高等數(shù)學(xué)教學(xué)教案 多元函數(shù)的極值及其求法

§9.8多元函數(shù)的極值及其求法授課次序59教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題§9.7方向?qū)?shù)與梯度§9.8多元函數(shù)的極值及其求法教學(xué)方法當(dāng)堂講授，輔以多媒體教學(xué)教學(xué)重點(diǎn)方向?qū)?shù)與梯度教學(xué)難點(diǎn)方向?qū)?shù)與梯度的應(yīng)用參考教材同濟(jì)大學(xué)編《高等數(shù)學(xué)（第6版）》自編教材《高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程》作業(yè)布置《高等數(shù)學(xué)》標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)雙語(yǔ)教學(xué)函數(shù)：function；切線：tangentline；切線方程：tangentialequation；法線：normalline；切平面：tangentplane；法平面：normalplane；極值：extremevalues課堂教學(xué)目標(biāo)理解方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計(jì)算方法。理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題。教學(xué)過程1．方向?qū)?shù)與梯度（30min）；2．多元函數(shù)極值的概念及多元函數(shù)極值存在的必要條件（15min）；3．二元函數(shù)極值存在的充分條件（20min）4．條件極值（25min）教學(xué)基本內(nèi)容§9.7方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)現(xiàn)在我們來討論函數(shù)z=f(xy)在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問題.設(shè)l是xOy平面上以P0(x0y0)為始點(diǎn)的一條射線el(coscos)是與l同方向的單位向量射線l的參數(shù)方程為xx0tcosyy0tcos(t0)設(shè)函數(shù)z=f(xy)在點(diǎn)P0(x0y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義P(x0tcosy0tcos)為l上另一點(diǎn)且PU(P0)如果函數(shù)增量f(x0tcosy0tcos)f(x0y0)與P到P0的距離|PP0|t的比值當(dāng)P沿著l趨于P0(即tt0)時(shí)的極限存在則稱此極限為函數(shù)f(xy)在點(diǎn)P0沿方向l的方向?qū)?shù)記作即.從方向?qū)?shù)的定義可知方向?qū)?shù)就是函數(shù)f(xy)在點(diǎn)P0(x0y0)處沿方向l的變化率方向?qū)?shù)的計(jì)算:定理如果函數(shù)z=f(xy)在點(diǎn)P0(x0y0)可微分那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l的方向?qū)?shù)都存在且有其中coscos是方向l的方向余弦.簡(jiǎn)要證明:設(shè)xtcosytcos則f(x0tcosy0tcos)f(x0y0)fx(x0y0)tcosfy(x0y0)tcoso(t)所以.這就證明了方向?qū)?shù)的存在且其值為提示xtcosytcos討論:函數(shù)z=f(xy)在點(diǎn)P沿x軸正向和負(fù)向沿y軸正向和負(fù)向的方向?qū)?shù)如何?提示:沿x軸正向時(shí)cos=cos=0;沿x軸負(fù)向時(shí)cos=-1cos=0.例1求函數(shù)z=xe2y在點(diǎn)P(10)沿從點(diǎn)P(10)到點(diǎn)Q(2-1)的方向的方向?qū)?shù).對(duì)于三元函數(shù)f(xyz)來說它在空間一點(diǎn)P0(x0y0z0)沿el(coscoscos)的方向?qū)?shù)為.如果函數(shù)f(xyz)在點(diǎn)(x0y0z0)可微分則函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向el(coscoscos的方向?qū)?shù)為fx(x0y0z0)cosfy(x0y0z0)cosfz(x0y0z0)cos例2求f(xyz)xyyzzx在點(diǎn)(112)沿方向l的方向?qū)?shù)其中l(wèi)的方向角分別為604560二.梯度設(shè)函數(shù)z=f(xy)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則對(duì)于每一點(diǎn)P0(x0y0)D都可確定一個(gè)向量fx(x0y0)ify(x0y0)j這向量稱為函數(shù)f(xy)在點(diǎn)P0(x0y0)的梯度記作gradf(x0y0)即gradf(x0y0)fx(x0y0)ify(x0y0)j梯度與方向?qū)?shù):如果函數(shù)f(xy)在點(diǎn)P0(x0y0)可微分el(coscos)是與方向l同方向的單位向量則=gradf(x0y0)el=|gradf(x0y0)|×cos(gradf(x0y0)^el).這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點(diǎn)的梯度與函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)間關(guān)系特別當(dāng)向量el與gradf(x0y0)的夾角0即沿梯度方向時(shí)方向?qū)?shù)取得最大值這個(gè)最大值就是梯度的模|gradf(x0y0)|這就是說函數(shù)在一點(diǎn)的梯度是個(gè)向量它的方向是函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)取得最大值的方向它的模就等于方向?qū)?shù)的最大值討論:的最大值;結(jié)論:函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致而它的模為方向?qū)?shù)的最大值.我們知道一般說來二元函數(shù)zf(xy)在幾何上表示一個(gè)曲面這曲面被平面zc(c是常數(shù))所截得的曲線L的方程為這條曲線L在xOy面上的投影是一條平面曲線L*它在xOy平面上的方程為f(xy)=c對(duì)于曲線L*上的一切點(diǎn)已給函數(shù)的函數(shù)值都是c所以我們稱平面曲線L*為函數(shù)z=f(xy)的等值線.