2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.4.3單位圓與正弦函數(shù)余弦函數(shù)的基本性質(zhì)1.4.4單位圓的對稱性與誘導(dǎo)公式學(xué)案含解析北師大版必修4

PAGE4．3單位圓與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)4．4單位圓的對稱性與誘導(dǎo)公式學(xué)問點一正弦線與利用單位圓看y＝sinx性質(zhì)[填一填]1．依據(jù)單位圓理解正弦函數(shù)y＝sinx的性質(zhì)(1)定義域是全體實數(shù)；(2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1,1]；(3)它是周期函數(shù)，其最小正周期是2π；(4)在[0,2π]上的單調(diào)性：在[0，eq\f(π,2)]上是增加的；在[eq\f(π,2)，π]上是削減的；在[π，eq\f(3π,2)]上是削減的；在[eq\f(3π,2)，2π]上是增加的．2．正弦線如圖所示，角α的終邊與單位圓交于點P，過點P作x軸的垂線PM，垂足為M.線段MP叫作角α的正弦線．當(dāng)角α的終邊在x軸上時，M與P重合，此時正弦線變成一個點．[答一答]1．正弦線的長度等于y＝sinx的函數(shù)值嗎？提示：不等于，正弦線的長度等于y＝sinx的函數(shù)值的肯定值．學(xué)問點二余弦線與利用單位圓看y＝cosx性質(zhì)[填一填]3．依據(jù)單位圓理解余弦函數(shù)y＝cosx性質(zhì)(1)定義域是全體實數(shù)；(2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1,1]；(3)它是周期函數(shù)，其最小正周期是2π；(4)在[0,2π]上的單調(diào)性：在[0，eq\f(π,2)]上是削減的；在[eq\f(π,2)，π]上是削減的；在[π，eq\f(3,2)π]上是增加的；在[eq\f(3,2)π，2π]上是增加的．4．余弦線如圖所示，角α的終邊與單位圓交于點P，過點P作x軸的垂線PM，垂足為M.線段OM叫做α的余弦線．與角α的終邊在y軸上時，M與O重合，此時余弦線變成一個點．[答一答]2．余弦線的長度等于y＝cosx的函數(shù)值嗎？提示：不等于，余弦線的長度等于y＝cosx的函數(shù)值的肯定值．學(xué)問點三誘導(dǎo)公式[填一填]5．誘導(dǎo)公式(函數(shù)名稱不變)sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα.sin(2π－α)＝－sinα，cos(2π－α)＝cosα.sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα.sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα.文字概括：－α，2π－α，π±α的正弦(余弦)函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號．6．誘導(dǎo)公式(函數(shù)名稱變更)sin(eq\f(π,2)＋α)＝cosα，cos(eq\f(π,2)＋α)＝－sinα.sin(eq\f(π,2)－α)＝cosα，cos(eq\f(π,2)－α)＝sinα.文字概括：eq\f(π,2)±α的正弦(余弦)函數(shù)值，分別等于α的余弦(正弦)函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號．[答一答]3．怎樣記憶七組誘導(dǎo)公式？提示：這七組誘導(dǎo)公式可以統(tǒng)一用口訣“奇變偶不變，符號看象限”來記憶，即k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)的三角函數(shù)值，當(dāng)k為偶數(shù)時，得α的同名三角函數(shù)值；當(dāng)k為奇數(shù)時，得α的余名三角函數(shù)值，然后前面加上一個把α看成銳角時原三角函數(shù)值的符號，口訣中的“奇”和“偶”指k的奇偶性．例如，sin(eq\f(11π,2)＋α)，因為eq\f(11π,2)中的k＝11是奇數(shù)，且把α看成銳角時，eq\f(11π,2)＋α是第四象限角，第四象限角的正弦函數(shù)值是負(fù)數(shù)，所以sin(eq\f(11π,2)＋α)＝－cosα.1．誘導(dǎo)公式的實質(zhì)誘導(dǎo)公式揭示了終邊具有某種對稱關(guān)系的兩個角的三角函數(shù)之間的關(guān)系．換句話說，誘導(dǎo)公式實質(zhì)是將終邊對稱的圖形關(guān)系“翻譯”成三角函數(shù)之間的代數(shù)關(guān)系．2．解讀誘導(dǎo)公式(－α)(1)主要應(yīng)用是把負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角，這也是我們在化簡角時常用的一個策略．(2)角α與角－α關(guān)于x軸對稱．3．