2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)精準(zhǔn)研析12.2古典概型幾何概型文含解析北師大版

.在區(qū)間[-4,1]上隨機(jī)地取一個(gè)實(shí)數(shù)x,若x滿意|x|<a的概率為45,則實(shí)數(shù)a的值為 ()A.12 B.1 C.2 2.如圖,四邊形ABCD為正方形,G為線段BC的中點(diǎn),四邊形AEFG與四邊形DGHI也為正方形,連接EB,CI,則向多邊形AEFGHID中投擲一點(diǎn),該點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)的概率為 ()A.13 B.25 C.383.在球O內(nèi)任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P在球O的內(nèi)接正四面體中的概率是 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)()A.112π B.312π C.【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1由在區(qū)間[-4,1]上隨機(jī)地取一個(gè)實(shí)數(shù)x,聯(lián)想到幾何概型中應(yīng)用長(zhǎng)度計(jì)算概率2由“該點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)的概率”聯(lián)想到幾何概型中運(yùn)用面積之比求概率3由已知聯(lián)想到利用體積之比求概率【解析】1.選D.設(shè)集合A={x||x|<a}=(-a,a)(a>0),若0<a≤1,則A?[-4,1],由幾何概型的意義,得P(A)=a-(-a)1-(-4)2.選A.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,則可求得S總=3,陰影部分為兩個(gè)對(duì)稱的三角形,又∠EAB=∠AGB,所以sin∠AGB=152=25,S陰影=2×12×52×13.選C.設(shè)球O的半徑為R,球O的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為2a,所以正四面體的高為233a,所以R2=63a2+23a3-R2,即3a=2R,所以正四面體的棱長(zhǎng)為26R3,底面面積為12×26R3×1.與長(zhǎng)度等有關(guān)的幾何概型題目的解法假如試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長(zhǎng)度、弧長(zhǎng)、角度等表示,則把題中所表示的幾何模型化為長(zhǎng)度、弧長(zhǎng)、角度等,然后代入概率的計(jì)算公式求解.2.與面積有關(guān)的幾何概型題目的解法求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí),關(guān)鍵是弄清某事務(wù)對(duì)應(yīng)的面積,必要時(shí)可依據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量,把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo),找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解.3.與體積有關(guān)的幾何概型題目的解法對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問題,關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積以及事務(wù)的體積,對(duì)于某些較困難的也可利用其對(duì)立事務(wù)去求.1.折扇由扇骨和扇面組成,初名腰扇,濫觴于漢末,曾是王公大人的寵物.到了明清時(shí)期在折扇扇面上題詩賦詞作畫,成為當(dāng)時(shí)的一種時(shí)尚,并始終流行至今.現(xiàn)有一位折扇愛好者打算在如圖的扇面上作畫,由于突然停電,不慎將一滴墨汁落入折扇所在區(qū)域,則墨汁恰好落入扇面的概率約為()A.34 B.13 C.59【解析】選D.由題得,扇面的面積為S1=12·2π3·182-12·2π3扇子的面積為S2=12·2π3·182則墨汁恰好落入扇面的概率P=96π108π2.(2024·惠州模擬)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》一書中給出了勾股定理的絕妙證明.如圖是趙爽的弦圖.弦圖是一個(gè)以勾股形(即直角三角形)之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形,分別涂成朱(紅)色及黃色,其面積稱為朱實(shí)、黃實(shí),利用2×勾×股+(股-勾)2=4×朱實(shí)+黃實(shí)=弦實(shí)=弦2,化簡(jiǎn)得:勾2+股2=弦2.設(shè)勾股形中勾股比為1∶3,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲1000顆圖釘(大小忽視不計(jì)),則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為 ()A.866 B.500 C.300 D.134【解析】選D.