傳染病動力學(xué)研究

傳染病動力學(xué)研究傳染病動力學(xué)研究1.

引言醫(yī)學(xué)的發(fā)展已經(jīng)能夠有效地預(yù)防和控制許多傳染病，天花在世界范圍內(nèi)被消滅，鼠疫、霍亂等傳染病得到控制。但是仍然有一些傳染病暴發(fā)或流行，危害人們的健康和生命。有些傳染病傳染很快，導(dǎo)致很高的致殘率，危害極大，因而對傳染病在人群中傳染過程的研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。SIS模型，患病后可以治愈，恢復(fù)者不具有免疫力[13]GaoLQ，HETHCOTEHW：DiseaseTransmissionModelswithDensity—DependentDemographics[J]．Math．Bi01．，1992，30：717—731．[6]ZhangTL,LiuJL,TengZD.Chaos,solution&Fractals,2009,40(2):563-576.Hethcote(1994-2000)[30-31]對傳染病系統(tǒng)研究目前已取得許多成果進(jìn)行了系統(tǒng)的總結(jié)，詳細(xì)闡述了傳染病的建模思想。在此基礎(chǔ)上，建立了模型的閾值參數(shù)和證明了種群總數(shù)與染病者總數(shù)的增減分別由參數(shù)和控制。針對急慢性兩種情況分別得到了相應(yīng)模型的平衡點(diǎn)，證明了無病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性，運(yùn)用一種幾何方法給出了地方病平衡點(diǎn)的存在性和全局漸近穩(wěn)定性的充分條件，最后進(jìn)行數(shù)值模擬以驗(yàn)證所得結(jié)論。SIS模型，患病后可以治愈，恢復(fù)者不具有免疫力[28]徐文雄，張?zhí)祝活惙蔷€性SEIRS流行病傳播數(shù)學(xué)模型[J]．西北大學(xué)學(xué)報，2003，34(6)：627—630．一類具有非線性傳染率的階段結(jié)構(gòu)SI模型[J].[22]MICHAELYLI，JOHNR．GlobalDynamicofSEIRModelwithVaryingTotalPopulmionSize[J]．Math．Biosci．1999，160：191—213．疾病有潛伏期的傳染病模型的發(fā)展在存在免疫抗體情況下,相應(yīng)可建立以下動力學(xué)模型:SIR模型，患病者治愈后獲得終身免疫力；[6]ZhangTL,LiuJL,TengZD.在此基礎(chǔ)上，建立了模型的閾值參數(shù)和證明了種群總數(shù)與染病者總數(shù)的增減分別由參數(shù)和控制。目前，傳染病的研究方法主要有四種：描述性研究、分析性研究、實(shí)驗(yàn)性研究和理論性研究。傳染病動力學(xué)是進(jìn)行理論性定量研究的一種重要方法。在傳染病動力學(xué)研究中數(shù)學(xué)模型起著極其重要的作用，它把傳染病的主要特征通過假設(shè)、參數(shù)、變量和它們之間的聯(lián)系清晰的揭示出來。利用動力學(xué)的方法建立數(shù)學(xué)模型可以來研究某種傳染病在某一地區(qū)是否會蔓延持續(xù)下去而成為本地區(qū)的“地方病”或者這種傳染病終將消除。數(shù)學(xué)模型的分析結(jié)果能提供許多強(qiáng)有力的理論基礎(chǔ)和概念，用數(shù)學(xué)模型發(fā)現(xiàn)傳染病的傳播機(jī)理，預(yù)測傳染病的流行趨勢已成為共識。影響傳染病傳播的因素很多，而最直接的因素是：傳染者的數(shù)量及其在人群中的分布、被傳染者的數(shù)量、傳播形式、傳播能力、免疫能力等，在建立模型時不可能考慮所有因素，只能抓住關(guān)鍵的因素，采用合理的假設(shè)，進(jìn)行簡化。傳染病若無潛伏期，我們把傳染病流行范圍內(nèi)的人群分成三類：S類，易感者（Susceptible），指未得病者，但缺乏免疫能力，與感病者接觸后容易受到感染；I類，感病者（Infective），指染上傳染病的人，它可以傳播給S類成員；R類，移出者（Removal），指被隔離，或因病愈而具有免疫力的人。在不存在免疫抗體情況下,相應(yīng)可建立以下動力學(xué)模型：SI模型，患病后難以治愈；SIS模型，患病后可以治愈，恢復(fù)者不具有免疫力在存在免疫抗體情況下,相應(yīng)可建立以下動力學(xué)模型:SIR模型，患病者治愈后獲得終身免疫力；SIRS模型，病人康復(fù)后只有暫時免疫力。若傳染病有潛伏期，在三類人群中增加一類，感染而未發(fā)病者（Exposed),可在SIR或SIRS模型的基礎(chǔ)上得到更復(fù)雜的SEIS、SEIR或SEIRS模型?，F(xiàn)根據(jù)這三種劃分方式來進(jìn)行文獻(xiàn)綜述2.1不存在免疫抗體情況下的傳染病模型研究鄧麗麗等（2004）[1]討論了一類具有非線性傳染力的階段結(jié)構(gòu)SI傳染病模型，確定了各類平衡點(diǎn)存在的閾值條件，得到了各類平衡點(diǎn)局部穩(wěn)定和全局穩(wěn)定的條件。石磊等（2008）[2]對一種具有種群動力和非線性傳染率的傳染病模型進(jìn)行了研究，建立了具有常數(shù)遷入率和非線性傳染率的SI模型。與以往的具有非線性傳染率的傳染病模型相比，這種模型引入了種群動力，也就是種群的，總數(shù)不再為常數(shù)，因此，該類模型更精確地描述了傳染病傳播的規(guī)律。PeiYZ等（2009）[3]在[1]的基礎(chǔ)上加入了脈沖延遲，并將傳染率系數(shù)設(shè)為隨時間改變的變量，演示了研究SI模型的新方法。2.