解讀誘導(dǎo)公式(2π－α)(1)由三角函數(shù)的定義知，三角函數(shù)值由角終邊的位置確定，故終邊相同的角肯定有相同的三角函數(shù)值．(2)角α的終邊每繞原點旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn)，體現(xiàn)了三角函數(shù)特有的“周而復(fù)始”的變更規(guī)律．4．解讀誘導(dǎo)公式(π＋α，π－α)(1)角α與α＋(2k＋1)π(k∈Z)兩角的終邊在同一條直線上，關(guān)于原點對稱，故兩角的正弦值與余弦值分別是互為相反數(shù)的．(2)可以把隨意角的三角函數(shù)求值問題進(jìn)一步縮小為[0，eq\f(π,2)]內(nèi)的角的三角函數(shù)求值問題．5．解讀誘導(dǎo)公式(eq\f(π,2)＋α，eq\f(π,2)－α)誘導(dǎo)公式(eq\f(π,2)＋α，eq\f(π,2)－α)不同于前面的四個誘導(dǎo)公式，緣由是等號左右兩邊的函數(shù)名稱發(fā)生了變更，正弦變成余弦，同樣余弦也變成正弦，其他規(guī)則不變．類型一正、余弦函數(shù)的定義域、值域、最值【例1】(1)函數(shù)y＝sineq\f(x,3)的定義域是()A．R B．[－1,1]C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D．[－3,3](2)函數(shù)y＝2cosx＋eq\f(1,2)的值域是()A．[－1,1] B．[－2,2]C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2))) D．R【解析】(1)∵y＝sinx的定義域是R，即eq\f(x,3)∈R，∴x∈R.(2)由y＝cosx的值域是[－1,1]，得－2≤2cosx≤2，∴－eq\f(3,2)≤2cosx＋eq\f(1,2)≤eq\f(5,2).∴該函數(shù)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2))).【答案】(1)A(2)C(1)函數(shù)y＝eq\f(1,sinx－1)的定義域是{x|x∈R，且x≠2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}．(2)函數(shù)y＝2cosx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))的最大值是1；最小值是－1.解析：(1)∵sinx≠1，∴函數(shù)定義域為{x|x∈R，且x≠2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}．(2)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))時，cosx∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，∴y＝2cosx的最大值是1，最小值為－1.類型二正、余弦函數(shù)的單調(diào)性【例2】函數(shù)y＝－eq\f(2,3)cosx，x∈(0,2π)，其單調(diào)性是()A．在(0，π)上是增加的，在[π，2π)上是削減的B．在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))上是增加的，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上是削減的C．在[π，2π)上是增加的，在(0，π)上是削減的D．在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上是增加的，在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))上是削減的【解析】∵y＝cosx在(0，π)是單調(diào)遞減函數(shù)，在[π，2π)上是單調(diào)遞增函數(shù)．∴y＝－eq\f(2,3)cosx在(0，π)是單調(diào)遞增函數(shù)，在[π，2π)上是單調(diào)遞減函數(shù)，A成立．【答案】A規(guī)律方法函數(shù)y＝Asinx＋B或y＝Acosx＋B型函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)常利用y＝sinx與y＝cosx的單調(diào)性解決．但要留意A>0，A<0狀況的探討．函數(shù)y＝eq\r(3)sinx的定義域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，值域是[a，b]，則b－a＝eq\f(\r(3),2).解析：y＝eq\r(3)sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上是增函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,6)))上是減函數(shù)，所以y∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\r(3))).所以b＝eq\r(3)，a＝eq\f(\r(3),2)，b－a＝eq\f(\r(3),2).