

(t

t0)

1W (t0

,

t

f

)x(t0

)取

u(t)

B

eA(t

t0

)t0A(t

)0x(t)

ex(t

)

e Bu(

)d

t

令4.2定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性x(t

f

)

0《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)穩(wěn)定性狀態(tài)空間模型建立求解

轉(zhuǎn)換狀態(tài)反饋狀態(tài)觀測建?！冬F(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》分析設(shè)計能控性能觀性最優(yōu)控制舉例系統(tǒng)不完全能觀《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》4.3定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性t

Tt

:

[t0

,

t1

]x(t0

)

x0《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》

x

Ax(t),

y

Cx(t),

4.3定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性若不相等,

如何保證?問題：如何給出判別狀態(tài)x0能觀的有效方法?思路x

Ax(t)

x(t)

eAt

x

y(t)

CeAt

x

00 0對y(t)連續(xù)求導(dǎo)Att

0

CA

Ce

x0

0x0

0

CA2

x

02eAt

x00

0

CAn

1

CAn

1eAt

x0

0AtCAeC

CA

反向思考：假設(shè)系統(tǒng)有不能觀的狀態(tài)（即

x0

0

y(t)

0）系統(tǒng)不存在不能觀狀態(tài)該方程組沒有非零解!(只有零解!)

滿秩《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》4.3定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性定

理《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》定常連續(xù)系統(tǒng)完全能觀的充分必要條件是

dim

A

nn

1

rank

CA

CAC

秩判據(jù)例:

判斷下列系統(tǒng)的能觀性

2

3

1

2

y

[1

0]xx

x4.3定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性例3:

判別球桿系統(tǒng)的能觀性x

Ax

Bu

0

1

0

,

B

,

C

[1

0]

0

0

2

A

解:y

Cx4.3定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性

1

0

《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》rank

2

0

1

C

CA

系統(tǒng)完全能觀格拉姆矩陣判據(jù)定

理定常連續(xù)系統(tǒng)完全能觀的充分必要條件是TeA

(t

t0

)CT

CeA(t

t0)dt《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》00 fW

(t ,

t )

t

f

t

1證明:

x0

0

W(0,

t

f

)eC y(t)dtAT

t

Tt

f非奇異4.3定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性

x

1

0

1

x1

0

u《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》

x

2

6

x2

1

0]

x1

x2

y

[1

-5

單鏈機(jī)械臂系統(tǒng)考慮單鏈機(jī)械臂系統(tǒng)線性化后的狀態(tài)空間模型分析:

1

0

rank

2

0

1

C

CA

系統(tǒng)完全能觀rank

BAB

0

1

2

1

6

系統(tǒng)完全能控例4:

設(shè)線性定常系統(tǒng)為

1

1

1

0

1

1

x

x

u試將它化為能控標(biāo)準(zhǔn)型.《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》4.4能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型例4:

設(shè)線性定常系統(tǒng)為

1

1

1

0

1

1

x

x

u試將它化為能控標(biāo)準(zhǔn)型.解：

1 0

1 1

能控性矩陣：

S

[BAB]

能控！S

1

1

11

0

p1

1 1

p2

p1

A

0 1

1 1

0 1

《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》P

4.4能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型例4:

設(shè)線性定常系統(tǒng)為

1

1

1

0

1

1

x

x

u試將它化為能控標(biāo)準(zhǔn)型.P

1

1 1

0 1

A

PAP

1

01

,

B

PB

0

11

1

cc

x

0《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》1

0

u

11

x

1

解：4.4能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型對于單輸入系統(tǒng)如果A、c具有以下形式則該系統(tǒng)一定能觀，該狀態(tài)方程為能觀標(biāo)準(zhǔn)型。4.4能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》能觀標(biāo)準(zhǔn)型《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》4.4能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型例5:

設(shè)線性定常系統(tǒng)為

x,

y

1

0.5

x

1

1

0

2

x

試將它化為能觀標(biāo)準(zhǔn)型.4.4能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》例5:

設(shè)線性定常系統(tǒng)為

x,

y

1

0.5

x

1

1

0

2

x

試將它化為能觀標(biāo)準(zhǔn)型.

1

0.5

1 0c

能觀性矩陣：V

cA

解：可觀！V

1

0

1

22

p2

Ap1

4

3

p1

1

2

1

3

P

24

4.4能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》4.4能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型例5:

設(shè)線性定常系統(tǒng)為《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》

x,

y

1

0.5

x

1

1

0

2

x

試將它化為能觀標(biāo)準(zhǔn)型.解：P

1

21.5

1

0.5

, C

cP

0

1

A

P

1AP

0

2

1

3

cc

x,

y

0

1

x

0

2

1

3

x

系統(tǒng)能控給定初始時刻

p

和非零初始狀態(tài)

x(p)

=

x,

如果存在有限時刻

m

>

p

和一個容許控制

u(k)

使?fàn)顟B(tài)

x

轉(zhuǎn)移到x(m)=0，則稱

x

在

p

時刻是能控的?？紤]線性定常離散系統(tǒng)

x(k

1)

Gx(k)

Hu(k)《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》

y(k)

Cx(k)

Du(k)

4.5

定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性定理線性定常離散系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是rank

H

GH

Gn

1H

dim

G

n秩判據(jù)考慮線性定常離散系統(tǒng)

x(k

1)

Gx(k)

Hu(k)《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》

y(k)

Cx(k)

Du(k)

4.5

定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性注意?

連續(xù)系統(tǒng)能控，離散化系統(tǒng)不一定能控(與采樣周期有關(guān))?

連續(xù)系統(tǒng)不能控，離散化系統(tǒng)一定不能控例6:離散后4.5

定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》4.5

定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》4.5

定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性系統(tǒng)能觀給定初始時刻

p

和非零初始狀態(tài)

x(p)

=

x,

如果存在有限時刻

m

>

p,

可由[p,m]上的輸出

y(k)

唯一地確定

x，則稱系統(tǒng)在

p

時刻是能觀的。考慮線性定常離散系統(tǒng)