若fxfy不同時(shí)為零則等值線f(xy)c上任一點(diǎn)P0(x0y0)處的一個(gè)單位法向量為這表明梯度gradf(x0y0)的方向與等值線上這點(diǎn)的一個(gè)法線方向相同而沿這個(gè)方向的方向?qū)?shù)就等于|gradf(x0y0)|于是這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點(diǎn)的梯度與過這點(diǎn)的等值線、方向?qū)?shù)間的關(guān)系這說是說函數(shù)在一點(diǎn)的梯度方向與等值線在這點(diǎn)的一個(gè)法線方向相同它的指向?yàn)閺臄?shù)值較低的等值線指向數(shù)值較高的等值線梯度的模就等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)梯度概念可以推廣到三元函數(shù)的情形.設(shè)函數(shù)f(xyz)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則對(duì)于每一點(diǎn)P0(x0y0z0)G都可定出一個(gè)向量fx(x0y0z0)ify(x0y0z0)jfz(x0y0z0)k這向量稱為函數(shù)f(xyz)在點(diǎn)P0(x0y0z0)的梯度記為gradf(x0y0z0)即gradf(x0y0z0)fx(x0y0z0)ify(x0y0z0)jfz(x0y0z0)k結(jié)論:三元函數(shù)的梯度也是這樣一個(gè)向量它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致而它的模為方向?qū)?shù)的最大值.如果引進(jìn)曲面f(xyz)=c為函數(shù)的等量面的概念則可得函數(shù)f(xyz)在點(diǎn)P0(x0y0z0)的梯度的方向與過點(diǎn)P0的等量面f(xyz)=c在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù).例3求.例4設(shè)f(xyz)=x2+y2+z2求gradf(1-12).數(shù)量場(chǎng)與向量場(chǎng):如果對(duì)于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點(diǎn)M都有一個(gè)確定的數(shù)量f(M)則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個(gè)數(shù)量場(chǎng)(例如溫度場(chǎng)、密度場(chǎng)等).一個(gè)數(shù)量場(chǎng)可用一個(gè)數(shù)量函數(shù)f(M)來確定如果與點(diǎn)M相對(duì)應(yīng)的是一個(gè)向量F(M)則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個(gè)向量場(chǎng)(例如力場(chǎng)、速度場(chǎng)等).一個(gè)向量場(chǎng)可用一個(gè)向量函數(shù)(M)來確定而F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k其中P(M)Q(M)R(M)是點(diǎn)M的數(shù)量函數(shù).利用場(chǎng)的概念我們可以說向量函數(shù)gradf(M)確定了一個(gè)向量場(chǎng)——梯度場(chǎng)它是由數(shù)量場(chǎng)f(M)產(chǎn)生的.通常稱函數(shù)f(M)為這個(gè)向量場(chǎng)的勢(shì)而這個(gè)向量場(chǎng)又稱為勢(shì)場(chǎng).必須注意任意一個(gè)向量場(chǎng)不一定是勢(shì)場(chǎng)因?yàn)樗灰欢ㄊ悄硞€(gè)數(shù)量函數(shù)的梯度場(chǎng).例5試求數(shù)量場(chǎng)所產(chǎn)生的梯度場(chǎng)其中常數(shù)m>0為原點(diǎn)O與點(diǎn)M(xyz)間的距離.解同理.從而.記它是與同方向的單位向量則.上式右端在力學(xué)上可解釋為位于原點(diǎn)O而質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)對(duì)位于點(diǎn)M而質(zhì)量為l的質(zhì)點(diǎn)的引力.這引力的大小與兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量的乘積成正比、而與它們的距平方成反比這引力的方向由點(diǎn)M指向原點(diǎn).因此數(shù)量場(chǎng)的勢(shì)場(chǎng)即梯度場(chǎng)grad稱為引力場(chǎng)而函數(shù)稱為引力勢(shì).§9.8多元函數(shù)的極值及其求法一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x0,y0)的點(diǎn)(x,y),都有f(x,y)<f(x0,y0)(或f(x,y)>f(x0,y0)),則稱函數(shù)在點(diǎn)(x0,y0)有極大值(或極小值)f(x0,y0)極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).例1函數(shù)z=3x2+4y2在點(diǎn)(0,0)處有極小值.當(dāng)(x,y)=(0,0)時(shí),z=0,而當(dāng)(x,y)(0,0)時(shí),z0.因此z=0是函數(shù)的極小值.例2函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處有極大值.當(dāng)(x,y)=(0,0)時(shí),z=0,而當(dāng)(x,y)(0,0)時(shí),z0.因此z=0是函數(shù)的極大值.例3函數(shù)z=xy在點(diǎn)(0,0)處既不取得極大值也不取得極小值.因?yàn)樵邳c(diǎn)(0,0)處的函數(shù)值為零,而在點(diǎn)(0,0)的任一鄰域內(nèi),總有使函數(shù)值為正的點(diǎn),也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn).以上關(guān)于二元函數(shù)的極值概念,可推廣到n元函數(shù).設(shè)n元函數(shù)u=f(P)在點(diǎn)P0的某一鄰域內(nèi)有定義,如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于P0的點(diǎn)P,都有f(P)<f(P0)(或f(P)>f(P0)),則稱函數(shù)f(P)在點(diǎn)P0有極大值(或極小值)f(P0).定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)具有偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)(x0,y0)處有極值,則有fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0.