類型三利用誘導(dǎo)公式求值【例3】(1)求sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)的值；(2)計算：coseq\f(π,7)＋coseq\f(2π,7)＋coseq\f(3π,7)＋coseq\f(4π,7)＋coseq\f(5π,7)＋coseq\f(6π,7).【思路探究】(1)留意視察角，將角化為360°·k＋α，180°±α，360°－α等形式后，再利用誘導(dǎo)公式求解．(2)依據(jù)兩互補角的余弦值互為相反數(shù)求解．【解】(1)原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝1.(2)原式＝(coseq\f(π,7)＋coseq\f(6π,7))＋(coseq\f(2π,7)＋coseq\f(5π,7))＋(coseq\f(3π,7)＋coseq\f(4π,7))＝[coseq\f(π,7)＋cos(π－eq\f(π,7))]＋[coseq\f(2π,7)＋cos(π－eq\f(2π,7))]＋[coseq\f(3π,7)＋cos(π－eq\f(3π,7))]＝(coseq\f(π,7)－coseq\f(π,7))＋(coseq\f(2π,7)－coseq\f(2π,7))＋(coseq\f(3π,7)－coseq\f(3π,7))＝0.規(guī)律方法本題第(1)問主要考查誘導(dǎo)公式，可先將負(fù)角化為正角，再化為0°～360°的角，最終化為銳角求值．對本題第(2)問進(jìn)行推廣，可以得到下面規(guī)律：coseq\f(π,n)＋coseq\f(2π,n)＋…＋coseq\f(n－2π,n)＋coseq\f(n－1π,n)＝[coseq\f(π,n)＋coseq\f(n－1π,n)]＋[coseq\f(2π,n)＋coseq\f(n－2π,n)]＋…＝0(n∈N＋)．求coseq\f(7,3)π＋sineq\f(7,4)π－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,6)π))的值．解：coseq\f(7,3)π＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).sineq\f(7,4)π＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,4)))＝－sineq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),2).coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,6)π))＝coseq\f(17π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(5π,6)))＝coseq\f(5π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).所以coseq\f(7,3)π＋sineq\f(7,4)π－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,6)π))＝eq\f(1＋\r(3)－\r(2),2).類型四利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡【例4】設(shè)k為整數(shù)，化簡：eq\f(sinkπ－αcos[k－1π－α],sin[k＋1π＋α]coskπ＋α).【思路探究】求解本題時，可以將整數(shù)k分為奇數(shù)、偶數(shù)兩種狀況進(jìn)行探討；也可以依據(jù)(kπ＋α)＋(kπ－α)＝2kπ，[(k－1)π－α]＋[(k＋1)π＋α]＝2kπ并結(jié)合誘導(dǎo)公式將題目中的角均轉(zhuǎn)化為kπ＋α；也可以干脆利用公式進(jìn)行化簡．【解】方法1：當(dāng)k為偶數(shù)時，設(shè)k＝2m(m∈Z)，則原式＝eq\f(sin2mπ－αcos[2m－1π－α],sin[2m＋1π＋α]cos2mπ＋α)＝eq\f(sin－αcosπ＋α,sinπ＋αcosα)＝eq\f(－sinα－cosα,－sinαcosα)＝－1.當(dāng)k為奇數(shù)時，設(shè)k＝2m＋1(m∈Z)，則原式＝eq\f(sin[2m＋1π－α]cos2mπ－α,sin[2m＋2π＋α]cos[2m＋1π＋α])＝eq\f(sinπ－αcos－α,sinαcosπ＋α)＝eq\f(sinαcosα,sinα－cosα)＝－1.綜上可得，原式＝－1.方法2：由(kπ＋α)＋(kπ－α)＝2kπ，[(k－1)π－α]＋[(k＋1)π＋α]＝2kπ，得sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)，cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)．又sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，故原式＝eq\f(－sinkπ＋α[－coskπ＋α],[－sinkπ＋α]coskπ＋α)＝－1.