文獻(xiàn)綜述勾清明（2007）[4]通過引入比例變量建立了一個具有階段結(jié)構(gòu)和標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的SIS流行病模型，得到了模型的闞值參數(shù)R。證明了模型的全局性態(tài)完全由

確定。在此基礎(chǔ)上，建立了模型的閾值參數(shù)

和

證明了種群總數(shù)與染病者總數(shù)的增減分別由參數(shù)

和

控制。成小偉，胡志興（2008）[5]研究了具有常數(shù)移民以及具有急性和慢性兩個階段的SIS傳染病模型。針對急慢性兩種情況分別得到了相應(yīng)模型的平衡點(diǎn)，證明了無病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性，運(yùn)用一種幾何方法給出了地方病平衡點(diǎn)的存在性和全局漸近穩(wěn)定性的充分條件，最后進(jìn)行數(shù)值模擬以驗(yàn)證所得結(jié)論。ZhangTL(2009)[6]、[7]分別討論了具有延遲階段結(jié)構(gòu)的SIS模型以及具有非線性發(fā)生率的SIS模型無病平衡點(diǎn)的存在性和Hopf分叉點(diǎn)。XueZL（2009）[8]討論了應(yīng)急資源有限情況下，SIS模型無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分岔點(diǎn)。2.2存在免疫抗體情況下的傳染病模型Kermack和McKendrick（1926）[9]為了研究1665--1666年黑死病在倫敦的流行規(guī)律以及1906年瘟疫在孟買的流行規(guī)律，他們把人口分為易感者、染病者和恢復(fù)者三大類，利用動力學(xué)方法建立了著名的SIR倉室模型。ZhouJ（1994-1995）[10-12],ZhangJuan等（2004）[11]，

GaoLQ等（1992）[13],LIJIANQUAN等（2004）[14]在SIR模型的基礎(chǔ)上考慮不同的感染方式，對病人的隔離，因接種而獲得的免疫力以及免疫力的逐漸喪失，是否可以忽略因病死亡率，種群自身增長規(guī)律，不同種群之間的交叉感染等因素，構(gòu)成了豐富多彩的傳染病動力學(xué)模型。H．W．Hethcote等（2004-2005）[15-16]對模型的理論研究主要集中在疾病的持續(xù)生存及平衡位置特別是導(dǎo)致地方病平衡點(diǎn)的平衡位置和周期解的存在性和穩(wěn)定性，再生數(shù)及分支點(diǎn)的尋找等動力學(xué)性態(tài)。BUSENBERGS，WANDENDRIESSCHEP（1990）[17]研究了免疫力的逐漸喪失的問題。該文研究了具有標(biāo)準(zhǔn)傳染率，種群指數(shù)增長的SIRS模型，利用了穩(wěn)定性理論得到了各類平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。Hethcote，Mena-Lorca（1992）[18]分別研究了具有常數(shù)輸入且具有指數(shù)出生和死亡，傳染率分別是雙線性的，標(biāo)準(zhǔn)的和飽和傳染率的五類SIRS模型。李健全等(2004)[19]研究了具有常數(shù)輸入和Logistic出生的一般形式接觸率的SIR模型，利用極限方程理論和構(gòu)造了Liapunov函數(shù)得到了各類平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。陳軍杰（2004）[20]研究了一類具有常數(shù)遷入且總?cè)丝谧兓腟IRI模型，利用Routh．Hurwitz判別法和構(gòu)造Liapunov函數(shù)得到了地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和無病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性，并考慮傳染率分別是雙線性和標(biāo)準(zhǔn)時，通過構(gòu)造Liapunov函數(shù)得到了地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。2.3.疾病有潛伏期的傳染病模型的發(fā)展MichaelYLi，Muldowney(1995)[21]研究了具有非線性傳染率的SEIR模型，構(gòu)造Liapunov函數(shù)及利用復(fù)合矩陣?yán)碚撟C明了各類平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。MichaelYLi(1999)[22]研究了具有指數(shù)出生、死亡和標(biāo)準(zhǔn)的傳染率SEIR模型，通過構(gòu)造Liapunov函數(shù)及利用復(fù)合矩陣?yán)碚撟C明了各類平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。FanMeng．WangKe(2001)[23]研究了具有常數(shù)輸入和雙線性的傳染率SEIS模型，也用類似的方法證明了各類平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。MICHAELYLI（2001）[24]認(rèn)為潛伏者和染病者所生嬰兒都會攜帶病毒但不會立即發(fā)病，建立了具常數(shù)輸入、雙線性傳染率且潛伏者和染病者有不同程度的垂直傳染力的SEIR模型，給出了所建模型的全局動力學(xué)性態(tài)。劉爍等（2007)[25]研究了一類帶有非線性傳染率的SEIR傳染病模型，通過構(gòu)造Liapunov函數(shù)得到了無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。剛毅（2009）[26]根據(jù)流行病不同階段的特征,建立了易感者類具有常數(shù)輸入的SEIR和SEIS組合傳染病模型,然后采用Liapunov函數(shù)