設(shè)勾為a,則股為3a,所以弦為2a,小正方形的邊長(zhǎng)為3a-a,所以題圖中大正方形的面積為4a2,小正方形的面積為(3-1)2a2,所以小正方形與大正方形的面積比為(3-1)24=1-32,所以落在黃色圖形(小正方形3.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)O為底面ABCD的中心,在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為【解析】正方體的體積為2×2×2=8,以O(shè)為球心,1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為12×43πr3=12×43π×13=23π答案:1-π考點(diǎn)三古典概型與幾何概型的綜合問題

命題精解讀1.考什么:(1)考查數(shù)學(xué)文化背景下的古典概型與幾何概型問題(2)考查與實(shí)際生活有關(guān)的概率問題2.怎么考:以數(shù)學(xué)文化或?qū)嶋H生活為載體考查概率問題3.新趨勢(shì):考查與向量、線性規(guī)劃、函數(shù)等學(xué)問交匯的概率問題學(xué)霸好方法1.解決數(shù)學(xué)文化背景下或?qū)嶋H生活中的概率問題的方法:充分讀取題目信息,恰當(dāng)轉(zhuǎn)化為古典概型、幾何概型問題,代入概率公式求解.2.考查與向量、線性規(guī)劃、函數(shù)等學(xué)問交匯的概率問題:脫去向量、線性規(guī)劃、函數(shù)的“外衣”,構(gòu)造概率模型求解.與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的古典概型、幾何概型問題【典例】1.為了大力弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校購進(jìn)了《三國(guó)演義》《水滸傳》《紅樓夢(mèng)》和《西游記》若干套,假如每班每學(xué)期可以隨機(jī)領(lǐng)取兩套不同的書籍,那么該校高一(1)班本學(xué)期領(lǐng)到《三國(guó)演義》和《水滸傳》的概率為 ()A.23 B.12 C.142.(2024·全國(guó)卷I)如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所探討的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC,△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ,黑色部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ,在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別記為p1,p2,p3,則 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)()A.p1=p2 B.p1=p3C.p2=p3 D.p1=p2+p3【解析】1.選D.記《三國(guó)演義》《水滸傳》《紅樓夢(mèng)》和《西游記》為a、b、c、d,則該校高一(1)班本學(xué)期領(lǐng)到兩套書的全部狀況有ab、ac、ad、bc、bd、cd,共6種,符合條件的狀況為ab共1種,故概率為162.選A.方法一:取AB=AC=2,則BC=22,所以區(qū)域Ⅰ的面積為SⅠ=12×2×2=2,區(qū)域Ⅲ的面積為SⅢ=12·π(2)2-2=π-2,區(qū)域Ⅱ的面積為SⅡ=π·12-SⅢ=2,故p1=p方法二:設(shè)AC=b,AB=c,BC=a,則有b2+c2=a2,從而可以求得△ABC的面積為SⅠ=12黑色部分的面積為SⅡ=π2·c22+π2·b22-=π2·c2+b2其余部分的面積為SⅢ=π2·a22-12bc=所以有SⅠ=SⅡ,依據(jù)面積型幾何概型的概率公式,可以得到p1=p2.如何解決與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的古典概型、幾何概型問題?提示:讀取數(shù)學(xué)文化背景下的題目信息,構(gòu)建出古典概型、幾何概型的數(shù)學(xué)模型,然后利用概率公式求解.與函數(shù)、向量、線性規(guī)劃等學(xué)問交匯的古典概型、幾何概型問題【典例】1.在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,則事務(wù)“-1≤log12x+A.34 B.23 C.132.小波以嬉戲方式確定是去打球、唱歌還是去下棋.嬉戲規(guī)則為以O(shè)為起點(diǎn),再從A1,A2,A3,A4,A5,A6(如圖)這6個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量,記住這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)寫出數(shù)量積X的全部可能取值.(2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.【解析】1.選A.由-1≤log12x+12≤1得12≤x+12≤2,即0≤2.(1)X的全部可能取值為-2,-1,0,1.