方法3：原式＝eq\f(－1k－1sinα·－1k－1cosα,－1k＋1sinα·－1kcosα)＝－1.規(guī)律方法三角函數(shù)式的化簡是對式子進(jìn)行某種變形以清楚地顯示式子中全部項之間的關(guān)系，其變形過程就是統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)名稱的過程，所以對式子變形時，一方面要留意角與角之間的關(guān)系，另一方面要依據(jù)不同的變形目的，對公式進(jìn)行合理選擇．化簡的基本要求是：(1)能求出值的求出值；(2)使三角函數(shù)名稱盡量少；(3)使項數(shù)盡量少；(4)使次數(shù)盡量低；(5)使分母盡量不含三角函數(shù)；(6)使被開方數(shù)(式)盡量不含三角函數(shù)．化簡：eq\f(sinθ－5π,cos3π－θ)·eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ)),sinθ－3π)·eq\f(cos8π－θ,sin－θ－4π).解：原式＝eq\f(－sin5π－θ,cosπ－θ)·eq\f(sinθ,－sin3π－θ)·eq\f(cosθ,－sin4π＋θ)＝eq\f(－sinπ－θ,－cosθ)·eq\f(sinθ,－sinπ－θ)·eq\f(cosθ,－sinθ)＝eq\f(－sinθ,－cosθ)·eq\f(sinθ,－sinθ)·eq\f(cosθ,－sinθ)＝1.——易錯警示——應(yīng)用誘導(dǎo)公式時忽視對參數(shù)的探討致誤【例5】化簡：eq\f(sinα＋nπ＋sinα－nπ,sinα＋nπcosα－nπ)(n∈Z)＝________.【錯解】eq\f(2,cosα)(或－eq\f(2,cosα))【正解】當(dāng)n為偶數(shù)時①，設(shè)n＝2k，k∈Z，原式＝eq\f(sinα＋2kπ＋sinα－2kπ,sinα＋2kπcosα－2kπ)＝eq\f(2,cosα)；當(dāng)n為奇數(shù)時②，設(shè)n＝2k＋1，k∈Z，原式＝eq\f(sin[α＋2k＋1π]＋sin[α－2k＋1π],sin[α＋2k＋1π]cos[α－2k＋1π])＝－eq\f(2,cosα).【錯解分析】忽視①②處對n為奇數(shù)或n為偶數(shù)的探討，只作為一種狀況求解，而導(dǎo)致答案錯誤．【答案】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,cosα)，n為偶數(shù)，,－\f(2,cosα)，n為奇數(shù)))【防范措施】分類探討意識在處理含參數(shù)的式子時，經(jīng)常要對參數(shù)進(jìn)行探討，有時是對參數(shù)的正負(fù)的探討，有時是對參數(shù)的奇偶的探討，要視題目而定，如本例中，因誘導(dǎo)公式中角α＋2kπ與角α＋(2k＋1)π的公式不同，所以要對n的奇偶分狀況探討．化簡：sin(eq\f(4n－1,4)π－α)＋cos(eq\f(4n＋1,4)π－α)(n∈Z)．解：方法1：當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n＝2k，k∈Z，原式＝sin[2kπ－(eq\f(π,4)＋α)]＋cos[2kπ＋(eq\f(π,4)－α)]＝sin[－(eq\f(π,4)＋α)]＋cos(eq\f(π,4)－α)＝－sin(eq\f(π,4)＋α)＋cos[eq\f(π,2)－(eq\f(π,4)＋α)]＝－sin(eq\f(π,4)＋α)＋sin(eq\f(π,4)＋α)＝0；當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)n＝2k＋1，k∈Z，原式＝sin[(2k＋1)π－(eq\f(π,4)＋α)]＋cos[(2k＋1)π＋(eq\f(π,4)－α)]＝sin(eq\f(π,2)＋eq\f(π,4)－α)＋cos(π＋eq\f(π,4)－α)＝cos(eq\f(π,4)－α)－cos(eq\f(π,4)－α)＝0.綜上可知，原式＝0.方法2：因為eq\f(4n＋1,4)π－α＝eq\f(π,2)＋(eq\f(4n－1,4)π－α)，所以sin(eq\f(4n－1,4)π－α)＋cos(eq\f(4n＋1,4)π－α)＝sin(eq\f(4n－1,4)π－α)＋cos[eq\f(π,2)＋(eq\f(4n－1,4)π－α)]＝sin(eq\f(4n－1,4)π－α)－sin(eq\f(4n－1,4)π－α)＝0.方法3：原式＝sin[nπ－(eq\f(π,4)＋α)]＋cos[nπ＋(eq\f(π,4)－α)]＝(－1)n－1sin(eq\f(π,4)＋α)＋(－1)ncos(eq\f(π,4)－α)＝(－1)n－1sin(eq\f(π,4)＋α)＋(－1)ncos[eq\f(π,2)－(eq\f(π,4)＋α)]＝(－1)n－1·sin(eq\f(π,4)＋α)＋(－1)nsin(eq\f(π,4)＋α)＝0.一、選擇題1．函數(shù)y＝2cosx＋1的最小正周期為(C)A．π B．2π＋1C．2π D.eq\f(π,2)解析：函數(shù)y＝2cosx＋1的最小