和復(fù)合矩陣?yán)碚撟C明了具有常數(shù)輸入的SEIR和SEIS組合傳染病模型的平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性.現(xiàn)根據(jù)這三種劃分方式來進(jìn)行文獻(xiàn)綜述2004，25(4)：396—404．傳染病動力學(xué)是進(jìn)行理論性定量研究的一種重要方法。Chaos,solution&Fractals,2009,40(3):1091-1099.傳染病動力學(xué)是進(jìn)行理論性定量研究的一種重要方法。[25]劉爍，李建全，王拉娣．一類帶有非線性傳染率的SEIR傳染病模型的全局分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識，2007，37(23)：54-59．在存在免疫抗體情況下,相應(yīng)可建立以下動力學(xué)模型:SIR模型，患病者治愈后獲得終身免疫力；影響傳染病傳播的因素很多，而最直接的因素是：傳染者的數(shù)量及其在人群中的分布、被傳染者的數(shù)量、傳播形式、傳播能力、免疫能力等，在建立模型時不可能考慮所有因素，只能抓住關(guān)鍵的因素，采用合理的假設(shè)，進(jìn)行簡化。醫(yī)學(xué)的發(fā)展已經(jīng)能夠有效地預(yù)防和控制許多傳染病，天花在世界范圍內(nèi)被消滅，鼠疫、霍亂等傳染病得到控制。原三領(lǐng)等(2001)[27]研究了具有雙線性傳染率且潛伏期也具有傳染力，但不考慮因病死亡的傳染病模型，利用Routh-Hurwitz判別法和構(gòu)造Liapunov函數(shù)得到了地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和無病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。[15]GABRIELAM，GoMESM，LISAJ．Infection，Reinfection，andVaccinationunderSuboptimalImmuneProtection：Epide-miologicalPerspectives[J]．Theor．Bi01．2004，228：539-549．[26]剛毅，王蓮花.SIRS模型，病人康復(fù)后只有暫時免疫力。在此基礎(chǔ)上，建立了模型的閾值參數(shù)和證明了種群總數(shù)與染病者總數(shù)的增減分別由參數(shù)和控制。AppliedMathMech.對于有些疾病在流行期間，它不僅在染病期傳染，而且在潛伏期也傳染，也就是說：一個易感者一旦被感染上病毒，在未發(fā)病之前(即潛伏期)就對外具有傳染性。原三領(lǐng)等(2001)[27]研究了具有雙線性傳染率且潛伏期也具有傳染力，但不考慮因病死亡的傳染病模型，利用Routh-Hurwitz判別法和構(gòu)造Liapunov函數(shù)得到了地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和無病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。徐文雄等(2004)[28]研究了具有飽和接觸率且潛伏期也具有傳染力，并考慮因病死亡的傳染病模型，利用Routh—Hurwitz判別法和構(gòu)造Liapunov函數(shù)得到了地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和無病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。張彤等(2006)[29]研究了具有非線性接觸率潛伏期也具有傳染力的傳染病模型，利用Routh—Hurwitz判別法和構(gòu)造Liapunov函數(shù)得到了地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和無病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性，以及隨著參數(shù)的變化，模型會發(fā)生Hopf分支，流行病會出現(xiàn)穩(wěn)定的周期振蕩現(xiàn)象.Hethcote(1994-2000)[30-31]對傳染病系統(tǒng)研究目前已取得許多成果進(jìn)行了系統(tǒng)的總結(jié)，詳細(xì)闡述了傳染病的建模思想。[1]鄭麗麗，王豪，方勤華.一類具有非線性傳染率的階段結(jié)構(gòu)SI模型[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2004,34（8）：128-135.[2]石磊，俞軍，姚洪興.具有常數(shù)遷入率和非線性傳染率

的SI模型分析[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報A輯，2008,23（1），7-12.[3]PeiYZ,LiuSY,LiCG,ChenLS.ThedynamicsofanimpulsivedelaySImodelwithvariablecoefficients[J].AppliedMathematicalModeling,2009,33(6):2766-2776.[4]勾清明.一類具有階段結(jié)構(gòu)和標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的SIS模型[J].西南大學(xué)學(xué)報，2007,29（9）：6-13.[5]成小偉，胡志興.具有常數(shù)移民和急慢性階段的SIS模型的研究[J].北京工商大學(xué)學(xué)報，2008,26（1）：75-79.3.

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