(2)數(shù)量積為-2的只有·一種;數(shù)量積為-1的有·,·,·,·,·,·六種;數(shù)量積為0的有·,·,·,·四種;數(shù)量積為1的有·,·,·,·四種,所以全部可能的狀況共有15種.所以小波去下棋的概率為p1=715因?yàn)槿コ璧母怕蕿閜2=415,所以小波不去唱歌的概率p=1-p2=1-415=與實(shí)際生活有關(guān)的古典概型、幾何概型問題【典例】1.割補(bǔ)法在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作中稱為“出入相補(bǔ)”,劉徽稱之為“以盈補(bǔ)虛”,即以多余補(bǔ)不足,是數(shù)量的平均思想在幾何上的體現(xiàn).如圖揭示了劉徽推導(dǎo)三角形面積公式的方法.△ABC內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)落在標(biāo)記“盈”的區(qū)域的概率為 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)()A.12 B.13 C.142.如圖所示,邊長(zhǎng)為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域,向正方形中隨機(jī)撒一粒豆子,它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為23,則陰影區(qū)域的面積為 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)A.43 B.83 C.23 【解析】1.選C.由題得S△ABC=12ah,S矩形=a2h,所以S△ABC=S所以“盈”的區(qū)域的面積等于“虛”的區(qū)域的面積.而“虛”的區(qū)域占矩形區(qū)域的面積的四分之一,所以該點(diǎn)落在標(biāo)記“盈”的區(qū)域的面積為三角形面積的四分之一,故該點(diǎn)落在標(biāo)記“盈”的區(qū)域的概率為142.選B.向正方形中隨機(jī)撒一粒豆子,它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率P=S陰影S正方形=23,即解得S陰影=83如何解決與實(shí)際生活有關(guān)的古典概型、幾何概型問題?提示:把實(shí)際生活中的語言轉(zhuǎn)化為概率問題下的數(shù)學(xué)語言,正確解讀題目中的已知與未知信息,設(shè)置變量,構(gòu)成概率問題,然后求解.1.已知5件產(chǎn)品中有2件次品,其余為合格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件,恰有一件次品的概率為 ()A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1【解題指南】先對(duì)產(chǎn)品標(biāo)號(hào),然后列舉出可能出現(xiàn)的結(jié)果,依據(jù)古典概型概率公式求出所求的概率.【解析】選B.5件產(chǎn)品中有2件次品,記為a,b,有3件合格品,記為c,d,e,從這5件產(chǎn)品中任取2件,有10種,分別是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),恰有一件次品,有6種,分別是(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),設(shè)事務(wù)A為“恰有一件次品”,則P(A)=6102.現(xiàn)在某類病毒記作XmYn,其中正整數(shù)m,n(m≤7,n≤9)可以隨意選取,則m,n都取到奇數(shù)的概率為.

【解析】因?yàn)檎麛?shù)m的選取有1,2,3,4,5,6,7,共7種狀況,而對(duì)于m的每一種取法,n可以取1,2,3,4,5,6,7,8,9,共9種方法,所以基本領(lǐng)件空間中有7×9=63個(gè)元素,其中事務(wù)“m,n都取到奇數(shù)”包含的基本領(lǐng)件數(shù)為4×5=20,所以所求的概率為2063答案:201.若a,b∈{-1,0,1,2},則使關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實(shí)數(shù)解的概率為.

【解析】要使方程有實(shí)數(shù)解,則a=0或ab全部可能的結(jié)果為(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,0),(2,1),(2,2),共16個(gè),其中符合要求的有13個(gè),故所求概率P=1316答案:132.甲、乙兩人玩一種嬉戲,在裝有質(zhì)地、大小完全相同,編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6六個(gè)球的口袋中,甲先摸出一個(gè)球,登記編號(hào),放回后乙再摸一個(gè)球,登記編號(hào),假如兩個(gè)編號(hào)的和為偶數(shù)算甲贏,否則算乙贏.(1)求甲贏且編號(hào)和為8的事務(wù)發(fā)生的概率.(2)這種嬉戲規(guī)則公允嗎?試說明理由.【解析】(1)設(shè)“兩個(gè)編號(hào)和為8”為事務(wù)A,則事務(wù)A包括的基本領(lǐng)件有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共