2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)高三上學(xué)期區(qū)中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)高三上學(xué)期區(qū)中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共10小題）1．在空間直角坐標系中，為直線l的一個方向向量，為平面的一個法向量，且，則（

）A．3 B．1 C．－3 D．－12．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則可能使的是（

）A． B．C． D．3．已知m，n是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）.A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則4．已知向量，單位向量滿足，則的夾角為（

）A． B． C． D．5．已知為兩個不同的平面，為兩條不同的直線，且平面平面，則是的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件6．在下列條件中，使點與點，，一定共面的是（

）A． B．C． D．7．在斜三棱柱中，，分別為側(cè)棱，上的點，且知，過，，的截面將三棱柱分成上下兩個部分體積之比為（

）A． B． C． D．8．在正四面體中，點，，分別為棱，，的中點，則異面直線，所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．9．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，在陽馬中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點，點G在線段AP上，AC與BD交于點O，，若平面，則（

）A． B． C． D．110．如圖，在邊長為3的正方體中，，點在底面正方形上移動（包含邊界），且滿足，則線段的長度的最大值為（

）

A． B． C． D．二、填空題（本大題共5小題）11．空間直角坐標系中，點關(guān)于平面的對稱點的坐標為．12．如圖：矩形的長為，寬為，是的中點，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則四邊形的周長為.

13．已知向量，若向量與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是.14．已知圓錐（為圓錐頂點，為底面圓心）的軸截面是邊長為的等邊三角形，，，為底面圓周上三點，空間一動點，滿足，則的最小值為．15．半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個正三角形和六個正方形構(gòu)成（如圖所示），若它的所有棱長都為，則正確的是①⊥平面；②該二十四等邊體的體積為；③該二十四等邊體外接球的表面積為；④與平面所成角的正弦值為.三、解答題（本大題共3小題）16．如圖，AB是圓柱的底面直徑且，是圓柱的母線且，點C是圓柱底面圓周上靠近點A的三等分點，點E在線段上．(1）求圓柱的表面積與體積；(2）求三棱錐的體積；(3）若D是的中點，求的最小值．17．如圖，正方體的棱長為，為的中點，點在上.再從下列三個條件中選擇一個作為已知，使點唯一確定，并解答問題.條件①：；條件②：；條件③：平面.(1）求證：為的中點；(2）求點到平面的距離.(3）求直線與平面所成角的大??；18．如圖，在四棱錐中，平面，且，為的外心，，.(1）求證：平面；(2）若點在線段（不含端點）上運動，設(shè)平面面，當(dāng)直線與平面所成角取最大值時，求二面角的正弦值.

答案1．【正確答案】C【分析】由得到與垂直，進而得到方程，求出答案.【詳解】因為，所以與垂直，故，解得.故選：C.2．【正確答案】D【詳解】直線的方向向量為，平面的法向量為，若可能，則，即.A選項，；B選項，；C選項，；D選項，；故選：D3．【正確答案】D【詳解】A：，，則或，錯誤；B：，，則或，錯誤；C：，，則相交或平行，錯誤；D：，，則，又，故，正確.故選：D4．【正確答案】C【詳解】因為，所以.又，所以，即，所以，則.所以.又，所以.故選：C.5．【正確答案】D【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】如圖所示：滿足，而相交，故不充分；滿足則，但異面，故不必要.故選D.6．【正確答案】C【詳解】D選項中，，結(jié)合共面定理的推論，且ABD三個選項的系數(shù)和不為，所以不共面．C選項可化為：即，系數(shù)和為．故選：C．7．【正確答案】A【詳解】設(shè)三棱柱的體積為側(cè)棱和上各有一動點，滿足，四邊形與四邊形的面積相等.故四棱錐的體積等于三棱錐的體積等于.則四棱錐的體積等于.故過，，三點的截面把棱柱分成兩部分，則其體積比為故選.

8．【正確答案】A【詳解】連接，設(shè)正四面體的棱長為2，因為分別為的中點，則//，所以異面直線，所成角為（或其補角），在中，則，由余弦定理可得，所以異面直線，所成角的余弦值為.故選：A.

9．【正確答案】C【詳解】以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系如圖所示，由題意可得，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則所以平面的一個法向量為因為平面，則設(shè)，則，所以解得，所以，即故選:C.10．【正確答案】B【詳解】

依據(jù)題意可以建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設(shè)，所以，即，所以，而，由二次函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時，，則.故選：B11．【正確答案】【詳解】點關(guān)于平面的對稱點的坐標為.12．【正確答案】20【詳解】由斜二測畫法知：與軸平行或重合的線段其長度不變、與橫軸平行的性質(zhì)不變；與軸平行或重合的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄遗c軸平行的性質(zhì)不變.還原出原圖形如圖所示的平行四邊形，

其中cm，cm，cm，所以原圖形的周長為cm.故2013．【正確答案】且【詳解】因為，所以，，因為向量與的夾角為銳角，所以，解得，當(dāng)時，，解得，所以實數(shù)的取值范圍為且.故且.14．【正確答案】【分析】根據(jù)空間向量基本定理可判斷，，共面，又平面，所以.【詳解】因為，所以，，所以，，共面，又，，為底面圓周上三點，所以點為平面上一點，由已知平面，所以，又圓錐的軸截面是邊長為的等邊三角形，所以，所以的最小值為.15．【正確答案】②③④【詳解】將幾何體補成正方體，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系.對于①，，，，，，，則，A錯；對于②，該二十四等邊體是在正方體上截去個全等的三棱錐而成，且三棱錐的底面是腰長為的等腰直角三角形，三棱錐的高為，故該二十四等邊體的體積為，②對；對于③，易知正方體的中心為該二十四等邊體外接球的球心，且該球的半徑為，因此，該二十四等邊體外接球的表面積為，③對；對于④，易知平面的一個法向量為，，，，，故與平面所成角的正弦值為，④對.故②③④.16．【正確答案】(1）表面積，體積(2）(3）【詳解】（1）圓柱的底面直徑，故半徑，且高，可得圓柱的表面積為，圓柱的體積為．（2）因為點是圓柱底面圓周上靠近點的三等分點，且，而為直角三角形，從而，得，，所以．（3）解：將平面繞旋轉(zhuǎn)到和平面共面，此時點在的延長線上，設(shè)為點，可得，即當(dāng)三點共線時，取最小值，由題意，，所以，故的最小值為．17．【正確答案】(1）選擇條件②或③，證明見解析；(2）；(3）.【詳解】（1）選條件①，，由正方體的對稱性，知點可為上的任意一點，不唯一.選條件②，，連接，在正方體中，由平面，平面，得，又，，則，而平面，于是，又為的中點，所以為的中點.選擇條件③：平面，連接，平面，平面平面，則，而為的中點，所以為的中點．（2）在正方體中，直線兩兩互相垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，所以點到平面的距離.（3）由（2）知，平面的法向量，，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的大小為.18．【正確答案】(1）證明見解析(2）【詳解】（1）如圖下所示，連接，因為為的外心，所以，又因為，所以，所以，所以均為等邊三角形，所以，所以四邊形為菱形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）記，因為，平面，平面，所以平面，又因為平面面，平面，所以，如下圖所