從幾何上看,這時(shí)如果曲面zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0,z0)處有切平面,則切平面zz0fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)成為平行于xOy坐標(biāo)面的平面zz0類似地可推得,如果三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x0,y0,z0)具有偏導(dǎo)數(shù),則它在點(diǎn)(x0,y0,z0)具有極值的必要條件為fx(x0,y0,z0)=0,fy(x0,y0,z0)=0,fz(x0,y0,z0)=0.仿照一元函數(shù),凡是能使fx(x,y)=0,fy(x,y)=0同時(shí)成立的點(diǎn)(x0,y0)稱為函數(shù)z=f(x,y)的駐點(diǎn).從定理1可知,具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn).但函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).例如,函數(shù)z=xy在點(diǎn)(0,0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都是零,函數(shù)在(0,0)既不取得極大值也不取得極小值.定理2(充分條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),又fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0,令fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C,則f(x,y)在(x0,y0)處是否取得極值的條件如下:(1)AC-B2>0時(shí)具有極值,且當(dāng)A<0時(shí)有極大值,當(dāng)A>0時(shí)有極小值;(2)AC-B2<0時(shí)沒有極值;(3)AC-B2=0時(shí)可能有極值,也可能沒有極值.在函數(shù)f(x,y)的駐點(diǎn)處如果fxx×fyy-fxy2>0,則函數(shù)具有極值,且當(dāng)fxx<0時(shí)有極大值,當(dāng)fxx>0時(shí)有極小值.極值的求法:第一步解方程組fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,求得一切實(shí)數(shù)解,即可得一切駐點(diǎn).第二步對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0,y0),求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B和C.第三步定出AC-B2的符號(hào),按定理2的結(jié)論判定f(x0,y0)是否是極值、是極大值還是極小值.例4求函數(shù)f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的極值.應(yīng)注意的問題:不是駐點(diǎn)也可能是極值點(diǎn),例如,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處有極大值,但(0,0)不是函數(shù)的駐點(diǎn).因此,在考慮函數(shù)的極值問題時(shí),除了考慮函數(shù)的駐點(diǎn)外,如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),那么對(duì)這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮.最大值和最小值問題:如果f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值.這種使函數(shù)取得最大值或最小值的點(diǎn)既可能在D的內(nèi)部,也可能在D的邊界上.我們假定,函數(shù)在D上連續(xù)、在D內(nèi)可微分且只有有限個(gè)駐點(diǎn),這時(shí)如果函數(shù)在D的內(nèi)部取得最大值(最小值),那么這個(gè)最大值(最小值)也是函數(shù)的極大值(極小值).因此,求最大值和最小值的一般方法是:將函數(shù)f(x,y)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.在通常遇到的實(shí)際問題中,如果根據(jù)問題的性質(zhì),知道函數(shù)f(x,y)的最大值(最小值)一定在D的內(nèi)部取得,而函數(shù)在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),那么可以肯定該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)f(x,y)在D上的最大值(最小值).例5某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為8m3的有蓋長(zhǎng)方體水箱.問當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取多少時(shí),才能使用料最省.從這個(gè)例子還可看出,在體積一定的長(zhǎng)方體中,以立方體的表面積為最小.例6有一寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板,把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽.問怎樣折法才能使斷面的面積最大二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法對(duì)自變量有附加條件的極值稱為條件極值.例如,求表面積為a2而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積問題.設(shè)長(zhǎng)方體的三棱的長(zhǎng)為x,y,z,則體積V=xyz.又因假定表面積為a2,所以自變量x,y,z還必須滿足附加條件2(xy+yz+xz)=a2.這個(gè)問題就是求函數(shù)V=xyz在條件2(xy+yz+xz)=a2下的最大值問題,這是一個(gè)條件極值問題.對(duì)于有些實(shí)際問題,可以把條件極值問題化為無條件極值問題.例如上述問題,由條件,解得,于是得V.只需求V的無條件極值問題.在很多情形下,將條件極值化為無條件極值并不容易.需要另一種求條件極值的專用方法,這就是拉格朗日乘數(shù)法.現(xiàn)在我們來尋求函數(shù)z=f(x,y)在條件(x,y)=0下取得極值的必要條件.如果函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)取得所求的極值,那么有(x0,y0